SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions and Answers.
AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 7th Lesson త్రిభుజాలు InText Questions
ఇవి చేయండి
1. కింద కొన్ని ప్రవచనాలు ఇవ్వబడ్డాయి. అవి సత్యమో, కాదో సరిచూడుము. [పేజీ నెం. 15]
i) రెండు వృత్తములు ఎల్లప్పుడూ సర్వసమానము.
ii) ఒకే పొడవు కలిగిన రెండు రేఖాఖండములు ఎల్లప్పుడూ సర్వసమానము.
iii) రెండు లంబకోణ త్రిభుజములు కొన్నిసార్లు సర్వసమానము.
iv) భుజముల కొలతలు సమానముగాగల రెండు సమబాహు త్రిభుజములు ఎల్లప్పుడూ సర్వసమానము.
సాధన.
i) అసత్యము
ii) సత్యము
iii) సత్యము
iv) సత్యము
2. ఇచ్చిన పటములు సర్వసమానమో కాదో సరిచూచుటకు కావలసిన కనీస కొలతలు ఎన్ని ? [పేజీ నెం. 150]
i) రెండు దీర్ఘచతురస్రములు
సాధన.
పొడవు మరియు వెడల్పుల కొలతలు అవసరము.
ii) రెండు సమచతుర్భుజాలు
సాధన.
ఒక భుజము మరియు ఒక అంతర కోణము అవసరము.
3. ఈ కింది త్రిభుజములు సర్వసమానములు అవునో కాదో తెలుపుము. దానికి కారణములను వివరించుము. [పేజీ నెం. 153]
సాధన.
i) ΔABC, ΔDEF లలో
∴ ∠B = ∠E
(∵ త్రిభుజంలోని కోణాల మొత్తం ధర్మమును అనుసరించి ∠E = 180° – (70° + 60°) = 50°)
BC = EF
∠C = ∠F
∴ భు-కో-భు సర్వసమాన నియమం ప్రకారం,
ΔABC ≅ ΔDEF
ii) ΔMNL మరియు ΔTSR లలో
MN = ST
NL = RS
∠M = ∠T
భు-కో-భు సర్వసమాన నియమం ప్రకారం,
∴ ΔMNL ≅ ΔTSR
4. ఇచ్చిన పటంలో AB, DC రేఖాఖండములను Pబిందువు సమద్విఖండన చేసిన ΔAPC ≅ ΔBPD అని చూపుము. 
సాధన.
దత్తాంశం నుండి, AB, DC రేఖాఖండములను P బిందువు సమద్విఖండన చేయును.
ΔAPC మరియు ΔBPD లలో
AP = BP (∵ AB ను P సమద్విఖండన చేయును)
CP = DP (∵ CD ను P సమద్విఖండన చేయును)
∠APC = ∠BPD
ΔAPC ≅ ΔBPD (∵ భు.కో.భు. నియమం ప్రకారం)
5. కింది పటంలో ΔABC మరియు ΔDBC లు \(\overline{\mathrm{AB}}\) = \(\overline{\mathrm{BD}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{AC}}\) = \(\overline{\mathrm{CD}}\) అయ్యేటట్లున్న రెండు త్రిభుజములు అయిన ΔABC ≅ ΔDBC అని చూపండి. [పేజీ నెం. 164]
సాధన.
దత్తాంశము \(\overline{\mathrm{AB}}\) = \(\overline{\mathrm{BD}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{AC}}\) = \(\overline{\mathrm{CD}}\)
ΔABC మరియు ΔDBC లలో
AB = BD (∵ దత్తాంశము)
AC = DC (∵ దత్తాంశము)
BC = BC (∵ ఉమ్మడి భుజము)
భు-భు-భు నియమము ప్రకారం
ΔABC ≅ ΔDBC
6. త్రిభుజము ABC గీసి వాటి భుజాల పొడవులు కొలవండి. దానిలో AB + BC, BC + AC మరియు AC + AB లను కనుగొని వాటి మూడు భుజాలతో పోల్చండి. మీరు ఏమి గమనిస్తారు ? ఈ కృత్యమును వివిధ త్రిభుజములను తీసుకుని చెయ్యండి. [పేజీ నెం. 171]
సాధన.
AB + BC = 4 + 3 = 7
⇒ 7 > 4 = AC
BC + CA > AB;
3 + 4 > 4
CA + AB > BC;
4 + 4 > 3
DE + EF > DF
EF + DF > DE
FD + DE > EF
∴ ఒక త్రిభుజములో ఏవైనా రెండు భుజాల పొడవుల మొత్తము మూడవ భుజము పొడవు కన్నా ఎక్కువ.
సిద్ధాంతాలు
1. (కో.భు.కో. సర్వసమానత్వ నియమము)
ఒక త్రిభుజములోని రెండు కోణములు, వాటి మధ్య భుజము వరుసగా వేరొక త్రిభుజములోని రెండు కోణములు, వాటి మధ్య భుజమునకు సమానమైన ఆ రెండు త్రిభుజములు సర్వసమానములు. [పేజీ నెం.154]
దత్తాంశము : ΔABC, ΔDEF లలో
∠B = ∠E, ∠C = ∠F మరియు \(\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{EF}}\)
సారాంశము : ΔABC ≅ ΔDEF
ఉపపత్తి : దీనికి మూడు సందర్భములున్నవి.
\(\overline{\mathrm{AD}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{DE}}\) లకు సందర్భములు \(\overline{\mathrm{AB}}\) > \(\overline{\mathrm{DE}}\) లేదా \(\overline{\mathrm{DE}}\) > \(\overline{\mathrm{AB}}\) లేదా \(\overline{\mathrm{DE}}\) = \(\overline{\mathrm{AE}}\). మనము ఈ మూడు సందర్భములలో AABC, ADEF ల సంబంధాన్ని పరిశీలిద్దాం.
సందర్భం i : \(\overline{\mathrm{AD}}\) = \(\overline{\mathrm{DE}}\) అనుకొనుము. అయిన మనం ఏమి గమనింపవచ్చును ?
ΔABC, ΔDEF లను తీసుకొనుము.
\(\overline{\mathrm{AB}}\) = \(\overline{\mathrm{DE}}\) (ఊహించినది)
∠B = ∠E (దత్తాంశము)
\(\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{EF}}\) (దత్తాంశము)
కావున ΔABC ≅ ΔDEF
(భు. కో.భు. సర్వసమాన స్వీకృతం నుండి)
సందర్భం (ii) : రెండవ సందర్భము AB > DE అనుకొనుము.
PB = DE అగునట్లు AB పై P బిందువును తీసుకొనుము.
ఇప్పుడు ΔPBC, ΔDEF
\(\overline{\mathrm{PB}}\) లేదా \(\overline{\mathrm{DE}}\) (నిర్మాణ ప్రకారం)
∠B = ∠E (దత్తాంశము)
\(\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{EF}}\) (దత్తాంశము)
కావున ΔPBC ≅ ΔDEF
(భు.కో. భు. సర్వసమాన స్వీకృతం)
త్రిభుజములు సర్వసమానము. కావున వాటి సదృశ భాగాలు సమానం.
కావున ∠PCB = ∠DFE
కాని ∠ACB = ∠DFE (దత్తాంశము)
అందువలన, ∠ACB = ∠PCB
(పై సమాచారం నుండి)
కాని, ఇది సాధ్యమా ?
ఇది సాధ్యమవ్వాలంటే P బిందువు Aతో ఏకీభవించాలి.
(లేదా) \(\overline{\mathrm{BA}}=\overline{\mathrm{ED}}\)
అప్పుడు ΔABC = ΔDEF
(భు.కో. భు. సర్వసమానత్వ స్వీకృతము నుండి)
(గమనిక : పై నిరూపణ నుండి మనం ∠B = ∠E, ∠C = ∠Fమరియు \(\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{EF}}\) అయిన \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{DE}}\) అవుతాయి. అయితే ఆ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమాన త్రిభుజాలు ).
సందర్భం (iii) : మూడవ సందర్భం \(\overline{\mathrm{AB}}\) < \(\overline{\mathrm{DE}}\)
ME = AB అగునట్లు ΔDEF లో DE పై M అనే బిందువును తీసుకొనుము. సందర్భం (ii) లో చెప్పిన వాదనను కొనసాగించిన \(\overline{\mathrm{AB}}\) = \(\overline{\mathrm{DE}}\) అని చెప్పవచ్చును. అప్పుడు. ΔABC ≅ ΔDEF. కింది పటములను పరిశీలించి దీనిని నీవు చేయుటకు ప్రయత్నించుము.
రెండు త్రిభుజములలో రెండు జతల కోణములు, ఒక జత భుజములు సమానము. ఇక్కడ ఆ భుజము సమానముగానున్న సదృశకోణాల జతల మధ్య భుజము కాదు. అయిననూ త్రిభుజములు సర్వసమానంగా ఉంటాయా? అవి రెండూ సర్వసమానంగా ఉంటాయని మీరు గమనించవచ్చును. ఎందుకో మీరు కారణము చెప్పగలరా ?
ఒక త్రిభుజములోని కోణములు మొత్తము 180°. రెండు జతల కోణాలు సమానమైన మూడవజత కోణాలు కూడా సమానమవుతాయి. (180° – సమాన కోణాల మొత్తము).
రెండు త్రిభుజములలో రెండు జతల కోణములు మరియు ఒక జత సదృశ భుజాలు సమానమైన ఆ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమాన త్రిభుజములు. దీనిని మనం కో.కో. భు. సర్వసమాన నియమం అంటాము.
2. ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజములో సమానభుజములకు ఎదురుగానున్న కోణములు సమానము. [పేజీ నెం. 159]
సాధన.
ఈ ఫలితాన్ని మనము అనేక పద్ధతులలో రుజువు చేయవచ్చును. ఇక్కడ ఆ నిరూపణలలో ఒకటి ఇవ్వబడినది.
దత్తాంశము : సమద్విబాహు త్రిభుజము ABC లో
AB = AC.
సారాంశము : ∠B = ∠C.
నిర్మాణము : ∠A యొక్క కోణసమద్విఖండన రేఖ గీయుము. ఇది భుజము BC ని D బిందువు వద్ద ఖండించును.
ఉపపతి : ΔBAD మరియు ΔCAD లలో
AB = AC (దత్తాంశము)
∠BAD = ∠CAD (నిర్మాణం ప్రకారం)
AD = AD (ఉమ్మడి భుజం)
కావున ΔBAD ≅ ΔCAD
(భు.కో. భు. సర్వసమానత్వ స్వీకృతం)
అందువలన ∠ABD = ∠ACD
(సర్వసమాన త్రిభుజ సదృశ భుజాలు సమానం)
అనగా ∠B = ∠C (సమాన కోణాలు)
3. ఒక త్రిభుజములో సమాన కోణాలకు ఎదురుగా ఉండే భుజాలు సమానము. [పేజీ నెం. 160]
సాధన.
దీనిని మీరు ఇంతకు ముందు మనం చెప్పుకున్న సిద్ధాంతానికి విపర్యయము. కో. భు. కో. సర్వసమానత్వ నియమాన్ని ఉపయోగించి రుజువు చేయండి.
4. (భు. భు.భు. సర్వసమానత్వ నియమం) : నిర్మాణముల ద్వారా భు.భు. భు సర్వసమానత్వ నియమము వర్తిస్తుంది. భు.భు. భు సర్వసమానత్వ నియమం నిరూపణ : [పేజీ నెం. 163]
దత్తాంశము : ΔPQR మరియు ΔXYZ లలో
PQ = XY, QR = YZ మరియు PR = XZ.
సారాంశము : ΔPQR ≅ ΔXYZ
నిర్మాణము : ∠ZYW = ∠PQR మరియు WY = PQ అగునట్లు.YWని గీయుము. XW మరియు WZలను కలుపుము.
ఉపపత్తి : ΔPQR మరియు ΔWYZ లలో
QR = YZ (దత్తాంశము)
∠PQR = ∠ZYW (నిర్మాణం)
PQ = YW (నిర్మాణం)
∴ ΔPQR ≅ ΔXYZ
(భు.కో. భు. సర్వసమానత్వ స్వీకృతం)
⇒ ∠P = ∠W మరియు PR = WZ
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ భాగాలు)
PQ = X (దత్తాంశము) మరియు
PQ = YW (నిర్మాణం)
∴ XY = YW
అదేవిధంగా, XY = YW
ΔXYW లలో XY = YW
⇒ ∠YWX = ∠YXW
(ఒక త్రిభుజంలో సమాన భుజాలకు ఎదురుగా ఉన్న కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి.)
ఇదేవిధంగా, ∠ZWX = ∠ZXW
∴ ∠YWX + ∠ZWX = ∠YXW + ∠ZXW
⇒ ∠W = ∠X
ఇప్పుడు, ∠W = ∠P
∴ ∠P = ∠X
ΔPQR మరియు ΔXYZ లలో
PQ = XY
∠P = ∠X
PR = XZ
∴ ΔPQR ≅ ΔXYZ
(భు.కో. భు. సర్వసమానత్వ స్వీకృతం)
5. (లం.క.భు. సర్వసమానత్వ నియమం) :
రెండు లంబకోణ త్రిభుజములలో ఒక త్రిభుజములోని కర్ణము, భుజములు వరుసగా రెండవ త్రిభుజములోని కర్ణము, భుజములకు సమానమైన ఆ రెండు త్రిభుజములు సర్వసమాన త్రిభుజములు.
లం.క.భు. అనగా లంబకోణము – కర్ణము – భుజము.
ఇప్పుడు నిరూపణ చేద్దాం. [పేజీ నెం. 165]
దత్తాంశము : రెండు లంబకోణ త్రిభుజములు ΔABC మరియు ΔDEF లలో
∠B = 90° మరియు
∠E = 90°, AC = DF
మరియు BC = EF.
సారాంశము : ΔABC ≅ ΔDEF
నిర్మాణము : EG = AB అగునట్లు DE ని G వద్దకు పొడిగించండి. G, F లను కలపండి.
ఉపపత్తి : ΔABC మరియు ΔGEF లలో
AB = GE (నిర్మాణం ప్రకారం)
∠B = ∠FEG (ప్రతి కోణము లంబకోణము (90°))
BC = EF (దత్తాంశము)
ΔABC ≅ ΔGEF
(భు.కో. భు. సర్వసమానత్వ స్వీకృతం)
కావున ∠A = ∠G ……….. (1)
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ కోణాలు)
AC = GF ……….. (2)
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ కోణాలు)
ఇంకా AC = GF మరియు AC = DF
((2) మరియు దత్తాంశం)
∴ DF = GF (పై వాటి నుండి)
కావున ∠D = ∠G …… (3)
(సమాన భుజాల కెదురుగానున్న కోణాలు సమానం)
మరల ∠A = ∠D …… (4) ((1), (3) ల నుండీ)
ΔABC, ΔDEF లలో ∠A = ∠D ((4) నుండి)
∠B = ∠E (దత్తాంశము)
కావున ∠A + ∠B = ∠D + ∠E (కలుపగా)
కాని ∠A + ∠B + ∠C = 180°మరియు
(త్రిభుజకోణాల మొత్తం ధర్మం)
∠D + ∠E + ∠F = 180°
(త్రిభుజకోణాల మొత్తం ధర్మం)
180 – ∠C = 180 – ∠F
(∠A + ∠B 180° – ∠C మరియు ∠D + ∠F = 180° – ∠F)
కావున ∠C = ∠F ………. (5)
(కొట్టివేత నియమాల ప్రకారం)
ఇప్పుడు ΔABC, ΔDEF లలో
BC = EF (దత్తాంశం)
∠C = ∠F ((5) నుండి)
AC = DF (దత్తాంశం)
ΔABC ≅ ΔDER
(భు.కో.భు. సర్వసమానత్వ స్వీకృతం)
6. ఒక త్రిభుజములో రెండు భుజములు అసమానముగా నున్న పెద్ద భుజానికి ఎదురుగానున్న కోణము పెద్దది.
పటములో చూపినట్లు CA = CP అయ్యే విధంగా BC పై P బిందువును తీసుకొని ఈ సిద్ధాంతమును రుజువు చేయవచ్చును. [పేజీ నెం.170]
7. ఒక త్రిభుజములో పెద్ద కోణానికి ఎదురుగానున్న భుజము పొడవైనది.
ఈ సిద్ధాంతమును మనం విరోధాభాస పద్ధతి ద్వారా నిరూపించవచ్చు. [పేజీ నెం. 171]
8. ఒక త్రిభుజములో ఏవైనా రెండు భుజాల పొడవుల మొత్తము మూడవ భుజము పొడవుకన్నా ఎక్కువ.
కింది పటంలో ΔABC లో AD = AC అగునట్లు భుజము BA బిందువు D వద్దకు పొడిగించబడినది. ∠BCD > ∠BDC అని BA + AC > BC ? అని మీరు చూపించగలరా ?
పై సిద్ధాంతమునకు నిరూపణను రాబట్టగలరా ? [పేజీ నెం. 171]
కృత్యం
1. i) వృత్తలేఖిని ఉపయోగించి త్రిభుజమును నిర్మించుటకు, ఏదేని కొంత కొలతతో రేఖాఖండము AB ని గీయుము. వృత్తలేఖిని తీసుకొని దానికి సరిపడినంత’ కొలత తీసుకొని బిందువులు A, B ల వద్ద ఉంచి చాపములు గీయుము. అప్పుడు మీకు ఏ రకమైన త్రిభుజము ఏర్పడుతుంది ? అపుడు ఏర్పడినది ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము. అందువలన పటంలోని ΔABC, AC = BC కలిగిన ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము. ఇప్పుడు కోణములు ∠A, ∠B ల విలువలను కొలవండి. మీరు ఏమి గమనిస్తారు ? [పేజీ నెం. 159]
ii) ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజమును కత్తిరించుము.
సర్వసమాన భాగములు ఒకదానిపై ఒకటి ఏకీభవించునట్లు ఆ త్రిభుజమును మడవండి. ∠A, ∠B ల గురించి మీరు ఏమి గమనించారు ?
అటువంటి ప్రతీ త్రిభుజములో, సమాన భుజములకు ఎదురుగా ఉండే కోణములు సమానంగా ఉండడాన్ని మీరు గమనిస్తారు.
2.
1. ఒక ఉల్లి పొర కాగితంపై 6 సెం.మీ. పొడవుగల రేఖాఖండము BC ని గీయండి.
2. B మరియు C బిందువుల వద్ద నుండి 60° కోణము చేయునట్లు రెండు కిరణములను గీయండి. వాటి ఖండన బిందువునకు, A అని పేరు పెట్టండి.
3. B, C బిందువులు ఒకదానిపై ఒకటి ఏకీభవించునట్లు కాగితాన్ని మడత పెట్టండి. మీరు ఏమి గమనిస్తారు ? AB, AC లు సమానంగా ఉన్నాయా ? [పేజీ నెం. 160]
3. కర్ణము 5 సెం.మీ. .మరియు ఒక భుజము కొలత 3 సెం.మీ. ఉండేటట్లు ఒక లంబకోణ త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి. ఇటువంటి ఎన్ని వేర్వేరు త్రిభుజాలను మీరు నిర్మించగలరు ? మీరు నిర్మించిన త్రిభుజాన్ని మీ తరగతిలోని, ఇతర విద్యార్థుల త్రిభుజాలతో పోల్చి చూడండి. ఈ త్రిభుజాలు సర్వసమాన త్రిభుజాలు అవుతాయా? ఈ త్రిభుజాలను కత్తిరించి సమానభుజాలు ఒకదానిపై ఒకటి ఉంటేటట్లు అమర్చండి. అవసరమైతే త్రిభుజాలను తిప్పండి. మీరు ఏమి పరిశీలిస్తారు ? రెండు లంబకోణ త్రిభుజాలు సర్వ సమానమని మీరు గమనిస్తారు. రెండు లంబకోణ త్రిభుజములలో ఒక త్రిభుజము లంబకోణంలోని కర్ణము, భుజము వరుసగా రెండవ త్రిభుజంలోని కర్ణము, భుజములకు సమానం. [పేజీ నెం. 165]
4. ABC త్రిభుజాన్ని గీసి CA ని A’ బిందువు’ వరకు పొడిగించండి. (కొత్త స్థానం)
కావున A’C > AC (పొడవులను పోల్చిన)
A’, B లను కలిపి త్రిభుజము A’BC ని ఏర్పరచండి. ఇప్పుడు మీరు ∠A’BC మరియు ∠ABC గురించి ఏమి చెప్పగలరు ?
ఆ రెండు కోణములను పోల్చండి. మీరు ఏమి గమనించారు ?
స్పష్టంగా, ∠A’BC > ∠ABC
ఇదే విధంగా CA ను పొడిగించి దానిపై అనేక బిందువులను గుర్తించండి. BC భుజంగా గుర్తించిన బిందువులను కలుపుతూ త్రిభుజాలను గీయండి. భుజం AC పొడవు పెరుగుతున్నప్పుడు (బిందువు Aకు వివిధ స్థానాలు తీసుకొంటున్నప్పుడు) దానికి ఎదురుగానున్న కోణము అనగా ∠B కూడా పెరుగుతుంది. [పేజీ నెం. 169]
5. ఒక విషమబాహు త్రిభుజాన్ని నిర్మించుము. (ఒక త్రిభుజములో మూడు భుజాల పొడవులు వేర్వేరుగా ఉంటాయి.) భుజాల పొడవులను కొలవండి.
కోణాలను కొలవండి. మీరు ఏమి గమనించారు ?
ΔABC పటంలో BC ఎక్కువ పొడవుగల భుజం మరియు AC తక్కువ పొడవుగల భుజం. అదేవిధంగా ∠A పెద్దకోణం మరియు ∠B చిన్నకోణం.
కింద ఇచ్చిన త్రిభుజాలలో ప్రతి త్రిభుజానికి భుజాలు మరియు కోణాలను కొలవండి. భుజాన్ని దాని ఎదురుగా ఉండే కోణాన్ని వేరొక జతతో పోల్చినప్పుడు వాటి మధ్య ఏ సంబంధాన్ని మీరు గమనిస్తారు ? [పేజీ నెం. 169]
6. AB రేఖాఖండమును గీయుము. A కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్ధముతో చాపమును గీసి దానిపై వేర్వేరు బిందువులు P, Q, R, S, T లను గుర్తించుము
ఈ బిందువులన్నింటిని A, B బిందువులతో కలుపుము (పటం చూడండి). మనం P బిందువు నుండి T బిందువువైపు కదులుతున్నప్పుడు LA క్రమంగా పెద్దదవుతుంది. దానికి ఎదురుగా ఉండే భుజం కొలత ఎలా ఉంటుంది ? దాని ఎదురుగా ఉండే భుజం కొలత కూడా పెరుగుతూ ఉండడాన్ని గమనించవచ్చును.
అనగా ∠TAB > ∠SAB > ∠RAB > ∠QAB > ∠PAB మరియు TB > SB > RB > QB > PB.
ఇప్పుడు వేరువేరు కోణముల కొలతలు గల ఒక త్రిభుజమును గీయుము. భుజాల పొడవులను కొలుచుము. (పటం చూడండి.).
పెద్ద కోణానికి ఎదురుగావున్న భుజము పొడవుగా ఉండడాన్ని గమనించవచ్చును. పటంలో, పెద్ద కోణము ∠B మరియు దాని ఎదురుగానున్న పొడవైన భుజము AC.
ఈ కృత్యమును వివిధ త్రిభుజములతో చేయుము. పై సిద్ధాంతము విపర్యయము సత్యమని గ్రహిస్తాము.
కింద ఇవ్వబడిన ప్రతి త్రిభుజం యొక్క కోణాలను, భుజాల పొడవులను కొలవండి. ప్రతి త్రిభుజంలోని ఒక్కొక్క భుజమునకు మరియు వాటి ఎదురుగానున్న కోణాలకు మధ్యగల సంబంధం ఏమై ఉంటుందనుకొంటున్నారు ?
ఈ విధంగా మనకు కింది సిద్ధాంతము వస్తుంది. [పేజీ నెం. 170]
ఉదాహరణలు
1. ఇచ్చిన పటంలో AB మరియు CD లు ‘O’ వద్ద ఖండించుకొనుచున్నాయి. OA = OB మరియు OD = OC అయిన
(i) ΔAOD = ΔBOC మరియు
(ii) AD || BC అని నిరూపించండి. [పేజీ నెం. 152]
సాధన.
i) ΔAOD, ΔBOC లలో
OA = OB (దత్తాంశము)
OD = OC (దత్తాంశము)
∠AOD, ∠BOC లు ఒక జత శీర్షాభిముఖ కోణములను ఏర్పరచును.
అందువలన ∠AOD = ∠BOC.
కావున ΔAOD ≅ ΔBOC
(భు. కో. భు. సర్వసమానత్వ నియమం ప్రకారం)
ii) AOD, BOC సర్వసమానత్వ త్రిభుజాలలో సదృశభాగాలు సమానము.
కావున ∠OAD = ∠OBC మరియు ఇవి AD, BC రేఖాఖండములకు ఒక జత ఏకాంతర కోణములను ఏర్పరచును.
∴ AD || BC
2. AB ఒక రేఖాఖండము సరళరేఖ l దీనికి లంబ సమద్విఖండనరేఖ. ఈ రేఖపై P ఒక బిందువు అయిన ఈ P బిందువు A, B బిందువుల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుందని చూపుము. [పేజీ నెం. 153]
సాధన.
l ⊥ AB మరియు ఈ రేఖ l, రేఖాఖండము AB మధ్యబిందువు C గుండాపోవును.
మనము PA = PB అని చూపాలి.
ΔPCA మరియు ΔPCB లను తీసుకొనుము.
AC = BC (AB నకు C మధ్యబిందువు)
∠PCA = ∠PCB = 90° (దత్తాంశము)
PC = PC (ఉమ్మడి బిందువు)
కావున, ΔPCA ≅ ΔPCB (భు. కో. భు. నియమం)
అందువలన PA = PB (సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ భుజాలు కావున)
3. ఇచ్చిన పటంలో AB || DC మరియు AD || BC అయిన ΔABC ≅ ΔCDA అని చూపుము. [పేజీ నెం. 155]
సాధన.
ΔABC, ΔCDA లను తీసుకొనుము.
∠BAC = ∠DCA (ఏకాంతర కోణములు)
AC = CA (ఉమ్మడి భుజం)
∠BCA = ∠DAC (ఏకాంతర కోణములు)
ΔABC ≅ ΔCDA
(కో.భు.కో. సర్వసమానత్వం ప్రకారం)
4. ఇచ్చిన పటంలో AL || DC, BC మధ్య బిందువు E అయిన ΔEBL ≅ ΔECD అని చూపండి. [పేజీ నెం. 156]
సాధన.
ΔEBL మరియు ΔECD లలో
∠BEL = ∠CED (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
BE = CE (BC మధ్య బిందువు E కావున)
∠EBL = ∠ECD (ఏకాంతర కోణములు)
ΔEBL ≅ ΔECD (కో.భు. కో. సర్వసమానత్వం)
5. కింది పటంలోని సమాచారమును ఉపయోగించుకొని (i) ΔDBC ≅ ΔEAC (ii) DC = EC అని రుజువు చేయుము. [పేజీ నెం.156]
సాధన.
∠ACD = ∠BCE = x అనుకొనుము.
∠ACE = ∠DCE + ∠ACD
= ∠DCE + x ……… (i)
∴ ∠BCD = ∠DCE + ∠BCE
= ∠DCE + x …… (ii)
(i), (ii) ల నుండి, ∠ACE = ∠BCD
ΔDBC మరియు ΔEAC లలో
∠ACE = ∠BCD (పైన నిరూపించబడినది)
BC = AC (దత్తాంశము)
∠CBD = ∠EAC (దత్తాంశము)
ΔDBC ≅ ΔEAC (కో. భు.కో. ప్రకారం)
ΔDBC ≅ ΔEAC కావున
DC = EC
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశభుజాలు సమానం)
6. AB, CD లు సమాంతరాలు. AD మధ్య బిందువు O అయిన (i) ΔAOB ≅ ΔDOC (ii) BC కూడా మధ్య బిందువు O అని నిరూపించుము. [పేజీ నెం. 156]
సాధన.
i) ΔAOB మరియు ΔDOC లలో
∠ABO = ∠DCO
(AB || CD, BC తిర్యగ్రేఖ ఏకాంతర కోణాలు)
∠AOB = ∠DOC (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
OA = OD (దత్తాంశము)
∴ ΔAOB ≅ ΔDOC (కో.కో.భు. నియమం ప్రకారం)
ii) OB = OC
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశభుజాలు సమానం)
కావున BC మధ్య బిందువు O.
7. ΔABC లో ∠A యొక్క కోణసమద్విఖండనరేఖ AD, BC భుజానికి లంబంగానున్నది. అయిన AB = AC అని ΔABC సమద్విబాహు త్రిభుజమని చూపండి. [పేజీ నెం. 160]
సాధన.
ΔABD మరియు ΔACD లో
∠BAD = ∠CAD (దత్తాంశము)
AD = AD (ఉమ్మడి భుజం)
∠ADB = ∠ADC = 90° (దత్తాంశము)
కావున ΔABD ≅ ΔACD (కో.భు.కో. నియమం)
దాని వలన AB = AC
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ భుజాలు)
లేదా ΔABC సమద్విబాహు త్రిభుజము.
8. ఇచ్చిన పటంలో AB = BC మరియు AC = CD. అయిన ∠BAD = ∠ADB = 3 : 1 అని చూపండి. [పేజీ నెం. 160]
సాదన.
∠ADB = x అనుకొసుము.
∠ACD లో AC = CD
⇒ ∠CAD = ∠CDA = x
మరియు బాహ్యకోణం ∠ACB = ∠CAD + ∠CDA
= x + x = 2x
⇒ ∠BAC = ∠ACB = 2x.
(∵ ΔABC లో, AB = BC)
∴ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD
= 2x + x = 3x
మరియు \(\frac{\angle \mathrm{BAD}}{\angle \mathrm{ADB}}=\frac{3 \mathrm{x}}{\mathrm{x}}=\frac{3}{1}\)
అనగా ∠BAD : ∠ADB = 3 : 1.
అందుచేత ఇది నిరూపించబడినది.
9. ఇచ్చిన పటంలో AD అనేది BC మరియు EF లు రెండింటికీ లంబము. ఇంకా ∠EAB = ∠FAC, అయిన ΔABD మరియు ΔACD లు సర్వ సమానమని చూపుము.
ఇంకా AB = 2x + 3, AC = 3y + 1, BD = x మరియు DC = y + 1 అయిన x, y విలువలు కనుగొనండి. [పేజీ నెం. 161]
సాధన.
AD ⊥ EF
⇒ ∠EAD = ∠FAD = 90°
∠EAB = ∠FAC (దత్తాంశము)
⇒∠EAD – ∠EAB = ∠FAD – ∠FAC
⇒ ∠BAD = ∠CAD
ΔABD మరియు ΔACD లలో
∠BAD = ∠CAD (పైన నిరూపించబడినది)
∠ADB = ∠ADC = 90° [AD ⊥ BC దత్తాంశము]
మరియు AD = AD
∴ ΔABD ≅ ΔACD (కో.భు.కో. నియమం)
ఇది నిరూపించబడినది.
∠ABD = ∠ACD
⇒ AB = AC మరియు BD = CD
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశభాగాలు)
⇒ 2x + 3 = 3y + 1 మరియు x = y + 1
⇒ 2x + 3y = – 2 మరియు x – y = 1
సమీకరణాలను సాధించగా 2(1 + y) – 3y = -2
x = 1+ y
2 + 2y – 3y = -2
– y = – 2 – 2
– y = -4
సమీకరణాలు సాధించగా y = 4 లో
x = 1 + y
x = 1 + 4
x = 5
10. ΔABC లో సమాన భుజాలు AB, AC ల మధ్యబిందువులు వరుసగా E మరియు F (పటాన్ని చూడుము), BF = CE అని చూపండి. [పేజీ నెం. 162]
సాధన.
ΔABF మరియు ΔACE లలో
AB = AC (దత్తాంశము)
∠A = ∠A (ఉమ్మడి కోణము)
AF = AE (సమానభుజాలలో సగాలు)
కావున ΔABF ≅ ΔACE (భు.కో.భు. నియమం)
∴ BF = CE
(సర్వసమాన త్రిభుజాలలోని సదృశ భుజాలు సమానం)
11. ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము ABC లో AB = AC, D మరియు E బిందువులు BC పై BE = CD అయ్యేటట్లున్న బిందువులు (పటాన్ని చూడండి) అయిన AD = AE అని చూపండి. [పేజీ నెం. 162]
సాధన.
ΔABD మరియు ΔACE లలో
AB = AC (దత్తాంశము) ………… (1)
∠B = ∠C (సమాన భుజాలకు ఎదురుగానున్న సమాన కోణాలు) …….(2)
ఇంకా BE = CD
కావున BE – DE = CD – DE
అనగా BD = CE …………. (3)
కావున ΔABD ≅ ΔACE
((1), (2), (3) ల నుండి మరియు భు.కో.భు. నియమం).
దీని నుండి AD = AE
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ భుజాలు)
12. ABCD చతుర్భుజములో AB = CD, BC = AD అయిన ΔABC ≅ ΔCDA అని నిరూపించండి. [పేజీ నెం. 164]
సాధన.
ΔABC మరియు ΔCDA లలో
AB = CD (దత్తాంశము)
AD = BC (దత్తాంశము)
AC = CA (ఉమ్మడి భుజం)
ΔABC ≅ ΔCDA
(భు.భు.భు. సర్వసమానత్వ నియమం)
13. AB ఒక రేఖాఖండము. P మరియు Q అనే బిందువులు ABకి రెండు వైపులలో A, Bలకు సమానదూరంలో ఉన్నాయి. (పటాన్ని చూడండి) అయిన PQ రేఖ ABకి లంబసమద్విఖండనరేఖ అని చూపండి. [పేజీ నెం. 166]
సాధన.
PA = PB మరియు QA = QB అని ఇవ్వబడినది.
మీరు PQ, AB కి లంబమని మరియు దానిని సమద్విఖండన చేస్తుందని చూపాలి. PQ, AB ని C బిందువు వద్ద ఖండించుననుకొనుము.
ఈ పటంలో రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాల గురించి మీరు ఆలోచించగలరా ?
ΔPAQ మరియు ΔPBQ తీసుకోండి.
ఈ త్రిభుజములలో
AP = BP (దత్తాంశము)
AQ = BQ (దత్తాంశము)
PQ = PQ (ఉమ్మడి భుజం)
కావున ΔPAQ ≅ ΔPBQ
(భు. భు. భు. సర్వసమానత్వ నియమం)
∴ ∠APQ = ∠BPQ
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ కోణాలు).
ΔPAC మరియు ΔPBC లలో
AP = BP (దత్తాంశము)
∠APC = ∠BPC
(∠APQ = ∠BPQ పైన నిరూపించబడినది)
PC = PC (ఉమ్మడి భుజం)
కావున ΔPAC ≅ ΔPBC (భు. కో.భు. నియమం)
AC = BC ……….. (1)
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ భుజాలు)
మరియు ∠ACP = ∠BCP
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ కోణాలు)
ఇంకా ∠ACP + ∠BCP = 180° (రేఖీయద్వయం)
కావున 2∠ACP = 180°
లేదా ∠ACP = 90° ………… (2)
(1), (2) ల నుండి PQ, AB కి లంబసమద్విఖండన రేఖ అని చెప్పవచ్చును.
[గమనించవలసిన విషయమేమంటే ΔPAQ, ΔPBQ ల సర్వసమానత్వం రుజువు చేయకుండా ΔPAC = ΔPBC అని నిరూపించలేము.
AP = BP (దత్తాంశము)
PC = PC (ఉమ్మడి భుజము)
మరియు ∠PAC = ∠PBC (AAPB లో సమాన భుజాలకు ఎదురుగానున్న సమానకోణాలు)
దీని నుండి ఇవి రెండూ సర్వసమానం కాదు ఎందుకంటే ఈ ఫలితము భు. భు, కో. నియమాన్ని ఇస్తుంది. కాని త్రిభుజాల సర్వసమానత్వానికి ఈ నియమం ఎల్లప్పుడూ నిజంకాదు. ఇంకా కోణం జత సమానభుజాల జతల మధ్యకోణము కాదు.]
14. l, mరేఖలు A బిందువు వద్ద ఖండించుకొంటున్నాయి. P బిందువు ఈ రేఖలకు సమాన దూరంలో ఉంది. (పటం చూడండి). AP రేఖ l, m ల మధ్య ఏర్పడిన కోణాన్ని సమద్విఖండన చేస్తుందని చూపండి. [పేజీ నెం. 167]
సాధన.
l, m రేఖలు A బిందువు వద్ద ఖండించుకొంటున్నాయి.
PB, l కు లంబము అనుకొనుము. PC ⊥ m.
PB = PC అని ఇవ్వబడినది.
∠PBA = ∠PCA = 90° అని చూపాలి.
ΔPAB, ΔPAC లలో
PB = PC (దత్తాంశము)
∠PBA = ∠PCA = 90° (దత్తాంశము)
PA = PA (ఉమ్మడి భుజం)
కావున ΔPAB ≅ ΔPAC (లం.క.భు. నియమం)
కావున ∠PAB = ∠PAC
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశకోణాలు)
15. ΔABC లో AD = AC అగునట్లు భుజం BC పై D ఒక బిందువు (పటం చూడండి).
అయిన AB > AD అని చూపండి. [పేజీ నెం.171]
సాధన.
ΔDAC లలో
AD = AC (దత్తాంశము)
కానీ, ∠ADC = ∠ACD
(సమాన భుజాలకు ఎదురుగానున్న కోణాలు)
ఇప్పుడు, ∠ADC, ΔABD కి బాహ్య కోణము.
కావున ∠ADC > ∠ABD
లేదా ∠ACD > ∠ABD
లేదా ∠ACB > ∠ABC
అప్పుడు AB > AC
(ΔABC లో పెద్దకోణానికి ఎదుటి భుజం)
లేదా AB > AD (AD = AC కావున)