Mahesh

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 కారణాంక విభజన Ex 12.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 12th Lesson కారణాంక విభజన Exercise 12.4

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది వాక్యములలో సరియైన వాక్యమును గుర్తింపుము.
సాధన.
(i) 3(x – 9) = 3x – 9
⇒ 3x – 3 × 9 = 3x – 9
⇒ 3x – 27 = 3x – 9
– 27 ≠ – 9
∴ ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(ii) x(3x + 2) = 3x² + 2
⇒ x × 3x + x × 2 = 3x² + 2
⇒ 3x² + 2x ≠ 3x² + 2
∴ ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(iii) 2x + 3x = 5x²
⇒ 5x = 5x²
⇒ x ≠ x²
∴ ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(iv) 2x + x + 3x = 5x
⇒ 6x = 5x
⇒ 6 ≠ 5
∴ ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(v) 4p+ 3p + 2p + p – 9p = 0
4p + 3p + 2p + p – 9p = 0
10p – 9p = 0
p = 0
∴ ఇది అసంభవం
∴ ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(vi) 3x + 2y = 6xy
a + b ≠ ab ప్రకారం పై గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(vii) (3x)² + 4x +7 = 3x² + 4x + 7
⇒ (3x) = 3x
⇒ 9x = 3x
⇒ 9 = 3 ఇది అసంభవం
∴ ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(viii) (2x)² + 5x = 4x + 5x = 9x
⇒ 4x² + 5x = 4x + 5x
⇒ 4x² = 4x
⇒ x² = x
⇒ x = \(\sqrt{\mathrm{x}}\) ఇది అసంభవం
∴ ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(ix) (2a + 3)² = 2a² + 6a + 9
⇒ (2a)² + 2 × 2a × 3 + 3² = 2a² + 6a + 9
⇒ 4a² + 12a + 9 = 2a² + 6a + 9
⇒ 4a² + 12a = 2a² + 6a
⇒ 2a² + 6a ≠ a² + 3a.
కావునా ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(x) x = – 3 ప్రతిక్షేపించుము.

(a) x² + 7x + 12 = (-3)² +7 (-3) + 12
= 9 + 4 + 12 = 25
x² + 7x + 12 = (-3)² + 7 (-3) + 12
= 9 – 21 + 12
= 21 – 21 = 0
= 0 ≠ 25 (అసత్యం )

(b) x² – 5x + 6 = (-3)² – 5(- 3) + 6
= 9 – 15 + 6 = 0
x² – 5x + 6 = (-3)² – 5 (-3) – 6
= 9 + 15 + 6
= 30 ≠ 0(అసత్యం)

(c) x² + 5x = (-3)² + 5 (-3) + 6
= – 9 – 15 = – 24
x² + 5x = (-3)² + 5 (-3)
= 9 – 15 = – 6 ≠ – 24 (అసత్యం)

(xi) (x – 4)² = x² – 16
(x – 4)² = (x)² – (4)²
(a – b)² ≠ a² – b² (లేదా)
⇒ x² – 2 × x × 4 + 4² = x² – 16
⇒ x² – 8x + 16 = x² – 16
⇒ – 8x = 0
⇒ x = 0
ఇది అసంభవం. కావున ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(xii) (x + 7)² = x² + 49
(x + 7)² = x² + 49 = (x)² + (7)²
(a + b)² ≠ a² + b²
∴ (x + 7)² ≠ (x)² + (7)²
∴ ఇది అసత్య గణిత ప్రవచనం.

(xiii) (3a + 4b) (a – b) = 3a² – 4a²
3a (a – b) + 4b (a – b) = 3a² – 4a²
3a² – 3ab + 4ab – 4b² = – a²
ab – 4b² + 4a² = 0
⇒ ఇది అసంభవం. కావున ఇచ్చిన గణిత వాక్యం అసత్యం.

(xiv) (x + 4) (x + 2) = x² + 8
⇒ x² + 6x + 8 = x² + 8
⇒ 6x = 0
∴ x = 0
ఇది అసంభవం. కావున ఇచ్చిన గణిత వాక్యం అసత్యం.

(xv) (x – 4) (x – 2) = x² – 8
⇒ x² – 6x + 8 = x² – 8
RHS లో (-6x) పదం లోపించినది కావున ఇచ్చిన గణిత వాక్యం అసత్యం.

(xvi) 5x³ ÷ 5x³ = 0
\(\frac {5x}{5x}\) = 0
⇒ x^3-3 = 0 ⇒ x⁰ = 1 (∵ కాని x⁰ = 1)
∴ 1 ≠ 0
ఇది అసంభవం. కావున ఇచ్చిన గణిత వాక్యం అసత్యం .

(xvii) 2x³ + 1 ÷ 2x³ = 1
⇒ \(\frac{2 x^{3}+1}{2 x^{3}}\) = 1
హారంలో (+1) పదం లోపించినది కావున ఇచ్చిన గణిత వాక్యం అసత్యం.

(xviii) 3x + 2 ÷ 3x = \(\frac{2}{3 x}\)
⇒ \(\frac{3 x+2}{3 x}=\frac{2}{3 x}\)
⇒ \(\frac{3 x}{3 x}+\frac{2}{3 x}=\frac{2}{3 x}\)
⇒ 1 + \(\frac{2}{3 x}=\frac{2}{3 x}\)
⇒ 1 = 0
ఇది అసంభవం. కావున ఇచ్చిన గణిత వాక్యం అసత్యం.

(xix) 3x + 5 ÷ 3 = 5
⇒ \(\frac{3 x+5}{3}\) = 5
⇒ \(\frac{3 x}{3}+\frac{5}{3}\) = 5
⇒ x + \(\frac{5}{3}\) = 5
∴ RHS లో (x) పదం లోపించినది కావున ఇది అసత్యం.

(xx) \(\frac{4 x+3}{3}\) = x + 1
⇒ \(\frac{4 \mathrm{x}}{3}+\frac{3}{3}\) = x + 1
⇒ \(\frac{4x}{3}\) + 1 = x + 1
ఇది అసత్యం.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 కారణాంక విభజన Ex 12.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 12th Lesson కారణాంక విభజన Exercise 12.3

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది భాగహారములను చేయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 2.
ఈ క్రింది బహుపదులను ఇచ్చిన ఏకపదిచే భాగింపుము.
సాధన.

ప్రశ్న 3.
ఈ క్రింది భాగహారములను చేయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 4.
సూచించిన విధముగా భాగహారమును చేయండి.
సాధన.
(i) (x² +7x + 12) ÷ (x + 3)
x² + 7x + 12 = x² + 3x + 4x + 12
= x(x + 3) + 4(x + 3)
= (x + 3) (x + 4)

(ii) (x² – 8x + 12) ÷ (x – 6)
⇒ x² – 8x + 12 = x² – 6x – 2x + 12
= x(x – 6) – 2(x – 6)
= (x – 6) (x – 2)
∴ (x² – 8x + 12) ÷ (x – 6)

(iii) (p² + 5p + 4) ÷ (p + 1)
p² + 5p + 4 = p² + p + 4p + 1
= p(p + 1) + 4(p + 1)
= (p + 1) (p + 4)
∴ (p² + 5p + 4) ÷ (p + 1)

(iv) 15ab(a² – 7a + 10) ÷ 3b(a – 2)
15ab(a² – 7a + 10)
= 15ab(a² – 5a – 2a + 10)
= 15ab [(a² – 2a) – (5a – 10)]
= 15ab [a(a – 2) – 5(a – 2)]
= 15ab (a – 2) (a – 5)
∴ 15ab (a² – 7a + 10) ÷ 3b (a – 2)

(v) 15lm (2p² – 2q²) + 3l (p + q)
15lm (2p² – 2q²) = 15lm × 2(p² – q²)
= 30lm (p + q) (p – q)
∴ 15lm(2p² – 2q²) ÷ 3l (p + q)

(vi) 26z³ (32z² – 18) ÷ 13z² (4z – 3)
= 26z³ (2 × 16z² – 2 × 9)
= 26z³ × 2 [16z² – 9]
= 52z³ [(4z)² – (3)²]
= 52z³ [4z + 3] (4z – 3)
∴ 26z³ (32z³ – 18) ÷ 13z² (4z – 3)

= 4z(4z + 3)

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 కారణాంక విభజన Ex 12.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 12th Lesson కారణాంక విభజన Exercise 12.2

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది సమాసాలను కారణాంకములుగా విభజించండి.
సాధన.
(i) a² + 10a + 25
= (a)² + 2 × a × 5 + (5)²
ఇది a² + 2ab + b² రూపంలో కలదు.
a² + 2ab + b² = (a + b)² = (a + 5)²

(ii) l² + 16l + 64
= (l)² – 2 × l × 8 + (8)²
ఇది a² – 2ab + b² రూపంలో కలదు.
∴ a² – 2ab + b² = (a – b)²
∴ l² + 16l + 64 = (l – 8)² = (l – 8)(l – 8)

(iii) 36x² + 96xy + 64y²
= (6x)² + 2 × 6x × 8y + (8y)²
ఇది a² + 2ab + b² రూపంలో కలదు.
∴ a² + 2ab + b² = (a + b)²
∴ 36x² + 96xy + 64y²
= (6x + 8y)² = (6x + 8y) (6x + 8y)

(iv) 25x² + 9y² – 30xy
= (5x)² + (3y)² – 2 × 5x × 3y
ఇది a² + b² – 2ab రూపంలో కలదు.
∴ a² + b² – 2ab = (a – b)²
∴ 25x² + 9y² – 30xy
= (5x – 3y)² = (5x – 3y) (5x – 3y)

(v) 25m² – 40mn + 16n²
= (5m)² – 2 × 5m × 4n + (4n)²
ఇది a² – 2ab + b² రూపంలో కలదు.
∴ a² – 2ab + b² = (a – b)²
∴ 25m² – 40 mn + 16n²
= (5m – 4n)²
= (5m – 4n)(5m – 4n)

(vi) 81x² – 198 xy + 121y²
= (9x)² – 2 × 9x × 11y + (11y)²
ఇది a² – 2ab + b² రూపంలో కలదు.
∴ a² – 2ab + b² = (a – b)²
∴ 81x² – 198xy + 121y²
= (9x – 11y)² = (9x – 11y) (9x – 11y)

(vii) (x + y)² – 4xy
(సూచన : మొదట (x + y)² ను విస్తరించండి)
= (x + y)² – 4xy
= x² + y² + 2xy – 4xy
= x² + y² – 2xy
= (x – y)² = (x – y) (x – y)

(viii) l⁴ + 4l²m² + 4m⁴
= (l²)² + 2 x l² x 2m² + (2m²)²
ఇది a² + 2ab + b² రూపంలో కలదు.
∴ a² + 2ab + b² = (a + b)²
∴ l⁴ + 4/l²m² + 4m⁴
= (l² + 2m²)² = (l² + 2m²) (l² + 2m²)

ప్రశ్న 2.
ఈ క్రింది వాటిని కారణాంకములుగా విభజించండి.
సాధన.
(i) x² – 36
(x)² – (6)² ఇది a² – b² రూపంలో కలదు.
a² – b² = (a + b) (a – b)
x² – 36 = (x + 6) (x – 6)

(ii) 49x² – 25y²
= (7x)² – (5y)²
= (7x + 5y) (7x – 5y)

(iii) m² – 121
= (m)² – (11)²
= (m + 11) (m – 11)

(iv) 81 – 64x²
= (9)² – (8x)²
= (9+ 8x) (9 – 8x)

(v) x²y² – 64
= (xy)² – (8)²
= (xy + 8) (xy-8)

(vi) 6x² – 54
= 6x² – 6 × 9
= 6(x² – 9)
= 6[(x)² – (3)²]
= 6(x + 3) (x – 3)

(vii) x² – 81
= (x)² – (9)²
= (x + 9)(x – 9)

(viii) 2x – 32x⁵
= 2x – 2x × 16x⁴
= 2x (1 – 16x⁴)
= 2x [1² – (4x²)²]
= 2x (1 + 4x²)(1 – 4x²)
= 2x (1 + 4x²) [(1² – (2x)²]
= 2x (1 + 4x²) (1 + 2x) (1 – 2x)

(ix) 81x⁴ – 121x²
= x²(81x² – 121)
= x² [(9x)² – (11)²]
= x² (9x + 11) (9x – 11)

(x) (p² – 2pq + q²) – r²
= (p – q)² – (r)² [∵ p² – 2pq + q² = (p – q)²]
= (p – q + r) (p – q – r)

(xi) (x + y)² – (x – y)²
ఇది a² – b² రూపంలో కలదు
a = x + y, b = x – y
∴ a² – b² = (a + b)(a – b)
= (x + y + x – y) [x + y – (x – y)]
= 2x [x + y – x + y]
= 2x × 2y = 4xy

ప్రశ్న 3.
ఈ క్రింది సమాసాలను కారణాంకములుగా విభజించండి.
సాధన.
(i) lx² + mx
= 1 × x × x + m × x = x (lx + m)

(ii) 7y² + 35z²
= 7 × y² + 7 × 5 × z²
= 7(y² + 5z²)

(iii) 3x⁴ + 6x³y + 9x²z
= 3 × x² × x² + 3 × 2 × x × x² × y + 3 × 3 × x² × z
= 3x² (x² + 2xy + 3z)

(iv) x² – ax – bx + ab
= (x² – ax) – (bx – ab)
= x(x – a) – b(x – a)
= (x – a) (x – b)

(v) 3ax – 6ay-8by + 4bx
= (3ax – 6ay) – (8by – 4bx)
= 3a (x – 2y) – 4b (2y – x)
= 3a (x – 2y) + 4b (x – 2y)
= (x – 2y)(3a + 4b)

(vi) mn + m +n +1
= (mn + m) + (n + 1)
= m (n + 1) + (n + 1)
= (n + 1) (m + 1)

(vii) 6ab – b² + 12ac – 2bc
= (6ab – b²) + (12ac – 2bc)
= (6 × a × b – b × b) + (6 × 2 × a × c – 2 × b × c)
= b [6a – b] + 2c [6a – b]
= (6a – b)(b + 2c)

(viii) p²q – pr² – pq + r²
= (p²q – pr²) – (pq – r²)
= (p × p × q – p × r × r) – (p × q – r × r)
= P(pq – r²) – (pq – r²) × 1
= (p – 1)(pq – r²)

(ix) x (y + z) – 5 (y + z)
= (y + 2)(x – 5)

ప్రశ్న 4.
ఈ క్రింది వాటిని కారణాంక విభజన చేయండి.
సాధన.
(i) x⁴ – y⁴
(x²)² – (y²)² ఇది a² – b² రూపంలో కలదు
a² – b² = (a + b)(a – b)
x⁴ – y⁴ = (x² + y²)(x² – y²)
= (x² + y²) (x + y) (x – y)
= (x² + y²) (x + y) (x – y)

(ii) a⁴ – (b + c)⁴
= (a²)² – [(b + c)²]²
= [a² + (b + c)²] [a² – (b + c)²]
= [a² + (b + c)²] (a + b + c) (a – (b + c)]
= (a + (b + c)²] (a + b + c) (a – b – c)

(iii) l² – (m – n)²
= (l)² – (m – n)²
= [l + m – n][l – (m – n)]
= [l + m – n] [l – m + n]

(iv) 49x² – \(\frac {16}{25}\)
= (7x)² – (\(\frac {4}{5}\))²
= (7x + \(\frac {4}{5}\)) (7x – \(\frac {4}{5}\))

(v) x⁴ – 2x²y² + y⁴
= [(x²)² – 2x²y² + (y²)²
ఇది a² – 2ab + b² రూపంలో కలదు
∴ a² – 2ab + b² = (a – b)²
(x²)² – 2x²y² + (y²)² = (x² – y²)²
= [(x)² – (y)²]²
= [(x + y) (x – y)]²
= (x + y)² (x – y)²
[∵ (ab)^m = a^m . b^m]

(vi) 4 (a + b)² – 9 (a – b)²
= [2(a + b)]² – [3(a – b)]²
= [2(a + b) + 3(a – b)] [2(a + b) – 3(a – b)]
= (2a + 2b + 3a – 3b) (2a + 2b – 3a + 3b)
= (5a – b) (5b – a)

ప్రశ్న 5.
ఈ క్రింది వాటిని కారణాంకములుగా విభజించంది.
సాధన.
(i) a² + 10a + 24
= a × a + 6a + 4a + 6 x 4
= a(a + 6) + 4(a + 6)
= (a + 6)(a + 4) లేదా
a² + 10a + 24

∴ a² + 10a + 24 = (a + 6) (a + 4)

(ii) x² + 9x + 18
= (x + 3)(x + 6)

∴ x² + 9x + 18 = (x + 3)(x + 6)

(iii) p² – 10p +21
= (p – 7) (p – 3)

∴ p² – 10p + 21 = (p – 7) (p – 3)

(iv) x² – 4x – 32
= (x – 8)(x + 4)

∴ x² – 4x – 32 = (x – 8)(x + 4)

ప్రశ్న 6.
ఒక త్రిభుజము యొక్క భుజాల పొడవుల కొలతలు పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు దాని వైశాల్యం కూడా ఒక పూర్ణసంఖ్య. ఒక భుజం పొడవు 21 మరియు చుట్టుకొలత 48 అయిన అతి చిన్న భుజము పొడవు కనుక్కోండి.
సాధన.
త్రిభుజం చుట్టుకొలత

= AB + BC + CA = 48
⇒ c + a + b = 48
⇒ 21 + a + b = 48
⇒ a + b = 48 – 21 = 27
∴ a, bల పొడవు 10. 17 అయి ఉండాలి. ఎందు కనగా ఎల్లప్పుడూ
a + b > c ⇒ 10 + 17 > 21 ⇒ 27 > 21
∴ అతి చిన్న భుజం పొడవు = 10

ప్రశ్న 7.
x² + 3xy + x + my – m ను x, yలలో రెండు రేఖీయ కారణాంకములుగా వ్రాసిన ‘m’ విలువ కనుగొనుము. (x, y పదాల గుణకములు పూర్ణసంఖ్యలు)
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము x² + 3xy + x + my – m —————- (1)
x, y లలో రెండు రేఖీయ సమీకరణములు (x + 3y + a) మరియు (x + 0y + b) అగును.
వాటి లబ్దము = (x + 3y + a) (x+ 0y + b) = x² + 0xy + bx + 3xy + 0y² + 3by + ax + 0y + ab దీనిని సూక్ష్మీకరించగా
= x² + bx + ax + 3xy + 3by + ab ————- (2)
సమీకరణం (2)ను (1)తో పోల్చగా
x² + 3xy + x + my – m
= x² + (a + b)x + 3xy + 3by + ab
ఇరువైపులా సజాతి పదాలను పోల్చగా
(a + b)x = x ⇒ a + b = 1 ————- (3)
3by = my ⇒ 3b = m ⇒ b = \(\frac {m}{3}\)
b విలువను (3)లో ప్రతిక్షేపించగా
a = 1 – b = 1 – \(\frac {m}{3}\) = \(\frac{3-m}{3}\)
ab = – m కావున a మరియు b లను ప్రతిక్షేపించగా
(\(\frac {m}{3}\))(\(\frac{3-m}{3}\)) = – m
\(\frac{3 m-m^{2}}{9}\) = – m
⇒ 3m – m² = – 9m
⇒ m² – 9m – 3m = 0
⇒ m² – 12m = 0
⇒ m(m – 12) = 0
= m = 0 లేదా m = 12
m = 12 అయిన
b = \(\frac {12}{3}\) = 4 మరియు a = \(\frac{3-12}{3}=\frac{-9}{3}\) = -3
ఇచ్చిన సమాసానికి రేఖీయ కారణాంకాలు
= (x + 3y – 3), (x + 4)
m = 0 అయిన b = \(\frac {0}{3}\) = 0 మరియు
a = \(\frac{3-0}{3}=\frac{3}{3}\) = 1
∴ రేఖీయ కారణాంకాలు = (x + 3y + 1), x

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 కారణాంక విభజన Ex 12.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 12th Lesson కారణాంక విభజన Exercise 12.1

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింద ఇచ్చిన పదముల యొక్క సామాన్య కారణాంకములు కనుక్కోండి.
సాధన.
(i) 8x, 24
8x = 2 × 2 × 2 × x
24 = 8 × 3 = 2 × 2 × 2 × 3
∴ 8x, 24 ల సామాన్య కారణాంకాలు = 2, 4, 8

(ii) 3a, 21ab
3a = 3 × a
21ab = 7 × 3 × a × b
∴ 3a, 21ab ల సామాన్య కారణాంకాలు = 3, a, 3a

(iii) 7xy, 35x²y³
7xy = 7 × x × y
35x²y³ = 7 × 5 × x × x × y × y × y
∴ 7xy, 35x²y³ల సామాన్య కారణాంకాలు
= 7, x, y, xy, 7xy, 7x, 7y

(iv) 4m², 6m², 8m³
4m² = 2 × 2 × m × m
6m² = 2 × 3 × m × m
8m² = 2 × 2 × 2 × m × m × m
∴ 4m², 6m², 8m³ల సామాన్య కారణాంకాలు
= 2, m, m², 2m, 2m²

(v) 15p, 20qr, 25rp
15p = 3 × 5 × p
20qr = 4 × 5 × q × r
25rp = 5 × 5 × r × p
∴ 15p, 20qr, 25rpల ఉమ్మడి కారణాంకాలు = 5

(vi) 4x², 6xy, 8y²x
4x² = 2 × 2 × x × x
6xy = 2 × 3 × x × y
8y²x = 2 × 2 × 2 × y × y × x
∴ 4x², 6xy, 8xy²ల సామాన్య కారణాంకాలు
= 2, x, 2x

(vii) 12 x²y, 18 xy²
12x²y = 2 × 2 × 3 × x × x × y
18xy² = 3 × 3 × 2 × x × y × y
∴ 12x²y, 18xy²ల సామాన్య కారణాంకాలు
= 2, 3, 6, x, y, xy, 2x, 2y, 2xy, 3x, 3y, 3xy, 6x, 6y, 6xy

ప్రశ్న 2.
ఈ క్రింది వాటిని కారణాంక విభజన చేయండి.
సాధన.
(i) 5x² – 25xy
= 5 × x × x – 5 × 5 × x × y
= 5 × x[x – 5 × y] = 5x [x – 5y]

(ii) 9a² – 6ax
= 3 × 3 × a × a – 2 × 3 × a × x = 3a[3a – 2x]

(iii) 7p² + 49pq
= 7 × p × p + 7 × 7 × p × q = 7p[p + 7q]

(iv) 36 a²b – 60 a²bc
= 2 × 2 × 3 × 3 × a × a × b – 2 × 2 × 3 × 5 × a × a × b × c
= 2 × 2 × 3 × a × a × b[3 – 5c]
= 12a²b[3 – 5c]

(v) 3a²bc + 6ab²c + 9abc²
= 3 × a × a × b × c + 3 × 2 × a × b × b × c + 3 × 3 × a × b × c × c
= 3abc [a + 2b + 3c]

(vi) 4p² + 5pq – 6pq²
= 2 × 2 × p × p + 5 × p × q – 2 × 3 × p × q × q
= p[4p + 5q – 6q²]

(vii) ut + at²
= u × t – a × t × t
= t[u + at]

ప్రశ్న 3.
ఈ క్రింది వాటికి కారణా౦క విభజన చేయండి.
సాధన.
(i) 3ax – 6ay + 8by – 4bx
= [3ax – 4bx] – [6ay – 8by]
= x[3a – 4b] – 2y [3a – 4b]
= (3a – 4b) [x – 2y]

(ii) x³ + 2x² + 5x + 10
= (x³ + 2x²) + (5x + 10)
= (x² × x + 2 × x²) + [5 × x + 5 × 2]
= x²(x + 2) + 5(x + 2)
= (x + 2)(x² + 5)

(iii) m² – mn + 4m – 4n
= (m² – mn) + (4m – 4n)
= (m × m – m × n) + (4 × m – 4 × n)
= m(m – n) + 4(m – n)
= (m – n) (m + 4)

(iv) a³ – a²b² – ab + b³
= (a³ – a²b²) – (ab – b³)
= (a² × a – a² × b²) – (a × b – b × b²)
= a²(a – b²) – b(a – b²)
= (a – b²) (a² – b)

(v) p²q – pr² – pq + r²
= (p²q – pr²) – (pq – r²)
= (p × p × q – p × r × r) – (p × q – r × r)
= P(pq – r²) – (pq – r²) × 1
= (p – 1) (pq – r²)

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 త్రిమితీయ వస్తువులను ద్విమితీయంగా చూపుట InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రిమితీయ వస్తువులను ద్విమితీయంగా చూపుట InText Questions

ఇవి చేయండి

1. త్రిమితీయాలు గల కొన్ని వస్తువుల పేర్లు వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 282)
సాధన.
1. సమఘనం
2. స్థూపం
3. గోళం
4. దీర్ఘ ఘనం
5. శంఖువు

2. ద్విమితీయ ఆకారాలు గల కొన్ని పటముల పేర్లు వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 282)
సాధన.
1. చతురస్రం
2. దీర్ఘచతురస్రం
3. రేఖాఖండం
4. వృత్తం
5. త్రిభుజము

3. గాలిపటము (kite) చిత్రము గీయండి. అది ద్విమితీయ పటమా లేక త్రిమితీయ వస్తువా గుర్తించండి. (పేజీ నెం. 282)
సాధన.

ఇది ఒక ద్విమితీయ పటం

4. ఘనము, దీర్ఘఘనాకారము గల కొన్ని వస్తువులను గుర్తించండి. (పేజీ నెం. 282)
సాధన.

5. వృత్తము, గోళము మధ్య తేడా ఏమిటి ?
సాధన.
వృత్తం – ఇది ఒక ద్విమితీయ ఆకారం ; గోళం – ఇది ఒక త్రిమితీయ వస్తువు.

6. కింద ఇచ్చిన పట్టకముల పేర్లు రాయంది. (పేజీ నెం. 290)

సాధన.
(i) సమఘనం
(ii) త్రిభుజాకార పట్టకం
(iii) పంచభుజాకార పట్టకం
(iv) షడ్భుజాకార పట్టకం దీర్ఘచతురస్రాకార పట్టకం

7. కింద ఇచ్చిన పిరమిడ్ ల పేర్లను రాయండి. (పేజీ నెం. 290)

సాధన.
(i) చతురస్రాకార పిరమిడ్
(ii) పంచభుజాకార పిరమిడ్
(iii) షడ్భుజాకార పిరమిడ్

8. కింది పట్టిక నందు వాటి భుజముల ఆధారంగా పిరమిడ్ పట్టకము యొక్క పేర్లను వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 290)

సాధన.

9. పట్టకము, పిరమిడ్ల మధ్య తేడాలను వివరించండి. (పేజీ నెం. 290)
సాధన
పట్టకంలో పై, కింది తలాల యొక్క భుజాల సంఖ్య సమానంగా ఉంటుంది.
పిరమిడ్ లో భూమి సమతలంగా ఉండి ఆ సమతలాల శీర్షాలతో ఏర్పడు అంచులన్నీ పైన ఒకే బిందువు వద్ద ఏకీభవిస్తాయి.

ప్రయత్నించండి

1. బహుముఖి ఫలకముగా గల వస్తువులకు 3 ఉదాహరణలు ఇవ్వండి. (పేజీ నెం. 287)
సాధన.
బహుముఖ ఫలకముగా గల వస్తువులు :

2. బహుముఖేతర ఫలకముగా గల వస్తువులకు 3 ఉదాహరణలు ఇవ్వండి. (పేజీ నెం. 282)
సాధన.
బహుముఖేతర ఫలకాలు గల వస్తువులు :

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి

1. ఒక వస్తువు వివిధ స్థానాల నుండి వివిధ ఆకారాలలో కనిపిస్తుంది. ఉదాహరణకు

పై పటమును పై నుండి చూసినప్పుడు, కింది నుండి చూసినప్పుడు కనిపించు ఆకారము యొక్క చుట్టుకొలత, వైశాల్యము కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 283)
సాధన.
ఒక్కొక్క తలం యొక్క భుజం ‘1’ యూనిట్ అనుకొనిన
వివిధ స్థానాలలోని ఆకారాలు (I)
1. ముందు నుండి చూసినపుడు
2. పై నుండి చూసినప్పుడు
3. కింద నుండి చూసినప్పుడు

వాటి వైశాల్యాలు (II)
A = (1 × 1) + (1 × 1) + (1 × 1) = 3 చ.యూ.
A= (1 + 1 + 1) × (1 + 1) = 3 × 2 = 6 చ.యూ.
A = (1 + 1 + 1) × (1 + 1) = 3 × 2 = 6 చ.యూ.

చుట్టుకొలతలు (III)
1. —————–> 1 + 1 + 1 = 3 యూనిట్లు
2. ————–> 2(l + b) = 2 (3 + 2) = 2 × 5 = 10 యూనిట్లు
3. ————–> 2(l + b) = 2 (3 + 2) = 2 × 5 = 10 యూనిట్లు

2. ఒక క్రమ పిరమిడ్ నందు అడుగు తలము యొక్క భుజముల సంఖ్య అనంతముగా పెంచినచో, ఆ పిరమిడ్ మార్పు చెందు ఆకారమును గమనించండి. (పేజీ నెం. 291)
సాధన.
ఒక క్రమ పిరమిడ్ నందు అడుగు తలము యొక్క భుజాల సంఖ్యను అనంతంగా పెంచినచో ఆ తలం ఒక వృత్తాకారాన్ని సంతరించుకుంటుంది. తద్వారా ఆ పిరమిడ్ ఒక శంఖువు ఆకారాన్ని ఆపాదించుకుంటుంది,

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 త్రిమితీయ వస్తువులను ద్విమితీయంగా చూపుట Ex 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రిమితీయ వస్తువులను ద్విమితీయంగా చూపుట Exercise 13.2

ప్రశ్న 1.
కింది పటములో గల బహుముఖి యొక్క తలములు, శీర్షములు, అంచుల యొక్క సంఖ్యను లెక్కించండి. వాటికి ఆయిలర్ సూత్రాన్ని సరిచూడండి.
(లేదా)
భూమి పంచభుజిగాగల క్రమ పిరమిడ్ యొక్క F, V, E లను రాసి ఆయిలర్ నియమము వినియోగించండి.


సాధన.

ప్రశ్న 2.
చతురస్రాకార పట్టకము, సమఘనము ఒకటేనా ? వివరించండి.
సాధన.
చతురస్రాకార పట్టక భూమి, సమఘనం యొక్క భూమి రెండూ చతురస్రాకారాన్ని కలిగి ఉంటాయి. కావునా రెండూ ఒకటే.

ప్రశ్న 3.
ఏదైనా బహుముఖి 3 త్రిభుల తలములు కలిగి ఉంటుందా ? వివరించండి.
సాధన.
ఏ బహుముఖి కూడా 3 త్రిభుజ తలాలను కలిగి ఉండదు. త్రిభుజాకార పిరమిడ్ కూడా 4 తలాలను కలిగి ఉంటుంది.
∴ ఏ బహుముఖి అయిన కనీసం 4 త్రిభుజాకార తలాలు కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 4.
ఏదైనా బహుముఖ 4 త్రిభుజ తలములు కలిగి ఉంటుందా ? వివరించండి.
సాధన.
అవును. త్రిభుజాకార పిరమిడ్ 4 త్రిభుజ తలాలను కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 5.
కింది టేబుల్ నందలి ఖాళీలను ఆయిలర్ సూత్రము ఆధారముగా పూరించండి.

సాధన.

(i) E = V + F – 2 = 8 + 6 – 2 = 12
(ii) V = E + 2 – F = 9 + 2 – 5 = 6
(iii) F = E + 2 – V = 30 + 2 – 12 = 20

ప్రశ్న 6.
ఏదైనా ఒక బహుముఖి 10 తలములు, 20 అంచులు, 15 శీర్షములు కలిగి ఉంటుందా ? వివరించండి.
సాధన.
తలాలు = 10, అంచులు – 20, శీర్షాలు = 15
ఆయిలర్ సూత్రం ఆధారంగా ఏ బహుముఖి అయినను V + F – E = 2ను పాటించాలి.
∴ 15 + 10 – 20 = 2
⇒ 25 – 20 = 2
⇒ 5 ≠ 2
∴ 10 తలాలు, 20 అంచులు, 15 శీర్షాలు గల బహుముఖి ఉండుట అసాధ్యం.

ప్రశ్న 7.
కింది పట్టికను పూరించండి.
(లేదా)
చతురస్రాకార పిరమిడ్ యొక్క చిత్తు పటమును గీయండి.

సాధన.

ప్రశ్న 8.
కింద నీయబడిన వలరూపాల ద్వారా 3-D వస్తువులు లేక ఆకారాలను గుర్తించి వ్రాయండి.

సాధన.
(i) షడ్భుజాకార పిరమిడ్
(ii) దీర్ఘ ఘనం
(iii) పంచభుజాకార పిరమిడ్
(iv) స్టూపం
(v) ఘనం
(vi) షడ్భుజాకార పిరమిడ్
(vii) సమలంబ చతుర్భుజం

9. కింది వలరూపములను చెక్ రూల్ బుక్ నందు గీయండి. మరియు కింద నీయబడిన వల రూపములతో సమఘనము తయారుచేయగల వలరూపములను కనుగొనండి.

ప్రశ్న (i)

సాధన.
పై పటాలను చెక్ రూల్ పై గీయండి.
పై పటాల నుండి సమఘనం తయారుచేయగల వల రూపాలు a, b, c, e లు.

ప్రశ్న (ii)
కింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలు ఇవ్వండి.
(a) నాలుగు శీర్షములు, 4 తలములు గల బహుముఖీని పేర్కొనండి.
(b) ఒక శీర్షము కూడా లేని ఘనాకారపు వస్తువును పేర్కొనండి.
(c) 12 అంచులు గల బహుముఖీని పేర్కొనండి.
(d) ఒకే ఒక తలము గల ఘనాకారపు వస్తువును పేర్కొనండి.
(e) సమఘనము, దీర్ఘఘనమునకు గల భేదములు వివరించండి.
(f) అంచుల సంఖ్య, శీర్షముల సంఖ్య, తలముల సంఖ్య సమానముగా గల రెండు బహుముఖిలను పేర్కొనండి.
(g) 5 శీర్షములు, 5 తలములు గల బహుముఖీని పేర్కొనండి.
సాధన.
(a) చతుర్భుజి
(b) గోళము
(c) ఘనం / దీర్ఘఘనం
(d) సమగోళము
(e) ఘనము ఒక క్రమతల ఫలకము (అనగా అన్ని భుజాలు సమానాలు), దీర్ఘఘనం క్రమ సమతల ఫలకం కాదు.
(f) ఘనము, దీర్ఘఘనము
(g) చతుర్భుజాకార పట్టకం

ప్రశ్న (iii)
కింది పటముల యొక్క పేర్లను పేర్కొనండి.

సాధన.
(a) అష్టభుజాకార పట్టకం
(b) అష్టభుజాకార పట్టకం
(c) త్రిభుజాకార పట్టకం
(d) పంచభుజాకార పట్టకం

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 త్రిమితీయ వస్తువులను ద్విమితీయంగా చూపుట Ex 13.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రిమితీయ వస్తువులను ద్విమితీయంగా చూపుట Exercise 13.1

ప్రశ్న 1.
కింది చిత్రాలను సమాన మాపము కల చుక్కల పటము (isometric dot sheet) పై గీయండి.

సాధన.

ప్రశ్న 2.
5 యూనిట్లు × 3 యూనిట్లు × 2 యూనిట్లు కొలతలు కల దీర్ఘఘనమును సమాన మాపము గల చుక్కల పటముపై గీయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 3.
కింద ఇవ్వబడిన చిత్రముల యందున్న 1 యూనిట్ కొలతలు గల సమఘనముల సంఖ్యను తెలపండి.

సాధన.
(i) ————–> 2 + 3 = 5
(ii) ————-> 2 × 4 + 1 = 9
(iii) ————-> 4 + 16 = 20
(iv) ————–> 1 + 4 + 9 = 14

ప్రశ్న 4.
3వ ప్రశ్న యందు ఇవ్వబడిన పటములలో షేడ్ (shade) చేయబడిన ప్రదేశాల వైశాల్యములు కనుక్కోండి.
సాధన.
పటం ————–> షేడ్ చేయబడిన ప్రదేశాల మొత్తం వైశాల్యం
(i) ————–> 3 × 1 × 1 = 3 చ.యూ
(ii) ————-> (2 × 4) + 1 = 9 చ.యూ
(iii) ————-> 4 + (16 – 8) = 4 + 8 = 12 చ.యూ
(iv) ————-> 1 + (4 – 1) + (9 – 4) = 1 + 3 + 5 = 9 చ. యూ.

ప్రశ్న 5.
కింద ఇవ్వబడిన పటములో, వాటి యొక్క పై నుండి, ప్రక్క నుండి, ముందు నుండి చూచినపుడు కనబడు ఆకారముల పటములు గీయండి. (సమాన మాపము గల చుక్కల పటము నందు ఏ రెండు వరుస చుక్కల మధ్య దూరము 1 సెం.మీ.)

సాధన.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 14 ఉపరితల వైశాల్యము మరియు ఘనపరిమాణం (ఘనము-దీర్ఘఘనము) InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 14th Lesson ఉపరితల వైశాల్యము మరియు ఘనపరిమాణం InText Questions

ఇవి చేయండి

1. ఈ క్రింది దీర్ఘఘనముల యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 298)

సాధన.
(i) l = 4 సెం.మీ., b = 4 సెం.మీ., h = 10 సెం.మీ.
దీర్ఘఘనం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2 (lb + bh + lh)
= 2(4 × 4 + 4 × 10 + 4 × 10)
= 2(16 + 40 + 40)
= 2 × 96 = 192 చ.సెం.మీ.
(ii) l = 6 సెం.మీ., b = 4 సెం.మీ., h = 2 సెం.మీ.
దీర్ఘ ఘనం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2 (lb + bh + lh)
= 2 (6 × 4 + 4 × 2+ 6 × 2)
= 2 (24 + 8 + 12)
= 2 × 44 = 88 చ.సెం.మీ.

2. 6 సెం.మీ., 4 సెం.మీ. మరియు 5 సెం.మీ. కొలతలుగా గల దీర్ఘఘనము యొక్క ఘనపరిమాణమును కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 305)

ఒక ఘనపు భుజము సెం.మీ. గా గల ప్రమాణ ఘనములను దీర్ఘఘనము పొడవు వెంబడి పేర్చుము. దీని కొరకు మనకు ఎన్ని ఘనములు అవసరము ? 6 ప్రమాణ ఘనములు అవసరము. వెడల్పు వెంబడి ఎన్ని ప్రమాణు ఘనములు పేర్చవచ్చు ? 4 ప్రమాణ ఘనములు దీనికి గల కారణము దీర్ఘ ఘనము యొక్క వెడల్పు 4 సెం.మీ. అనగా ఒక పారలో 6 × 4 ప్రమాణ ఘనములు ఉంటాయి.

దీర్ఘ ఘనములో ప్రమాణ ఘనములు అమర్చే పొరలు ఎన్ని ? 5 పొరలు అనగా దీర్ఘఘనము యొక్క ఎత్తు 5 సెం.మీ. ప్రతి పౌర 6 × 4 ఘనములు కలవు. కావున 5 పొరలలో 6 × 4 × 5 ప్రమాణ సమఘనాల దిమ్మలు ఉంటాయి. అనగా l × b × hకు సమానం.
పై చర్చ దీర్ఘఘనము యొక్క ఘనపరిమాణమునకు సూత్రము నిచ్చును.
దీర్ఘఘన ఘనపరిమాణము = పొడవు × వెడల్పు × ఎత్తు
సాధన.
6 సెం.మీ., 4 సెం.మీ. మరియు 5 సెం.మీ. కొలతలు గల దీర్ఘ ఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం
V= lbh ⇒ V = 6 × 4 × 5 ⇒ V = 120 సెం.మీ³

3. 64 ప్రమాణ ఘనములను ఉపయోగించి మీరు ఏర్పరచగల దీర్ఘఘనములు ఎన్ని ? ప్రతీ అమరిక యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము కనుక్కోండి. సమాన ఘనపరిమాణము కలిగిన ఘనముల యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యములు సమానమేనా ? (పేజీ నెం. 306)
సాధన.
64 ప్రమాణ ఘనములను ఉపయోగించి మీరు ఏర్పరచగల దీర్ఘఘనాల సంఖ్య
64 = 1 × 64 ……….. (1)
= 2 × 32 ………………… (2)
= 4 × 16 ………………….. (3)
ఈ విధంగా 3 విధాలుగా దీర్ఘఘనాలను ఏర్పర్చవచ్చు.
1. l = 64 సెం.మీ. , b = 1 సెం.మీ., h = 1 సెం.మీ.
దీర్ఘఘనం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 2 (lb+ bh + lh)
= 2(64 × 1 + 1 × 1 + 1 × 64)
= 2 (64 + 1 + 64) = 2 × 129 = 258 చ.యూ.

2. l = 32 సెం.మీ., b = 2 సెం.మీ., h = 1 సెం.మీ.
A = 2 (lb + bh + lh)
= 2 (32 × 2 + 2 × 1 + 32 × 1)
= 2 (64 + 2 + 32)
= 2 × 98 = 196 చ.యూ.

3. l = 16 సెం.మీ., b = 4 సెం.మీ., h = 1 సెం.మీ.
A = 2(lb+ bh + lh)
= 2(16 × 4 + 4 × 1 + 16 × 1)
= 2 (64 + 4 + 16)
= 2 × 84 = 168 చ.యూ.

ప్రయత్నించండి

1. (i) సమ ఘనము ‘A’ యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం మరియు ‘B’ యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 300)

సాధన.
a = 10 సెం.మీ.
పటం A యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 6a²
= 6 × (10)²
= 6 × 100 = 600 చ.సెం.మీ.
పటం B యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము = 4a²
= 4 × (8)² [∵ a = 8 సెం.మీ. ]
= 4 × 64 = 256 చ.సెం.మీ.

(ii) ‘b’ భుజముగా గల రెండు సమఘనములు పటములో చూపిన విధముగా జతచేయబడి దీర్ఘఘనమును ఏర్పరిస్తే, ఆ దీర్ఘఘనము యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము ఎంత ?

సాధన.
ప్రక్క దీర్ఘఘనం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2 (lb + bh + lh)

= 2(2b × b + b × b + 2b × b)
= 2(2b² + b² + 2b²)
= 2(5b²) = 10b² చ.యూ.

(iii) సమాన భుజము పొడవు గల 12 సమఘనములు ఏ విధముగా జతచేయడము వలన అత్యల్ప సంపూర్ణతల వైశాల్యము కలిగిన దీర్ఘ ఘనము ఏర్పడుతుందో వివరింపుము.

సాధన.
12 సమఘనాలను ఒకదాని ప్రక్క ఒకటి లేదా ఒకదానిపై ఒకటి అమర్చుట ద్వారా అత్యల్ప సంపూర్ణతల వైశాల్యం సంభవించదు.

∴ A = 2(lb + bh + lh)
= 2(12 × 1 + 1 × 1 + 12 × 1)
= 2(12 + 1 + 12)
= 2 × 25 = 50 చ.యూ
కానీ, 3 సమఘనాలపై నాలుగు వరుసలుగా అమర్చుట ద్వారా అత్యల్ప సంపూర్ణతల వైశాల్యం పొందవచ్చు.
∴ A = 2(lb+ bh + lh)
= 2(3 × 1 + 1 × 4 + 3 × 4) (∵ l = 3; b = 1; h = 4)
= 2(3 + 4 + 12) = 2 × 19 = 38 చ.యూ.

(iv) 4 × 4 × 4 కొలతలు గల ఒక సమఘనము రంగు వేయబడినది. ఆ ఘనము 64 సమఘనములుగా విభజింప బడినది. అయితే
(a) ఒక ముఖము మాత్రమే రంగు వేయబడినది. ఘనములు ఎన్ని ?
(b) రెండు ముఖములు రంగు వేయబడిన ఘనములు ఎన్ని ?
(c) మూడు ముఖములు రంగు వేయబడిన ఘనములు ఎన్ని ?
(d) ఏ ముఖము కూడ రంగు వేయబడని ఘనములు ఎన్ని ?
సాధన.
4 × 4 × 4 సమఘనం 64 సమఘనాలుగా విభజింపబడిన ఒక్కొక్క
సమఘనం యొక్క భుజం పొడవు = 1 యూ.

[∵ \(\frac{4 \times 4 \times 4}{64}\) = 1]
(a) ఒక ముఖము మాత్రమే రంగు వేయబడిన (a = 4) సమఘనాల సంఖ్య = 6(a – 2)² = 6(4 – 2)² = 6 × 4 = 24
(b) రెండు ముఖాలు రంగు వేయబడిన సమఘనాల సంఖ్య = 12(a – 2) = 12(4 – 2) = 24
(c) మూడు ముఖాలు రంగు వేయబడిన సమఘనాల సంఖ్య 4 × a = 4 × 2 = 8
(d) ఏ ముఖం కూడా రంగు వేయబడని సమఘనాల సంఖ్య = (a – 2)³ = (4 – 2)³ = (2)³ = 8

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి

1. దీర్ఘఘనం సంపూర్ణతల వైశాల్యము = ప్రకృతల వైశాల్యము + 2 × భూవైశాల్యము అని మీరు చెప్పగలరా ? (పేజీ నెం. 299)

సాధన.
దీర్ఘఘనం సంపూర్ణతల వైశాల్యం = ప్రక్కతల వైశాల్యం + 2 × భూవైశాల్యం
= 2h(l + b) + 2 × lb
= 2lh +2bh +2lb
= 2(lb + bh + lh)
∴ దీర్ఘఘనం సంపూర్ణతల వైశాల్యం = ప్రక్కతల వైశాల్యం + 2 × భూవైశాల్యం అని చెప్పగలం.

2. పటము (i)లో చూపిన దీర్ఘఘనము భంగిమను పటము (ii)లో లాగ మార్చిన వాటి ప్రక్కతల వైశాల్యాలు సమానంగా ఉంటాయా ?
సాధన.
దీర్ఘఘనం యొక్క భంగిమను ఏ విధంగా మార్చినా దాని ప్రక్కతల వైశాల్యములు సమానంగా ఉండవు.

3. పొడవు (i), వెడల్పు (b), ఎత్తు (h) ల కొలతలు సమానముగా గల దీర్ఘఘనపు పటమును గీచి దాని ప్రక్కతల వైశాల్యము మరియు సంపూర్ణతల వైశాల్యములకు సూత్రము రాబట్టుము.
సాధన.
దీర్ఘఘనం యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం

= 4 × ప్రక్కతల వైశాల్యము
= 2 (l × h) + 2 × (b × h) (1 + 2 + 3 + 4 తలాలు)
= 2h (l + b) చ.యూ. (1 = 3, 4 = 2)
దీర్ఘ ఘనం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 4 × ప్రక్కతల వైశాల్యం + పైన, క్రింది తలాల వైశాల్యం
= 2h (l + b) + 2(lb)
= 2lh + 2bh + 2lb
= 2(lb + bh + lh) చ.యూ.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 14 ఉపరితల వైశాల్యము మరియు ఘనపరిమాణం Ex 14.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 14th Lesson ఉపరితల వైశాల్యము మరియు ఘనపరిమాణం Exercise 14.2

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది కొలతలు కలిగిన దీర్ఘఘనము యొక్క ఘనపరిమాణమును కనుగొనుము.

సాధన.

ప్రశ్న 2.
ఈ క్రింది కొలతలు కలిగిన బ్యాంకు యొక్క సామర్థ్యమును ఘనపు మీటర్లు మరియు లీటర్లలో కనుగొనుము.

సాధన.

ప్రశ్న 3.
ఒక సమఘనము యొక్క భుజమును సగము చేస్తే దాని ఘనపరిమాణము తగ్గుతుందా ? మారినచో ఎంత తగ్గును?
సాధన.
సమఘనం యొక్క భుజం (s) = a యూ. అనుకొనుము సమఘనం యొక్క ఘన పరిమాణం
(V₁) = (s)³ = a × a × a = a³
భుజాన్ని సగం చేయగా, 5 – 2
∴ సమఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం
V₂ = (s)³ = (\(\frac {a}{2}\))³ = \(\frac {a³}{8}\)
V₂ = \(\frac {V}{8}\) లీక V₁ = 8V₂
∴ సమఘనం యొక్క ముజాన్ని సగం చేయగా దాని ఘనపరిమాణం ఆసలు ఘనపరిమాణంలో \(\frac {1}{8}\) వ వంతు తగ్గును.

ప్రశ్న 4.
ఈ క్రింది కొలతలు భుజంగా కలిగిన సమఘనముల యొక్క ఘనపరిమాణము కనుక్కోండి.
(i) 6.4 సెం.మీ. (ii) 1.3 మీ. (iii) 1.6 మీ.
సాధన.
సమఘన ఘనపరిమాణం (V) = a³

ప్రశ్న 5.
8 మీ. × 22.5 సెం.మీ. × 6 మీ. కొలతలుగా గల ఒక గోడను నిర్మించుటకు 25 సెం.మీ. × 11.25 సెం.మీ. × 6 సెం.మీ. కొలతలుగా గల ఇటుకలెన్ని అవసరము?
సాధన.
8 మీ. × 22.5 సెం.మీ. × 6 మీ కొలతలు గల గోడ ఘనపరిమాణం (V₁) = l₁ b₁ h₁
= 8మీ × 22.5 సెం.మీ. × 6 మీ
= 800 × 22.5 × 600 సెం.మీ.
25 సెం.మీ. × 11.25 సెం.మీ. × 6 సెం.మీ.లు కొలతలుగా గల ఇటుక ఘనపరిమాణం (V₂) = l₂ b₂ h₂
= 25 × 11.25 × 6
∴ కావలసిన ఇటుకల సంఖ్య
= \(\frac{\mathrm{V}_{1}}{\mathrm{~V}_{2}}=\frac{800^{32} \times 22.5^{2} \times 600^{100}}{25_{1} \times 11.25_{1} \times 6_{1}}\)
= 32 × 2 × 100 = 6400

ప్రశ్న 6.
25 సెం.మీ. పొడవు, 16 సెం.మీ. వెడల్పు మరియు 8 సెం.మీ. ఎత్తు కొలతలుగా గల దీర్ఘమన ఘనపరిమాణము, ప్రతీ భుజము 16 సెం.మీ.గా గల సమఘనము ఘనపరిమాణముతో ఎంత తేడా కలదు?
సాధన.
l = 25 సెం.మీ., b = 15 సెం.మీ., h = 8 సెం.మీ.
∴ దీర్ఘఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం (V₁) = lbh
⇒ V₁ = 25 × 15 × 8 = 3000 సెం.మీ.
సమఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం (V₂) = s³
⇒ V₂ = (16)³ = 16 × 16 × 16 = 4096 ఘ. సెం.మీ.
∴ V₂ – V₁ = 4096 – 3000 = 1096 ఘ. సెం.మీ.
∴ సమఘనం, దీర్ఘఘనాల పరిమాణాల మధ్య తేడా 1096 ఘ. సెం.మీ. ఉండును.

ప్రశ్న 7.
1సెం.మీ. మందము కలిగిన చెక్కతో 5 సెం.మీ. × 4 సెం.మీ. × 7 సెం.మీ. కొలతలు కలిగిన మూతగల పెట్టెను తయారుచేయడానికి ఎంత ఘనపరిమాణము గల చెక్క అవసరము?
సాధన.
బయటి కొలతలు 5 సెం.మీ. × 4 సెం.మీ × 7 సెం.మీ
గల చెక్క పెట్టి ఘనపరిమాణం V₁ = l × b × h
V₁ = 5 × 4 × 7
V₁ = 140 ఘ. సెం.మీ
లోపలి కొలతలు = l – 2w, b – 2w, h – 2w
= (5 – 2 × 1), (4 – 2 × 1), (7 – 2 × 1)
= (5 – 2), (4 – 2), (7 – 2)
= 3 సెం.మీ., 2 సెం.మీ., 5 సెం.మీ.
∴ 3 సెం.మీ., 2 సెం.మీ., 5 సెం.మీ.లతో ఏర్పడు చెక్క పెట్టె ఘనపరిమాణం
(V₂) = (l – 2w) (b – 2w) (h – 2w)
= 3 × 2 × 5
= 30 ఘ, సెం.మీ.
∴ కావలసిన చెక్క పెట్టి తయారుచేయుటకు అవసరమగు చెక్క ఘనపరిమాణం
= V₁ – V₂ = 140 – 30 = 110 ఘ. సెం.మీ.

ప్రశ్న 8.
20 సెం.మీ. × 18 సెం.మీ. × 16 సెం.మీ. కొలతలుగా గల దీర్ఘఘనం నుండి 4 సెం.మీ. భుజంగా గల ఎన్ని సమఘనములను ఏర్పరచవచ్చు?
సాధన.
20 సెం.మీ. × 18 సెం.మీ. × 16 సెం.మీ.
కొలతలుగా గల దీర్ఘఘన ఘనపరిమాణం . V₁ = lbh
∴ V₁ = 20 × 18 × 16
4 సెం.మీ. భుజంగా గల సమఘన ఘనపరిమాణం
⇒ V₂ = (s)³ = 4 × 4 × 4
∴ కావలసిన సమఘనాల సంఖ్య
= \(\frac{\mathrm{V}_{1}}{\mathrm{~V}_{2}}=\frac{26^{5} \times 18 \times 16}{A \times A \times A}\) = 90

ప్రశ్న 9.
12 సెం.మీ. × 9 సెం.మీ. × 6 సెం.మీ. కొలతలుగా గల దీర్ఘఘనం నుండి 4 సెం.మీ. × 3 సెం.మీ. × 2 సెం.మీ. కొలతలుగా గల దీర్ఘఘనాలను ఎన్నింటిని తయారుచేయవచ్చు?
సాధన.
12 సెం.మీ. × 9 సెం.మీ. × 6 సెం.మీ. కొలతలుగా గల దీర్ఘఘన ఘనపరిమాణం
V₁ = l₁ × b₁ × h₁ = 12 × 9 × 6
4 సెం.మీ. × 3 సెం.మీ. × 2 సెం.మీ. కొలతలుగా గల దీర్ఘఘన ఘనపరిమాణం
V₂ = l₂ × b₂ × h₂ = 4 × 3 × 2
∴ కావలసిన సమఘనాల సంఖ్య
= \(\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{12^{3} \times 9 \times 6}{A_{1} \times \beta^{\prime} \times 2}\) = 27

ప్రశ్న 10.
దీర్ఘఘనాకృతిలో ఉన్న ఒక పాత్ర 30 సెం.మీ. పొడవు, 25 సెం.మీ. వెడల్పు కలిగియున్నది. దానిలో 4.5 లీటర్ల నీటిని నింపుటకు ఎంత ఎత్తును కలిగి ఉండాలి?
సాధన.
దీర్ఘఘనాకార పాత్ర పొడవు (l) = 30 సెం.మీ.
వెడల్పు (b) = 25 సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = ?
దీర్ఘఘనాకార పాత్రలో నీటి పరిమాణం (ఘనపరిమాణం) = 4.5 లీటర్లు
= 4.5 x 1000 ఘ. సెం.మీ.
= 4500 ఘ. సెం.మీ.
∴ l × b × h = 45000
⇒ 30 × 25 × h = 4500
⇒ h = \(\frac {4500}{30 × 25}\)
∴ h = 6 సెం.మీ

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 14 ఉపరితల వైశాల్యము మరియు ఘనపరిమాణం (ఘనము-దీర్ఘఘనము) Ex 14.11 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 14th Lesson ఉపరితల వైశాల్యము మరియు ఘనపరిమాణం Exercise 14.1

ప్రశ్న 1.
పటములో చూపిన విధముగా రెండు దీర్ఘఘనాకృతి పెట్టెలు ఇవ్వబడ్డాయి. ఏ పెట్టెను తయారు చేయడానికి తక్కువ పరిమాణపు సామాగ్రి అవసరమవుతుంది?

సాధన.
దీర్ఘఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం
(V₁) = lbh
= 60 × 40 × 50
V₁ = 1,20,000 ష్మణమూ.
సమఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం
V₂ = (a)³
= (50)³ = 50 × 50 × 50
V₂ = 1,25,000 ఘ.యూ.
∴ V₁ < V₂
∴ మొదటి దీర్ఘఘనాన్ని తయారుచేయుటకు తక్కువ పరిమాణపు సామాగ్రి అవసరం.

ప్రశ్న 2.
600 చ.సెం.మీ. సంపూర్ణతల వైశాల్యం గల సమఘనం యొక్క భుజం పొడవును కనుక్కోండి..
సాధన.
సమఘనం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 6a²
⇒ 6a² = 600
a² = \(\frac {600}{6}\) = 100
a² = 100
a = \(\sqrt{100}\) = 10
∴ సమఘనం యొక్క భుజం (a) = 10 సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
ప్రమీల 1 మీ. × 2 మీ. × 1.5 మీ. కొలతలు గల ఒక పెట్టెకు రంగు వేసింది. పెట్టె యొక్క పై ముఖము, అడుగు ముఖమును మినహాయించి మిగిలిన ముఖముల వైశాల్యముల మొత్తము ఎంత ?
సాధన.
దీర్ఘఘనము యొక్క పై మరియు అడుగు ముఖాలు కాకుండా మిగిలిన ముఖాల యొక్క మొత్తం వైశాల్యం దాని ప్రక్కతల వైశాల్యానికి సమానం అవుతుంది.
l = 1 మీ., b = 2 మీ., h = 1.5 మీ.
A= 2h (l + b)
= 2 × 1.5 (1 + 2)
= 3 × 3 = 9 ఘ.మీ.

ప్రశ్న 4.
20 సెం.మీ. × 15 సెం.మీ. × 12 సెం.మీ కొలతలుగా గల దీర్ఘఘనమునకు రంగు వేయుటకు చదరపు సెంటీ మీటరునకు 5 పైసలు చొప్పున ఎంత ఖర్చు అగును?
సాధన.
l = 20 సెం.మీ., b + 15 సెం.మీ., h = 12 సెం.మీ.
∴ దీర్ఘఘనం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం
A = 2(lb+ bh + lh)
= 2(20 × 15 + 15 × 12+ 20 × 12)
= 2(300 + 180 + 240)
= 2 × 720
= 1440 చ, సెం.మీ.
1 సెం.మీ.నకు 5 పైసలు వంతున 1440 చ సెం.మీ,
దీర్ఘఘనానికి రంగు వేయుటకు అగు ఖర్చు
= 1440 × 5 పై
= 7200 పై
= రూ. = \(\frac {7200}{100}\) = రూ. 72

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 15th Lesson సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం InText Questions

ఇవి చేయండి

1. ఈ కింది సంఖ్యలలో దిగువ గీత గీయబడిన అంకెల యొక్క స్థాన విలువలు రాయండి. (పేజీ నెం. 312)
(i) 29879
(ii) 10344
(iii) 98725
సాధన.
(i) 29879
8 యొక్క స్థాన విలువ = 8 × 100 – 800
2 యొక్క స్థాన విలువ – 2 × 10,000 = 20,000
(ii) 10344
4 యొక్క స్థాన విలువ = 4 × 1 = 4
3 యొక్క స్థాన విలువ = 3 × 100 = 300
(iii) 98725
5 యొక్క స్థాన విలువ = 5 × 1 = 5
8 యొక్క స్థాన విలువ = 8 × 1000 = 8,000

2. కింది సంఖ్యలను విస్తరణ రూపంలో వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 313)
(i) 65
(ii) 74
(iii) 153
(iv) 612
సాధన.
సంఖ్య – విస్తరణ రూపం
(i) 65 = 60 + 5 = (6 × 10¹) + (5 × 10⁰)
(ii) 74 = 70 + 4 = (7 × 10¹) + (4 × 10⁰)
(iii) 153 = 100 + 500 + 3 = (1 × 10²) + (5 × 10¹) + (3 × 10⁰)
(iv) 612 = 600 + 10 + 2 = (6 × 10²) + (1 × 10¹) + (2 × 10⁰)

3. కింది సంఖ్యల విస్తరణ రూపాల్ని, సాధారణ రూపంలోకి మార్చండి. (పేజీ నెం. 313)
(i) 10 × 9 + 4
(ii) 100 × 7 + 10 × 4 + 3
సాధన.
విస్తరణ రూపం – సాధారణ రూపం
(i) 10 × 9 + 4 = 90 + 4 = 94
(ii) 100 × 7 + 10 × 4 + 3 = 700 + 400 + 3 = 743

4. కింది ఖాళీలు పూరించండి. (పేజీ నెం. 313)
సాధన.
(i) 100 × 3 + 10 × _______ + 7 = 357 (5)
(ii) 100 × 4 + 10 × 5 + 1 = _______ (451)
(iii) 100 × _______ + 10 × 3 + 7 = 737 (7)
(iv) 100 × _______ + 10 × q + r = \(\overline{\mathrm{pqr}}\) (p)
(v) 100 × x + 10 × y + z = _________ (\(\overline{\mathrm{xyz}}\))

5. దిగువ 82తో ప్రారంభించి సహజసంఖ్యలను వెనుకకు 1 వరకు వ్రాయగా వచ్చు సంఖ్య ఇవ్వబడినది. మీకు ఇది తెలుసా? (పేజీ నెం. 313)
82818079787776757473727170696867666564636261605958575655545352515049484746454443424140393837363534333231302928272625242322212019181716151413
ఇందులో ఎన్ని అంకెలున్నాయి ? ఇంత పెద్దదయిన ఇది ప్రధాన సంఖ్యయో !
సాధన.
ఇందు అంకెల సంఖ్య 155

6. కింది సంఖ్యల యొక్క కారణాంకాలన్నింటిని వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 314)
సాధన.
(a) 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12,24
(b) 15 = 1, 3, 5, 15
(c) 21= 1, 3, 7, 21
(d) 27 = 1, 3, 9, 27
(e) 12= 1, 2, 3, 4, 6, 12
(f) 20 = 1, 2, 4, 5, 10, 20
(g) 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18
(h) 23 = 1, 23
(i) 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

7. కింది సంఖ్యల యొక్క మొదటి 5 గుణిజాలు వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 314)
(a) 5
(b) 8
(c) 9
సాధన.
(a) 5 = 5, 10, 15, 20, 25
(b) 8 = 8, 16, 24, 32, 40
(c) 9 = 9, 18, 27, 36, 45

8. కింది సంఖ్యలను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంగా వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 314)
(a) 72
(b) 158
(c) 243
సాధన.
(a) 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
(b) 158 = 2 × 79
(c) 243 = 7 × 7 × 7

9. కింది సంఖ్యలు 10 తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడునో, లేదో తెలపండి. (పేజీ నెం. 315)
(a) 3860
(b) 234
(c) 1200
(d) 10³
(e) 10 + 280 + 20
సాధన.
(a) 3860, (c) 1200, (d) 10³ = 1000, (e) 10 + 280 + 20 = 310ల నుండి (a), (c), (d), (e)లు 10చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడును.
[∵ పై సంఖ్యలలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె సున్న]
(b) 234, 10 చే భాగింపబడదు.
[∵ 234లో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ‘0’ కాదు. కావున ఇది 10చే భాగింపబడదు. ]

10. కింది సంఖ్యలు 10 తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడునో లేదో తెలపంది. (పేజీ నెం. 315)
(a) 10¹⁰
(b) 2¹⁰
(c) 10³ + 10¹
సాధన.
a) 10¹⁰ = 10000000000
b) 2¹⁰ = 1024
c) 10³ + 10¹ = 1000 + 10 = 1010
పై సంఖ్యలలో a, c లు 10 చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడును.
b 10చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడదు.
ఎందుకనగా 1024లో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె “సున్న” కాదు.

11. కింది సంఖ్యలు 5 చే నిశ్శేషముగా భాగింపబడునో లేదో తెలపండి. (పేజీ నెం. 315)
(a) 205
(b) 4560
(c) 402
(d) 105
(e) 235785
సాధన.
ఒక సంఖ్య ‘5’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్యలోని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ‘0’ లేక ‘5’ అయి ఉండవలెను.
(a) 205 (d) 105 (e) 235785 సంఖ్యలలోని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ‘5’ కావునా ఇవి ‘5’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడును.
(b) 4560 లో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ‘O’ కావున ఇది (5’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.
(c) 402 యొక్క ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ‘2’ కావున ఇది ‘5’చే భాగింపబడదు.

12. కింది సంఖ్యలు 3 లేక 9 లేక రెండింటితోను నిశ్శేషముగా భాగింపబడునో, లేదో భాజనీయతా నియమముల ఆధారంగా తెలపండి. (పేజీ నెం. 318)
(a) 3663
(b) 186
(c) 342
(d) 18871
(e) 120
(f) 3789
(g) 4542
(h) 5779782
సాధన.

13. కింది సంఖ్యలు ‘6’ తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడునో లేదో తెలపండి.
(a) 1632
(b) 456
(c) 1008
(d) 789
(e) 369
(f) 258
సాధన.

14. కింది సంఖ్యలు ‘6’చే నిశ్శేషముగా భాగింపబడునో, లేదో తెలపండి.
(a) 458 + 676
(b) 6³
(c) 6² + 6³
(d) 2² × 3²
సాధన.

15. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 అంకెలతో, మొదటి రెండంకెలతో ఏర్పడు సంఖ్య 2చే భాగించబడునట్లు, మొదటి మూడంకెలచే ఏర్పడు సంఖ్య 3చే భాగించబడునట్లు, మొదటి నాలుగంకెలచే ఏర్పడు సంఖ్య 4చే భాగించబడునట్లు మరియు ఇదే క్రమము 9 అంకెల వరకు కొనసాగించగలుగు సంఖ్యను తయారుచేయగలదా? సాధన. 123654987 క్రమపు సంఖ్య సమస్యకు సాధనగా కనిపిస్తుంది. పరీక్షించి సరిచూడండి.
సాధన.

కావున ఈ సంఖ్యను 9 వరకు కొనసాగించలేము.
→ 123654987
2 : 12 → \(\frac {2}{2}\)(R = 0) 2 చే భాగింపబడును.
3 : 123 → 1 + 2 + 3 → \(\frac {6}{3}\)(R = 0) అవును
4 : 1236 → \(\frac {36}{4}\)(R = 0) అవును
5 : 12365 → \(\frac {5}{5}\)(R = 0) అవును

9 123654987 → 1 + 2 + 3 + 6 + 5 + 4 + 9 + 8 + 7 → \(\frac {45}{9}\)(R = 0) అవును
∴ 123654987 క్రమపు సంఖ్యలోని మొదటి రెండంకెలు 2తోను, మొదటి మూడంకెలు 3తోను. ఈ విధంగా చివరి
వరకు అన్ని సందర్భాలలో భాగింపబడుట లేదు.

16. కింది సంఖ్యలు 4 లేక 8 లేక రెండింటితోను భాగింపబడునో, లేదో భాజనీయతా నియమం ప్రకారం తెలపండి.
(a) 464 (b) 782 (c) 3688 (d) 100 (e) 1000 (f) 387856 (g) 4⁴ (h) 8³ (పేజీ నెం. 321)
సాధన.
ఒక సంఖ్య 4చే భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్యలోని చివరి రెండంకెలు ‘4’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడవలెను.
ఒక సంఖ్య ‘8’చే భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్యలోని చివరి మూడంకెలు ‘8’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడవలెను.

17. కింది సంఖ్యలు, 11చే భాగింపబడునో లేదో భాజనీయతా నియమము ద్వారా కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 323)
(i) 4867216 (ii) 12221 (iii) 100001
సాధన.
ఒక సంఖ్య ’11’చే భాగింపబడవలెనన్న “ఆ సంఖ్య యొక్క సరి స్థానాలలోని అంకెల మొత్తం మరియు బేసి స్థానాలలోని అంకెల మొత్తాల భేదం 11 యొక్క గుణిజం లేదా ‘0’ అయి ఉండవలెను.

18. వివిధ సంఖ్యల జతలు తీసుకుని వాటికి పై నాలుగు నియమములు సరి చూడండి. (పేజీ నెం. 325)
సాధన.
(a) ‘a’ అను సంఖ్య ‘b’ చే భాగింపబడిన అది ‘b’ యొక్క అన్ని కారణాంకములచే భాగింపబడును.
ఉదా : 36 యొక్క కారణాంకం 18
18 యొక్క కారణాంకాలు = 1, 2, 3, 6, 9, 18
కావున 36, 18 యొక్క అన్ని కారణాంకాలచే భాగింపబడును.
(b) ‘a’, ‘b’ లు పరస్పర ప్రధానసంఖ్యలైనపుడు a మరియు b చే భాగించబడు సంఖ్య a × b తో కూడా భాగింపబడును.
ఉదా : 60 ఒక సంఖ్య. ఇది 3, 4 లచే భాగింపబడును. మరియు 3 × 4 = 12 చే కూడా 60 భాగింపబడును.
(c) “రెండు సంఖ్యలు, వేరువేరుగా మూడవ సంఖ్యతో భాగింపబడుచున్నచో, వాటి మొత్తం కూడా మూడవ సంఖ్యతో భాగింపబడును. ఉదా : ఏవైనా రెండు సంఖ్యలు 18, 9లు తీసుకొందాం. 18, 9 లు 3చే భాగింపబడును. నాటి మొత్తము 18 + 9 = 27 కూడా ‘3’ చే భాగింపబడును.
(d) “రెండు సంఖ్యలు, వేరువేరుగా మూడవ సంఖ్యతో భాగింపబడినట్లయితే, వాటి భేదం కూడా మూడవ సంఖ్యచే భాగింపబడును”.
ఉదా : 25, 30 లు ఏవేని రెండు సంఖ్యలు అనుకొనుము. ఇవి ‘5’ చే భాగింపబడును. వాటి భేదం 30 – 25 = 5 కూడా ‘5’ చే భాగింపబడును.

19. 144, 12 చే భాగించబడును. 144, 12 యొక్క అన్ని కారణాంకములచే భాగింపబడునో, లేదో పరిశీలించండి. (పేజీ నెం. 325)
సాధన.
12 యొక్క కారణాంకాలు = 1, 2, 3, 4, 6, 12
∴ 144, 12 యొక్క అన్ని కారణాంకాలచే భాగింపబడును.

20. 2³ + 2⁴ + 2⁵, 2తో భాగింపబడునో లేదో తెలపండి. వివరించండి. (పేజీ నెం. 325)
సాధన.
2³ + 2⁴ + 2⁵ = 8 + 16 + 32 = 56. ఒక సరి సంఖ్య కావునా ఇది ‘2 చే భాగింపబడును.

21. 3³ – 3², 3 తో భాగింపబడునో లేదో తెలపండి. వివరించండి. (పేజీ నెం. 325)
సాధన.
3³ – 3² = 27 – 9 = 18 → 1 + 8 = → \(\frac {9}{3}\) (R = 0) కావున ఇది ‘3’చే భాగింపబడును.

22. రాజు తలచుకున్న సంఖ్యకు బదులుగా కింది సంఖ్యలు తీసుకుని ఫలితమును సరి చూడండి.. (పేజీ నెం. 328)
(i) 37 (ii) 60 (iii) 18 (iv) 89
సాధన.
(i) 37 సంఖ్యలోని అంకెలను తారుమారు చేయగా వచ్చు సంఖ్య = 73
∴ 37 + 73 → \(\frac {110}{11}\) (R = 0) కావున ఇది ’11’చే భాగింపబడుతుంది.

23. ఒక క్రికెట్ టీమ్ నందు 11 మంది ఆటగాళ్ళు కలరు. క్రికెట్ బోర్డు వారికి 10x + y టీ షర్ట్స్ కొనుగోలు చేసింది. తిరిగి బోర్డ్ 10y + x టీ షర్ట్స్ కొనుగోలు చేసింది. మొత్తం టీ షర్ట్స్ అందరికీ సమంగా పంచితే, ఎన్ని టీ షర్ట్స్ మిగులుతాయి? ఒక్కొక్కరికి ఎన్ని టీ షర్ట్స్ వస్తాయి? (పేజీ నెం. 328)
సాధన.
టీమ్ నందు గల ఆటగాళ్ళ సంఖ్య = 11
మొదట కొనుగోలు చేసిన టీ షర్ట్స్ సంఖ్య = 10x + y
రెండవసారి కొనుగోలు చేసిన టీ షర్ట్స్ సంఖ్య = 10y + x
∴ మొత్తం టీ షర్ట్స్ సంఖ్య = (10x + y) + (10y + x)
= 11x + 11y
∴ 11x + 11y = 11(x + y) టీ షర్టులను 11 మందికి సమంగా పంచగా ఒక్కొక్కరికి లభించు టీషర్ట్స్
= \(\frac{11(x+y)}{11}\) = (x + y)
∴ మిగిలిన టీ షర్టుల సంఖ్య = కొనుగోలు చేసిన టీషర్ట్స్ సంఖ్య – 11 × (ఒక్కొక్కరికి లభించు టీషర్ట్స్ సంఖ్య)
= 11 (x + y) – 11 (x + y) = 0

24. ఒక బుట్టలో 10a + b (a ≠ 0 మరియు a > b) పండ్లు కలవు. అందు 10b + a పండ్లు కుళ్ళినవి. మిగిలిన పండ్లను 9మందికి సమానంగా పంచగలమా ? ఒక్కొక్కరికి ఎన్ని పండ్లు వస్తాయి? (పేజీ నెం. 328)
సాధన.
ఒక బుట్టలో గల పండ్ల సంఖ్య = 10a + b
ఆ బుట్టలో కుళ్ళిన పండ్ల సంఖ్య = 10b + a
ఆ బుట్టలో మిగిలిన మంచి పండ్ల సంఖ్య = (10a + b) – (10b + a)
= 10a + b – 10b – a
= 9a – 9b = 9(a – b)
∴ 9(a – b) పండ్లను 9 మందికి సమానంగా పంచగలము.
∴ 9(a – b) పండ్లను 9 మందికి సమానంగా పంచగా ఒక్కొక్కరికి వచ్చు పండ్ల సంఖ్య = 9(a – b) + 9 = (a – b)

25. పై పజిల్ నందు కింది అంకెలు తీసుకుని పరిశీలించండి. (పేజీ నెం. 329)
(i) 657 (ii) 473 (iii) 167 (iv) 135
సాధన.

26. 21358AB, 99 తో భాగింపబడిన A, B విలువలు కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 331)
సాధన.
21358AB, 99 చే భాగింపబడవలెనన్న అది ‘9’చే మరియు ’11’చే భాగింపబడవలెను.
21358AB, 9చే భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 9చే భాగింపబడవలెను.
∴ 2 + 1 + 3 + 5 + 8 + A + B = (9 × 3) = 27 అనుకొనుము.
A + B = 27 – 19 = 8 ⇒ A + B = 8 ………………. (1)
21358AB, ’11’ చే భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్యలోని బేసి స్థానాలలోని అంకెల మొత్తం నుండి సరి స్థానాలలోని అంకెల మొత్తాన్ని తీసివేయగా వచ్చిన దానిని ’11’ నిశ్శేషంగా భాగించవలెను.
2 1 3 5 8 A B
⇒ (2 + 3 + 8 + B) – (1 + 5 + A) = 11 × 1 అనుకొనుము.
⇒ 13 + B – 6 – A = 11
⇒ B – A = 11 – 7 = 4 ………………. (2)
(1), (2) ల నుండి A = 2, B = 6
∴ 21358AB = 2135826, 99 చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడును.

27. 4AB8, వరుసగా 2, 3, 4, 6, 8, 9 లచే భాగింపబడిన A, B విలువలు కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 331)
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్య 4AE → \(\frac {8}{2}\) (R = 0) కావున ఇది ‘2’ చే భాగింపబడుతుంది.
4AB8 → ‘3’చే భాగింపబడవలెనన్న సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 3 యొక్క గుణిజం కావలెను.
∴ 4 + A + B + 8 = 3 లేదా 6 లేదా 9/12/15/18
∴ A + B + 12 = 3/6/9/12/15/18 ………………. (1)
4AB8 → \(\frac {B8}{4}\) ⇒ B = 2, 4, 6, 8 కావలెను …………………………. (2)
4AB8 → \(\frac {AB8}{8}\) ⇒ AB = 12, 16, 24, 28, 32, 36, …….
4ABB8 → ‘9’చే భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 9 యొక్క గుణిజం కావలెను.
∴ 4 + A + B + 8 = 9, 18, 27 ……
A + B + 12 = 9, 18, 27, ……. ………………….(3)
(1), (3) ల నుండి A + B + 12 = 9 లేదా 18 తీసుకోనగా
A + B + 12 = 9 అయిన A + B = – 3
∴ ఇది సరైనది కాదు
A + B + 12 = 18 అయిన
⇒ A + B = 18 – 12 = 6
∴ A + B = 6
A = 4, B = 2 అయిన
4AB8 = 4428
→ \(\frac {428}{8}\)(R ≠ 0)
∴ A = 2, B = 4
(లేదా)
A = 2, B = 4 అయిన
4AB8 = 4248
→ \(\frac {248}{8}\) (R = 0)

28. పై పద్ధతి ఉపయోగించి, 7810364 సంఖ్య, 4చే భాగింపబడుతుందో, లేదో పరిశీలించండి. (పేజీ నెం. 333)
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్య = 7810364

స్థానవిలువల శేషములను, ఆ సంఖ్య అంకెలతో గుణించగా వచ్చు లబ్దాల మొత్తం = 0 + 0 + 0 + 0 + () + 12 + 4
→ \(\frac {16}{4}\)(R = 0)
∴ 7810364, 4 చే భాగింపబడును.

29. పై పద్ధతి ఉపయోగించి 963451, 6తో భాగింపబడుతుందో, లేదో పరిశీలించండి. (పేజీ నెం. 333)
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్య = 963451

స్థాన విలువల శేషములను, ఆ సంఖ్య అంకెలతో గుణించగా వచ్చు లబ్దాల మొత్తం
= 36 + 24 + 12 + 16 + 20 + 1 → \(\frac {109}{6}\) (R ≠ 0)
∴ 963451. 6 చే భాగింపబడదు.

ప్రయత్నించండి

ప్రశ్న 1.
56Z అను సంఖ్య 10 తో భాగించిన వచ్చు శేషము 6. అయితే Z యొక్క విలువ కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 315)
సాధన.
56Z అను సంఖ్యలో Z = 0, 1, 2, 3, 4, …….. 9 గా తీసుకొనవలెను.
10చే భాగించగా శేషం ‘6’ రావలెనన్న Z = 6 ను తీసుకొనగా

ప్రశ్న 2.
4B ను 5 తో భాగించిన ‘1’ శేషము వచ్చును. అయిన Bకు ఏయే విలువలు ఉండవచ్చును ? (పేజీ నెం. 316)
సాధన.
4B ను 5చే భాగించగా శేషం ‘1’ రావలెనన్న B = {0, 1, 2, 3, …….. 9} నుండి అనగా 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, ……, 49ల నుండి 41, 46 ను తీసుకొనిన ఇవి ‘5’చే భాగించగా శేషం ‘1’ని ఇస్తాయి. ∴ B = {1, 6}

ప్రశ్న 3.
76C ను 5 తో భాగించిన ‘2’ శేషము వచ్చును. అయిన Cకు ఏయే విలువలు ఉండవచ్చును ? (పేజీ నెం. 316)
సాధన.
76C ను 5 చే భాగించగా శేషం ‘2’ వచ్చుటకు C = {0, 1, ……. 9} నుండి C = 2, 7 గా తీసుకొనిన 762, 767 లు 5చే భాగించిన శేషం ‘2’ను ఇస్తాయి. ∴ C = {2,7}

ప్రశ్న 4.
“ఒక సంఖ్య 10 తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడిన, 5తో కూడా నిశ్శేషముగా భాగింపబడుతుంది” ఈ వాక్యము సత్యమో/ అసత్యమో తెలపండి.
దానికి తగు కారణము తెలపండి. (పేజీ నెం. 316)
సాధన.
ఇచ్చిన వాక్యం సత్యం. ఎందుకంటే ఒక సంఖ్య ’10’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడవలెనన్న దాని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ‘0’ (సున్న) అయి ఉండవలెను.

అదేవిధంగా ఒక సంఖ్య ‘5’చే భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానంలో 0 లేదా 5 ఉండాలి.
∴ 10చే భాగింపబడే ప్రతి సంఖ్య, 5చే కూడా భాగింపబడుతుంది.

ప్రశ్న 5.
“ఒక సంఖ్య 5తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడిన, 10తో కూడా నిశ్శేషముగా భాగింపబడుతుంది” ఈ వాక్యము సత్యమో/ – అసత్యమో తెలపండి. దానికి తగు కారణము తెలపండి. (పేజీ నెం. 316)
సాధన.
ఇచ్చిన వాక్యం అసత్యం. ఎందుకంటే ఒక సంఖ్య 5 చే భాగింపబడవలెనన్న దాని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ‘0’ (సున్న) గాని, 5 గాని ఉండవలెను. కాని 10చే భాగింపబడవలెనన్న దాని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకే ‘0’ (సున్న) మాత్రమే అయి ఉండవలెను.
∴ 5 చే భాగింపబడే ప్రతి సంఖ్య 10 చే భాగింపబడదు.

6. కింది సంఖ్యలు 4 లేక 8 లేక రెండింటితోను భాగింపబడునో లేదో తెలపండి. (పేజీ నెం. 321)
(a) 4² × 8²
(b) 10³
(c) 10⁵ + 10⁴ + 10³
(d) 4³ + 4² + 4¹ – 2²
సాధన.

7. కింది సంఖ్యలు 7చే భాగించబడుతాయా ? పరీక్షించండి. (పేజీ నెం. 322)
(a) 322 (b) 588 (c) 952 (d) 553 (e) 448
సూచన : ఒక మూడంకెల సంఖ్య ‘7’ చే భాగింపబడవలెనన్న (2a + 3b + C) ‘7’ చే భాగింపబడవలెను.
సాధన.

∴ పై సంఖ్యలన్నియూ ‘7’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడును.

8. నాలుగంకెల సంఖ్యను సాధారణ రూపంలో తీసుకొని ‘7తో భాజనీయతా నియమాన్ని తయారుచేయండి. (పేజీ నెం. 322)
సాధన.
నాలుగంకెల సంఖ్య abcd అనుకొనుము.

∴ ఒక నాలుగు అంకెల సంఖ్య ‘7’చే భాగింపబడవలెనన్న, (6a + 2b + 3c + d) అనేది ‘7’ చే భాగింపబడవలెను.

9. 3192, 7 యొక్క గుణకము “నీ నియమముతో” సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 322)
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్య → 3192 ⇒ a = 3, b = 1, c = 9, d = 2
6a + 2b + 3c + d = 6 × 3 + 2 × 1 + 3 × 9 + 2
= 18 + 2 + 27 + 2 = 49 → \(\frac {49}{7}\) (R= 0)
∴ 3192 నా నియమం ప్రకారం ‘7’చే భాగింపబడును.

10. (1) 789789, 11చే భాగింపబడునో, లేదో పరిశీలించండి. (పేజీ నెం. 323)
(2) 348348348348, 11చే భాగింపబడునో, లేదో పరిశీలించండి.
(3) 135531 ఒక సరి పాలిండ్రోమ్ సంఖ్య. ఈ సంఖ్య 11చే భాగింపబడునో, లేదో తెలపండి.
(4) 1234321, 11చే భాగింపబడుతుందో, లేదో తెలపండి.
సాధన.

11. 1576 × 1577 × 1578 తో ఏర్పడు సంఖ్య 3తో భాగింపబడునో, లేదో కారణముతో తెలపండి. (పేజీ నెం. 325)
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్య = 1576 × 1577 × 1578
ఏ మూడు వరుస సంఖ్యల లబ్దమైనా ‘3’చే భాగింపబడుతుంది.
ఉదా : 4 × 5 × 6 = 120 → \(\frac {120}{3}\) (R = 0)
∴ 1576 × 1577 × 1578 లు మూడు వరుస సంఖ్యలు కావున వాని లబ్ధం ‘3’చే భాగింపబడుతుంది.

12. పై పద్ధతి ద్వారా, 10 అంకెలు కల పెద్ద సంఖ్యను వ్రాసి 11 యొక్క భాజనీయతా సూత్రము సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 326)
సాధన.
10 అంకెల పెద్ద సంఖ్య = 9,99,99,99,999
D C B A
∴ 9 / 999 / 999 / 999
⇒ B + D = 9 + 999 = 1008
A + C = 999 + 999 = 1998
∴ (A + C) – (B + D) = 990 → \(\frac {990}{11}\) (R = 0)
∴ ఈ భాజనీయతా సూత్రము ద్వారా “10 అంకెల పెద్ద సంఖ్య ’11’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది” అని నిరూపించగలం.

13. ఒక మూడు అంకెల సంఖ్యను తీసుకుని, దాని యొక్క అంకెల అమరిక మార్చుతూ (ABC, BCA, CAB అగునట్లు) మూడు సంఖ్యలను తయారుచేయండి. ఆ మూడు సంఖ్యలను కలిపి, వచ్చు ఫలితము ఏయే సంఖ్యలతో భాగింపబడునో పరిశీలించండి. (పేజీ నెం. 329)
సాధన.

14. YE × ME = TTT అయిన Y + E + M + T ల మొత్తం కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 332)
(సూచన : TTT = 100T + 10T + T = T(111) = T(37 × 3))
సాధన.
TTT = 100T + 10 T + T
= T(111) = T(37 × 3)
∴ YE × ME = T(37 × 3)
∴ T = {1, 2, 3, ….. 9}
కాని T = {3, 6, 9} అనునవి 3 యొక్క గుణిజాలు

∴ T(37 × 3) = 3(111), 6(111), 9(111) 3 భాగించబడును.
∴ YE × ME = 333 / 666 / 999
∴ YE × ME = 999 = 27 × 37
∴ Y = 2, M = 3, E = 7, T = 3
∴ Y + E + M + T = 2 + 7 + 3 + 3 = 15

15. 88 వస్తువుల ఖరీదు A733B అయిన A, B విలువలు కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 332)
సాధన.
A733B, 88 చే భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్య 8 × 11 చే భాగింపబడవలెను.
ఒక సంఖ్య ’11’ చే భాగింపబడవలేనన్న బేసి స్థానాలలోని అంకెల మొత్తం, సరి స్థానాలలోని అంకెల మొత్తాల మధ్య గల భేదం ‘0’ లేదా 11చే భాగింపబడవలెను.
A 7 3 3 B ⇒ (A + 3 + B) – (7 + 3) = 0
⇒ A + B = 7
A733B, 8 చే భాగింపబడవలెనన్న చివరి మూడంకెలు 8చే భాగింపబడవలెను.
A733B ⇒ \(\frac {33B}{8}\)
∴ B = 6 [∵ \(\frac {336}{8}\) (R = 0)]
∴ A + B = 7 నుండి B = 6 అయిన
A + 6 = 7 ⇒ A = 7 – 6 = 1
∴ A = 1, B = 6

16. 456456456456 అను సంఖ్య 7, 11 మరియు 13తో కూడా భాగింపబడునో లేదో ప్రయత్నించి చూడండి. (పేజీ నెం. 334)
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్య = 456456456456
456456456456 = 456 (1001001001) = 456 × (7 × 11 × 13) × (1000001)
∴ 456456456456 అను సంఖ్య 7, 11 మరియు 13 చే భాగింపబడుతుంది.

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి

1. ఒక సంఖ్య 5 మరియు 2 చే భాగింపబడునపుడు వచ్చు శేషములు వరుసగా 3 మరియు 1 అయిన ఆ సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానములోని అంకెను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 316)
సాధన.
ఒక సంఖ్య 5 మరియు 2 చే భాగింపబడునపుడు శేషములు 3 మరియు 1 అయిన అందలి ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 3. ఉదా : \(\frac {13}{5}\) ⇒ 3 శేషం \(\frac {13}{2}\) ⇒ 1 శేషం
\(\frac {23}{5}\) ⇒ 3 శేషం \(\frac {23}{2}\) ⇒ 1 శేషం

2. ఒక రెండంకెల సంఖ్యను తీసుకుని వాటి అంకెలను తారుమారు చేసి వ్రాయండి. వచ్చిన సంఖ్యలలో పెద్ద సంఖ్య నుండి చిన్న సంఖ్యను తీసివేయండి. వచ్చిన ఫలితము ఎల్లప్పుడూ 9తో భాగింపబడునా? (పేజీ నెం. 328)
సాధన.

∴ ఫలితము ఎల్లప్పుడూ 9తో భాగింపబడుతుంది.

3. (1) 10²ⁿ – 1, 9 మరియు 11 చే భాగింపబడునని చెప్పగలమా ? వివరించండి.
(2) 10^{2n + 1} – 1, 11 చే భాగింపబడునో, లేదో పరిశీలించండి. (పేజీ నెం. 333)
సాధన.

4. a⁵ + b⁵, (a + b) తో భాగింపబడుతుందో లేదో a, b విలువలు ఏవైనా సహజ సంఖ్యలుగా తీసుకుని ప్రయత్నించండి. (పేజీ. నెం. 334)
సాధన.

5. (a^{2n + 1} + b^{2n + 1}), (a + b) తో భాగింపబడునని చెప్పగలమా? (పేజీ నెం. 334)
సాధన.

∴ a^{2n + 1} + b^{2n + 1} అనునది n యొక్క అన్ని విలువలకు (a + b) చే భాగింపబడుతుంది.