Srinivas – Page 32 – AP Board Solutions

AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 3 బహుపదులు

March 19, 2022

These AP 10th Class Maths Chapter Wise Important Questions 3rd Lesson బహుపదులు will help students prepare well for the exams.

AP Board 10th Class Maths 3rd Lesson Important Questions and Answers బహుపదులు

ప్రశ్న 1.
p(x) = x² – 5x – 6 అయిన p(3) ను కనుగొనుము.
సాధన.
p(x) = x² – 5x – 6 అయిన
P(3) = 3² – 5(3) – 6
= 9 – 15 – 6
= 9 – 21 = 0
∴ p(3) = – 12 అగును.

ప్రశ్న 2.
రెండు వేర్వేరు బహుపదులను రాసి, ప్రతి దానికి రెండు ప్రశ్నలు చొప్పున రూపొందించండి.
సాధన.
(1) p(x) = x² – 4
i) p(x) పరిమాణము ఎంత ?
ii) p(x) యొక్క శూన్యాల మొత్తం కనుగొనుము.

(2) p(x) = 2x + 3
i) p(x) లోని పదాల సంఖ్య ఎంత ?
ii) p(x) యొక్క శూన్య విలువను కనుగొనండి.

ప్రశ్న 3.
2x⁴ + x + k బహుపదిలో ఓ యొక్క ఏ విలువకు 3 బహుపది శూన్య విలువగును?
సాధన.
p(x) = 2x² + x + k బహుపదికి 3 ఒక శూన్యము కనుక
p(3) = 0.
∴ p(3) = 2(3)² + 3 + k = 0
⇒ 21 + k = 0
⇒ k = – 21.

ప్రశ్న 4.
x-y = 0 యొక్క రఫ్ గ్రాఫ్ గీయుము.
సాధన.

AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 3 బహుపదులు 1

ప్రశ్న 5.
7×3 – 3×2 + 5x – 2 ని x + 2 చే భాగించగా శేషం కనుగొనండి.
సాధన.

AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 3 బహుపదులు 2

∴ శేషం = – 80.

ప్రశ్న 6.
p(y) = y³ – 1 అయిన 1, – 1 లు p(y) కు శూన్యాలు అవుతాయో ? లేదో ? సరిచూడండి.
సాధన.
p(y) = y³ – 1
p(1) = 1³ – 1 = 1 – 1 = 0 :
∴ p(y) కు ‘1’ శూన్యం.
p(- 1) = (- 1)³ – 1
= – 1 – 1 = – 2
∴ p(y) కు ‘- 1’ శూన్యం కాదు.

ప్రశ్న 7.
5x² – 4 – 8x వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాలను కనుగొని, శూన్యాలకు, బహుపది గుణకాలకు మధ్య గల సంబంధాన్ని సరిచూడుము.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది = 5x² – 4 – 8x
= 5x² – 8x – 4
= 5x² – 10x + 2x – 4
= 5x(x – 2) + 2(x – 2)
= (x – 2) (5x + 2)
శూన్యాలు కనుగొనుటకు, (x – 2) (5x + 2) = 0
⇒ x – 2 = 0 లేదా 5x + 2 = 0
⇒ x = 2 లేదా x = – [latex]\frac{2}{5}[/latex]
శూన్యాల మొత్తం = 2 + (- [latex]\frac{2}{5}[/latex]) = ([latex]\frac{8}{5}[/latex])
= -(-[latex]\frac{8}{5}[/latex])
= – x గుణకం / x² గుణకం
శూన్యాల లబ్దం = 2(- [latex]\frac{2}{5}[/latex])
= [latex]\frac{-4}{5}[/latex] = స్థిరపగం / x² గుణకం.

ప్రశ్న 8.
[latex]\frac{2}{3}[/latex] మరియు 2 లు శూన్యాలుగా గల వర్గ బహుపదినీ కనుగొనండి.
సాధన.
α, β లు శూన్యాలుగా కలిగిన వర్గ బహుపది
ax² + bx + c, a ≠ 0 అనుకోండి.
ఇక్కడ, α = [latex]\frac{2}{3}[/latex] మరియు β = 2.
శూన్యాల మొత్తం = α + β = [latex]\frac{2}{3}[/latex](2) = [latex]\frac{4}{3}[/latex]
∴ శూన్యాల లబ్ధం = αβ = 1 (2) = 2
∴ కావున, వర్గ బహుపది = [x² – (α + β)x + αβ]
= [x² – [latex]\frac{8}{3}[/latex]x + [latex]\frac{4}{3}[/latex]]
∴ కావలసిన వర్గ బహుపది 3x² – 8x + 4.

ప్రశ్న 9.
x² – x – 30 వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాలను కనుగొని, బహుపది గుణకాలకు, శూన్యాలకు గల సంబంధాన్ని సరిచూడండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది x² – x – 30
శూన్యాలు కనుగొనుటకు x² – x – 30 = 0 అనుకొనుము.
⇒ x² – x – 30 = 0
⇒ x² – 6x + 5x – 30 = 0
⇒ x(x – 6) + 5(x – 6) = 0
⇒ (x – 6) (x + 5) = 0
⇒ x – 6 = 0
⇒ x = 6
∴ a = 6, P = – 5
శూన్యాల మొత్తం = α + β = [latex]-\frac{b}{a}[/latex]
⇒ 6 – 5 = 1
⇒ 1 = 1
శూన్యాల లబ్దం = αβ = 6(- 5) = [latex]\frac{c}{a}[/latex]
= – 30 = [latex]\frac{-30}{1}[/latex].

ప్రశ్న 10.
శూన్యాల మొత్తం – 3 మరియు శూన్యాల వర్గాల మొత్తం 17 గా కలిగిన వర్గ బహుపదిని కనుగొనండి.
సాధన.
శూన్యాల మొత్తం = α + β = – 3
శూన్యాల వర్గాల మొత్తు = 17
(α + β)² = α² + β² + 2αβ
(- 3)² = 17 + 2αβ
2αβ = 9 – 17 = – 8.
∴ వర్గ బహుపది = x² – (α + β)x + αβ
= x² – (- 3) x + (- 4)
= x² + 3x – 4

ప్రశ్న 11.
p మరియు q లు బహుపది 3x² – 5x + 2 యొక్క శూన్యములైన, [latex]\frac{1}{p}[/latex] మరియు [latex]\frac{1}{q}[/latex] లు శూన్యాలుగా గల బహుపదిని ‘x’ లో వ్రాయుము.
సాధన.
p, q లు శూన్యాలుగా కలిగిన వర్గ బహుపది 3x² – 5x + 2.
శూన్యాల మొత్తం = p + q = [latex]\frac{-(-5)}{3}=\frac{5}{3}[/latex] ………. (1)
శూన్యాల లబ్దం = pq = [latex]\frac{2}{3}[/latex] ……………. (2)
ఇపుడు, [latex]\frac{1}{p}[/latex] మరియు [latex]\frac{1}{q}[/latex]

బహుపదిని కనుగొనుట :
శూన్యాల మొత్తం = [latex]\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{p+q}{p q}=\frac{\frac{5}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{5}{2}[/latex]
శూన్యాల లబ్దం = [latex]\frac{1}{p} \times \frac{1}{q}=\frac{1}{p q}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}[/latex]
కావున, వర్గ బహుపది x² – ([latex]\frac{5}{2}[/latex]) x + [latex]\frac{3}{2}[/latex]
= (2x² – 5x + 3)
∴ కావలసిన వర్గ బహుపది 2x² – 5x + 3.

ప్రశ్న 12.
x² – 3x – 4 వర్గ బహుపదిని గ్రాఫు ద్వారా సాధించండి.
సాధన.
y = x² – 3x – 4 అనుకొనుము y = x² – 3x – 4 గీయుటకు బిందువులను కనుగొనుము.
y = x² – 3x – 4

AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 3 బహుపదులు 3

AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 3 బహుపదులు 4

ప్రశ్న 13.
బహుపదులు 4x² + 4x – 3 అనే బహుపదికి రేఖాచిత్రమును గీసి, దాని ద్వారా శూన్యాలను కనుగొనుము.
సాధన.

AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 3 బహుపదులు 5

పై వక్రం X – అక్షంను (0.5, 0) మరియు (= 1.5, 0) బిందువుల వద్ద ఖండిస్తున్నది.
కావున పై బహుపది y = 4x² + 4x – 3 యొక్క శూన్యాలు 0.5 మరియు – 1.5.

ప్రశ్న 14.
p(x) = x² – x – 2 వర్గ బహుపదికి గ్రాఫ్ గీసి, శూన్యాలను కనుగొనండి.
సాధన.
y = x² – x – 2 అనుకొనుము.

AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 3 బహుపదులు 6

∴ బహుపది శూన్యాలు 2, – 1.

ప్రశ్న 15.
p(x) = x² – 3x + 2 వర్గ బహుపది యొక్క రేఖా చిత్రాన్ని గీసి, శూన్యాలను కనుక్కోండి.
సాధన.
y = p(x) = x² – 3x + 2 అనుకొనుము.
x = 0 అయిన y = 0² – 3(0) + 2 = 2; (0, 2)
x = 1 అయిన y = 1² – 3(1) + 2 = 0; (1, 0)
x = 2 అయిన y = 2² – 3(2) + 2 = 0; (2, 0)
x = 3 అయిన y = 3² – 3(3) + 2 = 2; (3, 2)
x = – 1 అయిన y = (- 1)² – 3(-1) + 2
= 1 + 3 + 2 = 6 అయిన (- 1, 6)
x = – 2 అయిన y = (- 2)² – 3(- 2) + 2
= 4 + 6 + 2 = 12 అయిన (- 2, 12)
అనగా పై వర్గ బహుపదిఈ (0, 2), (1, 0), (2, 0), (3, 2), (- 1, 6), (-2, 12) బిందువుల గుండా పోతుంది.

AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 3 బహుపదులు 7

ప్రశ్న 16.
p(x) = x² + x – 20 వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాలను రేఖాచిత్ర పద్ధతిలో కనుక్కోండి.
సాధన.
y = x² + x – 20 అనుకొనుము.
p(x) = x² + x – 20
p(x) కు విలువలు :

AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 3 బహుపదులు 8

ఫలితము : గ్రాఫును పరిశీలించగా X – అక్షము (4, 0) మరియు (- 5, 0) బిందువుల వద్ద ఖండించును.
∴ ఇచ్చిన బహుపది శూన్యవిలువలు = 4 మరియు – 5.

AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 2 సమితులు

March 19, 2022

These AP 10th Class Maths Chapter Wise Important Questions 2nd Lesson సమితులు will help students prepare well for the exams.

AP Board 10th Class Maths 2nd Lesson Important Questions and Answers సమితులు

ప్రశ్న 1.
A = {1, 2, 3, 4} ను సమితి నిర్మాణం రూపంలో వ్రాయండి.
సాధన.
దత్త సమితి A = {1, 2, 3, 4}
దీనిని సమితి నిర్మాణ రూపంలో వ్రాయగా –
A = {x/ x ∈ N, x < 5}

ప్రశ్న 2.
’42’ ను భాగించగల అన్ని సహజ సంఖ్యల సమితిని రోస్టర్ మరియు సమితి నిర్మాణ రూపంలో వ్రాయండి.
సాధన.
42 ను భాగించు అన్ని సహజ సంఖ్యలు అనగా
42 యొక్క కారణాంకాలు అగును. అవి 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 … రోస్టర్ రూపం = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} సమితి నిర్మాణరూపం = {x/x ∈ N, x అనేది 42 యొక్క కారణాంకం}.

ప్రశ్న 3.
B = {p, q} సమితికి గల ఉప సమితులు అన్నింటిని వ్రాయండి.
సాధన.
{p}, {q}, {p, q}, { } ఈ నాలుగు సమితులు
B = {p, q} కు ఉప సమితులు.
n(B) = 2 కావున B యొక్క ఉప సమితుల సంఖ్య = 2ⁿ = 2² = 4

ప్రశ్న 4.
{x: x = 2n + 1 మరియు n E N} ను రోస్టరు రూపంలో వ్రాయండి.
సాధన.
n ∈ N అయిన n = 1, 2, 3, …… అగును.
n = 1 అయిన x = 2n + 1 = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3 మరియు
n = 2 అయిన X = 2n + 1 = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 మరియు
n = 3 అయిన x = 2n + 1 = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7
కావున {3, 5, 7, 9, …..} అనునది పై సమితి యొక్క రోస్టరు రూపం అగును.

ప్రశ్న 5.
A = {10 కంటే తక్కువైన ప్రధానాంకాలు}, . B = {10 కంటే తక్కువైన ధన బేసి సంఖ్యలు}, అయితే (i) An B (ii) B – A లను కనుగొనుము.
సాధన.
A = {10 కంటే తక్కువైన ప్రధానాంకాలు},
B = {10 కంటే తక్కువైన ధన బేసి సంఖ్యలు
∴ A = {2, 3, 5, 7} మరియు
B = {1, 3, 5, 7, 9}
(i) (A ∩ B) = {2, 3, 5, 7} ∩ {1, 3, 5, 7, 9} = {3, 5, 7} …………….. (1) మరియు

(ii) B – A = {1, 3, 5, 7, 9} – {2, 3, 5, 7}
(B – A) = {1, 9} – (2)

ప్రశ్న 6.
A = {[latex]\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}[/latex]} అయిన సమితి A ను సమితి నిర్మాణరూపంలో వ్రాయుము.
సాధన.
A = {[latex]\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}[/latex]}
A = {x : x = [latex]\frac{1}{v}[/latex] y = 2ⁿ. n ∈ N, n ≤ 5} (లేదా)
A = {x : x = [latex]\frac{1}{2^{n}}[/latex] n ∈ N, n ≤ 5}

ప్రశ్న 7.
A = {3, 9, 27, 81}ను సమితి నిర్మాణ రూపంలో రాయండి.
సాధన.
A = {x : x = 3ⁿ, n < 5, n ∈ N} లేదా
A = {x : x = 3ⁿ, n ≤ 5, n ∈ N}.

ప్రశ్న 8.
A = {[latex]1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \frac{1}{25}[/latex]} ను సమితి నిర్మాణ రూపంలో వ్రాయుము.
సాధన.
[latex]\frac{1}{1}, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \frac{1}{25}[/latex] అనునవి [latex]\frac{1}{p^{2}}[/latex] రూపంలో ఉన్నవి. p విలువ 6 కంటే తక్కువగా ఉన్నది. కావున
A = {x : x = [latex]\frac{1}{p^{2}}[/latex], p ∈ N, p < 6} అనునది A యొక్క నిర్మాణ రూపం.

ప్రశ్న 9.
A = {2, 4, 8, 16} ను సమితి నిర్మాణ రూపంలో రాయండి.
సాధన.
A = {2ⁿ/n ∈ N మరియు n < 5}

ప్రశ్న 10.
A = {x : x అనేది 10 కంటే తక్కువైన సరి సంఖ్య }
B = {x : x అనేది 10 కంటే తక్కువైన ప్రధాన సంఖ్య } అయితే A ∩ B ను కనుగొనుము.
సాధన.
దత్తాంశము A = {x : x అనేది 10 కంటే తక్కువైన సరి సంఖ్య}
A = {2, 4, 6, 8} మరియు B = {x : x అనేది 10 కంటే తక్కువై న్రధాన సంఖ్య}
∴ B = {2, 3, 5, 7}
A ∩ B = {2, 4, 6, 8} n {2, 3, 5, 7}
∴ A ∩ B = {2}

ప్రశ్న 11.
సమితి A, సమితి B కు ఉపసమితి. n(A) = 4 మరియు n(B) = 7 అయిన n(A U B) కనుగొనుము.
సాధన.
A ⊂ B; n(A) = 4 మరియు n(B) = 7 n(A U B) = 7

ప్రశ్న 12.
(i) A U B = B,
(ii) A ∩ B = B.
అగు విధంగా A, B సమితులకు ప్రతీ ప్రశ్నకు ఒక్కొక్క ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
సాధన.
(i) A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5} అనుకొనుము.
A U B = {1, 2, 3} U {1, 2, 3, 4, 5}
= {1, 2, 3, 4, 5} = B
∴ A U B = B

(ii) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ……}, B = {2, 4, 6, 8, 10, …..} అనుకొనుము.
A ∩ B= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ….} ∩ {2, 4, 6, 8, 10, …..}
= {2, 4, 6, 8, 10, …..} = B
∴ A ∩ B = B.

ప్రశ్న 13.
క్రింది వెన్ చిత్రాన్ని పరిశీలించి, దిగువ ప్రశ్నలకు జవాబులు రాయండి.

AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 2 సమితులు 1

(i) A U B
(ii) A – B లను కనుగొనండి.
సాధన.
(i) A U B = {1, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12}
(ii) A – B = {1, 5, 6}

ప్రశ్న 14.
A = {5, 6, 7}, B = {6, 7, 8, 9} అయిన A – (A – B) మరియు A ∩ B కనుగొనుము. ఏమి గమనించితివి ?
సాధన.
A = {5, 6, 7}, B = {6, 7, 8, 9}
A – B = {5, 6, 7} – {6, 7, 8, 9} = {5, 6, 7, 8, 9} = {5}
A = (A – B) = {5, 6, 7} – {5} = {6, 7}
A ∩ B = {5, 6, 7} ∩ {6, 7, 8, 9} = {6, 7}
A – (A – B) = A ∩ B అని గమనించితిని.

ప్రశ్న 15.
A = {x : x ఒక సరి సంఖ్య}, B = {x : x ఒక బేసి సంఖ్య}, C = {x : x ఒక ప్రధాన సంఖ్య } D = {x : x, 5 యొక్క గుణకం} అయిన
(i) A U B,
(ii) A ∩ B
(iii) C – D
(iv) A ∩ C లను కనుగొనుము.
సాధన.
A = {x : x ఒక సరి సంఖ్య } అనగా A = {2, 4, 6, 8, …… }
B = {x : x ఒక బేసి సంఖ్య} అనగా B = {1, 3, 5, 7, …… }
C = {x : x ఒక ప్రధాన సంఖ్య } అనగా C = {2, 3, 5, 7, 11, …. }
D = {x : x, 5 యొక్క గుణకం} అనగా D = {5, 10, 15, 20, ….. }

(i) A U B = {2, 4, 6, 8, ….} U {1, 3, 5, 7, 9, …. } = {1, 2, 3, 4, 5, …..} అనగా సహజ సంఖ్యా సమితి అగును.
(ii) A ∩ B = {2, 4, 6, 8, ….} ∩ {1, 3, 5, 7, 9, …. } = { } అనగా ఇది శూన్య సమితి అగును.
(iii) C – D = {2, 3, 5, 7, 11, ….} – {5, 10, 15, 20, ……} = {2, 3, 7, 11, …..} అనగా 5 లేని ప్రధాన సంఖ్యల సమితి
(iv) A ∩ C = {2, 4, 6, 8, 10, ….} ౧12, 3, 5, 7, 11, …. } = { 2 } అనగా సరి ప్రధానసంఖ్య.

ప్రశ్న 16.
A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 5, 6} అయిన
(i) A ∩ B
(ii) B ∩ A
(iii) A – B
(iv) B – A లను కనుగొని వాటి నుంచి నీవేమి గమనించితివో వ్యాఖ్యానించుము.
సాధన.
(i) A = {1, 2, 3, 4} మరియు B = {1, 2, 3, 5, 6}
A ∩ B = {1, 2, 3, 4} 9 {1, 2, 3, 5, 6} = {1, 2, 3}
∴ A ∩ B = {1, 2, 3} ……………… (1)

(ii) A = {1, 2, 3, 4} మరియు B = {1, 2, 3, 5, 6}
B ∩ A = {1, 2, 3, 5, 6} ∩ {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3} కావున
∴ B ∩ A = {1, 2, 3} …………….. (2)
∴ A ∩ B = B ∩ A అయినది..

(iii) A = {1, 2, 3, 4} మరియు B = {1, 2, 3, 5, 6} అయిన
A – B = {1, 2, 3, 4} – {1, 2, 3, 5, 6} = {4}
కావున A – B = {4}

(iv) B = {1, 2, 3, 5, 6} మరియు A = {1, 2, 3, 4} అయిన
B – A = { 1, 2, 3, 5, 6} – {1, 2, 3, 4} = {5, 6}
∴ B – A = {5, 6}
కావున A – B ≠ B – A అని గమనించవచ్చు.

ప్రశ్న 17.
A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}, B = {4, 8, 12, 16, 20} అయిన A U B = B U A మరియు A – B = B – A అవుతుందా ? సరిచూడుము.
సాధన.
A U B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} U {4, 8, 12, 16, 20} = {3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 20, 21}
B U A = {4, 8, 12, 15, 16, 20} U {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} = {3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 20, 21}
∴ A U B = B U A
A – B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {4, 8, 12, 16, 20} = {3, 6, 9, 15, 18, 21}
B – A = {4, 8, 12, 16, 20} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} = {4, 8, 16, 20}
A – B ≠ B – A

ప్రశ్న 18.
A = {x: x ఒక సరి సహజ సంఖ్య మరియు x < 12} మరియు B = {x : x ఒక సహజ సంఖ్య మరియు 6ను – భాగిస్తుంది} అయిన,
(i) (A U B) – (A ∩ B),
(ii) (A – B) U (B – A) లను కనుగొనుము. ఫలితం నుండి మీరు ఏమి గమనించారు ?
సాధన.
A = {2, 4, 6, 8, 10}; B = {1, 2, 3, 6}
A U B = {2, 4, 6, 8, 10} U {1, 2, 3, 6} = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}
A ∩ B = {2, 4, 6, 8 10} ∩ {1, 2, 3, 6} = {2, 6}
(A U B) – (A ∩ B) = { 1, 2, 3, 4, 6, 6, 10} – {2, 6} = {1, 3, 4, 8, 10}
A – B = {2, 4, 6, 8, 10} – {1, 2, 3, 6} = {4, 8, 10}
B – A = {1, 2, 3, 6} {2, 4, 6, 8, 10} = {1, 3}
(A – B) U (B – A) = {4, 6, 10} U {1, 3} = {1, 3, 4, 8, 10}
(A U B) – (A ∩ B) = (A – B) U (B A) అని గమనించితిని.

ప్రశ్న 19.
A = {x : x ఒక సహజ సంఖ్య}, B = {x : x ఒక సరి సహజ సంఖ్య}, C = {x : x ఒక బేసి సహజ సంఖ్య}, D = {x : x ఒక ప్రధాన సంఖ్య}, అయిన A U B, A ∩ C, B ∩ C, B ∩ D లను కనుగొనండి. మీరు ఏమి గమనించారు ?
సాధన.
A = {x : x ఒక సహజ సంఖ్య} = {1, 2, 3, …. }
B = {x : x ఒక సరి సహజ సంఖ్య} = {2, 4, 6, …… }
C = {x : x ఒక బేసి సహజ సంఖ్య} = {1, 3, 5, …….}
D = {x : x ఒక ప్రధానాంకము} . = {2, 3, 5, …….. }
A U B = {1, 2, 3, ….} U {2, 4, 6, …. } = {1, 2, 3, …….}
A ∩ C = {1, 2, 3, ….} ∩ {1, 3, 5, …. } = {1, 3, 5, ……}
B ∩ C = {2, 4, 6, ….} ∩ {1, 3, 5, …. } = { } = Φ
B ∩ D = {2, 4, 6, ….} ∩ {2, 3, 5, …. } = { 2 }
A U B = A; A ∩ C = C.

ప్రశ్న 20.
A = {x : x ఒక ప్రధాన సంఖ్య మరియు x < 20} మరియు B = {x : x = 2x + 1, x ∈ W మరియు x < 9), అయిన
(i) A ∩ B
(ii) B ∩ A
(iii) A – B
(iv) B – A లను కనుగొనుము. నీవు ఏమి గమనించావు ?
సాధన.
A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
B = {1, 3, 5, 7}
(i) A ∩ B= {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} ∩ {1, 3, 5, 7} = {3, 5, 7}

(ii) B ∩ A = {1, 3, 5, 7} – {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} = {3, 5, 7}

(iii) A – B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} – {1, 3, 5, 7} = {2, 11, 13, 17, 19}

(iv) B – A = {1, 3, 5, 7} – {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
= {1}
∴ A ∩ B = B ∩ A
A – B ≠ B – A అని గమనించితిని.

ప్రశ్న 21.
A = {x : x, 6 కన్నా తక్కువైన ఒక సహజ సంఖ్య}, B = {x : x, 60 ను భాగించు ఒక ప్రధాన సంఖ్య} C = {x : x, 10 కంటే తక్కువైన ఒక బేసి సహజ సంఖ్య} D = {x : x, 48 ను భాగించు ఒక సరి సహజ సంఖ్య} అయిన వీటికి రోస్టర్ రూపం రాసి
(i) A U B
(ii) B ∩ C
(iii) A – D
(iv) D – B లను కనుక్కోండి.
సాధన.
A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {2, 3, 5} C = {1, 3, 5, 7, 9}; D = {2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
(i) A U B = {1, 2, 3, 4, 5} U {2, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) B ∩ C = {2, 3, 5} 0 {1, 3, 5, 7, 9) = {3, 5}
(iii) A – D = {1, 2, 3, 4, 5} -{2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} = {1, 3, 5}
(iv) D – B = {2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} – {2, 3, 5} = {4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}

ప్రశ్న 22.
A = {x/x ∈ W, x < 10}, B = {x/x అనేది 10 యొక్క కారణాంకం} C = {12, 22, 33, ……… 102} లు మూడు సమితులు అయితే
(i) A U B
(ii) A ∩ B
(iii) A – C
(iv) B – Cలు కనుగొనుము.
సాధన.
A = {x/x ∈ W x < 101} B = {x/x అనేది 10 యొక కారణాంకం} C = {12, 22, 3, ……….. 102
కావున A = {0, 1, 2, 3, 4 5, 6, 7, 8, 9}
B = {1, 2, 5, 10}
C = {1, 4, 7, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}
(i) A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} U {1, 2, 5, 10} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} …………… (1)
(ii) A ∩ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ∩ {1, 2, 5, 10} = {1, 2, 5} ……….. (2)
(iii) A – C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100} = {0, 2, 3, 5, 6, 7, 8} ………………. (3)
(iv) B – C = { 1, 2, 5, 10} – {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100} = {2, 5, 10} ………… (4)

ప్రశ్న 23.
A = {- 2, 1, 3, 4, 5}, B = {7, 3, 5, 2, 8} మరియు C = {- 2, 4, 5, 8, 9} అయిన క్రింది సమితులను కనుగొనుము.
(i) A – (B U C),
(ii) (A – B) ∩ (A – C) ఏమి గమనించితివి ?
సాధన.
A = {-2, 1, 3, 4, 5}; B = {7, 3, 5, 2, 8}, C = {- 2, 4, 5, 8, 9}

(i) A – (B U C)
B U C = {7, 3, 5, 2, 8} U {- 2, 4, 5, 8, 9} = {- 2, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}
A – (B U C) = {- 2, 1, 3, 4, 5} – {- 2, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9} = {1}

(ii) (A – B) ∩ (A – C)
A – B = {- 2, 1, 3, 4, 5} – {7, 3, 5, 2, 8} = {- 2, 1, 4}
A – C = {-2, 1, 3, 4, 5} – {- 2, 4, 5,8, 9} = {1, 3}
(A – B) ∩ (A – C) = {- 2, 1,4 } ∩ {1, 3} = {1}
A – (B U C) = (A – B) ∩ (A – C)

ప్రశ్న 24.
A = {క్రమ బహుభుజులు}, B = {త్రిభుజములు} మరియు C = {చతుర్భుజములు}. అయిన ,
(i) A ∩ B
(ii) A ∩ c
(iii) A – B
(iv) A – C లను కనుగొనుము.
సాధన.
A = {త్రిభుజాలు, చతుర్భుజాలు, పంచభుజులు, షడ్భుజులు, సప్తభుజులు} B = {త్రిభుజములు}; C = {చతుర్భుజములు}
(i) A ∩ B = {త్రిభుజాలు, చతుర్భుజాలు, పంచభుజులు, షడ్భుజులు, సప్తభుజులు} ∩ {త్రిభుజములు} = {త్రిభుజములు}
(ii) A ∩ C = {త్రిభుజాలు, చతుర్భుజాలు, పంచభుజులు, షడ్భుజులు, సప్త భుజులు} ∩ {చతుర్భుజములు}= {చతుర్భుజములు}
(iii) A – B = {త్రిభుజాలు, చతుర్భుజాలు, పంచభుజులు, షడ్భుజులు, సప్తభుజులు} – {త్రిభుజములు | = {చతుర్భుజాలు, పంచభుజులు, షడ్భుజులు, సప్త భుజులు}
(iv) A – C = {త్రిభుజాలు, చతుర్భుజాలు, పంచభుజులు, షడ్భుజులు. సప్తభుజులు} – {చతుర్భుజములు} = {త్రిభుజాలు, పంచభుజులు, షడ్భుజులు, సప్తభుజులు}

AP 8th Class Biology Important Questions Chapter 2 కణం – జీవుల మౌళిక ప్రమాణం

March 18, 2022

These AP 8th Class Biology Important Questions 2nd Lesson కణం – జీవుల మౌళిక ప్రమాణం will help students prepare well for the exams.

AP Board 8th Class Biology 2nd Lesson Important Questions and Answers కణం – జీవుల మౌళిక ప్రమాణం

ప్రశ్న 1.
సూక్ష్మజీవి ప్రపంచంపై పరిశోధన చేసిన శాస్త్రవేత్తల పేర్లు మీ పాఠం నుండి సంగ్రహించి రాయండి.
జవాబు:
సూక్ష్మజీవి ప్రపంచం గురించి మానవాళికి ఎన్నో విషయాలు కనిపెట్టి చెప్పిన శాస్త్రవేత్తలలో ముఖ్యులు.

అథినాసియస్ కిర్చర్
జాన్ స్వామ్మర్ డామ్
ఆంథోనివార్ల్యూవెన్‌హాక్
రాబర్ట్ హుక్
రాబర్ట్ బ్రౌన్
పెలిస్ పాంటానా
జకారస్ జాన్సన్

ప్రశ్న 2.
‘రంజనం’ చేసే విధానాన్ని క్లుప్తంగా వివరింపుము.
జవాబు:
1. కణ అంతర్భాగాలకు కొన్ని రసాయన వర్ణదాలు (రంగులు) పీల్చుకునేలా చేసి వాటి నిర్మాణాన్ని అధ్యయనం చేయటానికి ఉపయోగపడే విధానమే ‘రంజనం’ చేయటం.
2. మొదట కణాన్ని స్లెడ్ పై తీసుకోవాలి.
3. కణం, కణాంగాల స్వభావాన్ని బట్టి

సాఫనిన్
మిథాలిన్ బ్లూ
అయొడిన్
ఎర్రసిరా మొదలైన వర్లదాలలో ఏదైనా ఒకదాన్ని ఎన్నుకొని స్లెడ్ పై వేయాలి.

4. అది బాగా పీల్చుకున్న తరువాత ఒక చుక్క నీరు వేసి జాగ్రత్తగా ఒక చుక్క గ్లిసరిన్ వేసి కవర్ స్లితో స్లెడ ను కప్పాలి.
5. తరువాత సూక్ష్మదర్శినితో పరిశీలించితే కణాంగాలు చక్కగా రంగులతో కనిపిస్తాయి.

ప్రశ్న 3.
మీ ప్రయోగశాలను సందర్శించి అందులో వున్న ఏవైనా మూడు సైడ్లను చూచి పరిశీలనలు నమోదు చేయండి.
జవాబు:
మా ప్రయోగశాలలో నాడీకణం నునుపు కండర కణం, ఎర్రరక్త కణంల స్లెలు నేను పరిశీలించి ఈ కింది విషయాలు తెలుసుకున్నాను.
1. నాడీకణం :
AP 8th Class Biology Important Questions Chapter 2 కణం - జీవుల మౌళిక ప్రమాణం 1

ఇది అతి పొడవైన కణం.
మధ్యలో నల్లని చుక్కలాగ, గుండ్రంగా ఒక భాగం కనిపించింది.
దీనిని కేంద్రకంగా గుర్తించాను.
జీవపదార్థం కూడా కనిపించింది.
ఒక పొడవైన శాఖను ఆక్సాన్‌గా గుర్తించాను.
పటం కూడా గీశాను.

2. నునుపు కండర కణం :
AP 8th Class Biology Important Questions Chapter 2 కణం - జీవుల మౌళిక ప్రమాణం 2

ఇది దోసగింజ లాగా ఉంది.
జీవపదార్థం మధ్యలో కేంద్రకం ఉంది.

3. ఎర్రరక్త కణం :
AP 8th Class Biology Important Questions Chapter 2 కణం - జీవుల మౌళిక ప్రమాణం 3

ఇది ద్విపుటాకారంగా ఉంది.
గుండ్రంగా ఉంది.
అంటే పార్లే పాపిన్స్ బిళ్ళలాగా ఉందన్న మాట.

ప్రశ్న 4.
అమీబా పటం గీసి, భాగాలు గుర్తించుము.
జవాబు:
AP 8th Class Biology Important Questions Chapter 2 కణం - జీవుల మౌళిక ప్రమాణం 4

ప్రశ్న 5.
గడ్డిచామంతి కాండం అడ్డుకోత పటం గీసి, భాగాలు గుర్తించండి.
జవాబు:
AP 8th Class Biology Important Questions Chapter 2 కణం - జీవుల మౌళిక ప్రమాణం 5

ప్రశ్న 6.
క్లామిడోమోనాస్ కణం పటం గీసి, భాగాలు గుర్తించుము.
జవాబు:
AP 8th Class Biology Important Questions Chapter 2 కణం - జీవుల మౌళిక ప్రమాణం 6

ప్రశ్న 7.
మొక్కలు క్షోభ్యత కలిగి ఉంటాయా ? అని రాహుల్ రవిని ప్రశ్నించాడు. నీవు వాటి పట్ల ఎలా సానుభూతిని ప్రదర్శిస్తావు ?
జవాబు:

రాహుల్ ప్రశ్నలో నిజం ఉంది.
‘క్షోభ్యత’ అంటే జీవులు. అవి మొక్కలు గానీ, జంతువులు కానీ, వాటి పరిసరాలలో జరిగే మార్పులకు అనుగుణంగా ప్రతిస్పందిస్తాయి. దీనినే ‘క్షోభ్యత’ అంటారు.
అంటే బాధ, సంతోషం, చలి, ఎండ మొదలైన ప్రతిస్పందనలు అన్నమాట.
మొక్కకు నీళ్ళు పోయకపోతే ముందు వాడి పోతుంది. తరువాత చనిపోతుంది.
జగదీష్ చంద్రబోస్ ప్రెస్మోగ్రాఫ్ ద్వారా మొక్కలలో కూడా ప్రతిస్పందనలు ఉంటాయని నిరూపించాడు.
అంటే వాటికి నీళ్ళు పోస్తే సంతోషిస్తాయి. హాయిగా, ఆరోగ్యంగా పెరుగుతాయి.
వాటికి నరికేటప్పుడు వాటికైన గాయాలు మొక్కలను బాధ పెడతాయి.
అందుకే మన పూర్వీకులు మొక్కలను నరికే వాళ్ళు కాదు.
వాటి ఎండు భాగాలు మాత్రమే వంట చెరకుగా వాడేవారు.
అందువల్ల మనం కూడా మొక్కల పట్ల సానుభూతితో వుండి వాటిని రక్షిస్తే అవి మనకు ఆహారం, ఆక్సిజన్ ఇచ్చి రక్షిస్తాయి. ‘వృక్షో రక్షతి రక్షితః’

ప్రశ్న 8.
కణం, దాని కణాంగాల గురించి నీకు తెలిసిన శాస్త్రీయ పదజాలాన్ని ప్రవాహ పటం గీయుము.
జవాబు:
AP 8th Class Biology Important Questions Chapter 2 కణం - జీవుల మౌళిక ప్రమాణం 7

ప్రశ్న 9.
సంయుక్త సూక్ష్మదర్శిని పటం గీచి భాగాలు గీయండి.
జవాబు:
AP 8th Class Biology Important Questions Chapter 2 కణం - జీవుల మౌళిక ప్రమాణం 8

ప్రశ్న 10.
కణాంగాలు కణంలోని ఏ భాగంలో ఉంటాయి ?
జవాబు:

కణంలో జీవపదార్థం ఉంటుంది.
దీనిలో చిన్న చిన్న రేణువులు కలసిపోయి ఉంటాయి.
మిగిలిన కణాంగాలు అన్నీ ఈ జీవపదార్థంలోనే ఉంటాయి.
(మైటోకాండ్రియా, గాల్టి సంక్లిష్టం, రిక్తికలు, రైబోసోమ్ లు, రైసోసోమ్ లు, ఆహార రిక్తికలు మొ॥నవి.)
ఇది జిగురు జిగురుగా ఉంటుంది.
ఈ జీవపదార్థం మధ్యలో గుండ్రంగా కేంద్రకం ఉంటుంది.

ప్రశ్న 11.
ఏకకణ జీవులకు, బహుకణ జీవులకు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.
జవాబు:
ఏకకణ జీవులు : ఒకే ఒక కణంతో నిర్మితమైన జీవులను ఏకకణ జీవులు అంటారు.
ఉదా : అమీబా, క్లామిడోమోనాస్, పేరమీషియం , స్పెరోగైరా వర్సెస్ ఈ. కోలి బాక్టీరియా మొ॥నవి.
బహుకణ జీవులు : ఒకటి కన్నా ఎక్కువ కణాలతో నిర్మితమైన జీవులను బహుకణ జీవులు అంటారు.
ఉదా : హైడ్రా, వాల్ వాక్స్, చేపలు, ఉభయచరాలు, సరీసృపాలు, క్షీరదాలు మొ॥నవి.

ప్రశ్న 12.
పొడవు ప్రమాణాలు, వాటి ప్రామాణికాలు తెలపండి.
జవాబు:
1 మీటరు = 100 సెం.మీ.
1 సెం.మీ = 10 మిల్లీమీటరు
1 మి.మీ = 1000 మైక్రాన్లు/ మైక్రోమీటరు
1 మైక్రాన్ = 1000 నానోమీటర్లు

ప్రశ్న 13.
మొక్కలకు నీరు ఎందుకు అవసరం ?
జవాబు:
1) కణాలలో అన్ని జీవక్రియల నిర్వహణకు
2) కిరణజన్య సంయోగక్రియ ద్వారా పిండి పదార్థాల తయారీకి నీరు అత్యవసరం.

ప్రశ్న 14.
చిత్రంలోని భాగాలను గుర్తించండి.
AP 8th Class Biology Important Questions Chapter 2 కణం - జీవుల మౌళిక ప్రమాణం 11
b) పట్టిక నింపండి.

విషయము	సంబంధించిన భాగం
కణం చుట్టూ ఆవరించి ఉంటుంది
దాదాపు కణం మధ్యభాగంలో ఉంటుంది
కణమంతా ఆవరించివుండే ద్రవపదార్థం
కణానికి శక్తినిస్తుంది

జవాబు:

విషయము	సంబంధించిన భాగం
కణం చుట్టూ ఆవరించి ఉంటుంది	కణత్వచం
దాదాపు కణం మధ్యభాగంలో ఉంటుంది	కణకేంద్రకం
కణమంతా ఆవరించివుండే ద్రవపదార్థం	కణ ద్రవ్యం
కణానికి శక్తినిస్తుంది	మైటోకాండ్రియా

ప్రశ్న 15.
కింది పేరాను చదివి వృక్షకణానికి, జంతుకణానికి భేదాలు రాయండి.
జీవులన్నీ కణాలతో ఏర్పడతాయి. అన్ని కణాలు ఒకే విధంగా వుండవు. అవి చేసే పనిని బట్టి వాటి నిర్మాణంలోను, ఆకారంలోను మార్పులు ఉంటాయి. వృక్షకణాలకు కణకవచం వుంటే జంతుకణాలకు వుండదు. జంతుకణాలలో రిక్తిక చిన్నదిగా వుంటే వృక్షకణాలలో రిక్తిక పెద్దదిగా వుంటుంది. వృక్షకణాలలో కనిపించినట్లుగా జంతుకణాలలో హరితరేణువులు వుండవు.

వృక్షకణము

జంతుకణము

జవాబు:

వృక్షకణము	జంతుకణము
1. కణ కవచం ఉంటుంది.	1. కణ కవచం ఉండదు.
2. రిక్తిక పెద్దదిగా ఉంటుంది.	2. రిక్తికలు చిన్నవిగా ఉంటాయి.
3. హరిత రేణువులు ఉంటాయి.	3. హరిత రేణువులు ఉండవు.

ప్రశ్న 16.
కింది పటంను గుర్తించండి. దాని విధి ఏమిటి ?
AP 8th Class Biology Important Questions Chapter 2 కణం - జీవుల మౌళిక ప్రమాణం 12
జవాబు:
పటంలో చూపబడినది నాడీకణం అది మెదడు నుండి శరీర భాగాలకు, శరీర భాగాల నుండి మొదడుకు సమాచారాన్ని చేరవేస్తుంది.

1 మార్కు ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
కణం యొక్క ఆకారం ఏయే అంశాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది ?
జవాబు:
కణం యొక్క ఆకారం మూడు అంశాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

కణత్వచం
కణకవచం
కణం చేసే పని

ఉదా : నాడీకణం పొడవుగా ఉంటుంది. అది నాడులను ఏర్పరచటానికి పొడవుగా ఉండటం అవసరం.

ప్రశ్న 2.
ఏకకణ జీవులకు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.
జవాబు:
ఏకకణ జీవులు : ఒకే ఒక కణంతో నిర్మితమైన జీవులను ఏకకణ జీవులు అంటారు.
ఉదా : అమీబా, క్లామిడోమోనాస్, పేరమీషియం, స్పెరోగైరా వర్సెస్ ఈ. కోలి బాక్టీరియా మొ॥నవి.

ప్రశ్న 3.
బహుకణ జీవులకు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.
జవాబు:
బహుకణ జీవులు : ఒకటి కన్నా ఎక్కువ కణాలతో నిర్మితమైన జీవులను బహుకణ జీవులు అంటారు.
ఉదా : హైడ్రా, వాల్ వాక్స్, చేపలు, ఉభయచరాలు, సరీసృపాలు, క్షీరదాలు మొ॥నవి.

ప్రశ్న 4.
కేంద్రక త్వచం విధులను వివరించండి.
జవాబు:
కేంద్రక త్వచం :

కేంద్రకం చుట్టూ ఉన్న పలుచని పొరను కేంద్రక త్వచం అంటారు.
ఇది కేంద్రకానికి నిర్దిష్టమైన ఆకారాన్ని ఇచ్చి, పటుత్వాన్ని కలుగచేస్తుంది.

ప్రశ్న 5.
ఏనుగులో ఉండే కణాలు, మనిషిలో ఉండే కణాల కంటే పెద్దవా ?
జవాబు:

ఏనుగు మరియు మనిషిలో ఉండే కణాలు ఒకే పరిమాణం కలిగి ఉంటాయి.
జీవి ఆకారం కణాల సంఖ్యపై ఆధారపడి ఉంటుంది కాని కణాల పరిమాణంపై కాదు.
కావున ఏనుగులో మనిషి కన్నా ఎక్కువ కణాలు ఉంటాయి.

లక్ష్యాత్మక నియోజనము

సరియైన సమాధానమును గుర్తించుము.

ప్రశ్న 1.
రాబర్ట్ బ్రౌన్ కేంద్రకాన్ని దీనిలో పరిశీలించాడు.
ఎ) విబ్రియో
బి) కప్పలు
సి) ఆర్కిలు
డి) స్పెరోగైరా
జవాబు:
సి) ఆర్కిలు

ప్రశ్న 2.
ఈ కింది వాటిలో కణం యొక్క విధులను నిర్థారించు నది
ఎ) కణం యొక్క పరిమాణం, ఆకారం
బి) కణం యొక్క పరిమాణం మాత్రమే
సి) కణం యొక్క ఆకారం మాత్రమే
డి) కణాంగాలు మాత్రమే
జవాబు:
ఎ) కణం యొక్క పరిమాణం, ఆకారం

ప్రశ్న 3.
క్రిందివాటిలో వృక్షకణంలో మాత్రమే ఉండేవి
ఎ) కణకవచము
బి) కణత్వచము
సి) హరితరేణువు
డి) A మరియు C
జవాబు:
డి) A మరియు C

ప్రశ్న 4.
ఎర్రరక్తకణపు ఆకారం
ఎ) గుండ్రము
బి) నక్షత్రాకారం
సి) కండె ఆకారం
డి) రిబ్బనువలె
జవాబు:
సి) కండె ఆకారం

ప్రశ్న 5.
మనం అన్ని కణాలను నేరుగా కంటితో చూడలేము. కారణం
ఎ) అతి పెద్దగా ఉంటాయి కాబట్టి
బి) చాలాచాలా చిన్నగా ఉంటాయి కాబట్టి
సి) అవి దాక్కొని ఉంటాయి కాబట్టి
డి) అవి కనిపించవు కాబట్టి
జవాబు:
బి) చాలాచాలా చిన్నగా ఉంటాయి కాబట్టి

ప్రశ్న 6.
ఈ కణం ఏమిటో గుర్తించండి.
AP 8th Class Biology Important Questions Chapter 2 కణం - జీవుల మౌళిక ప్రమాణం 9
ఎ) ఎర్ర రక్తకణం
బి) నాడీకణం
సి) తెల్ల రక్తకణాలు
డి) కండరకణం
జవాబు:
బి) నాడీకణం

ప్రశ్న 7.
రాబర్ట్ బ్రౌన్ కణంలో దీనిని గుర్తించినారు
ఎ) కణకవచము
బి) కేంద్రకము
సి) రిక్తిక
డి) మైటోకాండ్రియా
జవాబు:
బి) కేంద్రకము

ప్రశ్న 8.
మీ సైన్స్ టీచర్ ఒక కణం నిర్మాణంను వివరిస్తూ ఈ కణంలో కేంద్రకం, హరితరేణువు, కణత్వచం, రిక్తికలు కణ కవచం ఉంటాయని వివరించాడు. ఆ కణం కింది వాటిలో ఏదై ఉండవచ్చు ?
ఎ) కేంద్రక పూర్వకణం
బి) వృక్షకణం
సి) జంతుకణం
డి) పై సమాచారం సరిపోదు
జవాబు:
బి) వృక్షకణం

ప్రశ్న 9.
AP 8th Class Biology Important Questions Chapter 2 కణం - జీవుల మౌళిక ప్రమాణం 10
పై పటాలలో తెల్ల రక్త కణాన్ని గుర్తించండి.
ఎ) 1, 2
బి) 1 మాత్రమే
సి) 2 మాత్రమే
డి) ఈ రెండూ కావు
జవాబు:
సి) 2 మాత్రమే

ప్రశ్న 10.
సూక్ష్మదర్శినిలో, పదార్థాన్ని పరిశీలించేందుకు దీనిపై గ్లిజరిన్ వేసి కవర్ తో కప్పుతారు. ఎందుకనగా
ఎ) అది ముడతలు లేకుండా స్పష్టంగా కనిపించేందుకు
బి) అది త్వరగా ఆరిపోకుండా వుండేందుకు
సి) నీరు సూక్ష్మదర్శిని కటకానికి అంటుకోకుండా వుండేందుకు
డి) పైవన్నీ
జవాబు:
డి) పైవన్నీ

ప్రశ్న 11.
రాబర్ట్ బ్రౌన్ …….. పత్రాలపై పరిశోధన చేశారు.
ఎ) ఓక్ పత్రాలు
బి) ఆర్కిడ్ పత్రాలు
సి) కొని ఫెర్ పత్రాలు
డి) మందార పత్రాలు
జవాబు:
బి) ఆర్కిడ్ పత్రాలు

ప్రశ్న 12.
………. కణంలో కశాభాలు ఉంటాయి.
ఎ) అమీబా
బి) పేరమీషియం
సి) క్లామిడోమోనాస్
డి) ప్లాస్మోడియం
జవాబు:
సి) క్లామిడోమోనాస్

ప్రశ్న 13.
కణద్రవ్యం ఒక …………. పదార్థం.
ఎ) సజాతీయ
బి) విజాతీయ
సి) సరళ
డి) నిర్జీవ
జవాబు:
బి) విజాతీయ

ప్రశ్న 14.
ఒక మైక్రాస్ అంటే …………. లో …….. వంతు.
ఎ) సెంటీమీటర్, మిలియన్
బి) మీటర్, మిలియన్
సి) డెసీమీటర్, మిలియన్
డి) కిలోమీటర్, మిలియన్
జవాబు:
బి) మీటర్, మిలియన్

ప్రశ్న 15.
…………… కణానికి, బలాన్ని గట్టిదనాన్ని ఇస్తుంది.
ఎ) కణకవచం
బి) కణత్వచం
సి) కణద్రవ్యం
డి) కేంద్రకం
జవాబు:
ఎ) కణకవచం

ప్రశ్న 16.
మొట్టమొదటిసారిగా మైక్రోస్కోప్ ను రూపొందించి బాక్టీరియా, ఈస్ట్, ప్రోటోజోవా జీవులను పరిశీలించినది
ఎ) రాబర్ట్ హుక్
బి) రాబర్ట్ బ్రౌన్
సి) మార్సెల్లో మాల్ఫీజి
డి) ఆంటోనివాన్ లీవెన్‌హాక్
జవాబు:
డి) ఆంటోనివాన్ లీవెన్‌హాక్

ప్రశ్న 17.
లాటిన్ భాషలో సెల్ అనగా
ఎ) చిన్న గది
బి) చిన్న ప్రదేశం
సి) చిన్న స్థలం
డి) చిన్న కుహరం
జవాబు:
ఎ) చిన్న గది

ప్రశ్న 18.
రాబర్ట్ హుక్ కణాన్ని కనుగొన్న సంవత్సరం
ఎ) 1632
బి) 1665
సి) 1674
డి) 1723
జవాబు:
బి) 1665

ప్రశ్న 19.
ఈ క్రింది వానిలో సూక్ష్మజీవ ప్రపంచానికి చెందని శాస్త్రవేత్త
ఎ) అథినాసియస్ కిర్చర్
బి) జాన్ స్వామ్మర్ డామ్
సి) విలియంహార్వే
డి) లీవెన్‌హాక్
జవాబు:
సి) విలియంహార్వే

ప్రశ్న 20.
కేంద్రకాన్ని కనుగొన్న శాస్త్రవేత్త
ఎ) పెలిస్ పాంటానా
బి) రాబర్ట్ హుక్
సి) రాబర్ట్ బ్రౌన్
డి) లీవెన్‌హాక్
జవాబు:
సి) రాబర్ట్ బ్రౌన్

ప్రశ్న 21.
ఈ క్రింది వానిలో ఏకకణజీవి కానిది
ఎ) పారమీషియం
బి) క్లామిడోమోనాస్
సి) బాక్టీరియా
డి) హైడ్రా
జవాబు:
డి) హైడ్రా

ప్రశ్న 22.
స్థిరమయిన ఆకారంలేని జీవి
ఎ) అమీబా
బి) పారమీషియం
సి) బాక్టీరియా
డి) క్లామిడోమోనాస్
జవాబు:
ఎ) అమీబా

ప్రశ్న 23.
అమీబాలో చలనానికి, ఆహార సేకరణకు ఉపయోగపడే నిర్మాణాలు
ఎ) శైలికలు
బి) కశాభాలు
సి) మిధ్యాపాదాలు
డి) సూక్ష్మచూషకాలు
జవాబు:
సి) మిధ్యాపాదాలు

ప్రశ్న 24.
ఒక మైక్రాన్ దీనికి సమానం.
ఎ) 10 నానోమీటర్లు
బి) 100 నానోమీటర్లు
సి) 1000 నానోమీటర్లు
డి) 10,000 నానోమీటర్లు
జవాబు:
సి) 1000 నానోమీటర్లు

ప్రశ్న 25.
మానవుని నాడీకణం పొడవు సుమారు
ఎ) 50-60 సెం.మీ.
బి) 60-80 సెం.మీ.
సి) 90-100 సెం.మీ.
డి) 80-90 సెం.మీ.
జవాబు:
సి) 90-100 సెం.మీ.

ప్రశ్న 26.
అన్నిటికంటే పెద్దకణం
ఎ) తిమింగలం శరీరకణం
బి) ఏనుగు శరీరకణం
సి) ఉష్ణపక్షి గుడ్డు
డి) పెంగ్విన్ గుడ్డు
జవాబు:
సి) ఉష్ణపక్షి గుడ్డు

ప్రశ్న 27.
రాబర్ట్ బ్రౌన్ కేంద్రకాన్ని ఏ కణాల్లో కనుగొన్నాడు ?
ఎ) ఓక్ చెట్టు పత్రం
బి) ఆర్కిడ్ పత్రం
సి) గడ్డి ఆకు
డి) ఉల్లిపొర
జవాబు:
బి) ఆర్కిడ్ పత్రం

ప్రశ్న 28.
జంతుకణాలలో లేనిది
ఎ) కణకవచం
బి) కణత్వచం
సి) కణద్రవ్యం
డి) కేంద్రకం
జవాబు:
ఎ) కణకవచం

ప్రశ్న 29.
కణానికి ఆకారాన్నిచ్చేది
ఎ) కణకవచం
బి) కణత్వచం
సి) కణద్రవ్యం
డి) కేంద్రకత్వచం
జవాబు:
బి) కణత్వచం

ప్రశ్న 30.
మొట్టమొదట సంయుక్త సూక్ష్మదర్శినిని తయారుచేసినది
ఎ) లీవెన్‌హాక్
బి) జకారస్ జాన్సన్
సి) రాబర్ట్ హుక్
డి) రాబర్ట్ బ్రౌన్
జవాబు:
బి) జకారస్ జాన్సన్

ప్రశ్న 31.
అతిచిన్న సూక్ష్మజీవులను కూడా పరిశీలించడానికి ఉపయోగపడేది
ఎ) సరళ సూక్ష్మదర్శిని
బి) సంయుక్త సూక్ష్మదర్శిని
సి) ఎలక్ట్రాన్ సూక్ష్మదర్శిని
డి) బైనాక్యులర్ సూక్ష్మదర్శిని
జవాబు:
సి) ఎలక్ట్రాన్ సూక్ష్మదర్శిని

ప్రశ్న 32.
సంయుక్త సూక్ష్మదర్శినిలో ఉండే వస్తుకటక సామర్థ్యాలు
ఎ) 4 × 10 × 40 × 100
బి) 10 × 20 × 25 × 50
సి) 5 × 15 × 25 × 50
డి) 10 × 20 × 40 × 50
జవాబు:
ఎ) 4 × 10 × 40 × 100

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions

March 18, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
వర్గీకృత మరియు అవర్గీకృత దత్తాంశానికి సగటును కనుగొనవచ్చు. వీటిలో ఏది అత్యంత ఖచ్చితమైన సగటు అని నీవు భావిస్తావు ? ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 327)
సాధన.
వర్గీకృత దత్తాంశం ద్వారా అత్యంత ఖచ్చితమైన సగటును కనుగొనవచ్చును. . ఎందుకనగా వర్గీకృత దత్తాంశం తరగతులుగా విడగొట్టబడి ఉంటుంది. ఆ దత్తాంశం యొక్క పౌనఃపున్యాలు ఆ తరగతి ఆధారంగా నిర్ణయించబడి, ప్రతి ‘ అంశాన్ని పరిగణలోనికి తీసుకొంటాం. కావున, ఇది ఖచ్చితమైన సగటునిస్తుంది.

ప్రశ్న 2.
దత్తాంశ విశ్లేషణకు వర్గీకృత దత్తాంశము ఎప్పుడు అనువైనది ? (పేజీ నెం. 327)
సాధన.
దత్తాంశంలో రాశుల సంఖ్య చాలా ఎక్కువగా ఇచ్చినపుడు వర్గీకృత దత్తాంశం విశ్లేషణకు అనువైనది.

ప్రశ్న 3.
పై మూడు పద్ధతుల ద్వారా సాధించబడిన ఫలితము ఒకటేనా ? (పేజీ నెం. 331)
సాధన.
అవును.

ప్రశ్న 4.
ఒకవేళ x, మరియు f, లు చాలినంత చిన్నగా ఉంటే, : అపుడు ఏ పద్ధతిని ఎన్నుకోవడం అనుకూలమైనది ? (పేజీ నెం. 331)
సాధన.
ప్రత్యక్ష పద్ధతి.

ప్రశ్న 5.
ఒకవేళ x_i మరియు f_i ల విలువలు పెద్ద సంఖ్యలు అయినపుడు ఏ పద్ధతి సరియైన పద్ధతి ? (పేజీ నెం. 331)
సాధన.
సంక్షిప్త విచలన పద్ధతి.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది దత్తాంశానికి బాహుళకాన్ని కనుక్కోండి.
a) 5, 6, 9, 10, 6, 12, 3, 6, 11, 10, 4, 6, 7.
b) 20, 3, 7, 13, 3, 4, 6, 7, 19, 15, 7, 18, 3.
c) 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6. (పేజీ.నెం. 334)
సాధన.
బాహుళకం
a) 6 (తరచుగా వచ్చు విలువ)
b) 3, 7 (ద్విబాహుళకం)
c) బాహుళకం లేదు. బాహుళక రహిత దత్తాంశము.

ప్రశ్న 2.
బాహుళకము ఎల్లప్పుడు దత్తాంశమునకు మధ్యలో
ఉంటుందా ? (పేజీ నెం. 334)
సాధన.
ఉండనవసరం లేదు.

ప్రశ్న 3.
10 క్రికెట్ మ్యా చ్ లో ఒక బౌలర్ తీసిన వికెట్లు క్రింది విధంగా ఉన్నాయి. 2, 6, 4, 5, 0, 2, 1, 3, 2, 3 (ఉదాహరణ – 4). ఈ దత్తాంశానికి మరొక రాశిని చేర్చగా బాహుళకము మారుతుందా ? వ్యాఖ్యానించండి. (పేజీ నెం. 334)
సాధన.
దత్తాంశానికి మరో అంశం కొత్తగా కలిపినపుడు దాని బాహుళకం – మారుతుందా లేదా అనేది మనం చేర్చిన దత్తాంశంపై ఆధారపడుతుంది. ఉదాహరణకు మనకు ఇచ్చిన దత్తాంశం నందు 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6 అను దానిలో 2 (3 సార్లు) ఉన్నది. కావున దీని బాహుళకం = 2.

అయితే మనం ఈ దత్తాంశానికి “3” అనే అంశాన్ని చేర్చితే ఆ దత్తాంశం 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6 గా మారును. అపుడు ఈ క్రొత్త దత్తాంశానికి 2 మరియు 3 లు రెండూ కూడా బాహుళకం అగును. అపుడు దీనిని ద్విబాహుళక దత్తాంశం అందురు, కావున ‘3’ చేర్చుటువల్ల బాహుళకం మారును. 3 కాకుండా ఏ ఇతర అంశాన్ని చేర్చినా బాహుళకం మారదు అని గుర్తించాలి.

ప్రశ్న 4.
ఒకవేళ ఉదాహరణ-4లోని రాశులలోని గరిష్ఠవిలువ ‘8’కి మారిన, దాని ప్రభావం అట్టి దత్తాంశం యొక్క బాహుళకంపై ఉంటుందా ? .వ్యాఖ్యానించుము. (పేజీ నెం. 334)
సాధన.
4లోని రాశులలో, గరిష్ట విలువ 8కి మారిన, దాని ప్రభావం బాహుళకంపై ఉండదు, బాహుళకం మారదు. గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలకు. బాహుళకం మారనవసరం లేదు.”

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
సందర్భాన్ని బట్టి మనము తరగతిలోని విద్యార్థుల అందరి సరాసరి మార్కులు, లేక ఎక్కువమంది విద్యార్థులు పొందిన మార్కులు కనుగొంటాము. . . (పేజీ నెం. 336)
a) మొదటి సందర్భంలో మనం ఏ కేంద్రీయస్థానపు విలువను కనుక్కొంటాం ?
సాధన.
సగటు.
b) రెండవ సందర్భంలో మనం ఏ కేంద్రీయస్థానపు విలువను కనుక్కొంటాం ?
సాధన. బాహుళకము.

ప్రశ్న 2. వేరువేరు తరగతి అంతరాలు గల దత్తాంశమునకు కూడా బాహుళకము’ను కనుగొనవచ్చునా ? (పేజీ నెం. 336)
సాధన.
లేదు. విభిన్న తరగతి అంతరాలతో బాహుళకం కనుగొనలేము.

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
ఒక పాఠశాలలోని 10వ తరగతికి చెందిన 30 మంది విద్యార్థులు గణితంలో పొందిన మార్కులు పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి. విద్యార్థులు పొందిన మార్కుల సగటు కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 324)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 1

సాధన.
పై దత్తాంశాన్ని క్రింద చూపిన పట్టికలో తిరిగి వ్రాయగా,

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 2

కాబట్టి, [latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex] = [latex]\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}[/latex]
= [latex]\frac{1779}{30}[/latex] = 59.3
∴ మార్కుల సగటు = 59.3.

ప్రశ్న 2.
భారతదేశములోని వివిధ రాష్ట్రాలు మరియు కేంద్రపాలిత ప్రాంతాలకు చెందిన గ్రామీణ ప్రాంత ప్రాథమిక పాఠశాలల్లో గల మహిళా ఉపాధ్యాయుల శాతముల వివరములు ఈ క్రింది పట్టికలో పొందుపరచబడినాయి. పై మూడు పద్దతులనుపయోగించి మహిళా ఉపాధ్యాయుల సగటు శాతాన్ని కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 330)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 3

(NCERT వారు నిర్వహించిన 7వ అఖిలభారతీయ పాఠశాల విద్యా సర్వే గణాంకాల ప్రకారం)
సాధన.
తరగతి మధ్య విలువ x_i కనుగొని, దానిని పట్టికలో పొందుపరుచుదాం.
ఇచ్చట a = 50, h = 10,
అపుడు d_i = x_i – 50 మరియు u_i = 10 –
ఇపుడు మనము d_i మరియు u_i విలువలను కనుగొని పట్టికలో పొందుపరచగా

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 4

పై పట్టిక నుండి, Σf_i = 35, Σf_ix_i = 1390, Σf_id_i = – 360, Σf_iu_i = – 36.
ప్రత్యక్ష పద్ధతి ద్వారా ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = [latex]\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}[/latex]
= 1390 = 39.71
ఊహించిన సగటు పద్ధతి ద్వారా ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = a + [latex]\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{d}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}[/latex]
= 50 + [latex]\frac{-360}{35}[/latex]
= 50 – 10.29 = 39.71
సోపాన విచలన పద్ధతి ద్వారా ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = a + [latex]\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}[/latex] × h
= 50 + [latex]\frac{-36}{35}[/latex] × 10
= 39.71
∴ గ్రామీణ ప్రాంత ప్రాథమిక పాఠశాలల్లో గల మహిళా ఉపాధ్యాయుల సగటు శాతము = 39.71.

ప్రశ్న 3.
వన్డే క్రికెట్ ఆటలో బౌలర్లు సాధించిన వికెట్ల వివరాలను ఈ క్రింది పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో చూపించనైనది. సరియైన పద్ధతిని ఎంచుకొని బౌలర్లు సాధించిన సగటు వికెట్లను కనుగొనుము. ఇట్టి సగటు యొక్క ప్రాముఖ్యత ఏమిటి? (పేజీ నెం. 331)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 5

సాధన.
ఇచ్చట తరగతి పొడవులు వేరువేరుగా ఉన్నాయి, మరియు x_i విలువలు పెద్దవిగా ఉన్నాయి. అయినప్పటికినీ సగటు కనుగొనడానికి సంక్షిప్త విచలన పద్ధతినే ఎంచుకుందాము; ఇచ్చట a = 200 మరియు మీ = 20.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 6

అందువల్ల ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = a + [latex]\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}[/latex] × h
= 200 + [latex]\frac{-106}{45}[/latex] × 20
= 200 – 47.11 = 152.89
∴ 45 మంది బౌలర్లు వన్డే క్రికెట్ లో సాధించిన వికెట్ల సగటు = 152.89.

ప్రశ్న 4.
10 క్రికెట్ మ్యా చ్ లలో ఒక బౌలర్ తీసిన వికెట్లు క్రింది కుటుంబ విధంగా ఉన్నాయి. 2, 6, 4, 5, 0, 2, 1, 3, 2, 3. కుటుంబా ఈ దత్తాంశానికి ‘బాహుళకాన్ని’ కనుక్కోండి. – (పేజీ నెం. 334)
సాదన.
దత్తాంశములోని అంకెలను (రాశులను) ఒక పౌన క్రమపద్ధతిలో అమర్చగా అనగా 0, 1, 2, 2, 2, 3, బాప 3, 4, 5, 6.
ఇపుర పై దత్తాంశంను పరిశీలించగా, ఎక్కువ మ్యాచుల్లో బాప బౌలర్ ‘2’ వికెట్లను తీసినట్లుగా స్పష్టంగా తెలియుచున్నది. (అనగా 3 సార్లు).
అందువల్ల ఇవ్వబడిన దత్తాంశం యొక్క బాహుళకము 2.

ప్రశ్న 5.
ఒక ఆవాస ప్రాంతంలో కొంతమంది విద్యార్థుల బృందం బాప 20 కుటుంబాలను సర్వే చేసి, కుటుంబ సభ్యుల పౌన: సంఖ్యను ఈ క్రింద చూపిన పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో చూపనైనది. (పేజీ నెం. 335)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 7

ఈ దత్తాంశానికి ‘బాహుళకాన్ని’ కనుక్కోండి.
సాధన.
ఇచ్చట, గరిష్ఠ తరగతి పౌనఃపున్యము 8, ఈ పౌనఃపున్యానికి సంబంధించిన తరగతి 3-5. అందువల్ల బాహుళక తరగతి 3-5.
ఇపుడు,
బాహుళక తరగతి = 3-5,
మధ్యంతర తరగతి యొక్క దిగువహద్దు (l) = 3,
తరగతి పొడవు (h) = 2
బాహుళక తరగతి పౌనఃపున్యము (f₁) = 8,
బాహుళక తరగతికి ముందున్న తరగతి యొక్క
పౌనఃపున్యము (f₀) = 7,
బాహుళక తరగతికి తరువాత నున్న తరగతి యొక్క .
పౌనఃపున్యము (f₂) = 2.
పై విలువలను, ఈ క్రింది సూత్రములో ప్రతిక్షేపించుదాం.
బాహుళకం = l + [latex]\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)[/latex] × h
= 3 + [latex]\left(\frac{8-7}{2 \times 8-7-2}\right)[/latex] × 2
ఆ పై దత్తాంశం యొక్క బాహుళకము 3.286. (2×8-7-2).

ప్రశ్న 6.
ఒక తరగతిలో 30 మంది విద్యార్థులు ఒక గణిత పరీక్షలో పొందిన మార్కులు పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక ఈ క్రింది నీయబడినది. ఈ దత్తాంశానికి ‘బాహుళకము’ను కనుగొనుము. అదే విధంగా బాహుళకము మరియు సగటులను పోల్చి, వ్యాఖ్యానించుము. (పేజీ నెం. 335) తరగతి అంతరం విద్యార్థుల సంఖ్య తరగతి మధ్య విలువ

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 8

సాధన.
దత్తాంశములోని ఎక్కువ మంది విద్యార్థులు (7గురు) ’40-55′ తరగతి అంతరంలో మార్కులు సాధించియున్నారు.
కనుక ’40-55′ అనేది బాహుళక తరగతి అవుతుంది.
మధ్యంతర తరగతి యొక్క దిగువ హద్దు (l) = 40,
తరగతి పొడవు (h) = 15,
బాహుళక తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము (f₁) = 7,
బాహుళక తరగతికి ముందున్న తరగతి పౌనఃపున్యము (f₀) = 3,
బాహుళక తరగతికి తరువాత నున్న తరగతి పౌనఃపున్యము (f₂) = 6.
బాహుళకము = l + [latex]\left(\frac{\mathrm{f}_{1}-\mathrm{f}_{0}}{2 \mathrm{f}_{1}-\mathrm{f}_{0}-\mathrm{f}_{2}}\right)[/latex] × h
= 40 + [latex]\left(\frac{7-3}{2 \times 7-6-3}\right)[/latex] × 15
= 40 + 12 = 52.

వ్యాఖ్యానం (Interpretation) :
పై దత్తాంశానికి బాహుళకము 52; అదే విధంగా సగటు 62 (ఉదాహరణ – 1, ద్వారా) అని తెలియుచున్నది. అనగా తరగతిలోని 52 మార్కులు పొందిన విద్యార్థులు ఎక్కువ మంది ఉన్నారని, ఒక్కొక్క విద్యార్థి యొక్క సగటు మార్కులు 62 అని తెలుస్తుంది.

ప్రశ్న 7.
ఒక పాఠశాలలోని 10వ తరగతి బాలికల ఎత్తు గురించి చేసిన సర్వే ఫలితాలు కింది పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి. వారి ఎత్తుల మధ్యగతము కనుగొనండి (పేజీ నెం. 342)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 9

సాధన.
మధ్యగతము కనుగొనుటకు మొదట తరగతి అంతరాలను, వాటి సంబంధిత పౌనఃపున్యములను కనుగొనవలెను. ఇచ్చిన విలువలు ఎగువహద్దు కన్నా తక్కువ సంచిత పౌనఃపున్యములు కావు, ఎత్తులు 140, 145, 150, …, లు ఎగువ హద్దులు, అనగా తరగతి అంతరాలు 140 కన్నా తక్కువ, 140 – 145, 145 – 150 ……. అవుతాయి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 10

పట్టికను పరిశీలిస్తే 140 కన్నా తక్కువ పొడవు గల బాలికల సంఖ్య 4 అనగా 140 కన్నా తక్కువ తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము 4.
145 సెం.మీ కన్నా తక్కువ పొడవు గలవారు 11 మంది. అనగా 140 – 145 తరగతి పౌనఃపున్యం 11 – 4 = 7.
ఇదే విధంగా మిగిలిన పౌనఃపున్యములను లెక్కించవచ్చు.
దత్తాంశంలోని రాశుల సంఖ్య n = 51,
[latex]\frac{1}{4}-\frac{1}{9}[/latex]
[latex]\frac{n}{2}=\frac{51}{2}[/latex] = 25.5
22 దత్తాంశంలోని 25. 5వ రాశి 145-150 తరగతికి చెందుతుంది.
∴ 145 – 150 మధ్యంతర తరగతి. మధ్యగత తరగతి దిగువహద్దు l = 145,
మధ్యగత తరగతికి ముందు తరగతి cf = 11,
సంచిత పౌనఃపున్యం మధ్యగత తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము f = 18,
మధ్యగత తరగతి పొడవు h = 5.
సూత్రమును ఉపయోగించి మధ్యగతం = l + [latex]\frac{\left(\frac{\mathrm{n}}{2}-\mathrm{cf}\right)}{\mathrm{f}}[/latex] × h
= 145 + [latex]\frac{(25.5-11)}{18}[/latex] × 5
= 145 + [latex]\frac{72.5}{4}[/latex]
= 149.03
∴ బాలికల పొడవుల యొక్క మధ్యగతము 149.03 సెం.మీ అనగా తరగతిలో 50% మంది బాలికలు 149.03 సెం.మీ కన్నా ఎక్కువ పొడవు కలిగి ఉంటారు.
మిగిలిన 50% మంది 149.03 సెం.మీ. కన్నా తక్కువ ఫొడవు కలిగి ఉంటారు.

ప్రశ్న 8.
క్రింది దత్తాంశము యొక్క మధ్యగతము 525 మరియు దత్తాంశంలోని రాశుల మొత్తం 100 అయిన x, y విలువలను కనుగొనండి. (పట్టికలో CI అనగా తరగతి అంతరం, Fr అనగా పౌనఃపున్యం) (పేజీ నెం. 344)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 11

సాధన.
దత్తాంశంలోని రాశుల సంఖ్య n = 100 అని ఇవ్వబడింది.
76 + x + y = 100, i.e., x + y = 24 (1)
మధ్యగతం 525 అను రాశి 500 – 600 తరగతికి చెందుతుంది.
కావున, l = 500, f = 20, cf = 36 + x, h = 100 .
సూత్రము ఉపయోగించి మధ్యగతము = l + [latex]\frac{\left(\frac{\mathrm{n}}{2}-\mathrm{cf}\right)}{\mathrm{f}}[/latex] × h
525 = 500 + [latex]\frac{50-36-x}{20}[/latex] × 100
525 – 500 = (14 – x) × 5
25 = 70 – 5x.
5x = 70 – 25 = 45
∴ x = 9.
సమీకరణం (1) నుండి 9 + y = 24
∴ y = 15.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 12

గమనిక : వేరువేరు తరగతి అంతరాలు గల దత్తాంశమునకు కూడా ఇదే సూత్రమును ఉపయోగించి మధ్యగతమును కనుగొనవచ్చు.

ప్రశ్న 9.
ఒక ప్రాంతములోని 30 అంగళ్ళ యొక్క సంవత్సర ఆదాయములు క్రింది పట్టిక రూపంలో ఇవ్వబడ్డాయి. (పేజీ నెం. 349)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 13

పై దత్తాంశమునకు రెండు ఓజీవ్ వక్రాలు గీయండి. అందు నుండి , లాభముల యొక్క మధ్యగతము కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన దత్తాంశములోని విలువలు దిగువ హద్దులు, సంబంధిత అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యములు. వీటితో మొదట అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రము గీయుటకు అనువైన స్కేలు తీసుకొని
X-అక్షముపై దిగువహద్దులను, Y- అక్షముపై సంచిత లాభము పౌనఃపున్యములను గుర్తించి వాటిని కలుపుతూ సరళ వక్రమును గీయాలి.. ఇది అవరోహణ సంచిత
పౌనఃపున్య వక్రము అవుతుంది. ఇప్పుడు ఇచ్చిన దత్తాంశము నుండి తరగతి అంతరాలు, పౌనఃపున్యములు, ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యములను తయారు చేయగా ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 14

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 15

పై దత్తాంశమునుండి ఏర్పడు బిందువులు (10, 2), (15, 14), (20, 16), (25, 20), (30, 23), (35, 27), (40, 30) బిందువులను అదే గ్రాఫ్ పై గుర్తించి సరళ వక్రముతో కలుపగా ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రము ఏర్పడుతుంది.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 16

ఈ రెండు వక్రములు పరస్పరం ఖండించుకొన్న బిందువు నుండి X-అక్షం మీదకు లంబమును గీయగా, ‘ఆ లంబపాదము 17.5 అని గుర్తించవచ్చు. అనగా దత్తాంశము యొక్క మధ్యగతము (M) = 17.5 లక్షల రూపాయలు.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4

March 17, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4

ప్రశ్న 1.
50 మంది శ్రామికుల దినసరి భత్యములు క్రింది పౌనఃపున్య విభాజనములో ఇవ్వబడ్డాయి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4 1

ఈ దత్తాంశమునకు ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యములను తయారు చేసి, ఓజీవ్ వక్రము గీయండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4 2

ఓజీవ్ వక్రం కొరకు X-అక్షంపై ఎగువ హద్దులు, Y-అక్షంపై ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలు తీసుకొనవలెను. పై పట్టిక నుండి కావలసిన క్రమయుగ్మాలు = {(300, 12), (350, 26), (400, 34), (450, 40), (500, 50)}

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4 3

ప్రశ్న 2.
ఒక పాఠశాలలో జరిగిన వైద్య పరీక్షలలో తరగతిలోని 35 మంది విద్యార్థుల బరువులు క్రింది పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4 4

ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రము గీచి దాని నుండి మధ్యగతమును గుర్తించండి. ఈ దత్తాంశమునకు సూత్ర సహాయంతో మధ్యగతము కనుగొని రెండు విలువలు సరిచూడండి..
సాధన

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4 5

⇒ [latex]\frac{n}{2}=\frac{35}{2}[/latex] = 17.5
∴ మధ్యగతం = l + [latex]\left(\frac{\frac{\mathrm{n}}{2}-\mathrm{c} \cdot \mathrm{f}}{\mathrm{f}}\right)[/latex] × h
l = 46, [latex]\frac{n}{2}[/latex] = 17.5, cf = 14, f = 14, h = 2.
∴ మధ్యగతం = 46 + [latex]\frac{17.5-14}{14}[/latex] × 2
= 46 + [latex]\frac{7}{14}[/latex]
= 46 + 0.5
46.5 కి.గ్రా.
∴ ఓజీవ్ వక్రం మరియు సహజ పద్ధతి ద్వారా విద్యార్థుల బరువుల మధ్యగతం 46.5 కే.జీగా సరిచూడటమైనది.

(లేదా)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4 6

∴ ఓజివ్ వక్రం కొరకు X-అక్షంపై ఎగువ హద్దులు, Y-అక్షంపై ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలు తీసుకొనవలెను.
∴ కావలసిన క్రమయుగ్మాల సమితి = {(38, 0), (40, 3), (42, 5), (44, 9), (46, 14), (48, 28), (50, 32) (52, 35)}
∴ ఓజీవ్ వక్రానికి = [latex]\frac{n}{2}=\frac{35}{2}[/latex] = 17.5 వద్ద లంబాన్ని గీయగా అది X – అక్షం పై చేయు నిరూపకమే దాని మధ్యగతం అగును.
∴ 35 మంది పిల్లల బరువుల మధ్యగతం = 46.5 కి.గ్రా.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4 7

ప్రశ్న 3.
ఒక గ్రామములోని 100 మంది రైతులు పొలములలో హెక్టారుకు దిగుబడి ధాన్యము క్రింది విభాజనము నందు ఇవ్వబడింది.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4 8

ఈ దత్తాంశమునకు అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యము తయారుచేసి ఓజీవ్ వక్రము గీయండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4 9

∴ ఓజీవ్ వక్రం కొరకు X-అక్షంపై తరగతి దిగువ హద్దులు, Y-అక్షంపై అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలు.
∴ కావలసిన క్రమయుగ్మాల సమితి = {(50, 100), (55, 98), (60, 90), (65, 78), (70, 54), (75, 16)}

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4 10

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3

March 17, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3

ప్రశ్న 1.
ఒక ఆవాస ప్రాంతములోని 68 మంది వినియోగదారుల యొక్క నెలసరి విద్యుత్ వినియోగం క్రింది’ పట్టికలో ఇవ్వబడింది. ఈ దత్తాంశమునకు అంకమధ్యమము, మధ్యగతము, బాహుళకములను కనుగొని వానిని పోల్చండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 1

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 2

మధ్యగతము :
మధ్యగతము = l + [latex]\frac{\left[\frac{n}{2}-c f\right]}{f}[/latex] × h
l = మధ్యగత తరగతి దిగువహద్దు = 125
[latex]\frac{n}{2}=\frac{68}{2}[/latex] = 34
cf = మధ్యగత తరగతి . ముందు తరగతి యొక్క సంచిత పౌనఃపున్యము [125 – 145]= 22
f = మధ్యగత తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము
h = మధ్యగత తరగతి పొడవు = 20
∴ మధ్యగతము = 125 + [latex]\frac{[34-22]}{20}[/latex] × 20
= 125 + 12 = 137 యూనిట్లు.

సగటు:
సగటు ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = a + [latex]\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}[/latex] × h
a = అనుకున్న సగటు
Σf_iu_i = 7
h = 20
∴ సగటు (x) = 135 + [latex]\frac{7}{68}[/latex] × 20
= 135 + 2.05 = 137.05
∴ సగటు ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = 137.05 యూనిట్లు.

బాహుళకము :
బాహుళకము = l + [latex]\frac{\left(f_{1}-f_{0}\right)}{2 f_{1}-\left(f_{0}+f_{2}\right)}[/latex] × h
l = మధ్యగత తరగతి దిగువహద్దు = 125
f₁ = 20, f₀ = 13, f₂ = 14, n = 20
∴ బాహుళకము = 125 + [latex]\frac{[20-13]}{2 \times 20-[13+14]}[/latex] × 20
= 125 + [latex]\frac{7 \times 20}{40-27}[/latex]
= 125 + [latex]\frac{140}{13}[/latex]
125 + 10.76
= 135.76 = 135
∴ బాహుళకము = 135.76 యూనిట్లు.
ఈ దత్తాంశమునకు అంకమధ్యమము, మధ్యగతము, బాహుళకములు సుమారుగా ఒకేలా ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 2.
క్రింది పట్టికలో ఇవ్వబడిన 60 రాశుల మధ్యగతం 28.5 అయిన x, y విలువలు కనుగొనుము

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 3

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 4

దత్తాంశము ప్రకారము మధ్యగతము = 28.5
∴ మధ్యగతము = l + [latex]\frac{\left[\frac{\mathrm{n}}{2}-\mathrm{cf}\right]}{\mathrm{f}}[/latex] × h
l = మధ్యగత తరగతి దిగువ హద్దు = 20
[latex]\frac{n}{2}=\frac{60}{2}[/latex] = 30
cf = సంచిత పౌనఃపున్యము = 5 + x, f = 20, h = 10
∴ మధ్యగతము
⇒ 20 + [latex]\frac{30-(5+x)}{20}[/latex] × 10 = 28.5
⇒ [latex]\frac{30-5-x}{2}[/latex] = 28.5 – 20 = 8.5
⇒ 25 – x = 17
⇒ x = 25 – 17 = 8
N = 60 (ఇచ్చినది)
N = 45 + x + y
∴ 45 + x + y = 60
⇒ x + y = 60 – 45 = 15
∴ 8 + y = 15 (∵ x = 8]
y = 7
∴ x = 8, y = 7.

ప్రశ్న 3.
ఒక జీవిత బీమా సంస్థ ఉద్యోగి, పాలసీదారుల వయస్సులను బట్టి తయారు చేసిన విభాజన పట్టిక క్రింద ఇవ్వబడింది. ‘పాలసీదారుల వయస్సుల మధ్యగతం కనుగొనండి. (18 సంవత్సరముల నుండి 60 సంవత్సరముల వయస్సు గల వారికి మాత్రమే పాలసీలు ఇస్తారు)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 5

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 6

∴ 20 – 25 మధ్య వయస్సున్న వ్యక్తుల సంఖ్య = 6 – 2 = 4.
పరిశీలనాంశములు = 100; n = 100
[latex]\frac{n}{2}-\frac{100}{2}[/latex] = 50, 50, 35 – 40 తరగతిలో ఉన్నది.
∴ మధ్యగత తరగతి = 35 – 40;
దిగువ హద్దు = l = 35
cf = 45; h = 5; f = 33
మధ్యగతము = l + [latex]\frac{\left(\frac{\mathrm{n}}{2}-\dot{\mathrm{c}}\right)}{\mathrm{f}}[/latex] × h
= 35 + [latex]\frac{50-45}{53}[/latex] × 5
= 35 + [latex]\frac{5 \times 5}{33}[/latex] ‘
= 35 + 0.7575 = 35.7575
∴ మధ్యగతము = 35.76.

ప్రశ్న 4.
ఒక చెట్టు యొక్క 40 ఆకుల పొడవులు దగ్గర మి.మీ వరకు కొలిచి తయారు చేసిన క్రింది పట్టిక నుండి వాని పొడవులు మధ్యగతము కనుగొనండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 7

(సూచన : మధ్యగతము లెక్కించుటకు తరగతి హద్దులు నిర్మించవలెను)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 8

మధ్యగతము = l + [latex]\frac{\left(\frac{\mathrm{n}}{2}-\dot{\mathrm{c}}\right)}{\mathrm{f}}[/latex] × h
= 144.5 + [latex]\frac{(20-17)}{12}[/latex] × 19
= 144 + [latex]\frac{9}{4}[/latex]
= 144 + 2.25
∴ మధ్యగతము = 146.75 మి.మీ. .
∴ ఆకుల యొక్క మధ్యగత పొడవు = 146.75 మి.మీ.

ప్రశ్న 5.
ఒక పరిశీలనలో 400 నియాన్ బల్బుల జీవితకాలం క్రింది విభాజనములో ఇవ్వబడ్డాయి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 9

బల్బుల జీవితకాలములకు మధ్యగతము కనుగొనండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 10

∴ మధ్యగతము = l + [latex]\frac{\left(\frac{\mathrm{n}}{2}-\dot{\mathrm{c}}\right)}{\mathrm{f}}[/latex] × h
l = 3000, [latex]\frac{n}{2}[/latex] = 200, స.పౌ. = 130, f = 86, h = 500
⇒ మధ్యగతము = 3000 + [latex]\frac{(200-130)}{86}[/latex] × 500
= 3000 + [latex]\frac{70 \times 500}{86}[/latex]
= 3000 + [latex]\frac{35000}{86}[/latex]
= 3000 + 406.98
= 3406.98
∴ బల్బుల మధ్యగత జీవితకాలం = 3406.98 గం.

ప్రశ్న 6.
ఒక టెలిఫోను డైరక్టరీ నుండి యాదృచ్ఛికంగా 100 ఇంటి పేర్లను తీసుకొన్నారు. వాటిలోని అక్షరాల సంఖ్యను బట్టి క్రింది పౌనఃపున్య విభాజనము తయారు చేయబడినది.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 11

ఇంటి పేర్లలోని అక్షరాల సంఖ్యకు అంకమధ్యమము, మధ్యగతము, బాహుళకములను కనుగొనండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 12

∴ మధ్యగతము = l + [latex]\frac{\left(\frac{\mathrm{n}}{2}-\mathrm{cf}\right)}{\mathrm{f}}[/latex] × h
⇒ l = 7, [latex]\frac{n}{2}=\frac{100}{2}[/latex] = 50,
సంచిత పౌనఃపున్యము = 36, f= 40, h = 3
∴ మధ్యగతము = 7 + [latex]\frac{(50-36)}{40}[/latex] × 3
= 7 + [latex]\frac{14 \times 3}{40}[/latex]
= 7 + 1.05 = 8.05
∴ మధ్యగతము = 8.05.

సగటు ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = a + [latex]\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}[/latex] × h
a = ఊహించిన సగటు = 8.5
= 8.5 + [latex]\frac{(-6)}{100}[/latex] × 3
= 8.5 + [latex]\frac{(-18)}{100}[/latex]
= 8.5 – 0.18 = 8.32
∴ సగటు ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = 8.32
బాహుళకము = l + [latex]\frac{\left(f_{1}-f_{0}\right)}{2 f_{1}-\left(f_{0}+f_{2}\right)}[/latex] × h
l = బాహుళక తరగతి యొక్క దిగువహద్దు = 72 f₁ = 40, f₀ = 30, f₂ = 16, h = 3
∴ బాహుళకము = 7 + [latex]\frac{40-30}{80-(30+16)}[/latex] × 3
= 7 + [latex]\frac{10 \times 3}{80-46}[/latex]
= 7 + [latex]\frac{30}{34}[/latex]
= 7 + 0.88
∴ బాహుళకము = 7.88.

ప్రశ్న 7.
క్రింది విభాజన పట్టికలో 30 మంది విద్యార్థుల బరువులు ఇవ్వబడ్డాయి. వారి బరువుల మధ్యగతము కనుగొనండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 13

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 14

∴ మధ్యగతము = [latex]\frac{l+\left(\frac{\mathrm{n}}{2}-\mathrm{c.f}\right)}{\mathrm{f}}[/latex] × c
l = 50, [latex]\frac{n}{2}[/latex] = 15, c.f. = 5, f = 8, h = 5
∴ మధ్యగతము = 50 + [latex]\frac{(15-5)}{8}[/latex] × 5
= 50 + [latex]\frac{50}{8}[/latex]
= 50 + 6.25
= 56.25
∴ మధ్యగతము = 56.25.
∴ 30 మంది విద్యార్థుల బరువుల మధ్యగతం = 56.25 కి.గ్రా.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2

March 17, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2

ప్రశ్న 1.
ఒక సంవత్సర కాలంలో, ఒక వైద్యశాలలో చేరిన రోగుల యొక్క వయస్సుల వివరాలు ఈ క్రింది పట్టికలో ఇవ్వబడినాయి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 1

పై దత్తాంశానికి సగటు మరియు బాహుళకాలను కనుగొనుము. అదేవిధంగా అట్టి కేంద్ర స్థాన విలువలను పోల్చి వ్యాఖ్యానించుము.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 2

దత్తాంశం యొక్క బాహుళకము (Z) = l + [latex]\frac{\left(f_{1}-f_{0}\right)}{2 f_{1}-\left(f_{0}+f_{2}\right)}[/latex] × h
l = బాహుళక తరగతి యొక్క దిగువ హద్దు = 35
h = బాహుళక తరగతి పొడవు = 10
f = బాహుళక తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము = 23
f₁ = బాహుళక తరగతి ముందున్న తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము = 21
f₀ = బాహుళక తరగతికి తరువాత నున్న తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము = 14
బాహుళకము = l + [latex]\frac{\left(f_{1}-f_{0}\right)}{2 f_{1}-\left(f_{0}+f_{2}\right)}[/latex] × h
= 35 + [latex]\frac{23-21}{2 \times 23-(21+14)}[/latex] × 10
= 35 + [latex]\frac{20}{11}[/latex]
= 35 + 1.81 = 36.81
∴ బాహుళకము = 36.81 సం॥
సగటు ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = a + [latex]\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}[/latex] × h
a = 40
Σf_iu_i = – 37
Σf_i = 80
h = 10
∴ సగటు ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = a + [latex]\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}[/latex] × h
= 40 + [latex]\frac{-37}{80}[/latex] × 10
= 40 – [latex]\frac{37}{8}[/latex]
= 40 – 4.625 = 35.375
∴ ఒక సంవత్సర కాలంలో, ఒక వైద్యశాలలో చేరిన రోగుల యొక్క వయస్సు సగటు ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = 35.375సం||

వ్యాఖ్యానం :
ఒక వైద్యశాలలో చేరిన ఎక్కువ మంది యొక్క వయస్సు 36.8 సం||. కానీ సరాసరి వైద్యశాలలో చేరిన వారి వయస్సు 35.37 సం||. ఇక్కడ సగటు బాహుళకము కన్నా తక్కువగా ఉన్నది.

ప్రశ్న 2.
ఈ క్రింది పట్టికలో 225 విద్యుత్ పరికరాల జీవితకాల (గంటలలో) వివరాలు ఇవ్వబడినాయి. . . . జీవితకాలం

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 3

పై విద్యుత్ పరికరాల జీవితకాల బాహుళకాన్ని కనుగొనుము.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 4

l = బాహుళక తరగతి యొక్క దిగువహద్దు = 60
h = బాహుళక తరగతి పొడవు = 20 .
f₁ = బాహుళక తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము = 61
f₀ = బాహుళక తరగతి ముందున్న తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము = 52
f₂ = బాహుళక తరగతికి తరువాతనున్న తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము = 38
బాహుళకము = l + [latex]\frac{\left(f_{1}-f_{0}\right)}{2 f_{1}-\left(f_{0}+f_{2}\right)}[/latex] × h
= 60 + [latex]\left[\frac{61-52}{2 \times 61-(52+38)}\right][/latex] × 20
= 60 + [latex]\frac{180}{32}[/latex]
= 60 + 5.625
= 65.625
విద్యుత్ పరికరాల జీవితకాల బాహుళకము = 65.625.

ప్రశ్న 3.
ఒక గ్రామంలోని 200 కుటుంబాల యొక్క నెలసరి ఖర్చుల వివరాలను ఈ క్రింది పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో ఇవ్వబడినవి. అట్టి కుటుంబాల నెలసరి ఖర్చుల బాహుళకాన్ని కనుక్కోండి. అదే విధంగా నెలసరి సరాసరి ఖర్చును కనుక్కోండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 5

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 6

బాహుళకము :
l = 1500,
f₁ = 40,
f₀ = 24,
f₂ = 33,
h = 500
∴ బాహుళకము = l + [latex]\frac{\left(f_{1}-f_{0}\right)}{2 f_{1}-\left(f_{0}+f_{2}\right)}[/latex] × h
= 1500 + [latex]\frac{[40-24]}{2 \times 40-(24+33)}[/latex] × 500
= 1500 + [latex]\frac{16 \times 500}{23}[/latex]
= 1500 + [latex]\frac{8000}{23}[/latex]
= 1500 + 347.82
= 1847.32
∴ బాహుళకము = ₹1847.82.
ఊహించిన సగటు (a) = 1750
∴ సగటు ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = a + [latex]\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}[/latex] × h
= 1750 + [latex]\frac{365}{200}[/latex] × 500
= 1750 + [latex]\frac{365 \times 5}{2}[/latex]
= 1750 + 912.5
= ₹ 2662.5
ఇచ్చిన దత్తాంశం యొక్క బాహుళకం = ₹ 1847.83,
నెలసరి సరాసరి ఖర్చు = ₹ 2662.5.

ప్రశ్న 4.
రాష్ట్రాల వారీగా సెకండరీ పాఠశాలల్లో గల ఉపాధ్యాయ – విద్యార్థి నిష్పత్తి విలువలను ఈ క్రింది పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో ఇవ్వడమైనది. ఇట్టి దత్తాంశానికి బాహుళకాన్ని మరియు సగటును గణించండి. మరియు ఈ రెండు కేంద్రస్థాన విలువలపై వ్యాఖ్యానించుము.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 7

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 8

బాహుళకము :
l = 30, f₁ = 9, f₀ = 10, f₂ = 3, h = 5.
∴ బాహుళకము = l + [latex]\frac{\left(f_{1}-f_{0}\right)}{2 f_{1}-\left(f_{0}+f_{2}\right)}[/latex] × h
= 30 + [latex]\frac{[10-9]}{20-12}[/latex] × 5
= 30 + [latex]\frac{5}{8}[/latex]
= 30 + 0.625
∴ బాహుళకము = 30.625.

సగటు:
Σf_i = 35
Σf_iu_i = – 23
a = 32.5, h = 5
∴ సగటు ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = a + [latex]\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}[/latex] × h
= 32.5 + [latex]\frac{-23}{35}[/latex] × 5
= 32.5 – [latex]\frac{23}{7}[/latex]
= 32.5 – 3.28
= 29.21.
∴ ఇచ్చిన దత్తాంశం యొక్క బాహుళకం = 30.6,
∴ సగటు = 29.21.
వ్యాఖ్యానం :
బాహుళకము ప్రకారం ఉపాధ్యాయ విద్యార్థి నిష్పత్తి 30.6 కానీ సరాసరి విలువ 29.2 గా గలదు.

ప్రశ్న 5.
వన్డే క్రికెట్ మ్యాచుల్లో ప్రపంచంలో అత్యున్నత శ్రేణి బ్యాట్స్మ న్లు సాధించిన పరుగుల వివరాలను ఈ క్రింది పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో ఇవ్వడమైనది.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 9

పై దత్తాంశమునకు బాహుళకాన్ని కనుగొనుము
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 10

పరుగులు బ్యాట్స్మన్ల సంఖ్య
∴ l = 4000, f₀ = 4, f_` = 18, f₂ = 9,.
h = 1000 (f) (4000 – 5000) 18 (f)
∴ బాహుళకం = l + [latex]\frac{\left(f_{1}-f_{0}\right)}{2 f_{1}-\left(f_{0}+f_{2}\right)}[/latex] × h
= 4000 + [latex]\frac{18-4}{2 \times 18-[9+4]}[/latex] × 1000
= 4000 + [latex]\frac{14000}{23}[/latex]
= 4000 + 608.69
= 4608.69
∴ బాహుళకము = 4608.7 పరుగులు.

ప్రశ్న 6.
ఒక విద్యార్థి, రోడ్డుపై ఒక స్థానం నుంచి వెళ్ళుచున్న కార్ల సంఖ్యను ప్రతి మూడు నిమిషాలకు ఒకసారి (1 పీరియడ్), 100 పీరియడ్ లో లెక్కించి, వివరాలను ఈ క్రింది పట్టికలో క్రోడీకరించాడు.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 11

పై దత్తాంశానికి “బాహుళకాన్ని” కనుక్కోండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 12

l = 40, f₁ = 20, f₀ = 12, f₂ = 11, h = 10
∴ బాహుళకము = l + [latex]\frac{\left(f_{1}-f_{0}\right)}{2 f_{1}-\left(f_{0}+f_{2}\right)}[/latex] × h
= 40 + [latex]\frac{(20-12)}{2 \times 20-(12+11)}[/latex] × 10
= 40 + [latex]\frac{80}{17}[/latex]
= 40 + 4.7
44.7
బాహుళకము = 44.7 కార్లు.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions

March 16, 2022

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 7th Lesson త్రిభుజాలు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. కింద కొన్ని ప్రవచనాలు ఇవ్వబడ్డాయి. అవి సత్యమో, కాదో సరిచూడుము. [పేజీ నెం. 15]
i) రెండు వృత్తములు ఎల్లప్పుడూ సర్వసమానము.
ii) ఒకే పొడవు కలిగిన రెండు రేఖాఖండములు ఎల్లప్పుడూ సర్వసమానము.
iii) రెండు లంబకోణ త్రిభుజములు కొన్నిసార్లు సర్వసమానము.
iv) భుజముల కొలతలు సమానముగాగల రెండు సమబాహు త్రిభుజములు ఎల్లప్పుడూ సర్వసమానము.
సాధన.
i) అసత్యము
ii) సత్యము
iii) సత్యము
iv) సత్యము

2. ఇచ్చిన పటములు సర్వసమానమో కాదో సరిచూచుటకు కావలసిన కనీస కొలతలు ఎన్ని ? [పేజీ నెం. 150]
i) రెండు దీర్ఘచతురస్రములు
సాధన.
పొడవు మరియు వెడల్పుల కొలతలు అవసరము.

ii) రెండు సమచతుర్భుజాలు
సాధన.
ఒక భుజము మరియు ఒక అంతర కోణము అవసరము.

3. ఈ కింది త్రిభుజములు సర్వసమానములు అవునో కాదో తెలుపుము. దానికి కారణములను వివరించుము. [పేజీ నెం. 153]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 1
సాధన.
i) ΔABC, ΔDEF లలో
∴ ∠B = ∠E
(∵ త్రిభుజంలోని కోణాల మొత్తం ధర్మమును అనుసరించి ∠E = 180° – (70° + 60°) = 50°)
BC = EF
∠C = ∠F
∴ భు-కో-భు సర్వసమాన నియమం ప్రకారం,
ΔABC ≅ ΔDEF

ii) ΔMNL మరియు ΔTSR లలో
MN = ST
NL = RS
∠M = ∠T
భు-కో-భు సర్వసమాన నియమం ప్రకారం,
∴ ΔMNL ≅ ΔTSR

4. ఇచ్చిన పటంలో AB, DC రేఖాఖండములను Pబిందువు సమద్విఖండన చేసిన ΔAPC ≅ ΔBPD అని చూపుము. AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 2
సాధన.
దత్తాంశం నుండి, AB, DC రేఖాఖండములను P బిందువు సమద్విఖండన చేయును.
ΔAPC మరియు ΔBPD లలో
AP = BP (∵ AB ను P సమద్విఖండన చేయును)
CP = DP (∵ CD ను P సమద్విఖండన చేయును)
∠APC = ∠BPD
ΔAPC ≅ ΔBPD (∵ భు.కో.భు. నియమం ప్రకారం)

5. కింది పటంలో ΔABC మరియు ΔDBC లు [latex]\overline{\mathrm{AB}}[/latex] = [latex]\overline{\mathrm{BD}}[/latex] మరియు [latex]\overline{\mathrm{AC}}[/latex] = [latex]\overline{\mathrm{CD}}[/latex] అయ్యేటట్లున్న రెండు త్రిభుజములు అయిన ΔABC ≅ ΔDBC అని చూపండి. [పేజీ నెం. 164]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 3
సాధన.
దత్తాంశము [latex]\overline{\mathrm{AB}}[/latex] = [latex]\overline{\mathrm{BD}}[/latex] మరియు [latex]\overline{\mathrm{AC}}[/latex] = [latex]\overline{\mathrm{CD}}[/latex]
ΔABC మరియు ΔDBC లలో
AB = BD (∵ దత్తాంశము)
AC = DC (∵ దత్తాంశము)
BC = BC (∵ ఉమ్మడి భుజము)
భు-భు-భు నియమము ప్రకారం
ΔABC ≅ ΔDBC

6. త్రిభుజము ABC గీసి వాటి భుజాల పొడవులు కొలవండి. దానిలో AB + BC, BC + AC మరియు AC + AB లను కనుగొని వాటి మూడు భుజాలతో పోల్చండి. మీరు ఏమి గమనిస్తారు ? ఈ కృత్యమును వివిధ త్రిభుజములను తీసుకుని చెయ్యండి. [పేజీ నెం. 171]
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 4
AB + BC = 4 + 3 = 7
⇒ 7 > 4 = AC
BC + CA > AB;
3 + 4 > 4
CA + AB > BC;
4 + 4 > 3

DE + EF > DF
EF + DF > DE
FD + DE > EF
∴ ఒక త్రిభుజములో ఏవైనా రెండు భుజాల పొడవుల మొత్తము మూడవ భుజము పొడవు కన్నా ఎక్కువ.

సిద్ధాంతాలు

1. (కో.భు.కో. సర్వసమానత్వ నియమము)
ఒక త్రిభుజములోని రెండు కోణములు, వాటి మధ్య భుజము వరుసగా వేరొక త్రిభుజములోని రెండు కోణములు, వాటి మధ్య భుజమునకు సమానమైన ఆ రెండు త్రిభుజములు సర్వసమానములు. [పేజీ నెం.154]
దత్తాంశము : ΔABC, ΔDEF లలో
∠B = ∠E, ∠C = ∠F మరియు [latex]\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{EF}}[/latex]
సారాంశము : ΔABC ≅ ΔDEF
ఉపపత్తి : దీనికి మూడు సందర్భములున్నవి.
[latex]\overline{\mathrm{AD}}[/latex] మరియు [latex]\overline{\mathrm{DE}}[/latex] లకు సందర్భములు [latex]\overline{\mathrm{AB}}[/latex] > [latex]\overline{\mathrm{DE}}[/latex] లేదా [latex]\overline{\mathrm{DE}}[/latex] > [latex]\overline{\mathrm{AB}}[/latex] లేదా [latex]\overline{\mathrm{DE}}[/latex] = [latex]\overline{\mathrm{AE}}[/latex]. మనము ఈ మూడు సందర్భములలో AABC, ADEF ల సంబంధాన్ని పరిశీలిద్దాం.
సందర్భం i : [latex]\overline{\mathrm{AD}}[/latex] = [latex]\overline{\mathrm{DE}}[/latex] అనుకొనుము. అయిన మనం ఏమి గమనింపవచ్చును ?
ΔABC, ΔDEF లను తీసుకొనుము.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 5
[latex]\overline{\mathrm{AB}}[/latex] = [latex]\overline{\mathrm{DE}}[/latex] (ఊహించినది)
∠B = ∠E (దత్తాంశము)
[latex]\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{EF}}[/latex] (దత్తాంశము)
కావున ΔABC ≅ ΔDEF
(భు. కో.భు. సర్వసమాన స్వీకృతం నుండి)

సందర్భం (ii) : రెండవ సందర్భము AB > DE అనుకొనుము.
PB = DE అగునట్లు AB పై P బిందువును తీసుకొనుము.
ఇప్పుడు ΔPBC, ΔDEF
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 6
[latex]\overline{\mathrm{PB}}[/latex] లేదా [latex]\overline{\mathrm{DE}}[/latex] (నిర్మాణ ప్రకారం)
∠B = ∠E (దత్తాంశము)
[latex]\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{EF}}[/latex] (దత్తాంశము)
కావున ΔPBC ≅ ΔDEF
(భు.కో. భు. సర్వసమాన స్వీకృతం)
త్రిభుజములు సర్వసమానము. కావున వాటి సదృశ భాగాలు సమానం.
కావున ∠PCB = ∠DFE
కాని ∠ACB = ∠DFE (దత్తాంశము)
అందువలన, ∠ACB = ∠PCB
(పై సమాచారం నుండి)
కాని, ఇది సాధ్యమా ?
ఇది సాధ్యమవ్వాలంటే P బిందువు Aతో ఏకీభవించాలి.
(లేదా) [latex]\overline{\mathrm{BA}}=\overline{\mathrm{ED}}[/latex]
అప్పుడు ΔABC = ΔDEF
(భు.కో. భు. సర్వసమానత్వ స్వీకృతము నుండి)
(గమనిక : పై నిరూపణ నుండి మనం ∠B = ∠E, ∠C = ∠Fమరియు [latex]\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{EF}}[/latex] అయిన [latex]\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{DE}}[/latex] అవుతాయి. అయితే ఆ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమాన త్రిభుజాలు ).

సందర్భం (iii) : మూడవ సందర్భం [latex]\overline{\mathrm{AB}}[/latex] < [latex]\overline{\mathrm{DE}}[/latex]
ME = AB అగునట్లు ΔDEF లో DE పై M అనే బిందువును తీసుకొనుము. సందర్భం (ii) లో చెప్పిన వాదనను కొనసాగించిన [latex]\overline{\mathrm{AB}}[/latex] = [latex]\overline{\mathrm{DE}}[/latex] అని చెప్పవచ్చును. అప్పుడు. ΔABC ≅ ΔDEF. కింది పటములను పరిశీలించి దీనిని నీవు చేయుటకు ప్రయత్నించుము.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 7
రెండు త్రిభుజములలో రెండు జతల కోణములు, ఒక జత భుజములు సమానము. ఇక్కడ ఆ భుజము సమానముగానున్న సదృశకోణాల జతల మధ్య భుజము కాదు. అయిననూ త్రిభుజములు సర్వసమానంగా ఉంటాయా? అవి రెండూ సర్వసమానంగా ఉంటాయని మీరు గమనించవచ్చును. ఎందుకో మీరు కారణము చెప్పగలరా ?
ఒక త్రిభుజములోని కోణములు మొత్తము 180°. రెండు జతల కోణాలు సమానమైన మూడవజత కోణాలు కూడా సమానమవుతాయి. (180° – సమాన కోణాల మొత్తము).
రెండు త్రిభుజములలో రెండు జతల కోణములు మరియు ఒక జత సదృశ భుజాలు సమానమైన ఆ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమాన త్రిభుజములు. దీనిని మనం కో.కో. భు. సర్వసమాన నియమం అంటాము.

2. ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజములో సమానభుజములకు ఎదురుగానున్న కోణములు సమానము. [పేజీ నెం. 159]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 8
సాధన.
ఈ ఫలితాన్ని మనము అనేక పద్ధతులలో రుజువు చేయవచ్చును. ఇక్కడ ఆ నిరూపణలలో ఒకటి ఇవ్వబడినది.
దత్తాంశము : సమద్విబాహు త్రిభుజము ABC లో
AB = AC.
సారాంశము : ∠B = ∠C.
నిర్మాణము : ∠A యొక్క కోణసమద్విఖండన రేఖ గీయుము. ఇది భుజము BC ని D బిందువు వద్ద ఖండించును.
ఉపపతి : ΔBAD మరియు ΔCAD లలో
AB = AC (దత్తాంశము)
∠BAD = ∠CAD (నిర్మాణం ప్రకారం)
AD = AD (ఉమ్మడి భుజం)
కావున ΔBAD ≅ ΔCAD
(భు.కో. భు. సర్వసమానత్వ స్వీకృతం)
అందువలన ∠ABD = ∠ACD
(సర్వసమాన త్రిభుజ సదృశ భుజాలు సమానం)
అనగా ∠B = ∠C (సమాన కోణాలు)

3. ఒక త్రిభుజములో సమాన కోణాలకు ఎదురుగా ఉండే భుజాలు సమానము. [పేజీ నెం. 160]
సాధన.
దీనిని మీరు ఇంతకు ముందు మనం చెప్పుకున్న సిద్ధాంతానికి విపర్యయము. కో. భు. కో. సర్వసమానత్వ నియమాన్ని ఉపయోగించి రుజువు చేయండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 9

4. (భు. భు.భు. సర్వసమానత్వ నియమం) : నిర్మాణముల ద్వారా భు.భు. భు సర్వసమానత్వ నియమము వర్తిస్తుంది. భు.భు. భు సర్వసమానత్వ నియమం నిరూపణ : [పేజీ నెం. 163]
దత్తాంశము : ΔPQR మరియు ΔXYZ లలో
PQ = XY, QR = YZ మరియు PR = XZ.
సారాంశము : ΔPQR ≅ ΔXYZ
నిర్మాణము : ∠ZYW = ∠PQR మరియు WY = PQ అగునట్లు.YWని గీయుము. XW మరియు WZలను కలుపుము.
ఉపపత్తి : ΔPQR మరియు ΔWYZ లలో
QR = YZ (దత్తాంశము)
∠PQR = ∠ZYW (నిర్మాణం)
PQ = YW (నిర్మాణం)
∴ ΔPQR ≅ ΔXYZ
(భు.కో. భు. సర్వసమానత్వ స్వీకృతం)
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 10
⇒ ∠P = ∠W మరియు PR = WZ
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ భాగాలు)
PQ = X (దత్తాంశము) మరియు
PQ = YW (నిర్మాణం)
∴ XY = YW
అదేవిధంగా, XY = YW
ΔXYW లలో XY = YW
⇒ ∠YWX = ∠YXW
(ఒక త్రిభుజంలో సమాన భుజాలకు ఎదురుగా ఉన్న కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి.)
ఇదేవిధంగా, ∠ZWX = ∠ZXW
∴ ∠YWX + ∠ZWX = ∠YXW + ∠ZXW
⇒ ∠W = ∠X
ఇప్పుడు, ∠W = ∠P
∴ ∠P = ∠X
ΔPQR మరియు ΔXYZ లలో
PQ = XY
∠P = ∠X
PR = XZ
∴ ΔPQR ≅ ΔXYZ
(భు.కో. భు. సర్వసమానత్వ స్వీకృతం)

5. (లం.క.భు. సర్వసమానత్వ నియమం) :
రెండు లంబకోణ త్రిభుజములలో ఒక త్రిభుజములోని కర్ణము, భుజములు వరుసగా రెండవ త్రిభుజములోని కర్ణము, భుజములకు సమానమైన ఆ రెండు త్రిభుజములు సర్వసమాన త్రిభుజములు.
లం.క.భు. అనగా లంబకోణము – కర్ణము – భుజము.
ఇప్పుడు నిరూపణ చేద్దాం. [పేజీ నెం. 165]
దత్తాంశము : రెండు లంబకోణ త్రిభుజములు ΔABC మరియు ΔDEF లలో
∠B = 90° మరియు
∠E = 90°, AC = DF
మరియు BC = EF.
సారాంశము : ΔABC ≅ ΔDEF
నిర్మాణము : EG = AB అగునట్లు DE ని G వద్దకు పొడిగించండి. G, F లను కలపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 11
ఉపపత్తి : ΔABC మరియు ΔGEF లలో
AB = GE (నిర్మాణం ప్రకారం)
∠B = ∠FEG (ప్రతి కోణము లంబకోణము (90°))
BC = EF (దత్తాంశము)
ΔABC ≅ ΔGEF
(భు.కో. భు. సర్వసమానత్వ స్వీకృతం)
కావున ∠A = ∠G ……….. (1)
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ కోణాలు)
AC = GF ……….. (2)
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ కోణాలు)
ఇంకా AC = GF మరియు AC = DF
((2) మరియు దత్తాంశం)
∴ DF = GF (పై వాటి నుండి)
కావున ∠D = ∠G …… (3)
(సమాన భుజాల కెదురుగానున్న కోణాలు సమానం)
మరల ∠A = ∠D …… (4) ((1), (3) ల నుండీ)
ΔABC, ΔDEF లలో ∠A = ∠D ((4) నుండి)
∠B = ∠E (దత్తాంశము)
కావున ∠A + ∠B = ∠D + ∠E (కలుపగా)
కాని ∠A + ∠B + ∠C = 180°మరియు
(త్రిభుజకోణాల మొత్తం ధర్మం)
∠D + ∠E + ∠F = 180°
(త్రిభుజకోణాల మొత్తం ధర్మం)
180 – ∠C = 180 – ∠F
(∠A + ∠B 180° – ∠C మరియు ∠D + ∠F = 180° – ∠F)
కావున ∠C = ∠F ………. (5)
(కొట్టివేత నియమాల ప్రకారం)
ఇప్పుడు ΔABC, ΔDEF లలో
BC = EF (దత్తాంశం)
∠C = ∠F ((5) నుండి)
AC = DF (దత్తాంశం)
ΔABC ≅ ΔDER
(భు.కో.భు. సర్వసమానత్వ స్వీకృతం)

6. ఒక త్రిభుజములో రెండు భుజములు అసమానముగా నున్న పెద్ద భుజానికి ఎదురుగానున్న కోణము పెద్దది.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 12
పటములో చూపినట్లు CA = CP అయ్యే విధంగా BC పై P బిందువును తీసుకొని ఈ సిద్ధాంతమును రుజువు చేయవచ్చును. [పేజీ నెం.170]

7. ఒక త్రిభుజములో పెద్ద కోణానికి ఎదురుగానున్న భుజము పొడవైనది.
ఈ సిద్ధాంతమును మనం విరోధాభాస పద్ధతి ద్వారా నిరూపించవచ్చు. [పేజీ నెం. 171]

8. ఒక త్రిభుజములో ఏవైనా రెండు భుజాల పొడవుల మొత్తము మూడవ భుజము పొడవుకన్నా ఎక్కువ.
కింది పటంలో ΔABC లో AD = AC అగునట్లు భుజము BA బిందువు D వద్దకు పొడిగించబడినది. ∠BCD > ∠BDC అని BA + AC > BC ? అని మీరు చూపించగలరా ?
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 13
పై సిద్ధాంతమునకు నిరూపణను రాబట్టగలరా ? [పేజీ నెం. 171]

కృత్యం

1. i) వృత్తలేఖిని ఉపయోగించి త్రిభుజమును నిర్మించుటకు, ఏదేని కొంత కొలతతో రేఖాఖండము AB ని గీయుము. వృత్తలేఖిని తీసుకొని దానికి సరిపడినంత’ కొలత తీసుకొని బిందువులు A, B ల వద్ద ఉంచి చాపములు గీయుము. అప్పుడు మీకు ఏ రకమైన త్రిభుజము ఏర్పడుతుంది ? అపుడు ఏర్పడినది ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము. అందువలన పటంలోని ΔABC, AC = BC కలిగిన ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము. ఇప్పుడు కోణములు ∠A, ∠B ల విలువలను కొలవండి. మీరు ఏమి గమనిస్తారు ? [పేజీ నెం. 159]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 14

ii) ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజమును కత్తిరించుము.
సర్వసమాన భాగములు ఒకదానిపై ఒకటి ఏకీభవించునట్లు ఆ త్రిభుజమును మడవండి. ∠A, ∠B ల గురించి మీరు ఏమి గమనించారు ?
అటువంటి ప్రతీ త్రిభుజములో, సమాన భుజములకు ఎదురుగా ఉండే కోణములు సమానంగా ఉండడాన్ని మీరు గమనిస్తారు.

2.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 15
1. ఒక ఉల్లి పొర కాగితంపై 6 సెం.మీ. పొడవుగల రేఖాఖండము BC ని గీయండి.
2. B మరియు C బిందువుల వద్ద నుండి 60° కోణము చేయునట్లు రెండు కిరణములను గీయండి. వాటి ఖండన బిందువునకు, A అని పేరు పెట్టండి.
3. B, C బిందువులు ఒకదానిపై ఒకటి ఏకీభవించునట్లు కాగితాన్ని మడత పెట్టండి. మీరు ఏమి గమనిస్తారు ? AB, AC లు సమానంగా ఉన్నాయా ? [పేజీ నెం. 160]

3. కర్ణము 5 సెం.మీ. .మరియు ఒక భుజము కొలత 3 సెం.మీ. ఉండేటట్లు ఒక లంబకోణ త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి. ఇటువంటి ఎన్ని వేర్వేరు త్రిభుజాలను మీరు నిర్మించగలరు ? మీరు నిర్మించిన త్రిభుజాన్ని మీ తరగతిలోని, ఇతర విద్యార్థుల త్రిభుజాలతో పోల్చి చూడండి. ఈ త్రిభుజాలు సర్వసమాన త్రిభుజాలు అవుతాయా? ఈ త్రిభుజాలను కత్తిరించి సమానభుజాలు ఒకదానిపై ఒకటి ఉంటేటట్లు అమర్చండి. అవసరమైతే త్రిభుజాలను తిప్పండి. మీరు ఏమి పరిశీలిస్తారు ? రెండు లంబకోణ త్రిభుజాలు సర్వ సమానమని మీరు గమనిస్తారు. రెండు లంబకోణ త్రిభుజములలో ఒక త్రిభుజము లంబకోణంలోని కర్ణము, భుజము వరుసగా రెండవ త్రిభుజంలోని కర్ణము, భుజములకు సమానం. [పేజీ నెం. 165]

4. ABC త్రిభుజాన్ని గీసి CA ని A’ బిందువు’ వరకు పొడిగించండి. (కొత్త స్థానం)
కావున A’C > AC (పొడవులను పోల్చిన)
A’, B లను కలిపి త్రిభుజము A’BC ని ఏర్పరచండి. ఇప్పుడు మీరు ∠A’BC మరియు ∠ABC గురించి ఏమి చెప్పగలరు ?
ఆ రెండు కోణములను పోల్చండి. మీరు ఏమి గమనించారు ?
స్పష్టంగా, ∠A’BC > ∠ABC
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 16
ఇదే విధంగా CA ను పొడిగించి దానిపై అనేక బిందువులను గుర్తించండి. BC భుజంగా గుర్తించిన బిందువులను కలుపుతూ త్రిభుజాలను గీయండి. భుజం AC పొడవు పెరుగుతున్నప్పుడు (బిందువు Aకు వివిధ స్థానాలు తీసుకొంటున్నప్పుడు) దానికి ఎదురుగానున్న కోణము అనగా ∠B కూడా పెరుగుతుంది. [పేజీ నెం. 169]

5. ఒక విషమబాహు త్రిభుజాన్ని నిర్మించుము. (ఒక త్రిభుజములో మూడు భుజాల పొడవులు వేర్వేరుగా ఉంటాయి.) భుజాల పొడవులను కొలవండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 17
కోణాలను కొలవండి. మీరు ఏమి గమనించారు ?
ΔABC పటంలో BC ఎక్కువ పొడవుగల భుజం మరియు AC తక్కువ పొడవుగల భుజం. అదేవిధంగా ∠A పెద్దకోణం మరియు ∠B చిన్నకోణం.
కింద ఇచ్చిన త్రిభుజాలలో ప్రతి త్రిభుజానికి భుజాలు మరియు కోణాలను కొలవండి. భుజాన్ని దాని ఎదురుగా ఉండే కోణాన్ని వేరొక జతతో పోల్చినప్పుడు వాటి మధ్య ఏ సంబంధాన్ని మీరు గమనిస్తారు ? [పేజీ నెం. 169]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 18

6. AB రేఖాఖండమును గీయుము. A కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్ధముతో చాపమును గీసి దానిపై వేర్వేరు బిందువులు P, Q, R, S, T లను గుర్తించుము
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 19
ఈ బిందువులన్నింటిని A, B బిందువులతో కలుపుము (పటం చూడండి). మనం P బిందువు నుండి T బిందువువైపు కదులుతున్నప్పుడు LA క్రమంగా పెద్దదవుతుంది. దానికి ఎదురుగా ఉండే భుజం కొలత ఎలా ఉంటుంది ? దాని ఎదురుగా ఉండే భుజం కొలత కూడా పెరుగుతూ ఉండడాన్ని గమనించవచ్చును.
అనగా ∠TAB > ∠SAB > ∠RAB > ∠QAB > ∠PAB మరియు TB > SB > RB > QB > PB.
ఇప్పుడు వేరువేరు కోణముల కొలతలు గల ఒక త్రిభుజమును గీయుము. భుజాల పొడవులను కొలుచుము. (పటం చూడండి.).
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 20
పెద్ద కోణానికి ఎదురుగావున్న భుజము పొడవుగా ఉండడాన్ని గమనించవచ్చును. పటంలో, పెద్ద కోణము ∠B మరియు దాని ఎదురుగానున్న పొడవైన భుజము AC.
ఈ కృత్యమును వివిధ త్రిభుజములతో చేయుము. పై సిద్ధాంతము విపర్యయము సత్యమని గ్రహిస్తాము.
కింద ఇవ్వబడిన ప్రతి త్రిభుజం యొక్క కోణాలను, భుజాల పొడవులను కొలవండి. ప్రతి త్రిభుజంలోని ఒక్కొక్క భుజమునకు మరియు వాటి ఎదురుగానున్న కోణాలకు మధ్యగల సంబంధం ఏమై ఉంటుందనుకొంటున్నారు ?
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 21
ఈ విధంగా మనకు కింది సిద్ధాంతము వస్తుంది. [పేజీ నెం. 170]

ఉదాహరణలు

1. ఇచ్చిన పటంలో AB మరియు CD లు ‘O’ వద్ద ఖండించుకొనుచున్నాయి. OA = OB మరియు OD = OC అయిన
(i) ΔAOD = ΔBOC మరియు
(ii) AD || BC అని నిరూపించండి. [పేజీ నెం. 152]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 22
సాధన.
i) ΔAOD, ΔBOC లలో
OA = OB (దత్తాంశము)
OD = OC (దత్తాంశము)
∠AOD, ∠BOC లు ఒక జత శీర్షాభిముఖ కోణములను ఏర్పరచును.
అందువలన ∠AOD = ∠BOC.
కావున ΔAOD ≅ ΔBOC
(భు. కో. భు. సర్వసమానత్వ నియమం ప్రకారం)

ii) AOD, BOC సర్వసమానత్వ త్రిభుజాలలో సదృశభాగాలు సమానము.
కావున ∠OAD = ∠OBC మరియు ఇవి AD, BC రేఖాఖండములకు ఒక జత ఏకాంతర కోణములను ఏర్పరచును.
∴ AD || BC

2. AB ఒక రేఖాఖండము సరళరేఖ l దీనికి లంబ సమద్విఖండనరేఖ. ఈ రేఖపై P ఒక బిందువు అయిన ఈ P బిందువు A, B బిందువుల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుందని చూపుము. [పేజీ నెం. 153]
సాధన.
l ⊥ AB మరియు ఈ రేఖ l, రేఖాఖండము AB మధ్యబిందువు C గుండాపోవును.
మనము PA = PB అని చూపాలి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 23
ΔPCA మరియు ΔPCB లను తీసుకొనుము.
AC = BC (AB నకు C మధ్యబిందువు)
∠PCA = ∠PCB = 90° (దత్తాంశము)
PC = PC (ఉమ్మడి బిందువు)
కావున, ΔPCA ≅ ΔPCB (భు. కో. భు. నియమం)
అందువలన PA = PB (సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ భుజాలు కావున)

3. ఇచ్చిన పటంలో AB || DC మరియు AD || BC అయిన ΔABC ≅ ΔCDA అని చూపుము. [పేజీ నెం. 155]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 24
సాధన.
ΔABC, ΔCDA లను తీసుకొనుము.
∠BAC = ∠DCA (ఏకాంతర కోణములు)
AC = CA (ఉమ్మడి భుజం)
∠BCA = ∠DAC (ఏకాంతర కోణములు)
ΔABC ≅ ΔCDA
(కో.భు.కో. సర్వసమానత్వం ప్రకారం)

4. ఇచ్చిన పటంలో AL || DC, BC మధ్య బిందువు E అయిన ΔEBL ≅ ΔECD అని చూపండి. [పేజీ నెం. 156]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 25
సాధన.
ΔEBL మరియు ΔECD లలో
∠BEL = ∠CED (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
BE = CE (BC మధ్య బిందువు E కావున)
∠EBL = ∠ECD (ఏకాంతర కోణములు)
ΔEBL ≅ ΔECD (కో.భు. కో. సర్వసమానత్వం)

5. కింది పటంలోని సమాచారమును ఉపయోగించుకొని (i) ΔDBC ≅ ΔEAC (ii) DC = EC అని రుజువు చేయుము. [పేజీ నెం.156]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 26
సాధన.
∠ACD = ∠BCE = x అనుకొనుము.
∠ACE = ∠DCE + ∠ACD
= ∠DCE + x ……… (i)
∴ ∠BCD = ∠DCE + ∠BCE
= ∠DCE + x …… (ii)
(i), (ii) ల నుండి, ∠ACE = ∠BCD
ΔDBC మరియు ΔEAC లలో
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 27
∠ACE = ∠BCD (పైన నిరూపించబడినది)
BC = AC (దత్తాంశము)
∠CBD = ∠EAC (దత్తాంశము)
ΔDBC ≅ ΔEAC (కో. భు.కో. ప్రకారం)
ΔDBC ≅ ΔEAC కావున
DC = EC
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశభుజాలు సమానం)

6. AB, CD లు సమాంతరాలు. AD మధ్య బిందువు O అయిన (i) ΔAOB ≅ ΔDOC (ii) BC కూడా మధ్య బిందువు O అని నిరూపించుము. [పేజీ నెం. 156]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 28
సాధన.
i) ΔAOB మరియు ΔDOC లలో
∠ABO = ∠DCO
(AB || CD, BC తిర్యగ్రేఖ ఏకాంతర కోణాలు)
∠AOB = ∠DOC (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
OA = OD (దత్తాంశము)
∴ ΔAOB ≅ ΔDOC (కో.కో.భు. నియమం ప్రకారం)

ii) OB = OC
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశభుజాలు సమానం)
కావున BC మధ్య బిందువు O.

7. ΔABC లో ∠A యొక్క కోణసమద్విఖండనరేఖ AD, BC భుజానికి లంబంగానున్నది. అయిన AB = AC అని ΔABC సమద్విబాహు త్రిభుజమని చూపండి. [పేజీ నెం. 160]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 29
సాధన.
ΔABD మరియు ΔACD లో
∠BAD = ∠CAD (దత్తాంశము)
AD = AD (ఉమ్మడి భుజం)
∠ADB = ∠ADC = 90° (దత్తాంశము)
కావున ΔABD ≅ ΔACD (కో.భు.కో. నియమం)
దాని వలన AB = AC
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ భుజాలు)
లేదా ΔABC సమద్విబాహు త్రిభుజము.

8. ఇచ్చిన పటంలో AB = BC మరియు AC = CD. అయిన ∠BAD = ∠ADB = 3 : 1 అని చూపండి. [పేజీ నెం. 160]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 30
సాదన.

∠ADB = x అనుకొసుము.
∠ACD లో AC = CD
⇒ ∠CAD = ∠CDA = x
మరియు బాహ్యకోణం ∠ACB = ∠CAD + ∠CDA
= x + x = 2x
⇒ ∠BAC = ∠ACB = 2x.
(∵ ΔABC లో, AB = BC)
∴ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD
= 2x + x = 3x
మరియు [latex]\frac{\angle \mathrm{BAD}}{\angle \mathrm{ADB}}=\frac{3 \mathrm{x}}{\mathrm{x}}=\frac{3}{1}[/latex]
అనగా ∠BAD : ∠ADB = 3 : 1.
అందుచేత ఇది నిరూపించబడినది.

9. ఇచ్చిన పటంలో AD అనేది BC మరియు EF లు రెండింటికీ లంబము. ఇంకా ∠EAB = ∠FAC, అయిన ΔABD మరియు ΔACD లు సర్వ సమానమని చూపుము.
ఇంకా AB = 2x + 3, AC = 3y + 1, BD = x మరియు DC = y + 1 అయిన x, y విలువలు కనుగొనండి. [పేజీ నెం. 161]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 32
సాధన.
AD ⊥ EF
⇒ ∠EAD = ∠FAD = 90°
∠EAB = ∠FAC (దత్తాంశము)
⇒∠EAD – ∠EAB = ∠FAD – ∠FAC
⇒ ∠BAD = ∠CAD
ΔABD మరియు ΔACD లలో
∠BAD = ∠CAD (పైన నిరూపించబడినది)
∠ADB = ∠ADC = 90° [AD ⊥ BC దత్తాంశము]
మరియు AD = AD
∴ ΔABD ≅ ΔACD (కో.భు.కో. నియమం)
ఇది నిరూపించబడినది.
∠ABD = ∠ACD
⇒ AB = AC మరియు BD = CD
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశభాగాలు)
⇒ 2x + 3 = 3y + 1 మరియు x = y + 1
⇒ 2x + 3y = – 2 మరియు x – y = 1
సమీకరణాలను సాధించగా 2(1 + y) – 3y = -2
x = 1+ y
2 + 2y – 3y = -2
– y = – 2 – 2
– y = -4
సమీకరణాలు సాధించగా y = 4 లో
x = 1 + y
x = 1 + 4
x = 5

10. ΔABC లో సమాన భుజాలు AB, AC ల మధ్యబిందువులు వరుసగా E మరియు F (పటాన్ని చూడుము), BF = CE అని చూపండి. [పేజీ నెం. 162]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 33
సాధన.
ΔABF మరియు ΔACE లలో
AB = AC (దత్తాంశము)
∠A = ∠A (ఉమ్మడి కోణము)
AF = AE (సమానభుజాలలో సగాలు)
కావున ΔABF ≅ ΔACE (భు.కో.భు. నియమం)
∴ BF = CE
(సర్వసమాన త్రిభుజాలలోని సదృశ భుజాలు సమానం)

11. ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము ABC లో AB = AC, D మరియు E బిందువులు BC పై BE = CD అయ్యేటట్లున్న బిందువులు (పటాన్ని చూడండి) అయిన AD = AE అని చూపండి. [పేజీ నెం. 162]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 34
సాధన.
ΔABD మరియు ΔACE లలో
AB = AC (దత్తాంశము) ………… (1)
∠B = ∠C (సమాన భుజాలకు ఎదురుగానున్న సమాన కోణాలు) …….(2)
ఇంకా BE = CD
కావున BE – DE = CD – DE
అనగా BD = CE …………. (3)
కావున ΔABD ≅ ΔACE
((1), (2), (3) ల నుండి మరియు భు.కో.భు. నియమం).
దీని నుండి AD = AE
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ భుజాలు)

12. ABCD చతుర్భుజములో AB = CD, BC = AD అయిన ΔABC ≅ ΔCDA అని నిరూపించండి. [పేజీ నెం. 164]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 35
సాధన.
ΔABC మరియు ΔCDA లలో
AB = CD (దత్తాంశము)
AD = BC (దత్తాంశము)
AC = CA (ఉమ్మడి భుజం)
ΔABC ≅ ΔCDA
(భు.భు.భు. సర్వసమానత్వ నియమం)

13. AB ఒక రేఖాఖండము. P మరియు Q అనే బిందువులు ABకి రెండు వైపులలో A, Bలకు సమానదూరంలో ఉన్నాయి. (పటాన్ని చూడండి) అయిన PQ రేఖ ABకి లంబసమద్విఖండనరేఖ అని చూపండి. [పేజీ నెం. 166]
సాధన.
PA = PB మరియు QA = QB అని ఇవ్వబడినది.
మీరు PQ, AB కి లంబమని మరియు దానిని సమద్విఖండన చేస్తుందని చూపాలి. PQ, AB ని C బిందువు వద్ద ఖండించుననుకొనుము.
ఈ పటంలో రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాల గురించి మీరు ఆలోచించగలరా ?
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 36
ΔPAQ మరియు ΔPBQ తీసుకోండి.
ఈ త్రిభుజములలో
AP = BP (దత్తాంశము)
AQ = BQ (దత్తాంశము)
PQ = PQ (ఉమ్మడి భుజం)
కావున ΔPAQ ≅ ΔPBQ
(భు. భు. భు. సర్వసమానత్వ నియమం)
∴ ∠APQ = ∠BPQ
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ కోణాలు).
ΔPAC మరియు ΔPBC లలో
AP = BP (దత్తాంశము)
∠APC = ∠BPC
(∠APQ = ∠BPQ పైన నిరూపించబడినది)
PC = PC (ఉమ్మడి భుజం)
కావున ΔPAC ≅ ΔPBC (భు. కో.భు. నియమం)
AC = BC ……….. (1)
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ భుజాలు)
మరియు ∠ACP = ∠BCP
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ కోణాలు)
ఇంకా ∠ACP + ∠BCP = 180° (రేఖీయద్వయం)
కావున 2∠ACP = 180°
లేదా ∠ACP = 90° ………… (2)
(1), (2) ల నుండి PQ, AB కి లంబసమద్విఖండన రేఖ అని చెప్పవచ్చును.
[గమనించవలసిన విషయమేమంటే ΔPAQ, ΔPBQ ల సర్వసమానత్వం రుజువు చేయకుండా ΔPAC = ΔPBC అని నిరూపించలేము.
AP = BP (దత్తాంశము)
PC = PC (ఉమ్మడి భుజము)
మరియు ∠PAC = ∠PBC (AAPB లో సమాన భుజాలకు ఎదురుగానున్న సమానకోణాలు)
దీని నుండి ఇవి రెండూ సర్వసమానం కాదు ఎందుకంటే ఈ ఫలితము భు. భు, కో. నియమాన్ని ఇస్తుంది. కాని త్రిభుజాల సర్వసమానత్వానికి ఈ నియమం ఎల్లప్పుడూ నిజంకాదు. ఇంకా కోణం జత సమానభుజాల జతల మధ్యకోణము కాదు.]

14. l, mరేఖలు A బిందువు వద్ద ఖండించుకొంటున్నాయి. P బిందువు ఈ రేఖలకు సమాన దూరంలో ఉంది. (పటం చూడండి). AP రేఖ l, m ల మధ్య ఏర్పడిన కోణాన్ని సమద్విఖండన చేస్తుందని చూపండి. [పేజీ నెం. 167]
సాధన.
l, m రేఖలు A బిందువు వద్ద ఖండించుకొంటున్నాయి.
PB, l కు లంబము అనుకొనుము. PC ⊥ m.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 37
PB = PC అని ఇవ్వబడినది.
∠PBA = ∠PCA = 90° అని చూపాలి.
ΔPAB, ΔPAC లలో
PB = PC (దత్తాంశము)
∠PBA = ∠PCA = 90° (దత్తాంశము)
PA = PA (ఉమ్మడి భుజం)
కావున ΔPAB ≅ ΔPAC (లం.క.భు. నియమం)
కావున ∠PAB = ∠PAC
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశకోణాలు)

15. ΔABC లో AD = AC అగునట్లు భుజం BC పై D ఒక బిందువు (పటం చూడండి).
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 38
అయిన AB > AD అని చూపండి. [పేజీ నెం.171]
సాధన.
ΔDAC లలో
AD = AC (దత్తాంశము)
కానీ, ∠ADC = ∠ACD
(సమాన భుజాలకు ఎదురుగానున్న కోణాలు)
ఇప్పుడు, ∠ADC, ΔABD కి బాహ్య కోణము.
కావున ∠ADC > ∠ABD
లేదా ∠ACD > ∠ABD
లేదా ∠ACB > ∠ABC
అప్పుడు AB > AC
(ΔABC లో పెద్దకోణానికి ఎదుటి భుజం)
లేదా AB > AD (AD = AC కావున)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1

March 16, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1

ప్రశ్న 1.
ఒక గ్రామంలో కొంతమంది విద్యార్థుల జట్టు ‘పర్యావరణ పరిరక్షణ – అవగాహన’ అనే కార్యక్రమంలో భాగంగా, 20 – ఇండ్లలో సర్వే నిర్వహించి, ఎన్నెన్ని మొక్కలు నాటినారో సమాచారాన్ని సేకరించి, ఈ క్రింది పట్టికలో నమోదు చేసినారు. సగటున ఒక ఇంటికి ఎన్ని మొక్కలు నాటినారో కనుక్కోండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 1

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 2

దత్తాంశం యొక్క సగటు ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = a + [latex]\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}[/latex] × h
a = ఊహించిన సగటు = 7
Σf_iu_i = 11
Σf_i = 20
h = 2
సగటు చెట్ల సంఖ్య ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = a + [latex]\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}[/latex] × h
= 7 + [latex]\frac{11}{20}[/latex] × 2
= 7 + 1.1
∴ సగటు చెట్ల సంఖ్య ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = 8.1

ప్రశ్న 2.
ఒక కర్మాగారంలోని 50 మంది కార్మికుల దినసరి భత్యము ఈ క్రింది పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో ఇవ్వబడినవి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 3

తగు పద్ధతిని ఎంచుకొని ఆ కర్మాగారంలోని కార్మికుల సగటు భత్యమును కనుక్కోండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 4

దత్తాంశం యొక్క సగటు ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = a + [latex]\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}[/latex] × h
a = ఊహించిన సగటు = 275
Σf_iu_i = 38
Σf_i = 50
h = 50
∴ కార్మికుల సగటు భత్యము ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = a + [latex]\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}[/latex] × h
= 275 + [latex]\frac{38}{50}[/latex] × 50 = 275 + 38
∴ కార్మికుల సగటు భత్యము (?) = 313.

ప్రశ్న 3.
ఒక ఆవాసప్రాంతంలో పిల్లల రోజువారి చేతి ఖర్చులు (pocket allowance) వివరాలను ఈ క్రింది పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో ఇవ్వడమైనది. పిల్లల సగటు చేతి ఖర్చు ( 18 అయిన క్రింది పట్టికలో లోపించిన పౌనఃపున్యం(f)ను కనుగొనుము.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 5

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 6

దత్తాంశం యొక్క సగటు [latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex] = 18
పౌనఃపున్యం యొక్క విలువ (f) = ?
∴ Σf = 44 +f
Σf_iu_i = 752 + 20f
∴ సగటు ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = a + [latex]\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}[/latex] × h
⇒ [latex]\frac{752+20 \mathrm{f}}{44+\mathrm{f}}[/latex] = 18
⇒ 752 + 20f = 792 + 18f
⇒ 2f = 40
∴ లోపించిన పౌనఃపున్యం (f) = 20.

ప్రశ్న 4.
ఒక వైద్యశాలలో వైద్యులు 30 మంది స్త్రీలకు వైద్య పరీక్షలు నిర్వహించి, వారి యొక్క హృదయ స్పందనలను క్రింద చూపిన పట్టికలో క్రోడీకరించారు. తగు విధానాన్ని ఎంచుకొని ఇట్టి స్త్రీల యొక్క హృదయస్పందనల సరాసరి (ఒక నిమిషానికి). కనుక్కోండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 7

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 8

∴ తరగతి అంతరం (h) = 3
Σf_ix_i = 4
Σf_i = 30
ఊహించిన సగటు (a) = 75.5
∴ హృదయ స్పందనల సగటు ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = a + [latex]\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}[/latex] × h
= 75.5 + [latex]\frac{4}{30}[/latex] × 3
= 75.5 + 0.4 = 75.9
∴ హృదయ స్పందనల సగటు ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = 75.9.

ప్రశ్న 5.
పండ్ల మార్కెట్లో, పండ్ల వ్యాపారులు ‘నారింజపండ్లను పెట్టెలలో ఉంచి అమ్ముతారు. ఒక్కొక్క పెట్టెలో ఉండే ‘నారింజపండ్ల’ సంఖ్య వేరువేరుగా ఉంటుంది. పెట్టెల్లోని నారింజపండ్ల పంపకాన్ని ఈ క్రింది
AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 9

ఒక్కొక్క పెట్టెలో ఉండే నారింజపండ్ల సగటు కనుక్కోండి. సగటు కనుగొనుటకు ఏ పద్ధతిని ఎంచుకుంటారో తెల్పండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 10

∴ ఊహించిన సగటు (a) = 22
Σf_i = 400
Σf_iu_i = 25
h = 5
సగటును కనుగొనుటకు సంక్షిప్త విచలన పద్ధతిని ఎంచుకొంటాం.
∴ సగటు ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = a + [latex]\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}[/latex] × h
= 22 + [latex]\frac{25}{400}[/latex] × 5
= 22 + 0.31 = 22.31
∴ ఒక్కొక్క పెట్టెలోని నారింజపండ్ల సగటు సంఖ్య ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = 22.31.

ప్రశ్న 6.
ఒక ఆవాసప్రాంతంలోని 25 కుటుంబాలకు సంబంధించిన దినసరి భోజన ఖర్చుల వివరాలను ఈ క్రింది పట్టికలో ఇవ్వడమైనది.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 11

తగు పద్ధతిని ఎంచుకొని, ఒక్కో కుటుంబానికి అయ్యే సగటు భోజన ఖర్చును కనుక్కోండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 12

ఊహించిన సగటు (a) = 225
Σf_iu_i = – 7
Σf_i = 25
తరగతి యొక్క అంతరం (h) = 50
ఒక్కో కుటుంబానికి అయ్యే సగటు భోజన ఖర్చు ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = a + [latex]\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}[/latex] × h
= 225 + [latex]\frac{(-7)}{25}[/latex] × 50
= 225 – 14
LI . ఒక్కో కుటుంబానికి అయ్యే సగటు భోజన ఖర్చు ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = 211.

ప్రశ్న 7.
ఒక పట్టణంలోని 30 నివాస ప్రాంతాలలో, గాలిలో గల’ SO₂ యొక్క గాఢత (in parts per million, i.e., ppm) ను ఈ క్రింది పట్టికలో క్రోడీకరించడమైనది.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 13

గాలిలో గల సగటు SO₂ గాఢతను కనుక్కోండి
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 14

ఊహించిన సగటు (a) = 0.1
Σf_iu_i = – 1
Σf_i = 30, h = 0.04
∴ గాలిలో గల SO₂ గాఢత సగటు ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = a + [latex]\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}[/latex] × h
= 0.1 – [latex]\frac{(-1)}{30}[/latex] × 0.04
= 0.1 – 0.00133
= 0.09867 ppm
∴ గాలిలో గల SO₂ గాఢత సగటు ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = 0.099 ppm.

ప్రశ్న 8.
ఒక తరగతి ఉపాధ్యాయుడు ఒక టర్న్ లో తన తరగతికి చెందిన 40 మంది విద్యార్థుల హాజరు వివరాలను, ఈ క్రింది చూపిన పట్టికలో చూపడమైనది. ఈ టర్న్ లో ఒక విద్యార్థి సగటు హాజరు ఎంత ?

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 15

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 16

ఊహించిన సగటు (a) = 54.5
Σf_iu_i = 73 .
Σf_i = 40
h = 3
సగటు = ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = a + [latex]\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}[/latex] × h
= 54.5 + [latex]\frac{(-73)}{40}[/latex] × 3
= 49.025 = 49 రోజులు
టర్న్ లో ఒక విద్యార్థి సగటు హాజరు ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = 49 రోజులు.

ప్రశ్న 9.
35 పట్టణాలకు సంబంధించి అక్షరాస్యత రేటు (శాతములలో) ఈ క్రింది పట్టికలో ఇవ్వడమైనది. సగటు అక్షరాస్యత రేటును కనుక్కోండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 17

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 18

∴ ఊహించిన సగటు (a) = 70
Σf_i = 35
Σf_iu_i = – 2
h = 10
∴ సగటు ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = a + [latex]\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}[/latex] × h
= 70 + [latex]\frac{(-2)}{35}[/latex] × 10
= 70 – [latex]\frac{20}{35}[/latex] = 70 – 0.57
సగటు అక్షరాస్యత రేటు ([latex]\overline{\mathbf{x}}[/latex]) = 69.43 %

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత InText Questions

March 16, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 సంభావ్యత InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ఇవి చేయండి:

అ. క్రింది ఘటనలలో దేని పర్యవసానములన్నీ సమ సంభవాలు? (పేజీ నెం.. 307)

ప్రశ్న 1.
పాచిక (dies) ను ఎగురవేసినపుడు 1, 2, 3, 4, 5 లేక 6 పడుట.
సాధన.
ఒక పాచికను వేసిన దాని పై ముఖంపై 1, 2, 3, 4, 5 లేదా 6 సంఖ్యలు వచ్చుటకు (ఒక్కొక్కదానికి) సమాన అవకాశాలు కలవు.

ప్రశ్న 2.
5 ఎరుపు, 4 నీలం, 1 నలుపు బంతులు గల సంచి నుండి ఒక బంతిని యాదృచ్చికంగా తీయుట.
సాధన.
5 ఎరుపు బంతులు, 4 నీలం బంతులు, 1 నల్లని బంతి గల సంచి నుండి 2 వేర్వేరు రంగులు కల బంతులను బయటకు తీయుటకు (పొందుటకు) సమాన అవకాశాలు లేవు.

ప్రశ్న 3.
కారమ్స్ ఆటను గెలుచుట.
సాధన.
క్యారమ్స్ ఆట గెలుచుటకు ఇద్దరికీ సమాన అవకాశాలు , కలవు.

ప్రశ్న 4.
రెండంకెల సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానము 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 లేక 9 అగుట.
సాధన.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 లేదా 9 నుండి రెండంకెల సంఖ్యను వ్రాయుటలో ఒకట్ల స్థానంలో పై అంకెలు వచ్చుటకు సమాన అవకాశాలు కలవు.

ప్రశ్న 5.
10 ఎరుపు, 10 నీలం, 10 నలుపు రంగు బంతులు గల సంచి నుండి ఒక బంతిని యాదృచ్చికంగా తీయుట.
సాధన.
10 ఎరుపు, 10 నీలం, 10 నలుపు బంతులు గల సంచి నుండి వేర్వేరు రంగులు గల బంతులు బయటకు తీయుటకు (పొందుటకు) సమాన అవకాశాలు కలవు.

ప్రశ్న 6.
జూలై నెలలో ఒక రోజు వర్షం రావడం.
సాధన.
జూలై నెలలో ఒక కచ్చితమైన రోజున వర్షం పడుటకు సమాన అవకాశాలు కలవు.

ఆ. పై అన్ని ఘటనల యొక్క పర్యవసానాలన్నీ సమ సంభవాలేనా?
సాధన.
అన్ని ఘటనల ఫలితాలు సమాన అవకాశాలను కలిగి ఉండవు.

ఇ. పర్యవసానాలన్నీ సమసంభవాలైన 5 ఘటనలను, సమసంభవాలు కాని 5 ఘటనలను పేర్కొనండి.
సాధన.
సమాన అవకాశాలు గల ఘటనలు : –
ఎ) ఒక పాచికను వేసిన సరి లేదా బేసిసంఖ్యను పొందే ఘటనలు.
బి) ఒక నాణేన్ని ఎగురవేసిన బొమ్మ లేదా బొరుసు పొందే ఘటనలు.
సి) 1 నుండి 10 వరకు సంఖ్యలు రాసిన కార్డుల నుండి సరి లేదా బేసిసంఖ్య గల పేక పొందే ఘటనలు.
డి) 8 ఆకుపచ్చ మరియు 8 నల్లని ,బంతులు గల సంచి నుండి ఆకుపచ్చ లేదా నల్లని బంతిని తీయగల ఘటనలు.
ఇ) 20 మంది బాలురు మరియు 20 మంది బాలికలు గల ఒక తరగతి నుండి ఒక బాలుడు లేదా బాలికను ఎన్నుకొను ఘటనలు.
ఎఫ్) పేకముక్కల కట్ట నుండి ఎరుపు లేదా నలుపు రంగు కార్డును ఎన్నుకోగల ఘటనలు.

సమాన అవకాశాలు లేని ఘటనలు :
ఎ) ఒక పాచికను విసిరిన దానిపై “ప్రధాన” లేదా “సంయుక్త” సంఖ్యను పొందే ఘటనలు.
బి) 1 నుండి 5 సంఖ్యలు గల పేకముక్కల నుండి సరి లేదా బేసి సంఖ్య గల పేకను పొందే ఘటనలు.
సి) 1, 2, ….. 10 సంఖ్యలలో 3 యొక్క గుణిజం లేదా 3 యొక్క గుణిజం కాని సంఖ్యను ఎన్నుకొనే ఘటనలు.
డి) ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు 5 కంటే తక్కువైన (చిన్నదైన) సంఖ్య లేదా 5 కంటే పెద్దదైన సంఖ్యను పొందే ఘటనలు.
ఇ) 5 ఆకుపచ్చ మరియు 8 తెలుపు బంతుల నుండి ఒక తెలుపు లేదా ఆకుపచ్చ బంతిని పొందగల (తీయగల) ఘటనలు.

ప్రశ్న 7.
సమసంభవ పర్యవసానములు గల ఐదు సందర్భాలను పేర్కొని వాని ప్రతిరూప ఆవరణలను వ్రాయండి. . , సమసంభవము మరియు పరస్పర వర్ణిత ఘటనల యొక్క సంభావ్యతను ఎట్లు గమనించవచ్చునో కొన్ని ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాము . (పేజీ.నెం.309)
సాధన.
a) ఒక నాణేన్ని పైకి ఎగురవేసిన బొమ్మ లేదా బొరుసు పొందే సందర్భం.
∴ ప్రతిరూప ఆవరణము S = {T, H}

b) ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు సరి లేదా బేసి సంఖ్యను పొందటం.
∴ ప్రతిరూప ఆవరణము S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

c) షటిల్ ఆటను గెలిచే సందర్భం .
∴ ప్రతిరూప ఆవరణం S = {గెలుపు, ఓటమి}.

d) 3 నీలం మరియు 3 నల్లని బంతులు గల సంచి నుండి ఒక నలుపు లేదా నీలం బంతిని . యాదృచ్చికంగా తీసే సందర్భం.
∴ ప్రతిరూప ఆవరణం S = {నీలం, నల్లని బంతులు}.

e) పేక ముక్కల కట్ట నుండి 1 నలుపు లేదా 1 ఎరుపు పేక ముక్కను యాదృచ్ఛికంగా తీసే సందర్భం
∴ ప్రతిరూప ఆవరణం S = {నలుపు, ఎరుపు}

ప్రశ్న 8.
(i) బొమ్మ పడుట అనేది బొరుసు పడుటకు పూరక ఘటనా? – కారణాలు తెలపండి. (పేజీ.నెం.311)
సాధన.
ఒక నాణెమును ఎగురవేసినపుడు సాధ్యమగు పర్యవసానాల సమితి S = {T, H}
బొమ్మపడు ఘటన కాకుండా Sలో మిగిలిన ఘటన పర్యవసానం బొరుసు పడుట. కావున ‘ బొమ్మపడు ఘటన, బొరుసు పడు ‘ఘటనకు పూరక ఘటన అవుతుంది.

(ii) పాచికతో 1 పడుట అనేది 2, 3, 4, 5, 6 పడుట అనే ఘటనలకు పూరక ఘటనయేనా? (పేజీ.నెం.311)
సాధన.
అవును, పూరక ఘటనలే.
‘1’ అను సంఖ్యను పొందు సంభావ్యత = [latex]\frac{1}{6}[/latex] [P(E)]
2,3,4,5,6 సంఖ్యలను పొందు సంభావ్యత = P([latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex]) = [latex]\frac{5}{6}[/latex]
∴ P(E) + P([latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex]) = [latex]\frac{1}{6}[/latex] [P(E)] + [latex]\frac{5}{6}[/latex]
= [latex]\frac{1}{6}[/latex] [P(E)] = 1.

(iii) పరస్పరం పూరక ఘటనలయ్యే జతలకు 5 ఉదాహరణలు ఇవ్వండి. (పేజీ నెం. 311).
సాధన.
ఎ) ఒక పాచికను . దొర్లించినపుడు సరిసంఖ్య పడే ఘటన, బేసిసంఖ్య పడే ఘటనలు ఒకదానికొకటి పరస్పరం పూరక ఘటనలు అగును.
బి) ఒక పేకకట్ట నుండి ఎరుపు పేకముక్క లేదా నలుపు పేక ముక్క పొందే ఘటనలు పరస్పరం పూరక ఘటనలు అగును.
సి) 1,2,… 8 సంఖ్యల నుండి సరి లేదా బేసి సంఖ్యలను యాదృచ్ఛికంగా ఎన్నుకొను ఘటనలు పరస్పరం పూరక ఘటనలు అగును.
డి) వారం రోజులలో ఒక ఆదివారం లేదా మిగిలిన 6 రోజులలో ఆదివారం కాకుండుట అనే ఘటనలు పరస్పరం పూరక ఘటనలు.
ఇ) పరుగు పందెంలో గెలుపు మరియు ఓటముల సంభావ్యతలు పరస్పరం పూరక ఘటనలు.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
ఒక పాప వద్ద గల పాచిక ముఖంపై A,B,C,D,E,F లని ముద్రించబడి యున్నది. ఆ పాచికను దొర్లించినపుడు
(i) A
(ii) D పడే సంభావ్యతలను లెక్కించండి. (పేజీ నెం. 312)
సాధన.
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = {A, B, C, D, E, F} = 6
(i) ‘A’ పడే అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 1
‘A’ ను పొందు సంభావ్యత = P(A)
= ‘A’ కు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / సాధ్యపడు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{1}{6}[/latex]

(ii) ‘D’ పడే అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 1
‘D’ ను పొందు సంభావ్యత = P(D)
= ‘D’ కు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / సాధ్యపడు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{1}{6}[/latex]

ప్రశ్న 2.
క్రింది వానిలో ఏవి ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యతను సూచించలేవు? (పేజీ నెం. 312)
(a) 2.3
(b) – 1.5
(c) 15 %
(d) 0.7
సాధన.
a) 2.3 ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యతను సూచించలేదు.
b) – 1.5 ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యతను సూచించలేదు.
c) 15 % ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యతను సూచిస్తుంది.
d) 0.7 ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యతను సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 3.
మీ దగ్గర ఒక కట్ట పేకాట కార్డులు బాగుగా కలుపబడి ఉన్నాయి అనుకొనండి. వాటి నుండి యాదృచ్చికముగా తీసిన కార్డు
1. రాణి అగుటకు సంభావ్యత ఎంత?
2. ముఖ కార్డు అగుటకు సంభావ్యత ఎంత?
3. స్పేడ్ అగుటకు సంభావ్యత ఎంత?
4. స్పేడ్, ముఖకార్డు అగుటకు సంభావ్యత ఎంత?
5. ముఖకార్డు కాకపోవుటకు సంభావ్యత ఎంత? (పేజీ నెం. 313, 314)
సాధన.
1. మొత్తం సాధ్యపడు పర్యవసానాల సంఖ్య = 52
రాణి పేక ముక్కను పొందు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 4
రాణి ముక్కను పొందు సంభావ్యత = P(E)
= అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / సాధ్యపడు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{4}{52}-\frac{1}{13}[/latex]

2. ముఖ కార్లు గల ముక్కలు J, Q, K.
ముఖ కార్డు పొందు అనుకూల పర్యవసానాలు = 4 × 3 = 12
సాధ్యపడు అన్ని పర్యవసానాల సంఖ్య = 52
∴ P(E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య/ సాధ్యపడు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{12}{52}-\frac{3}{13}[/latex]

3. స్పేడ్ ముక్కల సంఖ్య = 13
మొత్తం కార్డుల సంఖ్య = 52
∴ కావలసిన సంభావ్యత = స్పేడ్ కార్డులగుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / సాధ్యపడు అన్ని పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{13}{52}-\frac{3}{13}[/latex]

4. స్పేడ్, ముఖకార్డు అగుటకు గల ‘అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = = 3
అన్ని పర్యవసానాల సంఖ్య = 52
∴ సంభావ్యత P(E) = [latex]\frac{3}{52}[/latex]

5. స్పేడ్ ముఖ కార్డు అగుటకు సంభావ్యత P(E) = [latex]\frac{12}{52}[/latex]
∴ స్పేడ్ ముఖ కార్డు కాకుండుటకు సంభావ్యత = P([latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex]) = 1 – P(E)
= 1 – [latex]\frac{12}{52}[/latex]
= [latex]\frac{52-12}{52}[/latex]
= [latex]\frac{40}{52}[/latex] = [latex]\frac{10}{13}[/latex]
(లేదా)
స్పేడ్ ముఖ కార్డు కాకుండుటకు అనుకూల పర్య వసానాల సంఖ్య = 40 (52-12 = 40]
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 52
∴ సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం సాధ్యపడు పర్యవసానాల సంఖ్య _ 40 _ 10
= [latex]\frac{40}{52}[/latex] = [latex]\frac{10}{13}[/latex].

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
ఏదైనా ఆటలో ఏ జట్టువారు మొదటి బంతిని తీసుకోవాలో నిర్ణయించడానికి నాణెమును వేయడమే నిష్పాక్షికం అంటారెందుకు? (పేజీ నెం. 312)
సాధన.
బొమ్మ పడుటకు గల సంభావ్యత = [latex]\frac{1}{2}[/latex]
బొరుసు పడుటకు గల సంభావ్యత = [latex]\frac{1}{2}[/latex]
రెండు ఘటనల సంభావ్యత సమానం. కనుక
∴ నాణెం ఎగురవేయుటయే నిష్పాక్షికం.

ప్రశ్న 2.
ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యత [latex]\frac{7}{2}[/latex] ఉంటుందా? వివరించండి. (పేజీ నెం. 312)
సాధన.
ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యత [latex]\frac{7}{2}[/latex] అగుట అసాధ్యం .
[latex]\frac{7}{2}[/latex] = 3 [latex]\frac{1}{2}[/latex], ఇది 1 కన్నా ఎక్కువ
∴ ఏ ఘటన యొక్క సంభావ్యతైనా ‘0’ నుండి ‘1’ వరకు ఉండును. [0 ≤ P(E) ≤ 1]. కావున అసాధ్యము.

ప్రశ్న 3.
క్రింది వాటిలో ఏయే వాదనలు సత్యములు?
(i) రెండు నాణెములు ఎగురవేసినప్పుడు 3 పర్యవసానాలు ఉంటాయి. రెండు బొమ్మలు, రెండు బొరుసులు, ఒక్కటి బొమ్మ మరొకటి బొరుసు. కనుక ఒక్కొక్క పర్యవసానము యొక్క సంభావ్యత [latex]\frac{1}{3}[/latex].

(ii) ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు పడేది సరిసంఖ్య లేక బేసి సంఖ్య. కావున బేసి సంఖ్య పడే సంభావ్యత (పేజీ నెం. 312)
సాధన.
(i) ఇది అసత్యము.
కారణం : అన్ని పర్యవసానాల సంఖ్య = 4. అవి, HH, HT, TH, TT.
∴ రెండు బొమ్మలు పడు సంభావ్యత = [latex]\frac{1}{4}[/latex]
రెండు బొరుసులు పడు సంభావ్యత = [latex]\frac{1}{4}[/latex]
ఒక బొమ్మ లేదా బొరుసు పడుటకు సంభావ్యత = [latex]\frac{2}{4}=\frac{1}{4}[/latex]

(ii) సత్యం .
కారణం : సాధ్యపడే మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
బేసిసంఖ్య పొందుటకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 3 = {1, 3, 5}
సరిసంఖ్య పొందుటకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = (2, 4, 6) = 3
∴ బేసిసంఖ్య పడే సంభావ్యత P(E) = [latex]\frac{3}{6}=\frac{1}{2}[/latex].

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
ఒక నాణెమును ఒకసారి ఎగురవేసినప్పుడు బొమ్మపడే సంభావ్యతను, బొరుసు పడే సంభావ్యతను లెక్కించండి. (పేజీ నెం. 309)
సాధన.
నాణెమును ఒకసారి ఎగురవేసినప్పుడు సాధ్యపడు పర్యవసానములు రెండు, బొమ్మ (H) లేక బొరుసు (T). బొమ్మ పడుట అనే ఘటన E అయితే అనుకూల పర్యవసానములు 1.
P(E) = P (బొమ్మ) = Eకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / సాధ్యపడు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{1}{2}[/latex]
ఇదే విధంగా బొరుసు పడు అనే ఘటన F అయిన
P(F) = P (బొరుసు) = [latex]\frac{1}{2}[/latex]

ప్రశ్న 2.
ఒక సంచిలో ఒక ఎరుపు బంతి, ఒక నీలం బంతి, ఒక పసుపు రంగు బంతి ఉన్నాయి. అన్ని బంతులు ఒకే పరిమాణము కలిగి ఉన్నాయి. సంచిలోనికి చూడకుండా మానస ఒక బంతిని తీస్తే ఆ బంతి
(i) పసుపు రంగు బంతి
(ii) ఎరుపు బంతి
(iii) నీలం బంతి అవడానికి ‘ సంభావ్యతలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 309)
సాధన.
మానస చూడకుండా బంతిని తీసుకున్నది.
కావున అన్ని పర్యవసానములు సమసంభవములు. పసుపు రంగు బంతిని తీయు ఘటన Y, నీలం బంతి తీయు ఘటన B మరియు ఎరుపు బంతి తీయు ఘటన R అయిన ప్రతిరూప ఆవరణము {Y, B, R}.
పర్యవసానములు = 3.
(i) Y కి అనుకూల పర్యవసానములు = 1.
∴ P(Y) = [latex]\frac{1}{3}[/latex]
అదే విధముగా P(R) = [latex]\frac{1}{3}[/latex], P(B) = [latex]\frac{1}{3}[/latex].

ప్రశ్న 3.
ఒక పాచికను ఒకసారి దొర్లించినపుడు
(i) 4 కన్నా ఎక్కువ పడు ఘటన సంభావ్యత
(ii) 4 లేక అంతకన్నా తక్కువ పడు ఘటన సంభావ్యతను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 310)
9985174864
సాధన.
(i) ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు ప్రతిరూప ఆవరణము S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
మొత్తం పర్యవసానములు n(S)= 6
4 కన్నా ఎక్కువ’ అను ఘటనకు అనుకూల పర్యవసానాలు E = {5, 6}
E కు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E) = 2
∴ ఘటన E యొక్క సంభావ్యత P(E) = [latex]\frac{2}{6}=\frac{1}{3}[/latex]

(ii) F అనే ఘటన 4 లేక అంతకన్నా తక్కువ పడుట అయిన ప్రతిరూప ఆవరణము S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
మొత్తం పర్యవసానాలు n(S) = 6
F కు అనుకూల పర్యవసానాలు F = {1, 2, 3, 4}
అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(F)= 4
∴ ఘటన F యొక్క సంభావ్యత P(F) = [latex]\frac{4}{6}=\frac{2}{3}[/latex]

ప్రశ్న 4.
బాగుగా కలుపబడిన పేకాట కార్డుల కట్టలో 52 కార్డుల నుండి’ ఒక్క కార్డు తీయుటలో అది
(i) ఏస్ అగుటకు
(ii) ఏస్ కాకపోవుటకు సంభావ్యతలను లెక్కించండి. (పేజీ నెం. 313)
సాధన.
కార్డులు బాగుగా కలుపబడ్డాయి. కావున పర్యవసానాలన్నీ సమసంభవములుగా పరిగణించాలి.
(i) ఒక కట్టలో 4 ఏన్లు ఉంటాయి. తీసుకొన్న కార్డు ఏస్ అవడం అనే ఘటన E అయితే E కు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 4
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 52
∴ కార్డు ఏస్ అగుటకు సంభావ్యత, .
P(E) = [latex]\frac{4}{52}=\frac{1}{13}[/latex]

(ii) తీసుకున్న కార్డు ఏస్ కాదు అనే ఘటన F అయితే F కు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 52 – 4 = 48
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 52
∴ కార్డు ఏస్ కాకపోవుటకు సంభావ్యత P(F) = [latex]\frac{48}{52}=\frac{12}{13}[/latex]

ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి :
ఘటన F అనగా E కానిది [latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex] కావున పూరక ఘటనలను ఉపయోగించి F యొక్క సంభావ్యత కనుగొనవచ్చు.
P(F) = P([latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex]) = 1 – P(E)
= 1 – [latex]\frac{1}{13}[/latex] = [latex]\frac{12}{3}[/latex].

ప్రశ్న 5.
సంగీత, రేష్మాలు టెన్నిస్ ఆటను ఆడుతున్నారు. సంగీత గెలిచే సంభావ్యత 0.62 అయినప్పుడు రేష్మ గెలిచే సంభాష్యత కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 314)
సాధన.
సంగీత, రేష్మాలు ఆటను గెలిచే ఘటనలను S, Rలు సూచిస్తున్నాయి అనుకొనుము.
సంగీత గెలిచే సంభావ్యత = P(S) = 0.62 (దత్తాంశం)
పూరక సంభావ్యతలను అనుసరించి, రేష్మ గెలిచే సంభావ్యత = P(R) = 1 – P(S)
= 1 – 0.62 = 0.38

ప్రశ్న 6.
శారద, హమీద మంచి స్నేహితులు. వారిద్దరి పుట్టిన రోజు పండుగలు సంవత్సరంలో (లీపు సంవత్సరం . కాదు)
(i) వేరువేరు రోజు రావడానికి?
(ii) ఒకే రోజు రావడానికి సంభాష్యతలు లెక్కించండి. (పేజీ నెం. 314)
సాధన.
సంవత్సరంలో 365 రోజులలో ఇద్దరిలో ఎవరి పుట్టిన రోజు అయినా ఏరోజు అయినా రావచ్చును. కావున మొత్తం 365 పర్యవసానాలు సమసంభవములని పరిగణించాలి.
(i) శారద, హమీదల పుట్టినరోజులు వేరువేరు రోజులు అవడానికి అనుకూల పర్యవసానాలు
= 365 – 1 = 364
∴ P (వేరువేరు పుట్టినరోజులు) = [latex]\frac{364}{365}[/latex]

(ii) P (ఒకే రోజు పుట్టినరోజు) = 1 – P (వేరు వేరు పుట్టినరోజులు)
= 1 – [latex]\frac{364}{365}[/latex] = [latex]\frac{1}{365}[/latex]

ప్రశ్న 7.
40 మంది విద్యార్థులు గల తరగతిలో 25 మంది బాలికలు, 16 మంది బాలురు’ ఉన్నారు. తరగతి ప్రతినిధిని నియమించడానికై, వారి ఉపాధ్యాయురాలు అందరి పేర్లను విడివిడి కార్డులపై వ్రాసి, ఒక పెట్టెలో వేసి బాగా కలిపి, ఒక కార్డును తీశారు. ఆ కార్డుపై పేరు i) అమ్మాయి లేక ii) అబ్బాయిది కావడానికి సంభావ్యతలు లెక్కించండి. =(పేజీ నెం. 315)
సాధన.
కార్డులన్నీ. సమానం అయితే 40 మందిలో ఎవరి పేరు కార్డు అయినా రావచ్చును.
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 40

(i) తీసిన కార్డుపై అమ్మాయి పేరు ఉండడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 25
∴ P(అమ్మాయి పేరుగల కార్డు) = P(అమ్మాయి)
= [latex]\frac{25}{40}=\frac{5}{8}[/latex]

(ii) తీసిన కార్డుపై అబ్బాయి పేరు ఉండడానికి అనుకూల పర్యవసానాలు = 15
∴ P (అబ్బాయి పేరు గల కార్డు) = P (అబ్బాయి)
= [latex]\frac{15}{40}=\frac{3}{8}[/latex]
(లేదా)
P (అబ్బాయి) = 1 – P (అబ్బాయి. కానిది)
= 1 – P (అమ్మాయి)
= 1 – [latex]\frac{5}{8}[/latex] = [latex]\frac{3}{8}[/latex]

ప్రశ్న 8.
ఒక పెట్టెలో 3 నీలం, 2 తెలుపు, 4 ఎరుపు గోళీలు కలవు. యాదృచ్ఛికంగా పెట్టె నుండి ఒక గోళీను తీసుకొంటే అది (i) తెలుపు
(ii) నీలం
(iii)ఎరుపు రంగు గోళీ అగుటకు సంభావ్యతలు గమనించండి. (పేజీ నెం. 316)
సాధన.
యాదృచ్ఛికంగా గోళీను తీసుకొనుట అనగా అన్ని పర్యవసానాలు సమసంభవాలు.
∴ ప్రతిరూప ఆవరణలోని పర్యవసానాల సంఖ్య = 3 + 2 + 4 = 9.
తెల్లని గోళీ తీయు ఘటనను W చే, నీలం గోళీ తీయు ఘటనను B చే, ఎరుపు గోళీ తీయు ఘటనను R చే గుర్తిస్తే
(i) W కు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 2
∴ P(W) = [latex]\frac{2}{9}[/latex]
అదేవిధంగా,

(ii)P(B) = [latex]\frac{3}{9}=\frac{1}{3}[/latex]
(iii) P(R) = [latex]\frac{4}{9}[/latex]
∴ గమనిక P(W) + P(B) + P(R) = 1.

ప్రశ్న 9.
హర్ఫీత్ రెండు నాణెములను (₹ 1 మరియు ₹ 2) ఒకేసారి ఎగురవేసినాడు. కనీసం ఒక బొమ్మ పడుటకు సంభావ్యత కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 317)
సాధన.
బొమ్మను Hతో, బొరుసును Tతో సూచిస్తే, రెండు నాణెములు ఎగురవేసినప్పుడు ఏర్పడు అన్ని , పర్యవసానములు (H, H), (H, T), (T, H), (T, T) ఇవి అన్నీ సమసంభవాలే. ఇందు (H, H) అనగా మొదటి నాణెం (₹ 1) బొమ్మ, రెండవ నాణెం (₹ 2) బొమ్మ అని అర్థం. అట్లే (H, T) అనగా మొదటి నాణెం బొమ్మ రెండవ నాణెం బొరుసు అని అర్థం. అట్లే మిగిలిన పర్యవసానాలు.
కనీసం ఒక బొమ్మకు అనుకూల పర్యవసానాలు E = {(H, H), (H, T), (T, H)}
E కు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E) = 3.
∴ P(E) = [latex]\frac{3}{4}[/latex]
(∵ ప్రతిరూప ఆవరణలో పర్యవసానాలు = 4)
అనగా హర్పీత్ కనీసం ఒక బొమ్మ పొందే సంభావ్యత = [latex]\frac{3}{4}[/latex].

ప్రశ్న 10.
(వార్షిక పరీక్షలకు కాదు) మ్యూజికల్ చైర్స్ ఆటలో, ఆట మొదలైన 2 నిమిషాల లోపు ఏదో ఒక సమయంలో పాట ఆగుతుంది. ఆటగాళ్ళు ఆగాలి. అయితే ఆట మొదలైన [latex]\frac{1}{2}[/latex] నిమిషంలోపు పాట ఆపు ఘటనకు సంభావ్యతను లెక్కించండి. (పేజీ నెం. 317)
సాధన.
పాట ఆపు సమయం యొక్క పర్యవసానాలు 0 మరియు 2ల మధ్య గల అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు. దీనిని సంఖ్యారేఖపై సూచిస్తే….

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత InText Questions 3

ఈ నిమిషంలోపు పాట ఆగును అను ఘటనకు E ను సూచిస్తే Eకు అనుకూల పర్యవసానములు అనగా సంఖ్యారేఖపై 0, [latex]\frac{1}{2}[/latex], ల మధ్య గల అన్ని బిందువులు ) కు, 2కు మధ్యగల దూరం 2 అయిన 0, [latex]\frac{1}{2}[/latex]ల మధ్య దూరం [latex]\frac{1}{2}[/latex] అవుతుంది. ప్రయోగంలోని అన్ని పర్యవసానములన్నీ సమ సంభవములు కావున మొత్తం దూరం (కాలం) 2 అని, E కు అనుకూల దూరం (కాలం) అని పరిగణించవచ్చును.
∴ P(E) = E అనుకూల దూరము / మొత్తం దూరము
= [latex]\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}[/latex]

ప్రశ్న 11.
క్రింది పటంలో చూపబడిన దీర్ఘచతురస్రాకార ప్రాంతంలో ఒక హెలికాప్టరు ‘ కూలిపోయిందని సమాచారం వచ్చింది. అది కొలను (lake)లో కూలిపోయి ఉండుటకు సంభావ్యత ఎంత? (పేజీ నెం. 318)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత InText Questions 4

సాధన.
మొత్తం దీర్ఘచతురస్రాకార స్థలములో హెలికాప్టర్ ఏ, బిందువు వద్ద అయినా కూలి ఉండవచ్చును.
∴ ఘటన S జరుగుటకు పూర్తి స్థల వైశాల్యము
n(s) = (4.5 × 9) కి.మీ.² = 40.5 కి.మీ.²
ఘటన E జరుగుటకు అనుకూల ప్రాంతము
n(E) = (2 × 3) కి.మీ.² = 6 కి.మీ.²
∴ P (హెలికాప్టరు సరస్సులో కూలుట) = [latex]\frac{6}{40.5}=\frac{4}{27}[/latex].

ప్రశ్న 12.
ఒక పెట్టెలోని 100 చొక్కాలలో 88 సరిగ్గా ఉన్నవి. 8 చొక్కాలు కొద్ది లోపాలను, 4 చొక్కాలు ఎక్కువ లోపాలను కలిగి ఉన్నాయి. జానీ అనే వ్యాపారి మంచి చొక్కాలను మాత్రమే కొంటాడు. సుజాత అను మరొక వ్యాపారి ఎక్కువ లోపాలున్న చొక్కాలను మాత్రమే నిరాకరిస్తుంది. (కొనదు). పెట్టెలో నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక చొక్కాను తీస్తే ఎవరు కొనే సంభావ్యత ఎంత?
(i) జానీ
(ii) సుజాత. (పేజీ నెం. 318)
సాధన.
పెట్టెలోని 100 చొక్కాలలో నుండి 1 చొక్కా యాదృచ్ఛికంగా తీయబడినది అనగా పర్యవసానములన్నీ సమసంభవాలు.
(i) జానీ కొనుటకు అనుకూల పర్యవసానాలు = 88
P (జానీ చొక్కాను కొనుట) = [latex]\frac{88}{100}[/latex] = 0.88

(ii)సుజాత చొక్కా కొనుటకు అనుకూల పర్యవసానాలు = 88 + 8 = 96
P(సుజాత చొక్కాను కొనుట) = [latex]\frac{96}{100}[/latex] = 0.96.

ప్రశ్న 13.
రెండు పాచికలు, ఒకటి ఎర్రనిది, ఒకటి పసుపుది, ఒకేసారి దొర్లించడం జరిగింది. సాధ్యపడు అన్ని పర్యవసానములను పేర్కొనండి. రెండు పాచికలపై కనిపించే సంఖ్యల మొత్తం.
(i) 8
(ii) 13 మరియు
(iii) 12 లేక అంతకన్నా తక్కువ అవడానికి సంభావ్యతలు ఎంతెంత? (పేజీ నెం. 319)
సాధన.
ఎరుపు పాచికపై 1 ఉన్నప్పుడు తెలుపు పాచికపై 1, 2, 3, 4, 5 లేక. 6 ఏదయినా ఉండవచ్చును. అట్లే ఎరుపు పాచికపై ‘2’, ‘3’, ‘4’, ‘5’ లేక ‘6’ లు ఉన్నప్పుడు కూడా వివిధ పర్యవసానములు ఉంటాయి. ప్రయోగంలో సాధ్యపడు అన్ని పర్యవసానములు పట్టికలో క్రమయుగ్మాలుగా చూపబడ్డాయి. ప్రతి క్రమయుగ్మంలో మొదటిది ఎరుపు పాచికపై సంఖ్య, రెండవది తెలుపు పాచికపై సంఖ్య.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత InText Questions 5

కావున ఉదాహరణకు (1,4), (4, 1) క్రమయుగ్మాలు సమానం కావు.

∴ మొత్తం సాధ్యపడు పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 6 × 6 = 36.
(i) ఘటన E (రెండు సంఖ్యల మొత్తం 8) యొక్క అనుకూల పర్యవసానాలు = {{2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
E కు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E) = 5
∴ P(E) = [latex]\frac{\mathrm{n}(\mathrm{E})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{5}{36}[/latex]

(ii) ఘటన F (రెండు సంఖ్యల మొత్తం 13) కు అనుకూల పర్యవసానాలు శూన్యము.
∴ P(F) = [latex]\frac{0}{36}[/latex] = 0.

(iii) ఘటన G (12 లేక అంతకన్నా తక్కువ)కు అన్ని పర్యవసానాలు అనుకూలములే.
∴ P(G) = [latex]\frac{36}{36}[/latex] = 1.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.4

March 16, 2022

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 7th Lesson త్రిభుజాలు Exercise 7.4

ప్రశ్న 1.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజములో కర్ణము అతి పొడవైన భుజమని నిరూపించండి.
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.4 1
ΔABC లో ∠B లంబకోణము అయిన
∠A + ∠C = 90°
∠A మరియు ∠C లు రెండూ అల్పకోణాలే.
∠A < ∠B ⇒ BC < AC
అదే విధముగా,
∠C < ∠B ⇒ AB < AC
∴ కర్ణము AC త్రిభుజములో పొడవైన భుజము.

ప్రశ్న 2.
కింది పటంలో ΔABC లో భుజాలు AB, AC లు వరుసగా P, Q బిందువులకు పొడిగించబడినవి. ఇంకనూ ∠PBC < ∠QCB. అయిన AC > AB అని చూపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.4 2
సాధన.
పటం నుండి,
∠PBC = ∠A + ∠ACB
∠QCB = ∠A + ∠ABC
దత్తాంశం నుండి, ∠PBC < ∠QCB
⇒ ∠A + ∠ACB < ∠A + ∠ABC
⇒ ∠ACB < ∠ABC
⇒ AB < AC
∴ AC > AB

ప్రశ్న 3.
కింది పటంలో ∠B < ∠A మరియు ∠C < ∠D అయిన AD < BC అని చూపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.4 3
సాధన.
దత్తాంశం నుండి, ∠B < ∠A; ∠C < ∠D
∠B < ∠A ⇒ AO < OB [ΔAOB లో] ….. (1)
∠C < ∠D ⇒ OD < OC [ΔCOD లో] …… (2)
(1) & (2) లను కలుపగా,
AO + OD < OB + OC
AD < BC

ప్రశ్న 4.
చతుర్భుజం ABCD లో AB అతి చిన్న భుజం మరియు CD అతి పొడవైన భుజం (క్రింది పటమును చూడండి). అయిన ∠A > ∠Cమరియు ∠B > ∠D అని చూపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.4 4
సాధన.

చతుర్భుజం ABCD లో AB అతి చిన్న భుజం మరియు CD అతి పొడవైన భుజము.
పటం నుండి, ΔBCD లో,
∠1 > ∠2 [∵ DC > BC …… (1)
ΔBDA లో, ∠4 > ∠3 [∵ AD > AB] …… (2)
(1) మరియు (2) లను కూడగా,
∠1 + ∠4 > ∠2 + ∠3
∠B > ∠D
అదే విధముగా,
ΔABC లో, ∠6 < ∠7 [∵ AB < BC) ……. (3)
ΔACD లో, ∠5 < ∠8 ……….. (4)
(3) మరియు (1) లను కూడగా,
∠6 + ∠5 < ∠7 + ∠8
∠C < ∠A ⇒ ∠A > ∠C
∴ ∠A > ∠C మరియు ∠B > ∠D

ప్రశ్న 5.
క్రింది పటంలో PR > PQ మరియు ∠QPR కోణ సమద్విఖండన రేఖ PS అయిన ∠PSR > ∠PSQ అని చూపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.4 6
సాధన.
దత్తాంశం నుండి,
PR > PQ; ∠QPS = ∠RPS
PR > PQ అయిన ∠Q > ∠R
∠Q + ∠QPS > ∠R + ∠RPS
⇒ 180° – (∠Q + ∠QPS) < 180° – (∠R + ∠RPS)
⇒ ∠PSQ < ∠PSR
∴ ∠PSR > ∠PSQ

ప్రశ్న 6.
ఒక త్రిభుజము రెండు భుజాల కొలతలు 4 సెం.మీ. మరియు 6 సెం.మీ. అయిన మూడవ భుజం కొలతగా ఉండడానికి సాధ్యమయ్యే అన్ని ధనాత్మక పూర్ణ సంఖ్యల విలువలు కనుగొనండి. అటువంటి ఎన్ని త్రిభుజాలు సాధ్యమవుతాయి ?
సాధన.
ఒక త్రిభుజము యొక్క రెండు భుజాల కొలతలు 4 సెం.మీ. మరియు 6 సెం.మీ.
∴ మూడవ భుజము > మిగిలిన రెండు భుజాల మధ్య భేదము
మూడవ భుజము > 6 – 4
మూడవ భుజము > 2
అదే విధముగా, మూడవ భుజము < మిగిలిన రెండు భుజాల మొత్తము
మూడవ భుజము. < 6 + 4
మూడవ భుజము < 10
∴ మూడవ భుజం కొలతగా ఉండడానికి సాధ్యమయ్యే ధనాత్మక పూర్ణ సంఖ్యలు 3 సెం.మీ., 4 సెం.మీ., 5 సెం.మీ., 6 సెం.మీ., 7 సెం.మీ., 8 సెం.మీ., 9 సెం.మీ.
∴ అటువంటి త్రిభుజాలు ‘7’ సాధ్యమవుతాయి.

ప్రశ్న 7.
5 సెం.మీ., 8 సెం.మీ., 1 సెం.మీ. కొలతతో ఒక త్రిభుజాన్ని నిర్మించడానికి ప్రయత్నించండి. ఈ నిర్మాణం సాధ్యమా ? కాదా ? మీ వివరణను రాయండి.
సాధన.
5 సెం.మీ. మరియు 1 సెం.మీ. భుజాల మొత్తము 6 సెం.మీ. ఇది మూడవ భుజము కొలత కన్నా తక్కువగా వున్నది. కావున ఇది అసాధ్యము.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Optional Exercise

March 15, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
ఇద్దరు వినియోగదారులు శ్యామ్, ఏక్తాలు ఒక అంగడిలో ఒకే వారము (మంగళవారం నుండి శనివారం వరకు) దర్శించారు. వారిద్దరు విడివిడిగా ఏరోజు అయినా దర్శించి ఉండవచ్చును. అయిన ఆ ఇద్దరు
(i) ఒకే రోజు
(ii) ప్రక్క ప్రక్క రోజులు
(iii) వేరువేరు రోజులు అంగడిని దర్శించి ఉండడానికి సంభావ్యతలు ఎంతెంత?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Optional Exercise 1

(మంగళ, మంగళ), (మంగళ, బుధ) (మంగళ, గురు), (మంగళ, శుక్ర), (మంగళ, శని), (బుధ, మంగళ), (బుధ, బుధ), (బుధ, గరు), (బుధ, శుక్ర), (బుధ, శని), (గురు, మంగళ), (గురు, బుధ), (గురు, గురు), (గురు, శుక్ర), (గురు, శని), (శుక్ర, మంగళ) (శుక్ర, బుధ), (శుక్ర, గురు), (శుక్ర, శుక్ర), (శుక్ర, శని), (శని, మంగళ), (శని, బుధ), (శని, గురు), (శని, శుక్ర), (శని, శని).
∴ మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 5 × 5 = 5² = 25.

(i) ఇద్దరూ ఒకే రోజులో ఆ అంగడిని సందర్శించగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 5
అవి: (మంగళ, మంగళ), (బుధ, బుధ), (గురు, గురు), (శుక్ర, శుక్ర), (శని, శని) = 5
∴ ఇద్దరూ ఆ అంగడిని ఒకే రోజులో దర్శించుకోగల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{5}{25}=\frac{1}{5}[/latex]

(ii) ప్రక్క ప్రక్క రోజులలో ఆ అంగడిని సందర్శించగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 8
అవి : (మంగళ, బుధ), (బుధ, గురు), (గురు, శుక్ర) (శుక్ర, శని) (బుధ, మంగళ), (గురు, బుధ), (శుక్ర, గురు), (శని, శుక్ర) = 8
∴ ఇద్దరూ ఆ అంగడిని ప్రక్క ప్రక్క రోజులలోదర్శించుకోగల సంభావ్యత = [latex]\frac{8}{25}[/latex].

(iii) ఇద్దరూ వేర్వేరు రోజులలో ఆ అంగడిని దర్శించి ఉండటానికి గల సంభావ్యత,
P(E) = ఇద్దరూ ఒకే రోజు ఆ అంగడిని సందర్శించిన సంభావ్యత.
∴ P(E) + P([latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex]) = 1
P([latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex]) = 1 – P(E)
= 1 – [latex]\frac{1}{5}=\frac{4}{5}[/latex]
∴ వేర్వేరు రోజులలో ఆ అంగడిని సందర్శించగల సంభావ్యత = [latex]\frac{4}{5}[/latex]

ప్రశ్న 2.
ఒక సంచిలో 5 ఎరుపు బంతులు, కొన్ని నీలం – బంతులు కలవు. యాదృచ్ఛికంగా నీలం బంతి తీయు సంభావ్యత, ఎరుపు బంతి తీయు సంభావ్యతకు రెట్టింపు అయిన ఎన్ని నీలం బంతులు కలవు?
సాధన.
సంచిలోని ఎరుపు బంతుల సంఖ్య = 5
లెక్కప్రకారం యాదృచ్ఛికంగా నీలం బంతి తీయు సంభావ్యత, ఎరుపు బంతి తీయు సంభావ్యతకు రెట్టింపు.
∴ నీలం బంతుల సంఖ్య = 5 × 2 = 10
(లేదా )
నీలం బంతుల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
ఎరుపు బంతుల సంఖ్య = 5
మొత్తం బంతుల సంఖ్య = x + 5
ఎరుపు బంతులను తీయగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 5
∴ P(R) = [latex]\frac{5}{x+5}[/latex]
లెక్కప్రకారం
P(B) = 2 × [latex]\frac{5}{x+5}[/latex]
= [latex]\frac{10}{x+5}[/latex]
∴ [latex]\frac{5}{x+5}[/latex] + [latex]\frac{10}{x+5}[/latex] = 1
[∵ P(R) + P(B) = 1]
⇒ [latex]\frac{5+10}{x+5}[/latex] = 1
⇒ 15 = x + 5
⇒ x = 15 – 5
⇒ x = 10.

ప్రశ్న 3.
ఒక పెట్టెలో 12 బంతులు కలవు. అందు x బంతులు నల్లనివి. పెట్టె నుండి యాదృచ్చికంగా తీసిన బంతి నలుపుది అవడానికి సంభావ్యత ఎంత? ఇంకా 6 నలుపు బంతులు కలిపితే అప్పుడు మొత్తం నుండి నలుపు బంతి తీయు సంభావ్యత రెట్టింపు (ప్రస్తుతం కన్నా) అవుతుంది. అయిన X ఎంత?
సాధన.
నలుపు బంతుల సంఖ్య = x
పెట్టెలోని మొత్తం బంతుల సంఖ్య = 12
ఒక నలుపు బంతిని యాదృచ్ఛికంగా తీయుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{x}{12}[/latex] ……………. (1)
ఆ పెట్టెలో 6 నలుపు బంతులనుంచగా
∴ మొత్తం అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = x + 6 అనుకొనుము.
∴ ఆ పెట్టెలలోని మొత్తం బంతుల సంఖ్య = 12 + 6 = 18
∴ నల్లని బంతిని పొందు సంభావ్యత = [latex]\frac{x+6}{18}[/latex] …….. (2)
లెక్కప్రకారం,
[latex]\frac{x+6}{18}=2 \cdot \frac{x}{12}[/latex]
⇒ [latex]\frac{x+6}{18}=\frac{x}{6}[/latex]
⇒ [latex]\frac{x+6}{3}[/latex] = x
⇒ x + 6 = 3x
⇒ 3x – x = 6
⇒ 2x = 6
⇒ x = 3 .
సరిచూచుట :
(1) వ సమీకరణం నుండి [latex]\frac{x}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}[/latex]
(2) వ సమీకరణం నుండి [latex]\frac{x+6}{18}=\frac{3+6}{18}[/latex]
= [latex]\frac{9}{18}=\frac{1}{2}[/latex]
(1) వ సమీకరణం నుండి (1) × 2 = [latex]\frac{1}{4}[/latex] × 2
= [latex]\frac{1}{2}[/latex]
ఇది సత్యం. నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 4.
ఒక పాత్రలో 24 గోళీలు ఉన్నాయి. అందులో కొన్ని ఆకుపచ్చనివి, కొన్ని నీలం రంగువి. పాత్ర నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఆకుపచ్చరంగు గోళీ తీయు సంభావ్యత [latex]\frac{2}{3}[/latex] అయిన నీలం గోళీ తీయు సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
పాత్రలో గల మొత్తం గోళీల సంఖ్య = 24
అందు ఆకుపచ్చ గోళీల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
నీలం గోళీల సంఖ్య = 24 – x
పాత్ర నుండి ఆకుపచ్చ గోళీలను పొందు సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{x}{24}[/latex]
లెక్కప్రకారం,
[latex]\frac{x}{24}=\frac{2}{3}[/latex]
⇒ 3x = 24 × 2
⇒ x = [latex]\frac{24 \times 2}{3}[/latex] = 16
∴ ఆకుపచ్చ గోళీల సంఖ్య = 16
∴ నీలం గోళీల సంఖ్య = 24 – x = 24 – 16 = 8.
నీలం గోళీ తీయు సంభావ్యత = [latex]\frac{8}{24}=\frac{1}{3}[/latex]
(లేదా)
∴ P(G) = [latex]\frac{2}{3}[/latex]
P(B) + P(G) = 1
⇒ P(B) = 1 – P(G)
= 1 – [latex]\frac{2}{3}[/latex] = [latex]\frac{1}{3}[/latex]
పాత్రలోని నీలం గోళీల సంఖ్య = [latex]\frac{1}{3}[/latex] × 24 = 8.