SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.4 Textbook Exercise Questions and Answers.
AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 7th Lesson త్రిభుజాలు Exercise 7.4
ప్రశ్న 1.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజములో కర్ణము అతి పొడవైన భుజమని నిరూపించండి.
సాధన.
ΔABC లో ∠B లంబకోణము అయిన
∠A + ∠C = 90°
∠A మరియు ∠C లు రెండూ అల్పకోణాలే.
∠A < ∠B ⇒ BC < AC
అదే విధముగా,
∠C < ∠B ⇒ AB < AC
∴ కర్ణము AC త్రిభుజములో పొడవైన భుజము.
ప్రశ్న 2.
కింది పటంలో ΔABC లో భుజాలు AB, AC లు వరుసగా P, Q బిందువులకు పొడిగించబడినవి. ఇంకనూ ∠PBC < ∠QCB. అయిన AC > AB అని చూపండి.
సాధన.
పటం నుండి,
∠PBC = ∠A + ∠ACB
∠QCB = ∠A + ∠ABC
దత్తాంశం నుండి, ∠PBC < ∠QCB
⇒ ∠A + ∠ACB < ∠A + ∠ABC
⇒ ∠ACB < ∠ABC
⇒ AB < AC
∴ AC > AB
ప్రశ్న 3.
కింది పటంలో ∠B < ∠A మరియు ∠C < ∠D అయిన AD < BC అని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశం నుండి, ∠B < ∠A; ∠C < ∠D
∠B < ∠A ⇒ AO < OB [ΔAOB లో] ….. (1)
∠C < ∠D ⇒ OD < OC [ΔCOD లో] …… (2)
(1) & (2) లను కలుపగా,
AO + OD < OB + OC
AD < BC
ప్రశ్న 4.
చతుర్భుజం ABCD లో AB అతి చిన్న భుజం మరియు CD అతి పొడవైన భుజం (క్రింది పటమును చూడండి). అయిన ∠A > ∠Cమరియు ∠B > ∠D అని చూపండి.
సాధన.
చతుర్భుజం ABCD లో AB అతి చిన్న భుజం మరియు CD అతి పొడవైన భుజము.
పటం నుండి, ΔBCD లో,
∠1 > ∠2 [∵ DC > BC …… (1)
ΔBDA లో, ∠4 > ∠3 [∵ AD > AB] …… (2)
(1) మరియు (2) లను కూడగా,
∠1 + ∠4 > ∠2 + ∠3
∠B > ∠D
అదే విధముగా,
ΔABC లో, ∠6 < ∠7 [∵ AB < BC) ……. (3)
ΔACD లో, ∠5 < ∠8 ……….. (4)
(3) మరియు (1) లను కూడగా,
∠6 + ∠5 < ∠7 + ∠8
∠C < ∠A ⇒ ∠A > ∠C
∴ ∠A > ∠C మరియు ∠B > ∠D
ప్రశ్న 5.
క్రింది పటంలో PR > PQ మరియు ∠QPR కోణ సమద్విఖండన రేఖ PS అయిన ∠PSR > ∠PSQ అని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశం నుండి,
PR > PQ; ∠QPS = ∠RPS
PR > PQ అయిన ∠Q > ∠R
∠Q + ∠QPS > ∠R + ∠RPS
⇒ 180° – (∠Q + ∠QPS) < 180° – (∠R + ∠RPS)
⇒ ∠PSQ < ∠PSR
∴ ∠PSR > ∠PSQ
ప్రశ్న 6.
ఒక త్రిభుజము రెండు భుజాల కొలతలు 4 సెం.మీ. మరియు 6 సెం.మీ. అయిన మూడవ భుజం కొలతగా ఉండడానికి సాధ్యమయ్యే అన్ని ధనాత్మక పూర్ణ సంఖ్యల విలువలు కనుగొనండి. అటువంటి ఎన్ని త్రిభుజాలు సాధ్యమవుతాయి ?
సాధన.
ఒక త్రిభుజము యొక్క రెండు భుజాల కొలతలు 4 సెం.మీ. మరియు 6 సెం.మీ.
∴ మూడవ భుజము > మిగిలిన రెండు భుజాల మధ్య భేదము
మూడవ భుజము > 6 – 4
మూడవ భుజము > 2
అదే విధముగా, మూడవ భుజము < మిగిలిన రెండు భుజాల మొత్తము
మూడవ భుజము. < 6 + 4
మూడవ భుజము < 10
∴ మూడవ భుజం కొలతగా ఉండడానికి సాధ్యమయ్యే ధనాత్మక పూర్ణ సంఖ్యలు 3 సెం.మీ., 4 సెం.మీ., 5 సెం.మీ., 6 సెం.మీ., 7 సెం.మీ., 8 సెం.మీ., 9 సెం.మీ.
∴ అటువంటి త్రిభుజాలు ‘7’ సాధ్యమవుతాయి.
ప్రశ్న 7.
5 సెం.మీ., 8 సెం.మీ., 1 సెం.మీ. కొలతతో ఒక త్రిభుజాన్ని నిర్మించడానికి ప్రయత్నించండి. ఈ నిర్మాణం సాధ్యమా ? కాదా ? మీ వివరణను రాయండి.
సాధన.
5 సెం.మీ. మరియు 1 సెం.మీ. భుజాల మొత్తము 6 సెం.మీ. ఇది మూడవ భుజము కొలత కన్నా తక్కువగా వున్నది. కావున ఇది అసాధ్యము.