Category: Class 10

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Exercise 4.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Exercise 4.3

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాల జతలను, రేఖీయ సమీకరణాల ‘ జతలుగా మార్చడం ద్వారా వాటికి సాధన కనుగొనండి.

(i) [latex]\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}[/latex] = 2
[latex]\frac{6}{x-1}-\frac{3}{y-2}[/latex] = 1
సాధన.
[latex]\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}[/latex] = 2 ……………(1)
[latex]\frac{6}{x-1}-\frac{3}{y-2}[/latex] = 1 …………….(2)
(1) మరియు (2) లలో [latex]\frac{1}{x-1}[/latex] = p [latex]\frac{`1}{y-2}[/latex] = q అనుకొనుము.
(1) ⇒ 5p + q = 2 ………….. (3)
(2) ⇒ 6p – 3q = 1 ………….. (4)
(3) ⇒ q = 2 – 5p ని (4) లో ప్రతిక్షేపించగా,
6p – 3 (2 – 5p) = 1
6p – 6 + 15p = 1
21p = 1 + 6 = 7
⇒ p = [latex]\frac{7}{21}[/latex] = [latex]\frac{1}{3}[/latex]
p = [latex]\frac{1}{3}[/latex] ని (4) లో రాయగా,
6 ([latex]\frac{1}{3}[/latex]) – 3q = 1
– 3q = 1 – 2 = – 1
⇒ 3q = 1
⇒ q = [latex]\frac{1}{3}[/latex]
p = [latex]\frac{1}{3}[/latex], q = [latex]\frac{1}{3}[/latex]
కానీ [latex]\frac{1}{x-1}[/latex] = p = [latex]\frac{1}{3}[/latex]
x – 1 = 3 ⇒ x = 3 + 1 = 4 1
[latex]\frac{1}{y-2}[/latex] = q = [latex]\frac{1}{3}[/latex]
y – 2 = 3 ⇒ y = 3 + 2 = 5
∴ సాధన x = 4, y = 5.

సరిచూచుట :
[latex]\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}[/latex] = 2
x = 4, y = 5 విలువలను రాయగా,
[latex]\frac{5}{4-1}+\frac{1}{5-2}[/latex] = 2
[latex]\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}[/latex]
[latex]\frac{5}{3}+\frac{1}{3}[/latex] = 2
⇒ [latex]\frac{6}{3}[/latex] = 2
⇒ 2 = 2

(ii) [latex]\frac{x+y}{x y}[/latex] = 2;
[latex]\frac{x-y}{x y}[/latex] = 6
సాధన.
[latex]\frac{x+y}{x y}[/latex] = 2 ………….(1)
[latex]\frac{x-y}{x y}[/latex] = 6 …………(2)

(1) ⇒ [latex]\frac{x}{x y}+\frac{y}{x y}[/latex] = 2

[latex]\frac{1}{y}+\frac{1}{x}[/latex] = 2

(2) ⇒ [latex]\frac{x}{x y}-\frac{y}{x y}[/latex] = 6

[latex]\frac{1}{y}-\frac{1}{x}[/latex] = 6 ……………(4)

[latex]\frac{1}{x}[/latex] = q, [latex]\frac{1}{y}[/latex] = p అనుకుంటే,
(3) ⇒ p + q = 2 ………….. (5)
(4) ⇒ p – q = 6 ………….. (6)
p + q = 2
p – q = 6
(5) + (6) ⇒ 2p = 8
⇒ p = [latex]\frac{8}{2}[/latex] = 4
p = 4 ను (5) లో రా యగా,
4 + q = 2
⇒ q = 2 – 4 = – 2
p = 4, q = – 2
కానీ, [latex]\frac{1}{y}[/latex] = p = 4

y = [latex]\frac{1}{4}[/latex]

⇒ q = – 2 ⇒ x = – [latex]\frac{1}{2}[/latex]
∴ సాధన x = – [latex]\frac{1}{2}[/latex] , y = [latex]\frac{1}{4}[/latex]

సరిచూచుట :
[latex]\frac{x+y}{x y}[/latex] = 2

x, y విలువలను రాయగా, [latex]\frac{-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}{\frac{-1}{2} \times \frac{1}{4}}[/latex] = 2

(iii) [latex]\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}[/latex] = 2

[latex]\frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{y}}[/latex] = – 1
సాధన.
[latex]\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}[/latex] = 2 ………….(1)

[latex]\frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{y}}[/latex] = – 1 ………….(2)
[latex]\frac{1}{\sqrt{x}}[/latex] = p, [latex]\frac{1}{\sqrt{y}}[/latex] = q అనుకుంటే,
(1) ⇒ 2p + 3q = 2 ………….. (3)
(2) ⇒ 4p – 9q = – 1 …………. (4)

p = [latex]\frac{1}{2}[/latex] ను (3) లో రాయగా,
2([latex]\frac{1}{2}[/latex]) + 3q = 2
3q = 2 -1 = 1
⇒ q = [latex]\frac{1}{3}[/latex]
కానీ [latex]\frac{1}{\sqrt{x}}[/latex] = p = [latex]\frac{1}{2}[/latex]
⇒ √x = 2
⇒ x = 4
[latex]\frac{1}{\sqrt{y}}[/latex] = q = [latex]\frac{1}{3}[/latex]
⇒ √y = 3
⇒ y = 9
∴ సాధన x = 4, y = 9.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో రాయగా, [latex]\frac{2}{\sqrt{4}}+\frac{3}{\sqrt{9}}[/latex] = 2
⇒ [latex]\frac{2}{2}+\frac{3}{3}[/latex] = 2
⇒ 1 + 1 = 2
⇒ 2 = 2

(iv) 6x + 3y = 6xy
2x + 4y = 5xy
సాధన.
6x + 3y = 6xy ……….. (1)
2x + 4y = 5x………… (2)
(1) ⇒ [latex]\frac{6 x}{x y}+\frac{3 y}{x y}[/latex] = 6 (∵ ఇరువైపులా xy తో భాగించగా)
[latex]\frac{6}{y}+\frac{3}{x}[/latex] = 6 ………..(3)

(2) ⇒ [latex]\frac{2 x}{x y}+\frac{4 y}{x y}[/latex] = 5
[latex]\frac{2}{y}+\frac{4}{x}[/latex] = 5 …………….(4)

[latex]\frac{1}{y}[/latex] = P, [latex]\frac{1}{x}[/latex] = q అనుకుందాం.
(3) ⇒ 6p + 3q = 6 …………. (5)
⇒ 2p + 4q = 5 ………….. (6)

p = [latex]\frac{9}{18}=\frac{1}{2}[/latex]
p = [latex]\frac{1}{2}[/latex] ను (5) లో ప్రతిక్షేపించగా,
6([latex]\frac{1}{2}[/latex]) + 3q = 6
3q = 6 – 3
q = [latex]\frac{3}{3}[/latex] = 1
కానీ [latex]\frac{1}{y}[/latex] = p = [latex]\frac{1}{2}[/latex]
⇒ y = 2
[latex]\frac{1}{x}[/latex] = q = 1
⇒ x = 1
∴ సాధన x = 1, y = 2.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో రాయగా,
6 (1) + 3 (2) = 6 (1) (2)
6 + 6 = 12
12 = 12

(v) [latex]\frac{5}{x+y}-\frac{2}{x-y}[/latex] = – 1
[latex]\frac{15}{x+y}+\frac{7}{x-y}[/latex] = 10 x ≠ 0, y ≠ 0 అయిన
సాధన.
[latex]\frac{5}{x+y}-\frac{2}{x-y}[/latex] = – 1 …………… (1)
[latex]\frac{15}{x+y}+\frac{7}{x-y}[/latex] = 10 …………. (2)

[latex]\frac{1}{x+y}[/latex] = p, [latex]\frac{1}{x-y}[/latex] = q అనుకుంటే,
(1) ⇒ 5p – 2q = – 1 …………. (3)
(2) ⇒ 15p + 7q = 10 ………. (4)

p = [latex]\frac{1}{5}[/latex] ను (3) లో రాయగా,
5([latex]\frac{4}{4}[/latex]) – 2q = – 1
1 – 2q = -1
– 2q = – 1 – 1
2q = 2
q = [latex]\frac{2}{2}[/latex] = 1
p = [latex]\frac{1}{5}[/latex], q = 1

కానీ, [latex]\frac{1}{x+y}[/latex] = P = [latex]\frac{1}{5}[/latex]
⇒ x + y = 5 ………… (5)
[latex]\frac{1}{x-y}[/latex] = q = 1
⇒ x – y = 1 …… (6)
(5) మరియు (6) లను సాధించగా,

x = 3ను (5) లో రాయగా,
3 + y = 5
y = 5 – 3 = 2
∴ సాధన x = 3, y = 2.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (2) లో రాయగా,
[latex]\frac{15}{3+2}+\frac{7}{3-2}[/latex] = 10
[latex]\frac{15}{5}+\frac{7}{1}[/latex] = 10
3 + 7 = 10
10 = 10

(vi) [latex]\frac{2}{x}+\frac{3}{y}[/latex] = 13
[latex]\frac{5}{x}-\frac{4}{y}[/latex] = – 2 x ≠ 0, y ≠ 0 అయిన
సాధన.
[latex]\frac{2}{x}+\frac{3}{y}[/latex] = 13 …………… (1)

[latex]\frac{5}{x}-\frac{4}{y}[/latex] = – 2 …………… (2)

[latex]\frac{1}{x}[/latex] = p, [latex]\frac{1}{y}[/latex] = q అనుకుంటే,
(1) ⇒ 2p+ 3q = 13 ………….(3)
(2) ⇒ 5p – 4q = – 2 ………..(4)

p = 2 ను (3) లో రాయగా,
2(2) + 3q = 13
4 + 3q = 13
3q = 13 – 4 = 9
⇒ q = [latex]\frac{9}{3}[/latex] = 3
p = 2, q = 3
కానీ, [latex]\frac{1}{x}[/latex] = p = 2
⇒ x = [latex]\frac{1}{2}[/latex]
[latex]\frac{1}{y}[/latex] = q = 3
⇒ y = [latex]\frac{1}{3}[/latex]
∴సాధన x = [latex]\frac{1}{2}[/latex], y = [latex]\frac{1}{3}[/latex]

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
[latex]\frac{2}{\frac{1}{2}}+\frac{3}{\frac{1}{3}}[/latex] = 13
⇒ 2 × [latex]\frac{2}{1}[/latex] + 3 × [latex]\frac{3}{1}[/latex] = 13
⇒ 4 + 9 = 13
⇒ 13 = 13

(vii) [latex]\frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y}[/latex] = 4
[latex]\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}[/latex] = – 2
సాధన.
[latex]\frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y}[/latex] = 4 ………. (1)

[latex]\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}[/latex] = – 2 ………….. (2)

[latex]\frac{1}{x+y}[/latex] = p, [latex]\frac{1}{x-y}[/latex] = q అనుకుంటే,
(1) ⇒ 10p + 2q = 4 ………….. (3)
(2) ⇒ 15p – 5q = – 2…………… (4)

p = [latex]\frac{1}{5}[/latex] ను (3) లో రాయగా,
10([latex]\frac{1}{5}[/latex]) + 2q = 4
2 + 2q = 4
⇒ 2q = 4 – 2
⇒ 2q = 2
q = [latex]\frac{2}{2}[/latex] = 1, p = [latex]\frac{1}{5}[/latex], q = 1
కానీ, [latex]\frac{1}{x+y}[/latex] = p = [latex]\frac{1}{5}[/latex]
⇒ x + y = 5 …………….. (5)
[latex]\frac{1}{x+y}[/latex] = q = 1
⇒ x – y = 1 …………….. (6)
(5), (6) లను సాధించగా,

x = 3 ను (5) లో రాయగా,
3 + y = 5
⇒ y = 5 – 3 = 2
∴ సాధన, x = 3, y = 2.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
[latex]\frac{10}{3+2}+\frac{2}{3-2}[/latex] = 4

⇒ [latex]\frac{10}{5}+\frac{2}{1}[/latex] = 4
2 + 2 = 4
4 = 4

(viii) [latex]\frac{1}{3 x+y}+\frac{1}{3 x-y}=\frac{3}{4}[/latex]
[latex]\frac{1}{2(3 x+y)}-\frac{1}{2(3 x-y)}=\frac{-1}{8}[/latex]
సాధన.
[latex]\frac{1}{3 x+y}+\frac{1}{3 x-y}=\frac{3}{4}[/latex] …………….(1)

[latex]\frac{1}{2(3 x+y)}-\frac{1}{2(3 x-y)}=\frac{-1}{8}[/latex] ………. (2)
(2) ⇒ [latex]\frac{1}{2}\left[\frac{1}{3 x+y}-\frac{1}{3 x-y}\right]=\frac{-1}{8}[/latex]

⇒ [latex]\frac{1}{3 x+y}-\frac{1}{3 x-y}=\frac{-2}{8}[/latex]

⇒ [latex]\frac{1}{3 x+y}-\frac{1}{3 x-y}=\frac{-1}{4}[/latex] ………………(3)
(1) & (3) లలో [latex]\frac{1}{3 x+y}[/latex] = p, [latex]\frac{1}{3 x-y}[/latex] = q అనుకుంటే,
(1) ⇒ p + q = [latex]\frac{3}{4}[/latex] …………. (4)
(3) ⇒ p – q = [latex]\frac{1}{4}[/latex] ……….. (5)
(4) + (5) ⇒

p = [latex]\frac{1}{4}[/latex] ను (4) లో రాయగా,
[latex]\frac{1}{4}[/latex] + q = [latex]\frac{3}{4}[/latex]

q = [latex]\frac{3}{4}[/latex] – [latex]\frac{1}{4}[/latex]
= [latex]\frac{3-1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}[/latex]

p = [latex]\frac{1}{4}[/latex], q = [latex]\frac{1}{2}[/latex]

కానీ, [latex]\frac{1}{3 x+y}[/latex] = p = [latex]\frac{1}{4}[/latex]
⇒ 3x + y = 4 …………(6)

[latex]\frac{1}{3 x-y}[/latex] = q = [latex]\frac{1}{2}[/latex]
⇒ 3x – y = 2 ……. (7)
(6), (7) లను సాధించగా.

x = 1 ని (6) లో రా యగా,
3 (1) + y = 4 ⇒ y = 4 – 3 = 1
సాధన x = 1, y = 1.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
[latex]\frac{1}{3(1)+1}+\frac{1}{3(1)-1}=\frac{3}{4}[/latex]

[latex]\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}[/latex]

[latex]\frac{3}{4}=\frac{3}{4}[/latex]

ప్రశ్న 2.
క్రింది సమస్యలకు సమీకరణాల జతలను వ్రాసి వాటికి సాధన కనుగొనండి.
(i) ఒక పడవ నీటిలో ప్రవాహమునకు అభిముఖముగా 30 కి.మీ దూరమును మరియు ప్రవాహపువాలులో 44 కి.మీ. దూరము ప్రయాణించుటకు 10 గంటలు పట్టును. అదే పడవకు 40 కి.మీ అభిముఖముగా, 55 కి.మీ. ప్రవాహపు వాలులో ప్రయాణించుటకు 13 గంటలు కాలము పట్టును. అయిన ప్రవాహవేగమును, నిలకడ నీటిలో పడవ వేగమును కనుగొనుము.
సాధన.
నిలకడ నీటిలో పడవ వేగం = x కి.మీ./గం.
ప్రవాహ వేగము = y కి.మీ./ గం. అనుకొనుము
ప్రవాహ అభిముఖంగా పడవ వేగం = (x – y) కి.మీ./గం.
ప్రవాహవాలు (ప్రవాహ దిశలో) గా పడవవేగం = (x + y) కి.మీ./గం. దూరం

సందర్భం -1:
ప్రవాహ అభిముఖంగా 30 కి.మీ. ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = [latex]\frac{30}{x-y}[/latex] గం.
ప్రవాహవాలుగా 44 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే 44 కాలం = [latex]\frac{44}{x+y}[/latex] గం.
మొత్తం ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = 10 గం.

[latex]\frac{30}{x-y}+\frac{44}{x+y}[/latex] = 10 …… (1)

సందర్భం – 2:
ప్రవాహ అభిముఖంగా 40 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే కాలం = [latex]\frac{40}{x-y}[/latex] గం
ప్రవాహ వాలులో 55 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే కాలం = [latex]\frac{55}{x+y}[/latex] గం.
మొత్తం ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = 13 గం.

[latex]\frac{40}{x-y}+\frac{55}{x+y}[/latex] = 13 ……….. (2)
[latex]\frac{1}{x-y}[/latex] = p మరియు [latex]\frac{1}{x+y}[/latex] = q అనుకొంటే
(1) ⇒ 30p + 44q = 10 ………… (3)
(2) ⇒ 40p + 55q = 13 ………… (4)
30, 40 ల క.సా.గు = 120,

q = [latex]\frac{1}{11}[/latex]
q = [latex]\frac{1}{11}[/latex] ని (3) లో రాయగా
30p + 44 ([latex]\frac{1}{11}[/latex]) = 10
30p + 4 = 10
30p = 10 – 4 = 6
⇒ p = [latex]\frac{6}{30}=\frac{1}{5}[/latex]
కానీ, [latex]\frac{1}{x-y}[/latex] = p = [latex]\frac{1}{5}[/latex]
⇒ x – y = 5 ……………..(5)
[latex]\frac{1}{x+y}[/latex] = q = [latex]\frac{1}{11}[/latex]
⇒ x + y =11 ……………….(6)

x = 8ని (6) లో రాయగా,
8 + y = 11
y = 11 – 8 = 3
∴ సాధన x = 8, y = 3.
నిలకడ నీటిలో పడవ వేగం = 8 కి. మీ./గం,
ప్రవాహ వేగము = 3 కి. మీ./గం.

సరిచూచుట :
అభిముఖంగా 30 కి.మీ. ప్రయాణానికి పట్టే కాలము = [latex]\frac{30}{8-3}=\frac{30}{5}[/latex] = 6 గం.
ప్రవాహవాలుగా 40 కి.మీ. ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = [latex]\frac{40}{8+2}=\frac{40}{10}[/latex] = 4 గం.
మొత్తం ప్రయాణకాలం = 6 + 4 = 10 గం.

(ii) రహీమ్ తన యింటికి పోవుటకు 600 కి.మీ దూరములో, కొంత దూరము రైలులో మరియు కొంత దూరము కారులో ప్రయాణించును. 120 కి.మీ. దూరము రైలులో, మిగిలిన దూరము కారులో ప్రయాణమునకు అతనికి 8 గంటలు పట్టును. అదే 200కి.మీ. దూరము రైలులో, మిగిలిన దూరము కారులో ప్రయాణము చేసిన అతనికి 20 నిమిషాల కాలము ఎక్కువ పట్టును. అయిన కారు మరియు రైలుల వేగములను కనుగొనండి. సాధన.
రైలు వేగము = x కి.మీ./గం.
కారు వేగము = y కి.మీ./గం. అనుకుందాం.

సందర్భం – 1:
120 కి.మీ. రైలు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = [latex]\frac{120}{x}[/latex] గం
600 – 120 = 480 కి.మీ. ‘కారు ప్రయాణానికి
పట్టిన కాలం = [latex]\frac{480}{y}[/latex] గం
మొత్తం ప్రయాణకాలం = 8 గం.
[latex]\frac{120}{x}+\frac{480}{y}[/latex] = 8 …………….. (1)

సందర్భం – 2:
200 కి.మీ. రైలు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = [latex]\frac{200}{x}[/latex] గం.
600 – 200 = 400 కి.మీ. కారు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = [latex]\frac{400}{y}[/latex] గం.
మొత్తం ప్రయాణ కాలం = 8 గం. + 20 ని.
[latex]\frac{200}{x}+\frac{400}{y}=8 \frac{20}{60}[/latex] గం. = [latex]\frac{25}{3}[/latex] గం.
∴ [latex]\frac{200}{x}+\frac{400}{y}=\frac{25}{3}[/latex] …………….(2)
[latex]\frac{1}{x}[/latex] = p, [latex]\frac{1}{y}[/latex] = q అనుకుంటే,
(1) ⇒ 120p + 480q = 8 ………………… (3)
(2) ⇒ 200p + 400q = [latex]\frac{25}{3}[/latex] ……………. (4)

q = [latex]\frac{1}{80}[/latex] = ని (3) లో రాయగా,
120p + 480([latex]\frac{1}{80}[/latex]) = 8
⇒ 120p = 8 – 6 = 2
⇒ p = [latex]\frac{2}{120}[/latex]
⇒ p = [latex]\frac{1}{60}[/latex]
∴ p = [latex]\frac{1}{60}[/latex], q = [latex]\frac{1}{80}[/latex]
కానీ, [latex]\frac{1}{x}[/latex] = p = [latex]\frac{1}{60}[/latex]
⇒ x = 60
[latex]\frac{1}{y}[/latex] = q = [latex]\frac{1}{80}[/latex]
⇒ y = 80
∴ సాధన x = 60, y = 80.
రైలు వేగం = 60 కి.మీ./గం.
కారు వేగం = 80 కి.మీ./గం.

సరిచూచుట :
120 కి.మీ. రైలు ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = [latex]\frac{120}{60}[/latex] = 2 గం.
480 కి.మీ. కారు ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = [latex]\frac{480}{80}[/latex] = 6 గం.

మొత్తం ప్రయాణకాలం = 2 + 6 = 8 గం.

(iii) ఇద్దరు స్త్రీలు మరియు 5గురు పురుషులు ఒక కుట్టుపనిని 4 రోజులలో చేయగా, ముగ్గురు స్త్రీలు మరియు 6గురు పురుషులు దానిని 3 రోజులలో చేసెదరు. స్త్రీ ఒక్కరే లేదా పురుషుడు ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలమును కనుగొనుము.
సాధన.
స్త్రీ ఒక్కరే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలం = x రోజులు
పురుషుడు ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలం = y రోజులు అనుకుందాం.
స్త్రీ ఒక్కరే 1 రోజు చేయు పని = [latex]\frac{1}{x}[/latex]
పురుషుడు ఒక్కడే 1 రోజు చేయు పని = [latex]\frac{1}{y}[/latex]

సందర్భం -1:
ఇద్దరు స్త్రీలు మరియు 5 గురు పురుషులు ఆ పనిని 4 రోజులలో చేయుదురు.
కావున, ఇద్దరు స్త్రీలు మరియు 5 గురు పురుషులు ఒక రోజులో చేయు పని = [latex]\frac{1}{4}[/latex]

∴ [latex]\frac{2}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}[/latex]
[∵ ఇద్దరు స్త్రీలు ఒకరోజులో చేయు పని = 2 × [latex]\frac{1}{x}[/latex] = [latex]\frac{2}{x}[/latex]
5 గురు పురుషులు ఒక రోజులో చేయు పని = 5 × [latex]\frac{1}{y}[/latex] = [latex]\frac{5}{y}[/latex]]

∴ [latex]\frac{8}{x}+\frac{20}{y}[/latex] = 1 ……………. (1)

సందర్భం – 2:
ముగ్గురు స్త్రీలు మరియు 6 గురు పురుషులు ఆ పనిని 3 రోజులలో చేసెదరు.
∴ ముగ్గురు స్త్రీలు మరియు 6 గురు పురుషులు ఒక రోజు చేయు పని = [latex]\frac{1}{3}[/latex]
[latex]\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{3}[/latex]

⇒ [latex]\frac{9}{x}+\frac{18}{y}[/latex] = 1 ………… (2)

p = [latex]\frac{1}{x}[/latex], q = [latex]\frac{1}{y}[/latex] అనుకుంటే,

(1) ⇒ 8p + 20q = 1 ………….. (3)
(2) ⇒ 9p + 18q = 1 ………….. (4)

q = [latex]\frac{1}{36}[/latex] ను (4) లో రాయగా,
9p + 18([latex]\frac{1}{36}[/latex]) = 1
⇒ 9p + [latex]\frac{1}{2}[/latex] = 1
⇒ 9p = 1 – [latex]\frac{1}{2}[/latex] = [latex]\frac{1}{2}[/latex]
⇒ p = [latex]\frac{1}{18}[/latex]
⇒ p = [latex]\frac{1}{18}[/latex], q = [latex]\frac{1}{36}[/latex]
కానీ [latex]\frac{1}{x}[/latex] = p = [latex]\frac{1}{18}[/latex]
⇒ x = 18
[latex]\frac{1}{y}[/latex] = q = [latex]\frac{1}{36}[/latex]
⇒ y = 36
‘స్త్రీ ఒక్కరే ఆ పని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలం = 18 రోజులు
‘పురుషుడు ఒక్కరే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలం = 36 రోజులు.

సరిచూచుట :
x = 18, y = 36 ని (2) లో రాయగా,
[latex]\frac{9}{18}+\frac{18}{36}[/latex] = 1
⇒ [latex]\frac{1}{2}+\frac{1}{2}[/latex] = 1
⇒ [latex]\frac{2}{2}[/latex] = 1

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Exercise 4.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Exercise 4.2

క్రింది సమస్యలలో ప్రతి సందర్భంలో రేఖీయ సమీకరణాల జతను వ్రాసి దానికి సాధన కనుగొనండి.

ప్రశ్న 1.
ఇద్దరు వ్యక్తుల ఆదాయాల నిష్పత్తి 9 : 7 మరియు వాటి ఖర్చుల నిష్పత్తి 4 : 3. వారు ప్రతీ ఒక్కరూ నెలకు ₹ 2000 సొమ్ము ఆదాచేసిన, వారి నెలవారీ ఆదాయాలను కనుగొనండి.
సాధన.
ఇద్దరు వ్యక్తుల ఆదాయాల నిష్పత్తి = 9 : 7.
మొదటి వ్యక్తి ఆదాయం = ₹ 9x
రెండవ వ్యక్తి ఆదాయం = ₹ 7x అనుకొనుము
వారి ఖర్చుల నిష్పత్తి = 4 : 3
మొదటి వ్యక్తి ఖర్చు = ₹ 4y
రెండవ వ్యక్తి ఖర్చు = ₹ 3y అనుకుందాము.
ప్రతీ ఒక్కరూ నెలకు ఆదా చేస్తున్న సొమ్ము = ₹ 2000
మొదటి వ్యక్తి ఆదా చేస్తున్న సొమ్ము
9x – 4y = 2000 ……… (1)
రెండవ వ్యక్తి ఆదా చేస్తున్న సొమ్ము
7x – 3y = .2000 ………. (2)
1వ పద్ధతి (చరరాశి తొలగింపు పద్ధతి) :

∴ x = 2000
మొదటి వ్యక్తి ఆదాయం = 9x = 9 × 2000 = ₹ 18000
రెండవ వ్యక్తి ఆదాయం = 7x = 7 × 2000 = ₹ 14000.

రెండవ పద్ధతి (ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి) :
(1) ⇒ – 4y = 2000 – 9x
4y = 9x – 2000
y = [latex]\frac{9 x-2000}{4}[/latex] ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా.

7x – 3([latex]\frac{9 x-2000}{4}[/latex]) = 2000
[latex]\frac{28 x-27 x+6000}{4}[/latex] = 2000

x + 6000 = 8000
x = 8000 – 6000 = 2000
మొదటి వ్యక్తి ఆదాయం = 9x = 9 × 2000 = ₹ 18000
రెండవ వ్యక్తి ఆదాయం = 7x = 7 × 2000 = ₹ 14000
సరిచూసుకోవడం :
ఆదాయాల నిష్పత్తి = 18000 : 14000 = 9 : 7
ఖర్చుల నిష్పత్తి = 18000 – 2000 : 14000 – 2000
16000 : 12000 = 4 : 3.

ప్రశ్న 2.
ఒక రెండంకెల సంఖ్య మరియు దానిలోని స్థానాలను, తారుమారు చేయగా వచ్చిన సంఖ్యల మొత్తము 66. ఆ సంఖ్యలోని రెండు అంకెల భేదము 2 అయిన ఆ సంఖ్యను కనుగొనుము. అటువంటి సంఖ్యలు ఎన్ని ఉంటాయి ?
సాధన.
ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె = x
పదుల స్థానంలోని అంకె = y అనుకొందాం.
రెండంకెల సంఖ్య = 10x + y
అంకెలను తారుమారు చేయగా
ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె = y
పదుల స్థానంలోని అంకె = x
రెండంకెల సంఖ్య = 10y + x
లెక్క ప్రకారం, ఒక రెండంకెల సంఖ్య మరియు దానిలోని స్థానాలను మార్పు చేయగా వచ్చిన సంఖ్యల మొత్తం
∴ (10x + y) + (10y +x) = 66.
⇒ 11x + 11y = 66
x + y = 6 ……….. (1)
అలాగే ఆ సంఖ్యలోని రెండంకెల భేదము
x – y = 2 ……… (2) లేదా
y – x = 2 ……….. (3)
(1) & (2) ల నుండి

x = [latex]\frac{8}{2}[/latex] = 4
x = 4 ను (1) లో రాయగా
4 + y = 6
y = 6 – 4 = 2
సాధన x = 4, y = 2
కావలసిన సంఖ్య = 42

(1) & (3) ల నుండి .

y = [latex]\frac{8}{2}[/latex] = 4

y = 4 ను (1) లో రాయగా
x + 4 = 6
x = 6 – 4 = 2
సాధన y = 2, y = 4
కావలసిన సంఖ్య = 24
∴ ఇచ్చిన షరతులను పాటించేటట్లు 24 మరియు 42 అనే రెండు సంఖ్యలు ఉంటాయి.

ప్రశ్న 3.
రెండు సంపూరక కోణాలలో పెద్ద కోణము, చిన్న కోణము కన్నా 18° ఎక్కువ. అయిన ఆ కోణాలను కనుగొనండి.
సాధన.
పెద్ద కోణము = x;
చిన్న కోణము = y అనుకుందాము.
పై రెండు కోణాలు .సంపూరకాలు.
x + y = 180° ……. (1)
పెద్ద కోణము, చిన్న కోణము కన్నా 18° ఎక్కువ.
x = y + 18° ……. (2)
(2) ని (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
y + 18° + y = 180°
2y = 180° – 18° = 162°
y = [latex]\frac{162}{2}[/latex] = 81°
y = 81°ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా, x = 81° + 18° = 99°
సాధన x = 99°, y = 81°
∴ పెద్ద కోణము = 99°; చిన్న కోణము = 81°

2వ పద్ధతి (చరరాశి తొలగింపు పద్ధతి) :

x = [latex]\frac{198}{2}[/latex] = 99°
x = 99 ను (1) లో రాయగా,
99 + y = 180° ⇒ y = 180 – 99 = 81°
సాధన x = 99, y = 81
∴ పెద్ద కోణము = 999; చిన్న కోణము = 81°
సరి చూసుకోవడం :
x, y విలువలను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా, 99° + 81° = 180° (సంపూరకాలు)
99° = 81° + 18°.

ప్రశ్న 4.
హైదరాబాద్ లో టాక్సీ ఛార్జీలు రెండు అంశాలుగా ఉంటాయి. మొదటిది స్థిర ఛార్జీ కాగా, రెండవది దూరాన్ని బట్టి నిర్ణయించే ఛార్జీ. 10కి.మీ. దూరం ప్రయాణం చేసినపుడు అయిన మొత్తము ఛార్జి ₹ 220. అలాగే 16 కి.మీ. దూరం ప్రయాణం చేసినపుడు అయిన మొత్తము ఛార్జి ₹ 310. అయిన
(i) స్థిర ఛార్జీ విలువ మరియు ఒక కిలోమీటరుకు అయ్యే ఛార్జీల విలువ ఎంత ?
(ii) ఒక వ్యక్తి 25 కి.మీ. దూరం ప్రయాణించిన అతను ఛార్జీల నిమిత్తం చెల్లించవలసిన మొత్తం ఎంత ?
సాధన.
(i) స్థిర ఛార్జీ = ₹ x అనుకొందాం.
కిలోమీటరుకు అయ్యే ఛార్జీ = ₹ y అనుకొందాం.
10 కి.మీ. దూరం ప్రయాణం చేసినపుడు అయిన మొత్తం ఛార్టీ = ₹ 220
x + 10y = 220 ………….. (1)
15 కి.మీ. దూరం ప్రయాణం చేసినపుడు అయిన మొత్తం ఛార్టీ = ₹ 310
x + 15y = 310 …… (2)

y = [latex]\frac{90}{5}[/latex] = 18
y = 18ని (1) లో రాయగా,
x + 10 (18) = 220
⇒ x + 180 = 220
x = 220 – 180 = ₹ 40
సాధన x = ₹ 40, y = ₹ 18 ,
∴ స్థిర ఛార్జీ = ₹ 40
కిలో మీటరుకు అయ్యే ఛార్జీ = ₹18.

2వ పద్ధతి (ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి) :
(1) ⇒ x = 220 – 10y ని (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
220 – 10y + 15y = 310
5y = 310 – 220
5y = 90
y = [latex]\frac{90}{5}[/latex] = 18
y = 18 ని (1) లో రా యగా,
x + 10 (18) = 220
x + 180 = 220
x = 220 – 180 = ₹ 40
∴ సాధన x = ₹ 40, y = ₹ 18.
∴ స్థిరఛార్టీ = ₹ 40
కిలోమీటరుకు అయ్యే ఛార్జీ = ₹ 18.
సరిచూసుకోవడం :
10 కి.మీ.లకు అయ్యే ఛార్జీ = స్థిర ఛార్జీ + 10 కి.మీ. ఛార్జీ –
40 + 10 × 18 = 40 + 180 = ₹ 220

(ii) 40 + 25 × 18 = 40 + 450 = 490.

ప్రశ్న 5.
ఒక భిన్నంలో లవ, హారాలకు 1 కలిపిన అది [latex]\frac{4}{5}[/latex] అవుతుంది. అలాగే లవ, హారాల నుండి 5 తీసివేసిన ఆ భిన్నము 1/2 అవుతుంది. అయిన ఆ భిన్నాన్ని కనుగొనండి..
సాధన.
లవం = x, హారం = y అనుకుందాము.
∴ భిన్నము = [latex]\frac{x}{y}[/latex]
లవ, హారాలకు 1 కలిపిన ఆ భిన్నం [latex]\frac{4}{5}[/latex] అవుతుంది.
[latex]\frac{x+1}{y+1}=\frac{4}{5}[/latex] (అడ్డగుణకారము చేయగా)
5x + 5 = 4y + 4
5x – 4y = 4 – 5
5x – 4y = – 1 ……… (1)
లవ, హారాల నుండి 5 తీసివేసిన 1/2 అవుతుంది.
[latex]\frac{x-5}{y-5}=\frac{1}{2}[/latex]
∴ 2x – 10 = y – 5,
2x – y = – 5 + 10
2x – y = 5 ………. (2)
(2) ⇒ – y = 5 – 2x ,
y = 2x – 5 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
5x – 4 (2x – 5) = – 1
5x – 8x + 20 = – 1
– 3x = – 1 – 20 = – 21
3x = 21 ⇒ x = [latex]\frac{21}{3}[/latex] = 7
x = 7 ను (2) లో రాయగా,
2(7) – y = 5 = 14 – y = 5
⇒ y = 5 – 14 = – 9
⇒ y = 9
సాధన, x = 7, y = 9
∴ భిన్నము = [latex]\frac{7}{9}[/latex]

2వ పద్ధతి (చరరాశి తొలగింపు పద్ధతి) :

3x = 21
⇒ x = [latex]\frac{21}{3}[/latex] = 7
x = 7 ను (2) లో రాయగా,
2 (7) – y = 5
– y = 5 – 14 = – 9
⇒ y = 9
సాధన x = 7, y = 9
భిన్నము = [latex]\frac{7}{9}[/latex]
సరిచూచుట :
[latex]\frac{7+1}{9+1}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}[/latex]

[latex]\frac{7-5}{9-5}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}[/latex]

ప్రశ్న 6.
ఒక రహదారిపై గల A, B అనే ప్రదేశాలు 100 కి.మీ. దూరంలో ఉన్నాయి. A నుండి ఒక కారు, B నుండి ఒక కారు ఒకే సమయంలో వేరు వేరు వేగాలతో ప్రయాణిస్తున్నాయి. ఆ రెండు కార్లు ఒకే దిశలో ప్రయాణం చేసిన అవి 5 గంటల తరువాత కలుస్తాయి. అలాకాక అవి ఒకదానివైపు ఒకటి ప్రయాణం చేసిన 1 గంట తరువాత కలుస్తాయి. అయిన ఆ రెండు కార్ల వేగాలను కనుగొనండి. D
సాధన.
A నుండి బయలుదేరిన కారు వేగం = x కి.మీ./గం.
B నుండి బయలుదేరిన కారు వేగం = y కి.మీ./గం. అనుకుందాం.
రెండు కార్లు. ఒకే దిశలో ప్రయాణం చేసిన అవి 5 గంటల తర్వాత కలుస్తాయి. (x > y)

5 గంటలలో 4 నుండి బయలుదేరిన కారు ప్రయాణించిన దూరం = 5x కి.మీ.
5 గంటలలో B నుండి బయలుదేరిన కారు ప్రయాణించిన దూరం = 5y కి.మీ.
∴ 5x = 100 + 5y
5x – 5y = 100
5 (x – y) = 100 x – y = 20 ………… (1)
రెండు కార్లు ఒకదానివైపు ఒకటి ప్రయాణంచిన అవి 1 గంట తరువాత కలుస్తాయి

A నుండి బయలుదేరిన కారు 1 గంటలో ప్రయాణించిన దూరం = x కి.మీ.
B నుండి బయలుదేరిన కారు 1 గంటలో ప్రయాణించిన దూరం = y కి.మీ.

∴ x + y = 100 …….. (2)

x = [latex]\frac{120}{2}[/latex] = 60
x = 60ని (2) లో రాయగా,
60 + y = 100
⇒ y = 100 – 60 = 40
సాధన x = 60, y = 40
∴ కార్లవేగం 60 కి.మీ./గం., 40 కి.మీ./గం.

రెండవ పద్దతి :
A కారు వేగం = 7 కి.మీ./ గం.
B కారు వేగం = y కి.మీ./గం. అనుకుందాం.
(i) రెండు కార్లు ఒకే దిశలో ప్రయాణించిన
సాపేక్ష వేగం V = x – y కి.మీ/గం.
దూరం (d) = 100 కి.మీ.
రెండు కార్లు ఒకే దిశలో ప్రయాణించిన 5 గం. తరువాత కలుస్తాయి.
∴ కాలం (t) = 5 గం.
కాలం × వేగం = దూరం
5 × (x – y) = 100
x – y = 5
x – y = [latex]\frac{100}{5}[/latex] = 20
∴ x – y = 20. ……….. (1)

(ii) రెండు కార్లు ఎదురెదురు దిశలో ప్రయాణించిన సాపేక్షవేగం V = x + y కి.మీ./గం.
దూరం d = 100 కి.మీ.,
కాలము t = 1 గం|| (∵ 1 గంట తరువాత రెండు కార్లు కలుస్తాయి)
1 (x + y) = 100
x + y = 100 ………. (2)
(2) ⇒ y = 100 – x ని (1) లో రాయగా,
x – (100 – x) = 20
x – 100 + x = 20
2x = 20 + 100 = 120
x = [latex]\frac{120}{2}[/latex] = 60
x = 60 ని (2) లో రాయగా,
60 + y = 100
⇒ y = 100 – 60 = 40
సాధన x = 60, y = 40
∴ A కారు వేగం X = 60 కి.మీ./గం.
B కారు వేగం y = 40 కి.మీ./గం.

ప్రశ్న 7.
రెండు కోణాలు పూరక కోణాలు. పెద్ద కోణము కొలత, చిన్న కోణము రెట్టింపు కన్నా 3° తక్కువ అయిన ఆ రెండు కోణాలను కనుగొనండి.
సాధన.
పెద్ద కోణం = x, చిన్న కోణం = y అనుకుందాం.
∴ రెండు కోణాలు పూరకాలు
∴ x + y = 90° ………. (1)
పెద్ద కోణం, చిన్న కోణం రెట్టింపు కన్నా 3° తక్కువ.
x = 2y – 3° …………. (2)
(2) ని (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
(2y – 3) + y = 90°
3y – 3 = 90°
3y = 90 + 3 = 93°
⇒ y = [latex]\frac{93}{3}[/latex] = 31°
y = 31°ని (2) లో రాయగా,
x = 2 (31) – 3
⇒ x = 62 – 3 = 59°
సాధన x = 59°, y = 31°
పెద్ద కోణము = 59°, చిన్న కోణము = 31°
సరిచూచుట :
59° + 31° = 90° (పూరక కోణాలు)
2 × 31 – 3 = 61 – 3 = 59°.

ప్రశ్న 8.
ఒక బీజగణిత పాఠ్యపుస్తకంలో మొత్తము 1382 పేజీలు వున్నాయి. దీనిని రెండు భాగాలు చేసిన రెండవ భాగములో, మొదటి భాగము – కన్నా 64 పేజీలు ఎక్కువ వున్నాయి. అయిన ప్రతీ భాగములోని పేజీల సంఖ్యను కనుగొనండి.
సాధన.
మొదటి భాగంలోని పేజీల సంఖ్య = x అనుకుందాం.
రెండవ భాగంలోని పేజీల సంఖ్య = y అనుకుందాం.
పుస్తకంలోని మొత్తం పేజీలు 1382 కలవు.
∴ x + y = 1382 …………. (1)
రెండవ భాగంలో, మొదటి భాగము కన్నా 64 పేజీలు ఎక్కువ ఉన్నాయి.
y= x + 64 …….. (2)
(2) ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
x + (x + 64) = 1382
2x + 64 = 1382
2x = 1382 – 64
2x = 1318
⇒ x = [latex]\frac{1318}{2}[/latex] = 659
x = 659 ను (2) లో రాయగా,
y = 659 + 64 = 723
సాధన x = 659, y = 723
మొదటి భాగంలోని పేజీల సంఖ్య = 659
రెండవ భాగంలోని పేజీల సంఖ్య = 723
సరిచూచుట :
659 + 723 = 1382
723 – 64 = 659.

ప్రశ్న 9.
ఒక రసాయనాలు అమ్మే దుకాణదారుని వద్ద రెండు రకాల హైడ్రోక్లోరిక్ ఆమ్ల ద్రావణాలున్నాయి. ఒకటి 50% ద్రావణము మరియు రెండవది 80% ద్రావణము. 100మి.లీ. 68% ద్రావణం కావాలన్న ఆ రెండు ద్రావణాలను ఎంత పరిమాణంలో తీసుకోవాలి ?
సాధన.
100 మి.లీ. 68% ద్రావణం కోసం తీసుకోవాల్సిన 50% హైడ్రోక్లోరికామ్లం = x మి.లీ..
80% హైడ్రోక్లోరికామ్లం = y మి.లీ. అనుకొందాం.
కావలసిన ద్రావణం పరిమాణం = 100 మి.లీ.
∴ x + y = 100 ……… (1) మరియు
x మి.లీ.లో 50% + y మి.లీ. 80%. = 100 మి.లీ.లో 68%

⇒ [latex]\frac{x}{2}+\frac{4 y}{5}[/latex] = 68

⇒ [latex]\frac{5 x+8 y}{10}[/latex] = 68
⇒ 5x + 8y = 680 …………….. (2)
(1) ⇒ y = 100 – x ను (2) లో రా యగా,
5x + 8 (100 – x) = 680
5x + 800 – 8x = 680
– 3x = 680 – 800
– 3x = – 120
3x = 120
x = [latex]\frac{120}{3}[/latex] = 40
x = 40 ని (1) లో రా యగా,
40 + y = 100
y = 100 – 40 = 60
సాధన x = 40, y = 60. 100 మి.లీ.
68% ద్రావణం కోసం 50% హైడ్రోక్లోరికామ్ల ద్రావణం 40 మి.లీ. 68% హైడ్రోక్లోరికామ్ల ద్రావణం 60 మి.లీ. తీసుకోవాలి.

2వ పద్ధతి (చరరాశి తొలగింపు పద్ధతి) :

x = [latex]\frac{120}{3}[/latex] = 40
x = 40ని (1) లో రాయగా,
40 + y = 100
⇒ y = 100 – 40 = 60
సాధన x = 40, y = 60.
100 మి.లీ. 68% ద్రావణం తయారుచేయుటకు 40 మి.లీ. 50% హైడ్రోక్లోరికామ్ల ద్రావణం, 60మి.లీ. 80% హైడ్రోక్లోరికామ్ల ద్రావణంలను కలపాలి.
సరిచూచుట :
40 మి.లీ. హైడ్రోక్లోరికామ్లం = 40 × [latex]\frac{50}{100}[/latex]
= 20 మి.లీ.
60 మి.లీ. హైడ్రోక్లోరికామ్లం = 60 × [latex]\frac{80}{100}[/latex] = 48
100 మి.లీ.లలో మొత్తం హైడ్రోక్లోరికామ్లం = 20 + 48 = 68 = 68%.

ప్రశ్న 10.
నీ వద్ద దాచుకొనుటకు ₹ 12000 సొమ్ము కలదనుకొనుము. దానిలో కొంత మొత్తాన్ని 10% వడ్డీరేటుకు మిగిలినది 15% వడ్డీరేటు వచ్చునట్లు పొదుపు చేయాలి. అయితే మొత్తము మీద పొదుపు 12% వడ్డీరేటు రావాలంటే ఏ వడ్డీరేటున ఎంత సొమ్ము దాచుకోవాలి ?
సాధన.
10% వడ్డీరేటున పొదుపు చేసినది = ₹ x
15% వడ్డీరేటున పొదుపు చేసినది = ₹ y అనుకొనుము.
పొదుపు చేసిన మొత్తము సొమ్ము = ₹ 12000 = x + y = 12000 …….. (1) మరియు
₹ x పై 10% వడ్డీ + ₹ y పై 15% వడ్డీ = 12000 పై 12% వడ్డీ
⇒ [latex]\frac{10}{100}[/latex] x + [latex]\frac{15}{100}[/latex] y = [latex]\frac{12}{100}[/latex] × 12000

⇒ [latex]\frac{x}{10}+\frac{3 y}{20}[/latex] = 1440

[latex]\frac{2 x+3 y}{20}[/latex] = 1440
2x + 3y = 28800 ………. (2)
(1) ⇒ y = 12000 – x ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
2x + 3 (12000 – x) = 28800
2x + 36000 – 3x = 28800
⇒ – x = 28800 – 36000
⇒ – x = – 7200
⇒ x = 7200
x = 7200 ను (1) లో రా యగా 7200 + y = 12000
⇒ y = 12000 – 7200
⇒ y = 4800
సాధన x = 7200, y = 4800 – ₹ 12000 పై 12% వడ్డీరేటు రావాలంటే 10% వడ్డీరేటుకు ₹ 7200, 15% వడ్డీరేటుపై ₹ 4800 పొదుపు చేయాలి.

2వ పద్ధతి (చరరాశి తొలగించు పద్ధతి) :

x = 7200 ను (1) లో రాయగా
7200 + y = 12000
y = 12000 – 7200 = 4800
సాధన x = 7200, y = 4800.
₹ 12000 పై 12% వడ్డీరేటు వచ్చుటకు 10% వడ్డీరేటుపై ₹ 7200, 15% వడ్డీరేటుపై ₹ 4800 లు పొదుపు చేయాలి.

సరిచూచుట :
₹ 7200 పై 1 సం||కి 10% వడ్డీరేటున అవు వడ్డీ = [latex]\frac{7200 \times 1 \times 10}{100}[/latex] = 720
₹ 4800 పై 1 సం||కి 15% వడ్డీరేటున అవు వడ్డీ = [latex]\frac{4800 \times 15}{100}[/latex]= 720
మొత్తం వడ్డీ ₹ 720 + ₹ 720 = ₹ 1440
₹ 12000 పై 12% వడ్డీ = 12000 × [latex]\frac{12}{100}[/latex] = 1440

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Exercise 4.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Exercise 4.1

ప్రశ్న 1.
గ్రాఫీలు గీయకుండా, [latex]\frac{a_{1}}{a_{2}}[/latex], [latex]\frac{b_{1}}{b_{2}}[/latex], [latex]\frac{c_{1}}{c_{2}}[/latex] నిష్పత్తులను పోల్చి, కింద ఇచ్చిన రేఖా సమీకరణాల జతలు ఖండన రేఖలో, సమాంతర రేఖలో లేదా ఏకీభవించే రేఖలో కనుగొనుము.
a) 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
సాధన.
5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
a₁ = 5, b₁ = – 4, c₁ = 8
a₂ = 7, b₂ = 6, c₂ = – 9
[latex]\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{5}{7}[/latex]; [latex]\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-4}{6}[/latex]; [latex]\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{8}{-9}[/latex]

[latex]\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}[/latex] కావున ఖండన రేఖలు.

b) 9x + 3y + 12 = 0; 18x + 6y + 24 = 0 a b1 1 విపతులను
సాధన.
9x + 3y + 12 = 0 , 18x + 6y + 24 = 0
a₁ = 9, b₁ = 3, c₁ = 12
a₂ = 18, b₂ = 6, c₂ = 24

[latex]\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}[/latex] కావున ఏకీభవించే రేఖలు

c) 6x – 3y + 10 = 0; 2x – y + 9 = 0
సాధన.
6x – 3y + 10 = 0; 2x-y + 9 = 0
a₁ = 6, b₁ = – 3, c₁ = 10
a₂ = 2, b₂ = – 1, c₂ = 9
[latex]\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{6}{2}[/latex] = 3;

[latex]\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{-1}[/latex] = 3;

[latex]\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{10}{9}[/latex]
[latex]\frac{a_{1}}{a_{2}}[/latex] = [latex]\frac{b_{1}}{b_{2}}[/latex] ≠ [latex]\frac{c_{1}}{c_{2}}[/latex] కావున సమాంతర రేఖలు.

ప్రశ్న 2.
కింద ఇచ్చిన సమీకరణాల జతలు సంగత సమీకరణాలో అసంగత సమీకరణాలో సరిచూడుము. వాటిని రేఖాచిత్ర పద్ధతిలో (గ్రాఫ్ పద్ధతిలో) సాధించుము
a) 3x + 2y = 8
2x – 3y = 1
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణాలు 3x + 2y = 8 మరియు 2x – 3y = 1
[latex]\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{2}[/latex];

[latex]\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{2}{-3}[/latex];

[latex]\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}[/latex]

కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు సంగత సమీకరణాలు

ఇచ్చిన సమీకరణాల జత ఖండనరేఖలు. కావున ఏకైక సాధన ఉంటుంది.
∴ (x, y) = (2, 1)

b) 2x – 3y = 8
4x – 6y = 9
సాధన.
2x – 3y = 8 ⇒ 2x – 3y – 8 = 0
4x – 6y = 9 ⇒ 4 – 6y – 9 = 0 .
[latex]\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}[/latex];

[latex]\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}[/latex];;

[latex]\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-8}{-9}=\frac{8}{9}[/latex]

[latex]\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}[/latex], కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు అసంగత సమీకరణాలు a, 2x – 3y = 8
-3y = 8 – 2x
3y = 2x – 8
y = [latex]\frac{2 x-8}{3}[/latex]
4x – 6y = 9
-6y = 9 – 4x
6y = 4x – 9
y = [latex]\frac{4 x-9}{6}[/latex].

ఇచ్చిన సమీకరణాల జత సమాంతరరేఖలు. కావున సాధన ఉండదు.

c) [latex]\frac{3}{2}[/latex]x + [latex]\frac{5}{3}[/latex]y = 7
9x – 10y = 12
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణాలు [latex]\frac{3}{2}[/latex]x + [latex]\frac{5}{3}[/latex]y = 7 మరియు 9x – 10y = 12
ఇప్పుడు, [latex]\frac{3}{2}[/latex]x + [latex]\frac{5}{3}[/latex]y = 7
⇒ [latex]\frac{9 x+10 y}{6}[/latex] = 7
⇒ 9x + 10y = 42
9x – 10y = 12
[latex]\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{9}{9}=\frac{1}{1}[/latex];

[latex]\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{10}{-10}=\frac{1}{-1}[/latex]; మరియు

[latex]\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-42}{-12}=\frac{7}{2}[/latex]

∴ [latex]\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}[/latex], కావున సమీకరణాలు సంగత సమీకరణాలు.

ఇచ్చిన సమీకరణాల జత ఖండనరేఖలు. కావున ఏకైక సాధన ఉంటుంది.
∴ (x, y) = (3.1, 1.4)

d) 5x + 3y = 11
– 10x + 6y = – 22
సాధన.
5x – 3y = 11 ⇒ 5x – 3y – 11 = 0
-10x + 6y = – 22⇒ – 10x + 6y + 22 = 0
a₁ = 5, b₁ = – 3, c₁ = – 11
a₂ = – 10, b₂ = 6, c₂ = 22
[latex]\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{5}{-10}=\frac{-1}{2}[/latex];

[latex]\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{6}=\frac{-1}{2}[/latex];

[latex]\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{11}{-22}=\frac{-1}{2}[/latex]

∴ [latex]\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}[/latex], కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు సంగత సమీకరణాలు మరియు పరస్పరాధారిత సమీకరణాలు.
5x – 3y = 11
– 3y – 11 = 5x
y = [latex]\frac{5 x-11}{3}[/latex]

– 10x + 6y = – 22
6y = 10x – 22
y = [latex]\frac{10 x-22}{6}[/latex]

∴ ఇచ్చిన సమీకరణాల జత ఏకీభవించే రేఖలు కావున అనంత సాధనలు ఉంటాయి. రేఖపై గల అన్ని బిందువులు సాధనలు అవుతాయి.

e) [latex]\frac{4}{3}[/latex]x + 2y = 8 ; 2x + 3y = 12
సాధన.
[latex]\frac{4}{3}[/latex]x + 2y = 8 ⇒ [latex]\frac{4}{3}[/latex]x + 2y – 8 = 0
2x + 3y = 12 ⇒ 2x + 3y – 12 = 0
a₁ = [latex]\frac{4}{3}[/latex], b₁ = 2, c₁ = – 8
a₂ = 2, b₂ = 3, c₂ = – 12

∴ [latex]\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}[/latex], కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు
సంగత సమీకరణాలు మరియు పరస్పరాధారిత సమీకరణాలు.
[latex]\frac{4}{3}[/latex]x + 2y = 8
ఇరువైపులా 3తో గుణించగా
6y = 24 – 4x
y = [latex]\frac{24-4 x}{6}[/latex]

2x + 3y = 12
3y = 12 – 2x
y = [latex]\frac{12-2 x}{3}[/latex]

∴ ఇచ్చిన సమీకరణాల జత ఏకీభవించే రేఖలు. కావున అనంత సాధనలు ఉంటాయి. రేఖ పై గల అన్ని బిందువులు సాధనలు అవుతాయి.

f) x + y = 5
2x + 2y = 10
సాధన.
x + y = 5 ⇒ x + y – 5 = 0.
2x + 2y – 10 ⇒ 2x + 2y – 10 = 0
a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = -5
a₂= 2, b₂ = 2, c₂ = – 10
[latex]\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{2}[/latex];

[latex]\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{2}[/latex];

[latex]\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-5}{-10}=\frac{1}{2}[/latex]

∴ [latex]\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}[/latex], కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు సంగత సమీకరణాలు మరియు పరస్పరాధారిత సమీకరణాలు.
x + y = 5
y = 5 – x

2x + 2y = 10
2y = 10 – 2x
y = [latex]\frac{10-2 x}{2}[/latex]

∴ ఇచ్చిన సమీకణాల జత ‘ఏకీభవించే రేఖలు. కావున అనంత సాధనలు ఉంటాయి. రేఖపై గల అన్ని బిందువులు సాధనలు అవుతాయి.

g) x – y = 8.
3x – 3y = 16
సాధన.
x – y = 8 ⇒ x – y – 8 = 0
3x – 3y = 16 ⇒ 3x – 3y = 16
a₁ = 1, b₁ = – 1, c₁ = – 8
a₂ = 3, b₂ = – 3, c₂ = – 16
[latex]\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{3}[/latex];

[latex]\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}[/latex]; మరియు

[latex]\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}[/latex]

∴ [latex]\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \neq \frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}[/latex]
కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు అసంగత సమీకరణాలు.
x – y = 8
y = x – 8

3x – 3y = 16
– 3y = 16 – 3x
y = [latex]\frac{3 x-16}{3}[/latex]

∴ ఇచ్చిన సమీకరణాల జత సమాంతర రేఖలు. కావున సాధన ఉండదు.

h) 2x + y – 6 = 0
4x-2y – 4 = 0
సాధన.
2x + y – 6 = 0;
4x – 2y – 4 = 0
a= 2, b = 1, c = – 6 ;
a = 4, b = – 2, c = – 4
[latex]\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}[/latex];

[latex]\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{-2}=\frac{-1}{2}[/latex];

[latex]\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2}[/latex]

∴ [latex]\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}[/latex], కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు సంగత సమీకరణాలు
2x + y – 6 = 0
y = 6 – 2x

4x – 2y – 4 = 0
– 2y = 4 – 4x
y = [latex]\frac{4 x-4}{2}[/latex]

∴ ఇచ్చిన సమీకరణాల జత ఖండనరేఖలు, కావున ఏకైక సాధన ఉంటుంది.
(x, y) = (2, 2)
సాధన : x = 2, y = 2

i) 2x – 2y – 2 = 0
4x – 4y -5 = 0
సాధన.
2x – 2y – 2 = 0
4x – 4y – 5 = 0
[latex]\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}[/latex];

[latex]\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}[/latex];

[latex]\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}[/latex]

∴ [latex]\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \neq \frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}[/latex]
కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు అసంగత సమీకరణాలు.
2x – 2y – 2 = 0
– 2y = 2 – 2x
2y = 2x – 2
y = [latex]\frac{2 x-2}{2}[/latex]

4x – 4y – 5 = 0 L
– 4y = 5 – 4x
y = [latex]\frac{4 x-5}{4}[/latex]

∴ ఇచ్చిన సమీకరణాల జత సమాంతర రేఖలు. కావున సాధన ఉండదు.

ప్రశ్న 3.
నేహ కొన్ని ప్యాంటులను మరియు స్కర్టులను కొనడానికి దుకాణమునకు వెళ్ళినది. ఆమె మిత్రురాలు ప్యాంటులు ఎన్ని, స్కర్టులు ఎన్ని కొన్నావని అడుగగా ఆమె ఇలా జవాబిచ్చింది. “నేను కొన్న స్కర్టుల సంఖ్య, ప్యాంట్ల సంఖ్య రెట్టింపు కన్నా రెండు తక్కువ. అలాగే స్కర్టుల సంఖ్య ప్యాంట్ల సంఖ్యకు మూడు రెట్లు కన్నా నాలుగు తక్కువ”. నేహ ఎన్ని ప్యాంటులు, ఎన్ని స్కర్టులు కొన్నదో తెలుసుకోవడంలో ఆమె మిత్రురాలికి సహాయం చేయండి. –
సాధన.
నేహ కొన్న ప్యాంట్ల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
స్కర్టుల సంఖ్య = y అనుకొనుము.
నేహ కొన్న స్కర్టుల సంఖ్య ప్యాంట్ల సంఖ్య రెట్టింపు కన్నా రెండు తక్కువ.
y = 2x – 2 …………(1)
మరియు నేహ కొన్న స్కర్టుల సంఖ్య ప్యాంట్ల సంఖ్యకు మూడురెట్ల కన్నా నాలుగు తక్కువ.
y = 3x – 4 ………….(2)
y = 3x – 4

(x, y) = (2, 2)
∴ నేహ కొన్న ప్యాంట్ల సంఖ్య = 2
స్కర్టుల సంఖ్య = 2.

ప్రశ్న 4.
రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత) 4. పదవతరగతి చదివే 10 మంది విద్యార్థులు ఒక గణిత క్విజ్ లో పాల్గొన్నారు. దానిలో పాల్గొన్న బాలికల సంఖ్య, బాలుర సంఖ్య కన్నా 4 ఎక్కువ అయిన ఆ క్విజ్ లో పాల్గొన్న బాలికల సంఖ్యను, బాలుర సంఖ్యను కనుగొనండి.
సాధన.
బాలికల సంఖ్య = x
బాలుర సంఖ్య = y అనుకుందాం.
గణిత క్విజ్ లో పాల్గొన్న విద్యార్థులు = 10
x + y = 10 …………. (1)
గణిత క్విజ్ లో బాలికల సంఖ్య బాలుర సంఖ్య కన్నా 4 ఎక్కువ,
∴ x = y + 4
x – y = 4 …………. (2)

x + y = 10
y = 10 – x

x – y = 4
– y = 4 – x
y = x – 4

(x, y) = (7, 3)
∴ బాలికల సంఖ్య = 7
బాలుర సంఖ్య = 3.

ప్రశ్న 5.
5 పెన్సిళ్ళు మరియు 7 కలముల మొత్తము వెల ₹ 50. అలాగే 7 పెన్సిళ్ళు మరియు 5 కలముల మొత్తము వెల (అవే రకం) ₹ 46 అయిన ప్రతీ పెన్సిల్ మరియు కలముల వెల కనుగొనండి.
సాధన.
ఒక పెన్సిళ్ళు ₹ x, కలము వెల = ₹y అనుకుందాము.
5 పెన్సిళ్ళు మరియు 7 కలముల మొత్తం వెల ₹ 50
5 x + 7y = 50 ………….. (1)
7 పెన్సిళ్ళు మరియు 5 కలముల మొత్తం వెల ₹ 46
7x + 5y = 46 …………… (2)
5x + 7y = 50
7y = 50 – 5x
y = [latex]\frac{50-5 x}{7}[/latex]

7x + 5y = 46
5y = 46 -7x
y = [latex]\frac{46-7 x}{5}[/latex]

(x, y) = (3, 5)
ఒక పెన్సిల్ వెల = ₹ 3
ఒక కలము వెల = ₹ 5.

ప్రశ్న 6.
వెడల్పు కన్నా పొడవు 4 మీ. ఎక్కువ కలిగిన ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార తోట చుట్టుకొలతలో సగము 36మీ. అయిన ఆ తోట కొలతలు కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు = 1 మీ., వెడల్పు = b మీ. అనుకుందాం
దీర్ఘచతురస్ర వెడల్పు కన్నా పొడవు 4 మీ. ఎక్కువ.
l = b + 4 ⇒ l – b = 4 ………… (1)
దీర్ఘచతురస్రాకార తోట చుట్టుకొలతలో సగము 36 మీ
[latex]\frac{2(l+b)}{2}[/latex] ⇒ l + b = 36 ………… (2)
l – b = 4
– b = 4 – l
b = l – 4

l + b = 36
b = 36 – l

(l ,b) = (20, 16)
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు = 20 మీ
వెడల్పు = 16 మీ

ప్రశ్న 7.
2x + 3y – 8 = 0 ఒక రేఖీయ సమీకరణము. దీనితో జ్యా మితీయంగా ఖండనరేఖలను ఏర్పరిచేటట్లు వేరొక రేఖీయ సమీకరణాన్ని రాయండి. అదేవిధంగా సమాంతర రేఖలు అయ్యేటట్లు, ఏకీభవించే రేఖలు. అయ్యేటట్లు మరి రెండు సమీకరణాలను రాయండి.
సాధన.
i) 2x + 3y – 8 = 0 కు ఖండనరేఖ అయ్యేటట్లుండే వేరొక రేఖీయ సమీకరణం 5x + 4y – 14 = 0.
(గమనిక : [latex]\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}[/latex] అయ్యేటట్లు ఉండే రేఖీయ సమీకరణాలు ఖండన రేఖలు అవుతాయి.)

ii) 2x + 3y – 8 = 0కు సమాంతరంగా ఉండే మరో రెండు సమీకరణాలు
i) 4x + 6y – 10 = 0 ii) 6x + 9y – 15 = 0
(గమనిక : [latex]\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \neq \frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}[/latex] అయితే రేఖీయ సమీకరణాలు సమాంతర రేఖలు అవుతాయి.)

iii) 2x + 3y – 8 = 0 తో ఏకీభవించే రేఖీయ సమీకరణాలు 4x + 6y – 16 = 0, 6x + 9y – 24 = 0
(గమనిక : [latex]\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}[/latex] అయితే రేఖీయ సమీకరణాలు ఏకీభవిస్తాయి. (లేదా)
L₁, L₂ రేఖలు ఏకీభవించే రేఖలు అయితే రేఖీయ సమీకరణాలు L₂ = KL₁ KE R అయ్యేటట్లుంటాయి.
L₂ = 2x + 3y – 8 = 0 తో ఏకీభవించే రేఖీయ సమీకరణాలు L₂ = K (2x + 3y — 8) = 0, K యొక్క వివిధ విలువలకు వివిధ రేఖీయ సమీకరణాలు వస్తాయి.
K = 2 = L₂ = 4x + 6y – 16 = 0
K = 3 = L₂ = 6x + 9y – 24 = 0

ప్రశ్న 8.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రానికి పొడవు 5 యూనిట్లు తగ్గించి, వెడల్పు 2 యూనిట్లు పెంచగా, వైశాల్యము 80 చదరపు యూనిట్లు తగ్గును. పొడవును 10 యూనిట్లు పెంచి, వెడల్పు 5 యూనిట్లు తగ్గించగా, వైశాల్యము 50 చదరపు యూనిట్లు పెరుగును. అయిన ఆ దీర్ఘ చతురస్రము పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు = l యూనిట్లు
వెడల్పు = b యూనిట్లు అనుకుందాం.
∴ దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = lb చ.యూ.
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు 5 యూనిట్లు తగ్గించిన కొత్త పొడవు = l – 5 యూసట్లు
వెడల్పు 2 యూనిట్లు పెంచగా కొత్త వెడల్పు = b + 2 యూనిట్లు
వైశాల్యం = (l – 5) (b + 2) చ|| మీ.
పొడవు 5 యూనిట్లు తగ్గించి, వెడల్పు 2 యూనిట్లు పెంచగా వైశాల్యము 80 చ||యూ|| తగ్గును.
∴ (l – 5) (b + 2) = lb – 80.
lb + 2l – 5b – 10 = lb – 80.
lb + 2l – 5b – 10 – lb + 80 = 0
2l – 5b + 70 = 0 . ………….. (1)
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు 10 యూనిట్లు పెంచిన కొత్త పొడవు = (l + 10) యూనిట్లు
వెడల్పు 5 యూనిట్లు తగ్గించిన కొత్త వెడల్పు = b – 5 యూనిట్లు
వైశాల్యము = (l – 10) (b – 5) చ|| యూనిట్లు
పొడవు 10 యూనిట్లు పెంచి, వెడల్పు 5 యూనిట్లు తగ్గించగా వైశాల్యం 500 చదరపు యూనిట్లు
(l + 10) (b – 5) = lb + 50
lb – 5l + 10b – 50 = lb + 50
lb – 5l + 10b – 50 – lb – 50 = 0
– 5l + 10b – 100 = 0
5l – 10b + 100 = 0 …………… (2)
2l – 5 b + 70 = 0
– 5 b = – 2l – 70
5 b = 2l + 70
b = [latex]\frac{2 l+70}{5}[/latex]

5l – 10 b + 100 = 0
– 10 b = – 5l – 100
10 b = 5l + 100
b = [latex]\frac{5 l+100}{10}[/latex]

(l, b) = (40, 30)
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు = 40 మీ.
వెడల్పు = 30 మీ

ప్రశ్న 9.
10వ తరగతిలో ముగ్గురేసి విద్యార్థులు ఒక బెంచిపై కూర్చొనగా, ఒక విద్యార్థికి కూర్చునేందుకు స్థలము ఉండదు. అలాగని ఒక్కొక్క బెంచిపై నలుగురేసి విద్యార్థులు కూర్చొన్నచో, ఒక బెంచి ఖాళీగా మిగిలిపోవును. అయిన ఆ తరగతిలోని విద్యార్థులెందరు ? బెంచీలెన్ని ? కనుగొనుము.
సాధన.
తరగతిలోని విద్యార్థుల సంఖ్య = x, బెంచీల సంఖ్య = y అనుకుందాం.
ముగ్గురేసి విద్యార్థులు ఒక బెంచి పై కూర్చొనగా ఒక విద్యార్థి కూర్చునేందుకు స్థలము ఉండదు.
x – 1 = 3y ⇒ x – 3y – 1 = 0 …………. (1)
ఒక్కొక్క బెంచి పై నలుగురేసి విద్యార్థులు కూర్చొన్నచో, ఒక బెంచి ఖాళీగా మిగిలిపోవును.
x = 4 (y – 1) ⇒ x = 4y – 4 ⇒ x – 4y + 4 = 0 ……… (2)
x – 3y – 1 = 0 ⇒ – 3y = 1 – x
⇒ y = [latex]\frac{x-1}{3}[/latex]

x – 4y + 4 = 0 ⇒ – 4y = – x – 4
⇒ y = [latex]\frac{x+4}{4}[/latex]

∴ ( x, y) = (16, 5)
తరగతిలోని విద్యార్థుల సంఖ్య = 16
బెంచీల సంఖ్య = 5

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 3 బహుపదులు Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
కింది ఘన బహుపదులకు ప్రక్కన ఇవ్వబడిన సంఖ్యలు ఆయా బహుపదులకు శూన్యాలు అగునో, లేదో సరిచూడండి ఇదే విధంగా బహుపదుల పదాల గుణకాలకు, శూన్యాలకు మధ్య గల సంబంధాన్ని రాబట్టండి.
(i) 2x³ + x² – 5x + 2 ; ([latex]\frac{1}{2}[/latex], 1, – 2)
(ii) x³ + 4x² + 5x – 2 ; (1, 1, 1)
సాధన.
(i) 2x³ + x² – 5x + 2, ([latex]\frac{1}{2}[/latex], 1, – 2)
p(x) = 2x³ + x² – 5x + 2
p([latex]\frac{1}{2}[/latex]) = 2([latex]\frac{1}{2}[/latex])³ + ([latex]\frac{1}{2}[/latex])² – 5([latex]\frac{1}{2}[/latex]) + 2
= [latex]\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{5}{2}+\frac{2}{1}[/latex]
= [latex]\frac{1+1-10+8}{4}[/latex]
p([latex]\frac{1}{2}[/latex]) = [latex]\frac{0}{4}[/latex] = 0 …………… (1)
p(1) = 2(1)³ + (1)² – 5(1) + 2 –
= 2 + 1 – 5 + 2
p(1) = 0 ……………… (2)
(లేదా)
p(x) లో గుణకాల మొత్తం 2 + 1 – 5 + 2 = 0
∴ p(1) = 0 ………… (2)
p(- 2) = 2(- 2)³+ (- 2)² – 5(- 2) + 2
= 2(- 8) + 4 + 10 + 2
= – 16 + 16 = 0
p(- 2) = 0 ………………(3)
(1), (2) & (3) ల నుండి P([latex]\frac{1}{2}[/latex]) = 0
p(1) = 0
p(- 2) = 0
∴ p(x) కు [latex]\frac{1}{2}[/latex], 1, – 2లు శూన్య విలువలు అవుతాయి.
α = [latex]\frac{1}{2}[/latex], β = 1,γ = – 2 అనుకొందాం.
శూన్య విలువల మొత్తం α + β + γ = [latex]\frac{1}{2}[/latex] + 1 + (- 2)
= [latex]\frac{3}{2}[/latex] – 2
= [latex]-\frac{1}{2}[/latex]
=
రెండేసి శూన్య విలువల లబ్ధాల మొత్తం (αβ + βγ + γα) = ([latex]\frac{1}{2}[/latex]) (1) + (1) (- 2) + (- 2) ([latex]\frac{1}{2}[/latex])
= [latex]\frac{1}{2}[/latex] – 2 – 1 = [latex]\frac{1}{2}[/latex] – 3
= [latex]\frac{1-6}{2}=\frac{-5}{2}[/latex] =
శూన్య విలువల లబ్దం αβγ = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × 1 × (- 2)
= – 1 =

(ii) x³ + 4x² + 5x – 2, (1, 1, 1)
p(x) = x³ + 4x² + 5x – 2
p(1) = (1)³ + 4(1)² + 5(1) – 2
= 1 + 4 + 5 – 2
p(1) = 8
p(1) ≠ 0
∴ p(x) కు 1 శూన్య విలువ కాదు.
(లేదా)
గుణకాల మొత్తం = 0 అయితే 1 ఒక శూన్య విలువ అవుతుంది.
p(x) యొక్క గుణకాల మొత్తం 1 + 4 + 5 – 2 = 8
గుణకాల మొత్తం 8 ≠ 0.
∴ p(x) కు 1 శూన్య విలువ కాదు.

2వ పద్ధతి :
p(x) = x³ + 4x² + 5x – 2 యొక్క శూన్య విలువలు α = β = γ = 1 అయితే p(x) = (x – 1)³ కావాలి.
(x – 1)³ = x³ – 3x² + 3x – 1
p(x) = x³ + 4x² + 5x – 2 ≠ (x – 1)³
∴ కాబట్టి 1, 1, 1లు p(x) యొక్క శూన్య విలువలు కావు.

ప్రశ్న 2.
ఒక ఘన బహుపది యొక్క శూన్యాల మొత్తము, రెండేసి శూన్యాల లబ్దాల మొత్తము మరియు శూన్యాల లబ్దము వరుసగా 2, – 7 మరియు – 14 అయిన ఆ బహుపదిని కనుగొనుము.
సాధన.
ఘన బహుపది p(x) యొక్క శూన్య విలువలు α, β, γ అనుకొనుము α + β + γ = 2
αβ + βγ + γα = – 7
αβγ = – 14
p(x) = k[x³ – (α + β + γ) x³ + (αβ + βγ + γα) x – αβγ]
= k[x³ – 2x² + (- 7) x – (- 14)]
= k[x³ – 2x² – 7x + 14]
k = 1 అయిన p(x) = x³ – 2x² – 7x + 14.

ప్రశ్న 3.
x³ – 3x² + x + 1 అను బహుపది శూన్యాలు a – b, a, a + b లు అయిన a, b విలువలను కనుగొనండి.
సాధన.
p(x) = x³ – 3x² + x + 1 యొక్క శూన్య విలువలు α = a – b, β = a, γ = a + b –
శూన్య విలువల మొత్తం α + β + γ =
a – b + a + a + b = [latex]\frac{-(-3)}{1}[/latex]
3a = 3
a = [latex]\frac{3}{3}[/latex] = 1
శూన్య విలువల లబ్ధం αβγ =
(a – b) (a) (a + b) = [latex]\frac{-1}{1}[/latex]
కాని a = 1
∴ (1 – b) (1) (1 + b) = – 1
1 – b² = – 1
-b² = – 1 – 1 = – 2
b² = 2
b = ± √2
∴ a = 1, b = ± √2.

ప్రశ్న 4.
x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 యొక్క రెండు శూన్యాలు 2 ± √3 అయిన మిగిలిన రెండు శూన్యాలను కనుగొనండి.
సాధన.
p(x) = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 యొక్క రెండు శూన్య విలువలు 2 + √3 మరియు 2 – √3 . కాబట్టి
2 + √3 మరియు 2 – √3 శూన్య విలువలుగా గల వర్గ బహుపది p(x) కు కారణాంకం అవుతుంది.
α = 2 + √3 , β = 2 – √3 శూన్య విలువలుగా గల వర్గ బహుపది.
α + β = 2 + √3 + 2 – √3 = 4
αβ = 22 – (13)2 = 4 – 3 = 1.6
f(x) = k[x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – 4x + 1]
k = 1 ⇒ f(x) = x² – 4x + 1,
p(x) కు కారణాంకము

భాగఫలంలో రెండవ పదం = [latex]\frac{x^{4}}{x^{2}}[/latex] = x²

భాగఫలంలో మూడవ పదం = [latex]\frac{-2 x^{3}}{x^{2}}[/latex] = – 2x

భాగఫలంలో మొదటి పదం = [latex]\frac{-35 x^{2}}{x^{2}}[/latex] = x

బహుపదులు భాగహార అల్గారిథమ్ నుండి ,
p(x) = x⁴ + 6x³ – 26x² + 138x – 35
⇒ (x² – 4x + 1) (x² – 2x – 35) + 0
p(x) = 0 అయిన
(x² – 4x + 1) (x² – 2x – 35) = 0
(x² – 4x + 1) = 0 లేదా x² – 2x – 35 = 0.
x² – 4x + 1 యొక్క శూన్య విలువలు 2 + √3.
x² – 2x – 35 యొక్క శూన్య విలువలు
x² – 2x – 35 = 0
⇒ x² – 7x + 5x – 35 = 0
x(x – 7) + 5 (x – 7) = 0
(x – 7) (x + 5) = 0
x – 7 = 0 లేదా x + 5 = 0.
x = 7 లేదా x = – 5
∴ p (x) యొక్క శూన్య విలువలు 2 + √3, 7 మరియు – 5.

ప్రశ్న 5.
x⁴ – 6x³ – 16x² + 25x + 10 అనే బహుపదిని x² – 2x + k అనే మరొక బహుపదిచే భాగించగా వచ్చు శేషం x + a అయిన ‘k’ మరియు ‘a’ విలువలు కనుగొనండి.
సాదన.
p(x) = x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10
g(x) = x² – 2x + k మరియు
r(x) = x + a

భాగఫలంలో మొదటి పదం = [latex]\frac{x^{4}}{x^{2}}[/latex] = x²

భాగఫలంలో రెండవ పదం = [latex]\frac{-4 x^{3}}{x^{2}}[/latex] = – 4x

భాగఫలంలో మూడవ పదం = [latex]\frac{-(24+k) x^{2}}{x^{2}}[/latex] = – (24 + k)
శేషం r(x) = x + a
∴ (- 23 + 2k) x + (10 + 24k + k²) = x + a
x గుణకాలను పోల్చగా ,
– 23 + 2k = 1
2k = 24
∴ k = 12
స్థిర పదాలను పోల్చగా

2వ పద్ధతి :
(10 + 24k + k²)
p(x) = x⁴ – 6x³ – 16x² + 25x + 10 లెక్క ప్రకారం
r(x) = x + 10
g(x) = x² – 2x + k
భాగహార అల్ గారిథమ్ నుండి
p(x) = g(x) . q(x) + r(x)
p(x) – r(x) = g(x) . q(x)
p(x) – r(x) కు g(x) కారణాంకము అవుతుంది.
కాబట్టి p(x) – r(x) ను g(x) తో భాగిస్తే శేషము ‘0’ అవుతుంది.
కాని p(x) – r(x) a = (x⁴ – 6x³ – 16x² + 25x + 10) – (x + a)
= x⁴ – 6x³ – 16x² + 24x + (10 – a)

= [[24 + 4k) – (48 + 2k)] x + [(10 – a) + (24k + k)]
= (- 24 + 2k) x + (10 – a + 24k + k²) = 0 కావాలంటే
-24 + 2k = 0 మరియు 10 – a + 24k + k² = 0 కావాలి
∴ 2k = 24 మరియు 10 – a + 24(12) + (12) = 0
k= 12 మరియు 10 – a + 288 + 144 = 0
442 – a = 0
∴ a = 442.
∴ k = 12 మరియు a = 442.

భాగఫలంలో మొదటి పదం = [latex]\frac{x^{4}}{x^{2}}[/latex] = x
భాగఫలంలో రెండవ పదం = [latex]\frac{-4 x^{3}}{x^{2}}[/latex] = – 4x
భాగఫలంలో మూడవ పదం = [latex]\frac{-(24+k) x^{2}}{x^{2}}[/latex] = – (24+ k)

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 3 బహుపదులు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమాసాలలో ఏవి బహుపదులు ? ఏవికావు ? కారణాలు తెల్పండి. (పేజీ నెం. 48)
(i) 2x³
(ii) [latex]\frac{1}{x-1}[/latex]
(iii) 4z² + [latex]\frac{1}{7}[/latex]
(iv) m² – √2m + 2
(v) p^-2 + 1
సాధన.
(i), (iii), (iv) లు బహుపదులు
(ii), (v) లు కావు.
కారణం బహుపదుల చరరాశుల ఘాతాంకాలు రుణేతర
పూర్ణ సంఖ్యలు కాని రుణ పూర్ణ సంఖ్యలు కావు.

ప్రశ్న 2.
(i) p(x) = x² – 5x – 6 అయిన p(1), p(2), p(3), p(0), p(- 1), p(- 2), p(- 3) విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 49)
సాధన.
p(x) = x² – 5x – 6
p(1) = (1)² – 5(1) – 6 = 1 – 5 – 6
p(1) = – 10
p(2) = (2)² – 5(2) – 6.= 4 – 10 – 6
p(2) = – 12
p(3) = 3² – 5(3) – 6 = 9 – 15 – 6
p(3) = – 12
p(0) = 0² – 5(0) – 6
p(0) = – 6
p(- 1) = (- 1)² – 5(- 1) – 6 = 1 + 5 – 6
p(- 1) = 0
p(- 2) = (- 2)² – 5(- 2) – 6 = 4 + 10 – 6
p(- 2) = 8
p(- 3) = (- 3)² – 5(- 3) – 6 = 9 + 15 – 6
p(- 3) = 18.

(ii) p(m) = m² – 3m +1 అయిన p(1) మరియు p(- 1) విలువలు కనుగొనండి:
సాధన.
p(m) = m² – 3m + 1
p(1) = (1)² – 3(1) + 1
= 1 – 3 + 1
p(1) = – 1
p(- 1) = (- 1)² – 3(- 1) +1
= 1 + 3 + 1
p(- 1) = 5

ప్రశ్న 3.
(i) p(x) = x² – 4x + 3 అయిన p(0), p(1), p(2), p(3) విలువలు కనుగొనండి. p(x) యొక్క శూన్యాలు ఏవో తెల్పండి. (పేజీ నెం. 50)
సాధన.
p(x) = x² – 4x + 3
p(0) = (0)² – 4(0) + 3
p(0) = 3
p(1) = (1)² – 4(1) + 3
= 1 – 4 + 3
p(1) = 0
p(2) = (2)² – 4(2) + 3
= 4 – 8 + 3
= 7 – 8
p(2) = – 1
p(3) = (3)² – 4(3) +.3
= 9 – 12 + 3
= 12 – 12
p(3) = 0
∴ p(1) = 0, p(3) = 0 కావున p(x) యొక్క శూన్య విలువలు 1 మరియు 3.

(ii) x² – 9 అనే బహుపదికి – 3 మరియు 3 శూన్యాలు 1. అవుతాయో కాదో సరిచూడండి.
సాధన.
p(x) = x² – 9
p(- 3) = (- 3)² – 9 = 9 – 9 = 0
p(3) = 3 – 9 = 9 – 9 = 0
p(- 3) = 0 మరియు p(3) = 0
∴ p(x) కు -3 మరియు 3లు శూన్య విలువలు అవుతాయి.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
ఏవైనా మూడు త్రిపరిమాణ, వర్గ బహుపదులను, రెండు రేఖీయ బహుపదులను విభిన్న పదాలతో రాయండి. (పేజీ నెం. 48)
సాధన.
(i) వర్గ బహుపదులు :
p(x) = x² – 5x + 6
f(x) = 5x – 10
g(x) = 7x²

(ii) ఘన బహుపదులు .
p(x) = 4x³ + 2x² + 7x + 4
f(x) = x³ + 9x – 15
g(x) = 5x³ + 9x² + 11

(iii) రేఖీయ బహుపదులు
p(x) = 5x – 20
g(x) = 4x

ప్రశ్న 2.
x చరరాశిలో గల వర్గ బహుపది, త్రిపరిమాణ బహుపదుల సాధారణ రూపాలను రాయండి. (పేజీ నెం. 49)
సాధన.
వర్గ బహుపది p(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0
ఘన బహుపది p(x) = ax³ + bx² + cx + d, a ≠ 0
(లేదా)
వర్గ బహుపది p(x) = a₀x² + a₁x + a₂ a₀ ≠ 0
ఘన బహుపది p(x) = a₀x³ + a₁x² + a₂x + a₃ a₀ ≠ 0

ప్రశ్న 3.
n పరిమాణం . కలిగిన ఒక బహుపది q(2)ను రాయండి. ఇందులో చరరాశీ గుణకాలుగా b₀ ………. b_n తీసుకుంటే, వాటికి ఏ నిబంధనలు వర్తిస్తాయో తెల్పండి. (పేజీ నెం. 49)
సాధన.
b₀, b₁ ………… b_n లు గుణకాలుగా గల, n వ పరిమాణ బహుపది q(2) యొక్క సాధారణ రూపం.
q(z) = b₀zⁿ + b₁z^{n – 1} + b₂z^{n – 2}
+ ………. + b_{n – 1}z + b_n.
ఇక్కడ b₀ ≠ 0 మరియు b₁, b₂, b₃, ……… b_n లు వాస్తవ సంఖ్యలు.
p(1) = (1)³ – 1 = 0
p(- 1) = (- 1)³ – 1 = – 1 – 1 = – 2
p(0) = (0)³ – 1 = – 1
p(2) = (2)³ – 1 = 8 – = 7
p(- 2) = (- 2)³ – 1 = – 8 – 1 = – 9

ప్రశ్న 4.
– 2 మరియు 2 అనేవి x⁴ – 16 అనే బహుపదికి శూన్యాలు అగునో, కాదో సరి చూడండి.
సాధన.
p(x) = x⁴ – 16
p(- 2) = (- 2)⁴ – 16 = 16 – 16 = 0
p(2) = (2)⁴ – 16 = 16 – 16 = 0.
p(- 2) = 0 మరియు p(2) = 0
∴ – 2 మరియు 2 లు x⁴ – 16 కు శూన్య విలువలు అవుతాయి.

ప్రశ్న 5.
p(x) = x² – x – 6 అనే బహుపదికి 3 మరియు – 2 అనేవి శూన్యాలు అగునో, కాదో సరిచూడండి.
సాధన.
p(x) = x² – x – 6
p(3) = (3)² – (3) – 6 = 9 – 9 = 0
p(- 2) = (- 2)² – (- 2) – 6 = 4 + 2 – 6 = 0
p(3) = 0 మరియు p(- 2) = 0
∴ 3 మరియు – 2 లు p(x) కి శూన్య విలువలు అవుతాయి.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
(i) y = 2x + 5,
(ii) y = 2x – 5,
(iii) y = 2x అను బహుపదులకు రేఖాచిత్రాలు గీయండి. ఈ రేఖలు x- అక్షాన్ని ఖండించే బిందువులు కనుగొనండి. వీటి x – నిరూపకాలు బహుపదుల శూన్య విలువలేనా ? (పేజీ నెం. 52)
సాధన.
(i) y = 2x + 5

a) y = 2x + 5 సూచించే సరళరేఖ x – అక్షాన్ని (- 2.5, 0) వద్ద ఖండించుచున్నది.
b) y = 2x + 5 యొక్క శూన్య విలువ 2x + 5 = 0 2x = – 5
శూన్య విలువ x = – 5/2 = – 2.5
c) y = 2x + 5 ను సూచించే సరళరేఖ
x – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువులోని x – నిరూపకమే శూన్య విలువ అవుతున్నది.

ii) y = 2x – 5

a) y = 2x – 5 గ్రాఫ్ సూచించే సరళరేఖ X – అక్షాన్ని (2.5, 0) బిందువు వద్ద ఖండించుచున్నది.
b) y = 2x – 5 శూన్య విలువ
2x – 5 = 0
2x = 5
శూన్య విలువ x = 5/2 = 2.5
c) y = 2x – 5 ను సూచించే సరళరేఖ X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువులోని x – నిరూపకమే శూన్య విలువ అవుతున్నది.

(iii) y = 2x

a) y = 2x గ్రాఫ్ సూచించే సరళరేఖ X – అక్షాన్ని (0, 0) బిందువు వద్ద ఖండించుచున్నది.
b) y = 2x శూన్య విలువ 2x = 0
∴ శూన్య విలువ x = 0
c) y = 2x గ్రాఫ్ సూచించే సరళరేఖ X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువులోని X – నిరూపకమే శూన్య విలువ అవుతున్నది.

Note : y = ax + b గ్రాఫ్ X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు [latex]-\frac{b}{a}[/latex] x – నిరూపకమే y = ax + b యొక్క శూన్య విలువ అవుతుంది.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
i) y = x² – x – 6, ii) y = 6 – x – x² లకు రేఖాచిత్రాలు గీయండి. ప్రతి సందర్భంలోనూ బహుపది శూన్యాలను కనుగొనండి. మీరు ఏమి గమనించారు ? (పేజీ నెం. 53)
సాధన.
i) y = x² – x – 6

y = x² – x – 6

పరిశీలనాంశాలు :
1) y = x² – x – 6 పరావలయం X – అక్షాన్ని (- 2, 0) మరియు (3, 0) అనే బిందువుల వద్ద ఖండించుచున్నది.

2) p(x) యొక్క శూన్య విలువలు
p(x) = x² – x – 6 = 0
⇒ x² – 3x + 2x – 6 = 0
⇒ x (x – 3) + 2 (x – 3) = 0
⇒ (x – 3) (x + 2) = 0
⇒ x – 3 = 0 లేదా x + 2 = 0
⇒ x = 3 లేదా x = – 2
p(x) శూన్య విలువలు 3 మరియు – 2.

3) y = x² – x – 6 పరావలయం X – అక్షాన్ని ఖండించిన బిందువులు (3, 0) మరియు (- 2, 0) లలోని X – నిరూపకాలు 3 మరియు – 2 లు x² – x – 6 యొక్క శూన్య విలువలు అవుతున్నాయి.

ii) y = 6 – x – x²

పరిశీలనాంశాలు :
1) y = 6 – x – x² లో – 1 < 0 (a < 0).
2) y = 6 – x – x² పరావలయం క్రింది వైపు వివృతంగా (తెరచుకొని) ఉంది.
3) y = 6 – x – x² పరావలయం X – అక్షాన్ని (- 3, 0) మరియు (2, 0) అనే బిందువుల వద్ద ఖండించుచున్నది.
y = 6 – x – x² యొక్క శూన్య విలువలు
p(x) = – x² – x + 6 = 0
⇒ – x² – 3x + 2x + 6 = 0
⇒ – x (x + 3) + 2 (x + 3) = 0.
⇒ (x + 3) (2 -x) = 0
⇒ x + 3 = 0 లేదా 2 – x = 0
⇒ x = – 3 లేదా x = 2
∴ p(x) శూన్య విలువలు -3 మరియు 2

4) p(x) = y = 6 – x – x² పరావలయం X – అక్షాన్ని ఖండించిన బిందువులు (- 3, 0) మరియు (2, 0) లలోని x – నిరూపకాలు’ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు అవుతున్నాయి.

ప్రశ్న 2.
రెండు శూన్యాలు కలిగిన ఏవేని మూడు బహుపదులను వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
బహుపది p(x) = ax² + bx + c రెండు వాస్తవ శూన్య విలువలను కలిగి ఉండాలంటే b² – 4ac > 0 అయ్యేటట్లు a, b, c లు ఉండాలి (a ≠ 0).
i) a = 1, b = 5, c = 6 అయిన
b² – 4ac = (5)² – 4(1) (6) = 25 – 24 > 0
∴ బహుపది p(x) = x² + 5x + 6.

ii) a = 1, b = 0, c = – 8 అయిన
b² – 4ac = 0 – 4(1) (-8) = 32 > 0
∴ బహుపది p(x) = x² – 8.

iii) a = 1, b = – 3, c = 0 అయిన
b² – 4ac = (-3) – 4(1) (0) = 9 > 0
∴ బహుపది p(x) = x² – 3x.

2వ పద్ధతి :
బహుపది p(x)కి రెండు వాస్తవ శూన్య విలువలు (α, β) ఉంటే p(x) = (x – α) (x – β)గా రాయవచ్చును.

i) p(x) = [x – (-2)] [x – (-3)]
= (x + 2) (x + 3)
∴ p(x) = x² + 5x + 6.

ii) p(x) = (x – 272) (x + 2/2 )
= x² – (2/2)²
∴ p(x) = x² – 8.

iii) p(x) = (x – 0) (x – 3)
∴ p(x) = x² – 3x.

ప్రశ్న 3.
ఒకే ఒక శూన్యం కలిగిన ఒక బహుపదిని వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
p(x) = ax² + bx + c ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉండాలంటే b² – 4ac = 0 అయ్యేటట్లు a, b, c లు ఉండాలి (a #0).
a = 1, b = – 4, c = 4 అయిన
b² – 4ac = (- 4)² – 4(1)(4)
= 16 – 16 = 0
∴ బహుపది p(x) = x² – 4x + 4.

2వ పద్దతి :
వర్గ బహుపది ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉంటే p(x) = (x – α)² రూపంలో రాయగలము.
p(x) = (x – 2)²
= x² – 4x + 4.

ప్రశ్న 4.
ఒక బహుపదికి ఒకే ఒక శూన్యము వుంటే దానిని ఏవిధంగా నిరూపిస్తావు ? (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
p(x) = x² – 4x + 4 ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉంటే b² – 4ac.= 0 కావాలి.
(- 4)² – 4(1) (4) = 16 – 16 = 0.
(లేదా)
p(x) = x² – 4x + 4 యొక్క గ్రాఫ్ గీచి గ్రాఫ్ X- అక్షాన్ని ఒకే ఒక బిందువు వద్ద ఖండిస్తుందని చూపి సరిచూడగలను. .
(లేదా)
p(x) = ax² + bx + c ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉండాలంటే
p(x) = (x – α)², α ∈ R అయ్యేట్లు రాయగలగాలి.
p(x) = x² – 4x + 4
= x² – 2.x. 2 + (2)²
p(x) = (x – 2)²
p(x) = (x – α)² రూపంలో రాయగలిగాను కాబట్టి
p(x) ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 5.
వాస్తవసంఖ్య ‘x’ కలిగి వుండి శూన్యం లేని బహుపదులను ఏవైనా మూడింటిని రాయండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
బహుపది p(x) యొక్క శూన్య విలువలు
b² – 4ac < 0 అయినప్పుడు వాస్తవ సంఖ్యలు కావు.
i) a = 1, b = 2, c = 3 అయిన
b² – 4ac = 4 – 12 = – 8 < 0
∴ p(x) = x² + 2x + 3.

ii) a = 2, b = 0, c = 7 అయిన
b² – 4ac = 0 – 56 = – 56 < 0
∴ p(x) = 2x² + 7.

iii) a = – 3, b = 5, c = -4
b² – 4ac = 25 – 48 = – 23 < 0.
∴ p(x) = – 3x² + 5x – 4.

ప్రశ్న 6.
రేఖాచిత్రాలు గీయకుండానే దిగువ ఘన బహుపదులకు శూన్యాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 57)
(i) – x³.
(ii) x² – x³.
(iii) x³ – 5x² + 6x
సాధన.
(i) – x³
p(x) = – x³ = 0 అయిన x = 0
p(x) = – x³ యొక్క శూన్య విలువ ‘0’.

(ii) x² – x³
p(x) = x² – x³
p(x) = x² – x³ = 0 అయిన
x² (1 – x) = 0
x² = 0 లేదా 1 – x = 0
x = 0 లేదా 1 = x
p(x) = x² – x³ యొక్క శూన్య విలువలు ‘1’ మరియు ‘0’.

(iii) x³ – 5x² + 6x
p(x) = x³ – 5x² + 6x = 0 అయిన
⇒ x(x² – 5x + 6) = 0
⇒ x = 0 లేదా x² – 5x + 6 = 0 ………….. (1)
(1) ⇒ x² – 5x + 6 = x² – 3x – 2x + 6 = 0
x(x – 3) – 2(x – 3) = 0 (x – 3) (x – 2) = 0
x – 3 = 0 లేదా x – 2 = 0
x = 3 లేదా x = 2
p(x) = x³ – 5x² + 6x యొక్క శూన్య విలువలు ‘0’, ‘2’, ‘3’.
Note :
బహుపది p(x) లో స్థిరపదం లేకపోతే p(x) కు సున్న ఒక శూన్య విలువ అవుతుంది.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
దిగువ ఇవ్వబడిన వర్గ బహుపదుల యొక్క శూన్యాలను కనుగొనండి. ఇదేవిధంగా శూన్యాల మొత్తము మరియు లబ్ధమును కనుగొని, బహుపది పదాల గుణకాలకు మధ్యన గల సంబంధాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 62)
(i) p(x) = x² – x – 6
(ii) p(x) = x² – 4x + 3
(iii) p(x) = x² – 4
(iv) p(x) = x² + 2x + 1
సాధన.
i) p(x) = x² – x – 6

p(x) = 0 అయిన x² – x – 6 = 0
x² – 3x + 2x – 6 = 0
x (x – 3) + 2 (x – 3) = 0
x (x – 3) (x + 2) = 0
x – 3 = 0 లేదా x + 2 = 0
x = 3 లేదా x = – 2
∴ శూన్య విలువలు α = 3, β = – 2.
అం శూన్య విలువల మొత్తం α + β = 3 + (- 2) = 1
= [latex]\frac{-(-1)}{1}[/latex] =
శూన్య విలువల లబ్దం αβ = (3) (- 2) = – 6 =

(ii) p(x) = x² – 4x + 3

p(x) = 0 అయిన x² – 4x + 3 = 0
x² – 3x – x + 3 = 0
x(x – 3) – 1 (x – 3) = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0 లేదా x – 1 = 0
x = 3 లేదా x = 1
∴ శూన్య విలువలు α = 3, β = 1.
శూన్య విలువల మొత్తం α + β = 3 + 1 = 4
= [latex]\frac{-(-4)}{1}[/latex]
శూన్య విలువల లబ్దం αβ = 3 (1) = 3

(iii) p(x) = x² – 4
p(x) = 0 అయిన x² – 4 = 0.
x² = 4 = x = + 2
శూన్య విలువలు α = 2, β = – 2.
శూన్య విలువల మొత్తం α + β = 2 + (- 2) = 0
= [latex]\frac{0}{1}[/latex] =
శూన్య విలువల లబ్ధం αβ = (2) (- 2) = – 4
= [latex]-\frac{4}{1}[/latex] =

(iv) p(x) = x² + 2x + 10
p(x) = 0 అయితే,
x² + 2x + 1 = 0.
x² + 2.x. 1 + 1 = 0
(x + 1) ²= 0 శూన్య విలువలు సమానం
∴ x + 1 = 0
x = – 1
α = – 1 మరియు β = – 1 శూన్య విలువల మొత్తం α + β = (- 1) + (- 1)
= – 2 = [latex]-\frac{2}{1}[/latex] =
శూన్య విలువల లబ్దం αβ = (- 1) (- 1) = 1
= [latex]\frac{1}{1}[/latex] =

ప్రశ్న 2.
α, β మరియు γ అనేవి ఒక ఘన బహుపది యొక్క శూన్యాలైతే తగిన విలువలు కనుగొని పట్టికలో పూరించండి. (పేజీ నెం. 66)

సాధన.
α + β + γ =

αβ + βγ + γα =

αβγ =

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
– 2 మరియు [latex]\frac{1}{3}[/latex] శూన్యాలు కలిగిన వర్గ బహుపదిని కలిగిన కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 64)
సాధన.
α = – 2, β = [latex]\frac{1}{3}[/latex]
α + β = – 2 + [latex]\frac{1}{3}[/latex]
= [latex]\frac{-6+1}{3}[/latex] = – [latex]\frac{5}{3}[/latex]
αβ = (- 2) ([latex]\frac{1}{3}[/latex]) = – [latex]\frac{2{3}[/latex]
వర్గ బహుపది p(x) = k[x² – (α + β)x + αβ]
= k [x² – ([latex]-\frac{5}{3}[/latex]) x + ([latex]-\frac{2}{3}[/latex])]
= k [latex]\left[\frac{3 x^{2}+5 x-2}{3}\right][/latex]
k = 3 అయిన p(x) = 3x² + 5x – 2.

ప్రశ్న 2.
శూన్యాల మొత్తం [latex]-\frac{3}{2}[/latex] మరియు లబ్ధం – 1 కలిగిన వర్గ బహుపదిని తెలపండి. (పేజీ నెం. 64)
సాధన.
α + β = [latex]-\frac{3}{2}[/latex], αβ = – 1
వర్గ బహుపది = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – ([latex]-\frac{3}{2}[/latex])x + (- 1)]
= k [latex]\left[\frac{2 x^{2}+3 x-2}{2}\right][/latex]
k = 2 అయిన p(x) = 2x² + 3x – 2.

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
క్రింది పటములలో ఇవ్వబడిన రేఖాచిత్రాలను గమనించండి. ప్రతి రేఖాచిత్రం y = p(x) నందు p(x) అనేది ఒక బహుపది. ప్రతి సందర్భములోనూ X వ్యాప్తితో కూడిన బహుపది p(x)నకు శూన్యాల సంఖ్యను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 58)

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(vi)
సాధన.
పైన చూపిన పటాలలో x వ్యాప్తితో కూడిన రేఖాచిత్రాలు
(i) రేఖాచిత్రం x – అక్షంను ఒక బిందువు వద్ద ఖండించింది. కావున శూన్యాల సంఖ్య 1.
(ii) రేఖాచిత్రం x – అక్షంను రెండు బిందువుల వద్ద ఖండించింది. కావున శూన్యాల సంఖ్య 2.
(iii) శూన్యాల సంఖ్య 3.
(iv) శూన్యాల సంఖ్య 1.
(v) శూన్యాల సంఖ్య 1.
(vi) శూన్యాల సంఖ్య 4.

ప్రశ్న 2.
క్రింది బహుపదులకు శూన్యాల సంఖ్యను కనుగొనండి మరియు వాటి విలువలను తెలపండి.
(i) p(x) = 2x + 1
(ii) q(y) = y² -1
(iii) r(z) = 73 (పేజీ నెం. 59)
సాధన.
బహుపదుల రేఖాచిత్రాలు గీయకుండానే మనం శూన్యాలను కనుగొందాము.
(i) p(x) = 2x + 1 అనేది ఒక రేఖీయ బహుపది కావున దీనికి ఒకే ఒక శూన్యం ఉంటుంది.
p(x) = 0 తీసుకోండి. అంటే, 2x + 1 = 0
కావున x = [latex]-\frac{1}{2}[/latex] అగును.
ఇచ్చిన బహుపది యొక్క శూన్యం [latex]-\frac{1}{2}[/latex].

(ii) q(y) = y² – 1 అనేది ఒక వర్గబహుపది.
కావున దీనికి గరిష్ఠంగా రెండు శూన్యాలు ఉంటాయి.
q(y) = 0 అనుకోండి
⇒ y² – 1 = 0
⇒ (y + 1) (y – 1) = 0
⇒ y = – 1 లేదా y = 1
∴ ఇచ్చిన బహుపది యొక్క శూన్యాలు – 1 మరియు 1 అయినవి.

(iii) r(7) = z³ అనేది ఒక ఘన బహుపది కావున
దీనికి గరిష్ఠంగా మూడు శూన్యాలుంటాయి. r(z) = 0 అనుకొనండి.
⇒ z = 0
∴ ఇచ్చిన బహుపది యొక్క శూన్యము ‘సున్న’ అయినది.

ప్రశ్న 3.
x² + 7x + 10 అనే వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాలను కనుగొని, శూన్యాలకు, బహుపది గుణకాలకు సంబంధాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 62)
సాధన.
మనకు x² + 7x + 10 = (x + 2) (x + 5) అగును.
కావున, x² + 7x + 10 యొక్క విలువ శూన్యం కావాలంటే x + 2 = 0 లేదా x + 5 = 0 కావాలి
అంటే x = – 2 లేదా x = – 5 అగును.
కావున x² + 7x + 10 యొక్క శూన్యాలు – 2 మరియు – 5 అగును.
ఇప్పుడు, శూన్యాల మొత్తము = – 2 + (- 5) = (7) =
శూన్యాల లబ్ధము = – 2 × (- 5) = 10
=

ప్రశ్న 4.
x² – 3 అనే బహుపది యొక్క శూన్యాలు కనుగొని, శూన్యాలకు, బహుపది గుణకాలకు మధ్య గల సంబంధాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 63)
సాధన.
a² – b² = (a – b) (a + b) అనే సర్వసమీకరణం గుర్తుకు తెచ్చుకోండి.
దీనినుపయోగించి x² – 3 = (x – √3 ) (x + √3 ) అని వ్రాయవచ్చు.
కావున x² – 3 యొక్క శూన్యాలు x = √3 లేదా x = – √3.
ఈ విధంగా, x² – 3 యొక్క శూన్యాలు √3 మరియు – √3 అవుతాయి.
ఇప్పుడు, శూన్యాల మొత్తము = √3 + (- √3) = 0
=
శూన్యాల లబ్ధము = (√3) × (- √3) = – 3
=

ప్రశ్న 5.
ఒక వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాల మొత్తము మరియు లబ్దము వరుసగా – 3 మరియు 2 అయిన ఆ వర్గ బహుపదిని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 63)
సాధన.
α మరియు β లు శూన్యాలుగా కలిగిన వర్గ బహుపదిని ax² + bx + c అనుకోండి. α + β = – 3 = [latex]-\frac{b}{a}[/latex] మరియు αβ = 2 = [latex]\frac{c}{a}[/latex]
మనము a = 1 తీసుకుంటే b = 3 మరియు c = 2 అగును.
కావున ఇచ్చిన నియమానికి లోబడి ఏర్పడే వర్గ బహుపది x² + 3x + 2 అవుతుంది.

ప్రశ్న 6.
ఒక వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాలు వరుసగా 2 మరియు 3 అయినచో ఆ బహుపదిని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 64)
సాధన.
α, β లు శూన్యాలుగా కలిగిన వర్గబహుపది
ax² + bx + c, a ≠ 0 అనుకోండి. ఇచ్చట α = 2, β = [latex]-\frac{1}{3}[/latex].
శూన్యాల మొత్తం = (α + β) = 2 + ([latex]-\frac{1}{3}[/latex]) = [latex]\frac{5}{3}[/latex]
శూన్యాల లబ్ధం = (αβ) = 2([latex]-\frac{1}{3}[/latex]) = [latex]-\frac{2}{3}[/latex]
కావున, వర్గ బహుపది ax² + bx + c ని k[x² – (α + β) x + αβ], k ఒక స్థిరపదముగా వ్రాస్తే = k [x² – [latex]\frac{5}{3}[/latex] x – [latex]\frac{2}{3}[/latex]] అగును.
వాస్తవ సంఖ్య ‘k’ కు వివిధ విలువలను ఇవ్వవచ్చును. k = 3 అయినచో వర్గ బహుపది 3x² – 5x – 2 అవుతుంది.

ప్రశ్న 7.
ఘన బహుపది p(x) = 3x³ – 5x² – 11x – 3 యొక్క శూన్యాలు 3, – 1 మరియు – [latex]\frac{1}{3}[/latex] అగునని చూపండి. బహుపది గుణకాలకు, శూన్యాలకు మధ్యగల సంబంధాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 66)
సాధన.
ఇచ్చిన ఘన బహుపది p(x) = 3x³ – 5x² – 11x – 3 ని – ax³ + bx² + cx + d తో సరిపోల్చిన a = 3, b = – 5, c = – 11, d = – 3 అగును. దీని నుండి
p(3) = (3 × 3³) – (5 × 3²) – (11 × 3) – 3
= 81 – 45 – 33 – 3 = 0
p(- 1) = 3 × (- 1)³ – 5 × (- 1)² – 11 × (- 1) – 3
= – 3 – 5 + 11 – 3 = 0.
p(- [latex]\frac{1}{3}[/latex]) = 3 × (- [latex]\frac{1}{3}[/latex])³ – 5 × (- [latex]\frac{1}{3}[/latex])² – 11 × – [latex]\frac{1}{3}[/latex] – 3
= – [latex]\frac{1}{9}[/latex] – [latex]\frac{5}{9}[/latex] + [latex]\frac{11}{3}[/latex] – 3
= – [latex]\frac{2}{3}[/latex] + [latex]\frac{2}{3}[/latex] = 0 అగును.
కావున 3x³ – 5x² – 11x – 3 యొక్క శూన్యాలు, 3, – 1 మరియు – [latex]\frac{1}{3}[/latex] అని చూపడమైనది..
ఇప్పుడు α = 3, β = – 1 మరియు γ = – [latex]\frac{1}{3}[/latex] తీసుకొంటే
α + β + γ = 3 + (- 1) + (- [latex]\frac{1}{3}[/latex]) = 2 – [latex]\frac{1}{3}[/latex]
αβ + βγ + γα = 3 × (- 1) + (- 1) × (- [latex]\frac{1}{3}[/latex]) + (- [latex]\frac{1}{3}[/latex]) × 3
= – 3 + [latex]\frac{1}{3}[/latex] – 1
= [latex]-\frac{11}{3}[/latex] = [latex]\frac{c}{a}[/latex]
αβγ = 3 × (- 1) × (- [latex]\frac{1}{3}[/latex])

ప్రశ్న 8.
2x² + 3x + 1 ను x + 2 చే భాగించండి. (పేజీ నెం. 68)
సాధన.
భాగహారంలో శేషము. సున్న వచ్చిననూ లేదా శేషము యొక్క పరిమాణము, విభాజకము యొక్క పరిమాణము కన్నా తక్కువ అయినప్పుడు భాగహారము పూర్తయినట్లుగా భావిస్తామని గుర్తించండి. ఇచ్చట, భాగహారములో ఆ ‘భాగఫలము 2x – 1 మరియు శేషము 3 అయినది. ఇదే ‘విధంగా భాగహార నియమాన్ని సరిచూస్తే
(2x – 1) (x + 2) + 3 = 2x² + 3x – 2 + 3
= 2x² + 3x + 1
అంటే 2x² + 3x + 1 = (x + 2) (2x – 1) + 3
కావున, విభాజ్యము = విభాజకము × భాగఫలము + శేషము అయినది.

ప్రశ్న 9.
3x³ + x² + 2x + 5 ను 1 + 2x + x² చే భాగించండి. (పేజీ నెం. 68)
సాధన.
మొదటగా మనం విభాజ్యం మరియు విభాజకాలను పదాల పరిమాణాల కనుగుణంగా అవరోహణ క్రమంలో అమర్చుకొని బహుపదులను ప్రామాణిక రూపంలో రాసుకోవాలి. ఇచ్చిన ఉదాహరణలో విభాజ్యము ప్రామాణిక రూపంలోనే వుంది. విభాజకాన్ని కూడా ప్రామాణిక రూపం x² + 2x + 1 గా రాయవచ్చును.

సోపానం 1: భాగఫలంలో మొదటి పదాన్ని పొందడానికి, విభాజ్యంలో గరిష్ఠ పరిమాణ పదాన్ని, (అనగా 3x³) విభాజకంలో గరిష్ఠ పరిమాణ పదము (అనగా x²) తో భాగించాలి. ఇది 3x అవుతుంది. ఈ క్రమంలో భాగహారం కొనసాగిస్తే శేషం – 5x² – x + 5 వస్తుంది.

సోపానం 2:
ఇప్పుడు, భాగఫలములో రెండవ పదాన్ని పొందడానికి, కొత్త విభాజ్యంలో గరిష్ఠ పరిమాణ పదము (అనగా 5x²)ను విభాజకంలో గరిష్ఠ పరిమాణ పదము (అనగా x²) చే భాగిస్తే – 5 వస్తుంది. ఈ క్రమంలో తిరిగి భాగహారము – 5x² – x + 5 తో కొనసాగించాలి.

సోపానం 3 :
మిగిలిన శేషము 9x + 10. దీని యొక్క పరిమాణము తిరిగి విభాజకము x² + 2x + 1 యొక్క పరిమాణము కన్నా తక్కువ. అందుచే నియమము ప్రకారం భాగహారాన్ని కొనసాగించలేము. అందుచే భాగఫలము 3x – 5 మరియు శేషము 9x + 10 అయినది.
ఇలాగే (x² + 2x + 1) x (3x – 5) + (9x + 10)
= (3x³ + 6x² + 3x – 5x² – 10x – 5 + 9x + 10)
= 3x³ + x² + 2x + 5
అంటే విభాజ్యం = విభాజకం X భాగఫలం + శేషం అయినది.

ప్రశ్న 10.
3x² – x³ – 3x + 5 ను x – 1 – x² చే భాగించి, భాగహార నియమాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 69)
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపదులు ప్రామాణిక. రూపంలో లేవని గుర్తించండి. భాగహారం ప్రారంభించడానికి ముందుగా విభాజ్యం మరియు విభాజకాలను పరిమాణాల ప్రకారం అవరోహణ క్రమంలో రాయాలి.
కావున, విభాజ్యం = – x³ + 3x² + 3x + 5 మరియు విభాజకం = – x² + x – 1 అగును.
భాగహార ప్రక్రియలో శేషం యొక్క పరిమాణం విభాజకం (- x² + x – 1) యొక్క పరిమాణం కన్నా తక్కువ అయినందున భాగహారం ఆపివేస్తాం. ”
అందుచే, భాగఫలం = x – 2, శేషం = 3.
ఇప్పుడు,
విభాజ్యం = విభాజకం × భాగఫలం + శేషం
= (- x² + x – 1) (x – 2) + 3
= – x³ + x² – x + 2x² – 2x + 2 + 3
= – x³ + 3x² – 3x + 5
ఈ విధంగా, భాగహార నియమం సరిచూడడమైనది.

ప్రశ్న 11.
2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2 అను బహుపదికి √2 మరియు – √2 లు రెండు శూన్యాలైన మిగిలిన అన్ని శూన్యాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 70)
సాధన.
√2 మరియు – √2 అనేవి ఇవ్వబడిన బహుపదికి రెండు శూన్యాలు కావున, ఈ బహుపదిని (x – √2) (x + √2) = x² – 2 చే భాగించవచ్చు.

భాగఫలంలో మొదటి పదము = [latex]\frac{2 x^{4}}{x^{2}}[/latex] = 2x²

భాగఫలంలో రెండవ పదము = [latex]\frac{-3 x^{3}}{x^{2}}[/latex] = – 3x

భాగఫలంలో మూడవ పదము = [latex]\frac{x^{2}}{x^{2}}[/latex] = 1

కావున, 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2 = (x – 2) (2x² – 3x + 1)
ఇప్పుడు 2x² – 3x + 1 లో మధ్య పదము – 3x ను విభజించి కారణాంకాలుగా రాస్తే (2x – 1) (x – 1) వచ్చును. కావున మిగిలిన రెండు శూన్యాలు x = [latex]\frac{1}{2}[/latex], మరియు x = 1 అగును. ఈ విధంగా ఇచ్చిన బహుపది యొక్క శూన్యాలు √2, – √2, 1 మరియు [latex]\frac{1}{2}[/latex] అవుతాయి.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 3 బహుపదులు Exercise 3.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.1

ప్రశ్న 1.
a) p(x) = 5x⁷ – 6x⁵ + 7x – 6 అయిన కింది వానిని కనుగొనండి.
(i) X యొక్క గుణకం
(ii) p(x) యొక్క పరిమాణము
(iii) స్థిరపదము
సాధన.
(i) x⁵ గుణకము = – 6
(ii) p(x) పరిమాణము = 7
(iii) స్థిరపదము = – 6

(b) మూడు వేర్వేరు బహుపదులను వ్రాసి, ప్రతి దానికి మూడు ప్రశ్నల చొప్పున రూపొందించండి.
సాధన.
బహుపది 1) p(x) = x + 5
ప్రశ్నలు :
1) పై బహుపది పరిమాణం ఎంత ?
2) పై బహుపదికి గల గరిష్ట శూన్యాలెన్ని ?
3) పై బహుపది శూన్య విలువ ఎంత ?

బహుపది 2) p(x) = x² – 5x + 6 .
ప్రశ్నలు :
1) పై బహుపది యొక్క శూన్యాల మొత్తం ఎంత ?
2) పై బహుపది యొక్క శూన్యాల లబ్ధం ఎంత ?
3) పై బహుపది యొక్క రేఖాచిత్రం X – అక్షాన్ని ఎన్ని బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది ?

బహుపది 3) p(x). = ax^p – bx² + cx + d
ప్రశ్నలు :
1) పై బహుపది ఘన బహుపది కావలెనన్న ‘P’ విలువ ఎంత కావలెను ?
2) పై బహుపది శూన్యాల లబ్దం ఎంత ?
3) పై బహుపది ఘన బహుపది కావలెనన్న ‘a’ గురించి నీవేమి చెప్పగలవు ?

ప్రశ్న 2.
క్రింది ప్రవచనాలలో ఏవి సత్యం ? ఏవి అసత్యం ? కారణాలను తెల్పండి.
(i) √2x² – 3x + 1 అనే బహుపది పరిమాణం √2.
సాధన.
అసత్యం
కారణం :
√2 x² – 3x + 1 యొక్క పరిమాణము 2.
√2 , x² యొక్క గుణకం అవుతుందే కాని పరిమాణం కాదు.

(ii) p(x) = 3x³ – 4x² + 5x + 7 అనే బహుపదిలో x² యొక్క గుణకం 2.
సాధన.
అసత్యం .
కారణం :
p(x) లో x² గుణకము = – 4

(iii) స్థిరపదం యొక్క పరిమాణం సున్న.
సాధన.
సత్యం .
కారణం :
స్థిరపదంలో చరరాశి ఉండదు.
ఉదా : p(x) = 8 = 8x⁰ గా రాయవచ్చు.

(iv) [latex]\frac{1}{x^{2}-5 x+6}[/latex] అనేది ఒక వర్గ బహుపది.
సాధన.
అసత్యం .
కారణం :
వర్గ బహుపది ax² + bx + c రూపంలో ఉండాలి. వర్గ బహుపదిలో చరరాశి ఘాతాంకాలు రుణేతర పూర్ణ సంఖ్యలు. కానీ [latex]\frac{1}{x^{2}-5 x+6}[/latex] లో చరరాశి ఘాతాంకాలు రుణపూర్ణ సంఖ్యలు అవుతాయి. కాబట్టి [latex]\frac{1}{x^{2}-5 x+6}[/latex] అసలు బహుపదియే కాదు.

(v) ఒక బహుపది పరిమాణము దానిలోని పదాల సంఖ్య కన్నా ఒకటి ఎక్కువ.
సాధన.
అసత్యం .
బహుపది పరిమాణం సాధారణ రూపంలోని పదాల కన్నా ఒకటి తక్కువ.
ఉదా : 3x² – 5x + 7 లో పదాల సంఖ్య = 3 పరిమాణము = 2.

ప్రశ్న 3.
p(t) = t³ – 1 అయిన p(1), p(- 1), p(0), p(2) మరియు p(- 2) విలువలు కనుగొనండి.
సాధన.
p(t) = t³ – 1
p(1) = (1)³ – 1 = 0
p(- 1) = (- 1)³ – 1 = – 1 – 1 = – 2
p(0) = (0) – 1 = – 1
p(2) = (2)³ – 1 = 8 – 1 = 7
p(- 2) = (- 2) – 1 = – 8 – 1 = – 9.

ప్రశ్న 4.
– 2 మరియు 2 అనేవి x⁴ – 16 అనే బహుపదికి శూన్యాలు అగునో, కాదో సరి చూడండి.
సాధన.
p(x) = x⁴ – 16
p(-2) = (- 2)⁴ – 16 = 16 – 16 = 0
p(2) = (2)⁴ – 16 = 16 – 16 = 0
p(- 2) = 0 మరియు p(2) = 0.
∴ – 2 మరియు 2 లు x⁴ – 16 కు శూన్య విలువలు అవుతాయి.

ప్రశ్న 5.
p(x) = x² – x – 6 అనే బహుపదికి 3 మరియు – 2 అనేవి శూన్యాలు అగునో, కాదో సరిచూడండి.
సాధన.
p(x) = x² – x – 6
p(3) = (3)² – (3) – 6
= 9 – 9 = 0
p(- 2) = (- 2)² – (- 2) – 6
= 4 + 2 – 6 = 0
p(3) = 0 మరియు p(- 2) = 0
∴ 3 మరియు – 2 లు p(x) కి శూన్య విలువలు అవుతాయి.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 3 బహుపదులు Exercise 3.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4

ప్రశ్న 1.
కింద ఇవ్వబడిన బహుపదులలో p(x) బహుపదిని g(x) బహుపదిచే భాగించి భాగఫలాన్ని, శేషాన్ని కనుగొనండి.
(i) p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3, g(x) = x² – 2
(ii) p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5, g(x) = x² + 1 – x
(iii) p(x) = x⁴ – 5x + 6, g(x) = 2 – x²
సాధన.
(i) p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3, g(x) = x² – 2

భాగఫలంలో మొదటి పదం = [latex]\frac{x^{3}}{x^{2}}[/latex] = x

భాగఫలంలో రెండవ పదం = [latex]\frac{-3 x^{2}}{x^{2}}[/latex] = – 3
భాగఫలం q(x) = x – 3
శేషం r (x) = 7x – 9

2వ పద్ధతి :
p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3,
g(x) = x² – 2 = x² + 0x – 2

భాగఫలంలో మొదటి పదం = [latex]\frac{x^{3}}{x^{2}}[/latex] = x

భాగఫలంలో రెండవ పదం = [latex]\frac{-3 x^{2}}{x^{2}}[/latex] = – 3
భాగఫలం q(x) = x – 3
శేషము r(x) = 7x – 9

(ii) p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5,
g(x) = x² + 1 – x
సాధారణ రూపంలో p(x) = x⁴ + 0x³ – 3x² + 4x + 5
అవరోహణ క్రమంలో g(x) = x² – x + 1

భాగఫలంలో మొదటి పదం = [latex]\frac{x^{4}}{x^{2}}[/latex] = x

భాగఫలంలో రెండవ పదం =[latex]\frac{x^{3}}{x^{2}}[/latex] = x

భాగఫలంలో మొదటి పదం = [latex]\frac{-3 x^{2}}{x^{2}}[/latex] = – 3

భాగఫలం q(x) = x² + x – 3
శేషం r (x) = 8.

(iii) p(x) = x⁴ – 5x + 6, g(x) = 2 – x²
సాధారణ రూపంలో
p(x) = x⁴ + 0x³ + 0x² – 5x + 6
సాధారణ రూపంలో g(x) = – x² + 0x + 2

భాగఫలంలో మొదటి పదం = [latex]\frac{x^{4}}{-x^{2}}[/latex] = – x²

భాగఫలంలో రెండవ పదం = [latex]\frac{2 x^{2}}{-x^{2}}[/latex] = – 2

భాగఫలం q(x) = – x² – 2;
శేషం r (x) = – 5x + 10.

ప్రశ్న 2.
కింది బహుపదులలో రెండవ బహుపదిని, మొదటి బహుపదిచే భాగించి ప్రతి సందర్భంలో మొదటి బహుపది కారణాంకం అగునో, కాదో సరిచూడండి.
(i) t³ – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12
(ii) x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2
(iii) x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1
సాధన.
(i) t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t- 12

భాగఫలంలో మొదటి పదం = [latex]\frac{2 t^{4}}{t^{2}}[/latex] = 2t²

భాగఫలంలో రెండవ పదం = [latex]\frac{3 \mathrm{t}^{3}}{\mathrm{t}^{2}}[/latex] = 3t

భాగఫలంలో మూడవ పదం = [latex]\frac{4 \mathrm{t}^{2}}{\mathrm{t}^{2}}[/latex] = 4

శేషం r (x) = 0
∴ t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12 కు కారణాంకము అవుతుంది.

(ii) x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2

భాగఫలంలో మొదటి పదం = [latex]\frac{3 x^{4}}{x^{2}}[/latex] = 3 x²

భాగఫలంలో రెండవ పదం = [latex]\frac{-4 x^{3}}{x^{2}}[/latex] = – 4 x

బాగఫలంలో మూడవ పదం = [latex]\frac{2 x^{2}}{x^{2}}[/latex] = 2
శేషం r (x) = 0
∴ x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2 కారణాంకము అవుతుంది.

(iii) x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1

భాగఫలంలో మొదటి పదం = [latex]\frac{x^{5}}{x^{3}}[/latex] = x²

భాగఫలంలో రెండవ పదం = [latex]\frac{-x^{3}}{x^{3}}[/latex] = – 1
శేషం r (x) = 2
∴ x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1 కు కారణాంకము కాదు.

ప్రశ్న 3.
3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 అను బహుపదికి రెండు శూన్యాలను [latex]\sqrt{\frac{5}{3}}[/latex] మరియు – [latex]\sqrt{\frac{5}{3}}[/latex] అయిన మిగిలిన రెండు శూన్యాలను కనుగొనండి.
సాధన.
p(x) = 3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5
అయిన మిగిలిన రెండు
p(x) = [latex]\sqrt{\frac{5}{3}}[/latex] మరియు – [latex]\sqrt{\frac{5}{3}}[/latex] లు రెండు శూన్య విలువలు కావున (x – [latex]\sqrt{\frac{5}{3}}[/latex]) (x + [latex]\sqrt{\frac{5}{3}}[/latex])
= x² – [latex]\frac{5}{3}[/latex] p(x) కు ఒక కారణాంకం అవుతుంది.

భాగఫలంలో మొదటి పదం = [latex]\frac{3 x^{4}}{x^{2}}[/latex] = 3x²

భాగఫలంలో రెండవ పదం = [latex]\frac{6 x^{3}}{x^{2}}[/latex] = 6x

భాగఫలంలో మూడవ పదం = [latex]\frac{3 x^{2}}{x^{2}}[/latex] = 3

భాగహార అల్ గారిథమ్ ప్రకారం
3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5
= (x² – [latex]\frac{5}{3}[/latex]) (3x² + 6x + 3) + 0
= (x² – [latex]\frac{5}{3}[/latex]) (3x² + 6x + 3)
p(x) = 0 అయిన
(x² – [latex]\frac{5}{3}[/latex]) (3x² + 6x + 3) = 0
x² – [latex]\frac{5}{3}[/latex] = 0 లేదా 3x² + 6x + 3 = 0
x² = [latex]\frac{5}{3}[/latex] లేదా 3(x² + 2x + 1) = 0
x = ± [latex]\sqrt{\frac{5}{3}}[/latex] లేదా 3(x + 1)² = 0
(x + 1)² = 0
x + 1 = 0
∴ x = – 1
p(x) యొక్క శూన్య విలువలు [latex]\sqrt{\frac{5}{3}}[/latex], – [latex]\sqrt{\frac{5}{3}}[/latex] మరియు – 1.

2వ పద్గతి:
p(x) = 3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 [latex]\sqrt{\frac{5}{3}}[/latex] మరియు – [latex]\sqrt{\frac{5}{3}}[/latex] లు p(x) యొక్క రెండు శూన్య విలువలు.
(x – [latex]\sqrt{\frac{5}{3}}[/latex]) (x + [latex]\sqrt{\frac{5}{3}}[/latex]) = x² – [latex]\frac{5}{3}[/latex]
= [latex]\frac{3 x^{2}-5}{3}[/latex]
= [latex]\frac{1}{3}[/latex] (3x² – 5), p(x) కు కారణాంకం అవుతుంది. కాబట్టి p(x) కు 3x – 5 కారణాంకము

భాగఫలంలో మొదటి పదం = [latex]\frac{3 x^{4}}{3 x^{2}}[/latex] = x²

భాగఫలంలో రెండవ పదం = [latex]\frac{6 x^{3}}{3 x^{2}}[/latex] = 2x

భాగఫలంలో మూడవ పదం = [latex]\frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}[/latex] = 1

భాగహార అల్గారిథమ్ ప్రకారం p(x) = 3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5
= (3x² – 5) (x² + 2x + 1) + 0
∴ p(x) = (3x² – 5) (x² + 2x + 1)
p(x) = 0 అయిన (3x² – 5) (x² + 2x + 1) = 0
3x² – 5 = 0 లేదా x² + 2x + 1 = 0
3x² = 5 లేదా (x + 1)² = 0
x² = , లేదా x + 1 = 0
x = ±[latex]\sqrt{\frac{5}{3}}[/latex] లేదా x = – 1
∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు [latex]\sqrt{\frac{5}{3}}[/latex], – [latex]\sqrt{\frac{5}{3}}[/latex] మరియు – 1.

ప్రశ్న 4.
x³ – 3x² + x + 2 అను బహుపదిని g(x) అనే బహుపదిచే భాగిస్తే భాగఫలము x – 2 మరియు శేషము – 2x + 4 అయిన g(x) ను కనుగొనండి.
సాధన.
p(x) = x³ – 3x² + x + 2
g(x) = ?
q(x) = x – 2
r(x) = – 2x + 4
భాగహార అల్ గారిథమ్ నుండి
p(x) = g(x) . q(x) + r(x)
p(x) – r(x) = g(x) . q(x)
x³ – 3x² + x + 2 – (- 2x + 4) = g(x) (x – 2)
x³ – 3x² + x + 2 + 2x – 4 = g(x) (x – 2)
x³ – 3x² + 3x – 2 = g(x) (x – 2)

భాగఫలంలో మొదటి పదం = [latex]\frac{x^{3}}{x}[/latex] = x²

భాగఫలంలో రెండవ పదం = [latex]\frac{-x^{2}}{x}[/latex] = – x

భాగఫలంలో మూడవ పదం = [latex]\frac{x}{x}[/latex] = 1
∴ g(x) = x = x + 1.

ప్రశ్న 5.
భాగహార నియమము మరియు దిగువ ఇవ్వబడిన నియమాలను తృప్తిపరిచే విధంగా p(x), g(x), q{x) మరియు r(x) బహుపదులకు తగిన ఉదాహరణలను ఇవ్వండి.
(i) p(x) పరిమాణము = q(x) పరిమాణము
(ii) q(x) పరిమాణము = r(x) పరిమాణము
(iii) r(x) పరిమాణము = 0
సాధన.
(i) p(x) పరిమాణం = q(x) పరిమాణం భాగహార అల్గారిథమ్
p(x) = g(x) q(x) + r(x)
ఉదా – 1: p(x) పరిమాణం = q(x) పరిమాణం కావాలంటే g(x) యొక్క పరిమాణం శూన్యం కావాలి అనగా g(x) స్థిర బహుపది.
3x³ – 15x² + 9x + 12
= 3(x³ – 5x² + 3x + 4) + 0
p(x) = 3x³ – 15x² + 9x + 12
g(x) = 3
q(x) = x³ – 5x² + 3x + 4
r(x) = 0

ఉదా – 2 : 15x² + 8x + 10
= 5 (3x² + [latex]\frac{8}{5}[/latex] x + 2) + 0
p(x) = 15x² + 8x + 10
g(x) = 5
q(x) = 3x² + [latex]\frac{8}{5}[/latex] x + 2
r(x) = 0

(ii) q(x) పరిమాణం = r(x) పరిమాణం భాగహార అల్ గారిథమ్ p(x) = g(x) q(x) + r(x) లెక్క ప్రకారం
q(x) పరిమాణం = r(x) పరిమాణం
r(x) పరిమాణం < g(x) పరిమాణము అని మనకు తెలుసు.
∴ q(x) పరిమాణం < g(x) పరిమాణం కావాలి

ఉదా -1 : p(x) = (x² + 5x + 6) (x + 3) + x – 4
= x³ + 5x² + 6x + 3x² + 15x + 18 + x – 4
p(x) = x³ + 8x + 22x + 14
g(x) = x² + 5x + 6
q(x) = x + 3
r(x) = x – 4

ఉదా – 2: p(x) = (3x³ – 4x + 5) (x² – 2) + x² + 2x + 5
= 3x⁵ – 4x³ + 5x² – 6x³ + 8x – 10 + x² + 2x + 5
p(x) = 3x⁵ – 10x³ + 6x² + 10x – 5
g(x) = 3x³ – 4x + 5
q(x) = x² – 2
r(x) = x² + 2x + 5

(iii) r(x) పరిమాణం = 0
r(x) పరిమాణం = 0 అనగా f(x) స్థిర బహుపది అవుతుంది.
ఉదా – 1: r(x) = 5
g(x) = x + 5
q(x) = x + 5x + 7
భాగహార అల్ గారిథమ్
p(x) = g(x) . q(x) + r(x) .
= (x + 5) (x² + 5x + 7) + 5
p(x) = x³ + 5x² + 7x + 5x² + 25x + 35 + 5
p(x) = x³ + 10x² + 32x + 40.

ఉదా – 2:
r(x) = 8
g(x) = x – 3
q(x) = x + 3
p(x) = g(x) . q(x) + r(x)
p(x) = (x – 3) (x + 3) +8
p(x) = x² – 9 + 8
p(x) = x² – 1

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 3 బహుపదులు Exercise 3.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3

ప్రశ్న 1.
కింది వర్గ బహుపదులకు శూన్యాలను కనుగొని బహుపది గుణకాలకు; శూన్యాలకు గల సంబంధాన్ని సరిచూడండి.
సాధన.
(i) x² – 2x – 8
(ii) 4s² – 4s + 1
(iii) 6x² -3-7x
(iv) 4u² + 8u
(v) t² – 15
(vi) 3x² – x – 4
సాధన.
(i) x² – 2x – 8
p(x) = x² – 2x – 8 = 0 అయిన

⇒ x² – 4x + 2x – 8 = 0
⇒ x(x – 4) + 2 (x – 4) = 0
⇒ (x – 4) (x + 2) = 0
⇒ x – 4 = 0 లేదా x + 2 = 0
⇒ x = 4 లేదా x = – 2
p(x) శున్య విలువలు α = 4, β = – 2
శూన్య విలువల మొత్తం
(α + β) = 4 + (-2) = 2 = -([latex]\frac{-2}{1}[/latex])
=
శూన్య విలువల లబ్ధం
α . β = (4) (- 2) = – 8 = ([latex]-\frac{8}{1}[/latex])
=

(ii) 4s² – 4s + 10
p(s) = 4s² – 4s + 1 = 0 అయిన
⇒ 4s² – 2s – 2s + 1 = 0
⇒ 2s(2s – 1) – 1 (2s – 1) = 0
⇒ (2s – 1) (2s – 1) = 0
⇒ 2s – 1 = 0 లేదా 2s – 1 = 0
⇒ 2s = 1 లేదా 2s = 1
⇒ s = [latex]\frac{1}{2}[/latex] లేదా s = [latex]\frac{1}{2}[/latex]

శూన్య విలువలు α = [latex]\frac{1}{2}[/latex], β = [latex]\frac{1}{2}[/latex]
శూన్య విలువల మొత్తం (α + β) = [latex]\frac{1}{2}[/latex] + [latex]\frac{1}{2}[/latex] = 1 = [latex]\frac{-(-4)}{4}[/latex]

=

శూన్య విలువల లబ్దం
α . β = [latex]\frac{1}{2}[/latex] . [latex]\frac{1}{2}[/latex] = [latex]\frac{1}{4}[/latex] =

(iii) 6x² – 3 – 7x
p(x) = 6x² – 7x – 3 = 0 అయిన

⇒ 6x² + 2x – 9x – 3 = 0
⇒ 2x(3x + 1) – 3 (3x + 1) = 0
⇒ (3x + 1) (2x – 3) = 0
⇒ 3x + 1 = 0 లేదా 2x – 3 = 0
⇒ x = [latex]-\frac{1}{3}[/latex], లేదా x = [latex]\frac{3}{2}[/latex],
శూన్య విలువలు α = [latex]-\frac{1}{3}[/latex], β = [latex]\frac{3}{2}[/latex],
శూన్య విలువల మొత్తం (α + β) = [latex]\frac{-1}{3}+\frac{3}{2}[/latex]
[latex]\frac{-2+9}{6}=\frac{7}{6}=\frac{-(-7)}{6}[/latex] =
శూన్య విలువల లబ్దం α . β = [latex]-\frac{1}{3} \times \frac{3}{2}=\frac{-3}{6}[/latex]
=

(iv) 4u² + 8u
p(u) = 4u² + 8u = 0 అయిన
4u (u + 2) = 0
4u = 0 లేదా u + 2 = 0
u = 0 లేదా u = – 2
శూన్య విలువలు α = 0 మరియు β = -2
శూన్య విలువల మొత్తం
α + β = 0 + (- 2) = – 2 = – [latex]\frac{8}{4}[/latex]
=

శూన్య విలువల లబ్దం
α . β = 0 (- 2) = 0 = [latex]\frac{0}{4}[/latex]
=

(v) t² – 15
p(t) = t² – 15 = 0 అయిన
⇒ t² = 15 = t = ± [latex]\sqrt{15}[/latex]
శూన్య విలువలు α = [latex]\sqrt{15}[/latex] మరియు β = – [latex]\sqrt{15}[/latex]
శూన్య విలువల మొత్తం
α + β = [latex]\sqrt{15}[/latex] + (-[latex]\sqrt{15}[/latex]) = 0
= [latex]\frac{0}{1}[/latex] =

శూన్య విలువల లబ్ధం
α . β = [latex]\sqrt{15}[/latex] × (-[latex]\sqrt{15}[/latex]) = – 15
= [latex]\frac{-15}{1}[/latex] =

(vi) 3x² – x – 4
p(x) = 3x² – x – 4 = 0 అయిన

⇒ 3x² – 4x + 3x – 4 = 0
⇒ x(3x – 4) + 1 (3x – 4) = 0
⇒ (3x – 4) (x + 1) = 0
⇒ 3x – 4 = 0 లేదా x + 1 = 0
⇒ 3x = 4 లేదా x = – 1
⇒ x = [latex]\frac{4}{3}[/latex] లేదా x = – 1
శూన్య విలువలు α = [latex]\frac{4}{3}[/latex] మరియు β = – 1
శూన్య విలువల మొత్తం (α + β) = [latex]\frac{4}{3}[/latex] + (- 1) = [latex]\frac{4-3}{3}=\frac{1}{3}[/latex]
= [latex]\frac{-(-1)}{3}[/latex]
=

శూన్య విలువల లబ్ధం
α . β = [latex]\frac{4}{3}[/latex] (- 1) = – [latex]\frac{4}{3}[/latex]
=

ప్రశ్న 2.
ఒక వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాల మొత్తము మరియు లబ్దాలు వరుసగా ఇవ్వబడినవి. ప్రతి సందర్భంలోనూ ఆయా వర్గ బహుపదులను కనుగొనండి.
(i) [latex]\frac{1}{4}[/latex], – 1
(ii) √2, [latex]\frac{1}{3}[/latex]
(iii) 0, √5
(iv) 1, 1
(v) -[latex]\frac{1}{4}[/latex], [latex]\frac{1}{4}[/latex]
(vi) 4, 1
సాధన.
(i) శూన్య విలువలు α, β అనుకొనుము.
శూన్య విలువల మొత్తం α + β = [latex]\frac{1}{4}[/latex]
శూన్య విలువల లబ్దం α . β = – 1
α, β లు శూన్య విలువలుగా గల వర్గ బహుపది p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
కావలసిన వర్గ బహుపది p(x) = k [x² – ([latex]\frac{1}{4}[/latex]) x + (- 1)]
= k [x² – [latex]\frac{x}{4}[/latex] – 1]
= k [latex]\left[\frac{4 x^{2}-x-4}{4}\right][/latex]
k = 4 అయిన p(x) = 4 [latex]\left[\frac{4 x^{2}-x-4}{4}\right][/latex]
p(x) = 4x² – x – 4

(ii) √2, [latex]\frac{1}{3}[/latex]
α + β = √2; αβ = [latex]\frac{1}{3}[/latex]
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – √2x + [latex]\frac{1}{3}[/latex]]
= k [latex]\left[\frac{3 x^{2}-3 \sqrt{2} x+1}{3} \underline{1}\right][/latex]
∴ k = 3 అయిన p(x) = 3x^{2</sup – 3√2x + 1}

(iii) 0, √5
α + β = 0, αβ = √5
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – 0x + √5]
= k [x² + √5]
∴ k = 1 అయిన p(x) = x² + √5.

(iv) 1, 1
α + β = 1, αβ = 1
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – x + 1]
∴ k = 1 అయిన p(x) = x² – x + 1.

(v) – [latex]\frac{1}{4}[/latex], [latex]\frac{1}{4}[/latex]
α + β = – [latex]\frac{1}{4}[/latex]; αβ = [latex]\frac{1}{4}[/latex]
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – (- [latex]\frac{1}{4}[/latex]) x + [latex]\frac{1}{4}[/latex]]
= k [x² + [latex]\frac{x}{4}[/latex] + [latex]\frac{1}{4}[/latex]]
= k [latex]\left[\frac{4 x^{2}+x+1}{4}\right][/latex]
∴ k = 4 అయిన p(x) = 4x² + x + 1.

(vi) 4, 1
α + β = 4; αβ = 1
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – 4x + 1].
∴ k = 1 అయిన p(x) = x² – 4x + 1

Note:
పై సమస్యలలో k యొక్క వివిధ విలువలకి వివిధ బహుపదులు వస్తాయి.

ప్రశ్న 3.
ఒక వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాలు α, β లు దిగువ ఇవ్వబడినవి. ప్రతి సందర్భంలోనూ ఆయా బహుపదులను కనుగొనండి.

(i) 2, -1
(ii) √3, – √3
(iii) [latex]\frac{1}{4}[/latex], – 1
(iv) [latex]\frac{1}{2}[/latex], [latex]\frac{3}{2}[/latex]
సాధన.
(i) 2, – 1
α = 2 మరియు β = – 1
α + β = 2 + (- 1) = 1
α . β = 2(- 1) = – 2
వర్గ బహుపది
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – x + (- 2)]
∴ k = 1 అయిన p(x) = x² – x – 2.

(ii) √3, – √3
α = √3 మరియు β = – √3
α + β = √3 + (- √3) = 0
αβ = (√3) (- √3) = – 3
వర్గ బహుపది
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ)
= k [x² – 0x – 3]
∴ k = 1 అయిన p(x) = x² – 3.

(iii) [latex]\frac{1}{4}[/latex], – 1
α = [latex]\frac{1}{4}[/latex] మరియు β = – 1
α + β = [latex]\frac{1}{4}[/latex] + (- 1)
= [latex]\frac{1-4}{4}=\frac{-3}{4}[/latex]
α. β = ([latex]\frac{1}{4}[/latex]) (- 1) = – [latex]\frac{1}{4}[/latex]
వర్గ బహుపది
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k[x² – [latex]-\frac{3}{4}[/latex] x + (- [latex]\frac{1}{4}[/latex])]
= [latex]\left[\frac{4 x^{2}+3 x-1}{4}\right][/latex]
∴ k = 4 అయిన p(x) = 4x² + 3x – 1.

(iv) [latex]\frac{1}{2}[/latex], [latex]\frac{3}{2}[/latex]
α = [latex]\frac{1}{2}[/latex], β = [latex]\frac{3}{2}[/latex]
α + β = [latex]\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{4}{2}[/latex] = 2
αβ = ([latex]\frac{1}{2}[/latex]) ([latex]\frac{3}{2}[/latex]) = [latex]\frac{3}{4}[/latex]
వర్గ బహుపది
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – 2x + [latex]\frac{3}{4}[/latex]]
= k [latex]\left[\frac{4 x^{2}-8 x+3}{4}\right][/latex]
k = 4 అయిన p(x) = 4x² – 8x + 3.

ప్రశ్న 4.
ఒక ఘన బహుపది x³ + 3x² – x – 3 యొక్క శూన్యాలు 1, – 1 మరియు – 3 అగునని సరిచూడండి. ఇదే విధంగా బహుపది గుణకాలకు, శూన్యాలకు మధ్యగల సంబంధాన్ని సరిచూడండి.
సాధన.
p(x) = x³ + 3x² – x – 3
p(1) = (1)³ + 3(1)² – (1) – 3
= 1 + 3 – 1 – 3
= 4 – 4
p(1) = 0 …………………(1)
p(- 1) = (- 1)³ + 3(- 1)² – (- 1) – 3
= – 1 + 3 + 1 – 3
= – 4 + 4
p(- 1) = 0 ……………..(2)
p(- 3) = (- 3)³ + 3 (- 3)² – (- 3) – 3
= – 27 + 27 + 3 – 3
= -30 + 30
p(-3) = 0 …………… (3)
(1), (2) మరియు (3) ల నుండి
p(1) = 0
p(- 1) = 0
p(- 3) = 0
కావున p(x) కు 1, – 1, – 3 లు శూన్య విలువలు అవుతాయి.
శూన్య విలువల మొత్తం
α + β + γ = 1 + (- 1) + (- 3)
= – 3
= [latex]\frac{-3}{1}[/latex]
=

రెండేసి శూన్య విలువల లబ్దాల మొత్తం :
αβ + βγ + αγ = (1) (- 1) + (- 1) (- 3) + (1) (- 3)
= – 1 + 3 – 3
= – 1
= [latex]\frac{-1}{1}[/latex]
=
శూన్య విలువల లబ్ధం αβγ = (1) (-1) (-3)
= 3
= -([latex]\frac{-3}{1}[/latex])
=

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 3 బహుపదులు Exercise 3.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.2

ప్రశ్న 1.
కొన్ని p(x) బహుపదుల సంబంధిత y = p(x) యొక్క పటాలు దిగువ ఇవ్వబడినవి. p(x) యొక్క శూన్యాల సంఖ్యను పటాలు పరిశీలించి తెలపండి.

(i)

సాధన.
శూన్య విలువల సంఖ్య = 0 (లేదా) శూన్య విలువలు లేవు.

(ii)

సాధన.
శూన్య విలువల సంఖ్య = 1

(iii)

సాధన.
శూన్య విలువల సంఖ్య = 3

(iv)

సాధన.
శూన్య విలువల సంఖ్య = 2

(v)

సాధన.
శూన్య విలువల సంఖ్య = 4

(vi)

సాధన.
శూన్య విలువల సంఖ్య = 3

ప్రశ్న 2.
క్రింది బహుపదుల శూన్యాలను కనుగొనండి. AS,
(i) p(x) = 3x
(ii) p(x) = x² + 5x + 6
(iii) p(x) = (x + 2) (x + 3)
(iv) p(x) = x² – 16
సాధన.
i) p(x) = 3x
p(x) = 0 అయిన 3x = 0
⇒ x = 0
∴ p(x) శూన్య విలువ = 0.

(ii) p(x) = x² + 5x + 6

p(x) = 0 అయిన x² + 5x + 6 = 0
x² + 3x + 2x + 6 = 0
x(x + 3) + 2 (x + 3) = 0
(x + 3) (x + 2) = 0
x + 3 = 0 లేదా x + 2 = 0
x = – 3 లేదా x = – 2
∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు : – 3 మరియు -2.

(iii) p(x) = (x + 2) (x + 3)
p(x) = 0 అయిన (x + 2) (x + 3) = 0
(x + 2) = 0 లేదా (x + 3) = 0
x = – 2 లేదా x = – 3
∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు – 3 మరియు – 2.

(iv) p(x) = x⁴ – 16
p(x) = 0 అయిన x⁴ – 16 = 0
⇒ (x²)² – 4² = 0
⇒ (x²) – 4) (x²) + 4) = 0
⇒ x ² – 4 = 0 లేదా x² + 4 = 0
⇒ x² = 4 లేదా x² = – 4
⇒ x = √4 లేదా ± [latex]\sqrt{-4}[/latex]
⇒ x = ± 2 లేదా ± [latex]\sqrt{-4}[/latex]
∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు 2, -2 మరియు ± [latex]\sqrt{-4}[/latex].

ప్రశ్న 3.
క్రింది బహుపదులకు తగిన రేఖాచిత్రాలను గీచి, శూన్యాలను కనుగొనండి. ఫలితాలను సమర్థించండి.
(i) p(x) = x² – x – 12
(ii) p(x) = x² – 6x + 9
(iii) p(x) = x² – 4x + 5
(iv) p(x) = x² + 3x – 4
(v) p(x) = x – 1
సాధన.
(i) y = p(x) = x² – x – 12

p(x) = x² – x – 12 పరావలయం x – అక్షాన్ని (- 3, 0) మరియు (4, 0) బిందువుల వద్ద ఖండించుచున్నది. గ్రాఫ్ నుండి p(x) = x² – x – 12 యొక్క శూన్య విలువలు – 3 మరియు 4.
p(x) = x² – x – 12 = 0 = x² – 4x + 3x – 12 = 0
⇒ x (x – 4) + 3 (x – 4) = 0
⇒ (x – 4) (x + 3) = 0
⇒ x – 4 = 0 లేదా x + 3 = 0
⇒ x = 4 లేదా x = – 3
p(x) యొక్క శూన్య విలువలు 4 మరియు – 3. గ్రాఫ్ ద్వారా కనుగొన్న శూన్య విలువలు, సమస్యాసాధన ద్వారా కనుగొన్న శూన్య విలువలతో ఏకీభవిస్తున్నాయి.

(ii) v = p(x) = x- – 6x + 9

p(x) = x² – 6x + 9 పరావలయం X – అక్షాన్ని (3, 0) అనే ఒకే ఒక బిందువు వద్ద ఖండిస్తున్నది (స్పర్శిస్తున్నది). కాబట్టి p(x) = x² – 6x + 9 కు ఒకే ఒక శూన్య విలువ ఉంటుంది.
గ్రాఫ్ నుండి p(x) = x² – 6x + 9 యొక్క శూన్య విలువ 3.
p(x) = x² – 6x + 9 = 0
⇒ x² – 3x – 3x + 9 = 0
⇒ x{x – 3) – 3(x – 3) = 0 –
∴ (x – 3) (x – 3) = 0
⇒ x – 3 = 0 (or) x – 3 = 0
⇒ x = 3
∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువ 3. గ్రాఫ్ నుండి కనుగొన్న శూన్య విలువ, సమస్యాసాధన ద్వారా కనుగొన్న శూన్య విలువతో ఏకీభవిస్తున్నది.

(iii) y = p(x) = x² – 4x + 5

p(x) = x² – 4x + 5 పరావలయం X – అక్షాన్ని ఖండించడం లేదు. అనగా p(x) = x² – 4x + 5 కు వాస్తవ శూన్య విలువలు లేవు.

(iv) y = p(x) = x² + 3x – 4

1) p(x) = x² + 3x – 4 పరావలయం X – అక్షాన్ని (- 4, 0) మరియు (1, 0) బిందువుల వద్ద ఖండిస్తున్నది.
∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు – 4 మరియు 1.

2) p(x) = x² + 3x – 4 — 0 చడు.
⇒ x² – x + 4x – 4 = 0
⇒ x(x – 1) + 4 (x – 1) = 0
⇒ (x – 1) (x + 4) = 0
⇒ x – 1 = 0 లేదా x + 4 = 0.
⇒ x = 1 లేదా x = – 4
p(x) యొక్క శూన్య విలువలు 1 మరియు – 4.
∴ గ్రాఫ్ నుండి కనుగొన్న శూన్య విలువలు, సమస్యాసాధన ద్వారా కనుగొన్న శూన్య విలువలతో ఏకీభవిస్తున్నాయి.

(v) y = p(x) = x² – 1

(i) P(x) = x² – 1 పరావలయం X – అక్షాన్ని (- 1, 0) మరియు (1, 0) బిందువుల వద్ద ఖండిస్తున్నది.
∴ p(x) = x² – 1 యొక్క శూన్య విలువలు – 1 మరియు 1.

(ii) p(x) = x² – 1 = 0
⇒ x² = 1
⇒ x = √1 = ± 1
p(x) = x² – 1 యొక్క శూన్య విలువలు – 1 మరియు 1. గ్రాఫ్ నుండి కనుగొన్న శూన్య విలువలు, సమస్యాసాధన ద్వారా కనుగొన్న శూన్య విలువలతో
ఏకీభవిస్తున్నాయి.

ప్రశ్న 4.
p(x) = 4x² + 3x – 1 అనే బహుపదికి [latex]\frac{1}{4}[/latex] మరియు – 1 అనేవి శూన్యాలు ఏవిధంగా అగునో తెలపండి.
సాధన.
p(x) = 4x² + 3x – 12
p([latex]\frac{1}{4}[/latex]) = 4([latex]\frac{1}{4}[/latex])² + 3([latex]\frac{1}{4}[/latex]) – 1
= [latex]4 \times \frac{1}{16}+\frac{3}{4}[/latex] – 1
= [latex]\frac{1}{4}[/latex] + [latex]\frac{3}{4}[/latex] – 1
= [latex]\frac{4}{4}[/latex] – 1
= 1 – 1 = 0
p([latex]\frac{1}{4}[/latex]) = 0
అలాగే p(-1) = 4(- 1)² + 3(- 1) – 1
= 4 – 3 -1
= 4 – 4
p(- 1) = 0
∴ P([latex]\frac{1}{4}[/latex]) = 0 మరియు p(- 1) = 0 అవుతున్నది.
కాబట్టి p(x) కు [latex]\frac{1}{4}[/latex] మరియు – 1 లు శూన్య విలువలు అవుతాయి.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 2 సమితులు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 2nd Lesson సమితులు InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
కింద ఇవ్వబడిన ప్రతి దంతాల రకం యొక్క జాబితాను తయారుచేయండి. (పేజీ నెం.25)

(i) కుంతకాలు
సాధన.
(ప్రక్క, కుంతకం, మధ్య కుంతకం) (ఎడమ, కుడి, పై, కింద).

(ii) రదనికలు
సాధన.
(ఎడమ కింది రదనిక, ఎడమ పై రదనిక, కుడి కింది” రదనిక, కుడి పై రదనిక)

(iii) అగ్రచర్వణకాలు
సాధన.
(ఎడమ అగ్ర చర్వణకం, ఎడమ కింది అగ్రచర్వణకం, కుడిపై అగ్ర చర్వణకం, ఎడమ రెండవ కింది చర్వణకం, ఎడమ రెండవపై అగ్రచర్వణకం).

(iv) చర్వణకాలు
సాధన.
మొదటి ఎడమపై చర్వణకం, మొదటి కింది ఎడమ చర్వణకం,
రెండవ ఎడమపై చర్వణకం, రెండవ కింది ఎడమ చర్వణకం,
మూడవ ఎడమపై చర్వణకం, మూడవ కింది ఎడమ చర్వణకం,
రెండవ కుడిపై చర్వణకం, రెండవ కుడి కింది చర్వణకం,
మూడవ కుడిపై చర్వణకం, మూడవ కుడి కింద చర్వణకం.

ప్రశ్న 2.
ఈ కింది సముదాయాలలోని సామాన్య ధర్మాన్ని గుర్తించి రాయండి. (పేజీ నెం.26)

1. 2, 4, 6, 8, ……. . .
సాధన.
ఇవి అన్ని సరి సంఖ్యలు

2.
2, 3, 5, 7, 11, …………
సాధన.
ఇవి అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు

3. 1, 4, 9, 16, …………
సాధన.
ఇవి అన్ని ఖచ్చిత వర్గ సంఖ్యలు

4. జనవరి, ఫిబ్రవరి, మార్చి, ఏప్రిల్, ……………
సాధన.
ఇవి ఒక సంవత్సరంలో ఉండే నెలల ఆంగ్ల, పేర్లు.

5. బొటనవేలు, చూపుడువేలు, మధ్యవేలు, ఉంగరపు వేలు, చిటికనవేలు.
సాధన.
ఇవి ఒక వ్యక్తి వేళ్ళ పేర్లు.

ప్రశ్న 3.
ఈ క్రింది సమితులను రాయండి… (పేజీ నెం. 27)

1) మొదటి ఐదు ధన పూర్ణ సంఖ్యల సమితి
సాధన.
A = {1, 2, 3, 4, 5}

2) 100 కంటే ఎక్కువ 125 కంటే తక్కువైన 5 యొక్క గుణిజాల సమితి
సాధన.
B = {105, 110, 115, 120}

3) మొదటి 5 ఘన సంఖ్యల సమితి
సాధన.
C = {1, 8, 27, 64, 125} .
4) రామానుజన్ సంఖ్యలోని అంకెల సమితి.
సాధన.
D = {1, 2, 7, 9}

ప్రశ్న 4.
ఈ కింది సంఖ్యలు ఏ సంఖ్యాసమితికి చెందుతాయో? – చెందవో ? నిర్ణయించి, సరియైన గుర్తుతో వ్యక్తపరచండి. (పేజీ నెం. 28)
(i) 1
సాధన.
1 ∈ N, 1 ∉ Q

(ii) 0
సాధన.
0 ∈ W, 0 ∉ N

(iii) -4
సాధన.
-4 ∈ Z, – 4 ∉ N

(iv) [latex]\frac{5}{6}[/latex]
సాధన.
[latex]\frac{5}{6}[/latex] ∈ Q, [latex]\frac{5}{6}[/latex] ∉ N

(v) [latex]1 . \overline{3}[/latex]
సాధన.
[latex]1 . \overline{3}[/latex] ∈ Q, [latex]1 . \overline{3}[/latex] ∉ Q’

(vi) √2
సాధన.
√2 ∈ Q’, √2 ∉ W

(vii) log 2
సాధన.
log 2 ∈ Q’, log 2 ∉ Z

(viii) 0.03
సాధన.
0.03 ∈ Q; 0.03 ∉ Q’

(ix) π
సాధన.
π∈ R, π ∉ N

(x) [latex]\sqrt{-4}[/latex]
సాధన.
[latex]\sqrt{-4}[/latex] ∈ i; [latex]\sqrt{-4}[/latex] ∉ W.

ప్రశ్న 5.
కింది సమితులలోని మూలకాల జాబితాను రాయండి.
(i) G అనేది 20 కు రాయగల కారణాంకాలన్నింటిని కలిగిన సమితి.
(ii) F అనేది 17 మరియు 61 మధ్యగల 4 యొక్క గుణిజాలు మరియు 7చే భాగించబడే మూలకాల సమితి.
(iii) S = {x: X అనేది ‘MADAM’ అనే పదంలో గల అక్షరాల సమితి}
(iv)P = {x: X అనేది 3.5 మరియు 6.7 మధ్యగల పూర్ణాంకాల సమితి} (పేజీ నెం. 29)
సాధన.
(i) G = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
(ii) F = {28, 56}
(iii) S = {M, A, D}
(iv) P = {4, 5, 6}

ప్రశ్న 6.
క్రింది సమితులను రోస్టర్ రూపంలో రాయండి.
(i) B అనేది ఒక సంవత్సరంలో ఒక నెలకి 30 రోజులుగా గల అన్ని నెలల సమితి.
(ii) P అనేది 10 కంటే తక్కువైన అన్ని ప్రధాన , సంఖ్యల సమితి.
(iii) X అనేది ఇంద్రధనుస్సులో గల అన్ని రంగుల సమితి. (పేజీ నెం. 29)
సాధన.
(i) B = {ఏప్రిల్, జూన్, సెప్టెంబర్, నవంబర్ }
(ii) P = {2, 3, 5, 7}
(iii) {ఊదా, ముదురు నీలం, నీలం, ఆకుపచ్చ, పసుపు, నారింజ, ఎరుపు} (లేదా) {Violet, Indigo, Blue, Green, Yellow, Orange, Red}

ప్రశ్న 7.
A అనేది 12కు కారణాంకాలుగా గల సమితి. ఈ క్రింది వానిలో ఏది ‘A’ సమితికి చెందదు? (పేజీ నెం. 29)
(A) 1
(B) 4
(C) 5
(D) 12
సాధన.
[C]

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింది సముదాయాలను పరిశీలించి, వాటి ధర్మాలను తెలిపే మరికొన్ని ‘సాధారణ ప్రవచనాలను’ రాయండి. (పేజీ నెం. 27)
(i) 2, 4, 6, 8, ……….
సాధన.
a) ఇవి అన్ని సరి సహజ సంఖ్యలు.
b) ఇవి అన్ని రెండు యొక్క గుణిజాలు.
C) ఇవి రెండు సామాన్య భేదంగాను, రెండు మొదటి పదంగాను గల అంకశ్రేఢిలోని పదాలు. ,
d) ఇవి అన్ని బేసి సంఖ్యలు కాని సహజ సంఖ్యలు.

(ii) 1, 4, 9, 16…..
సాధన.
a) ఇవి వరుస సహజ సంఖ్యల వర్గాలు.
b) వీని మధ్య భేదం ఒక అంకశ్రేణి a = 3, d = 2.

ప్రశ్న 2.
అకరణీయ సంఖ్యా సమితి (Q) ని, దానిలోని మూలకాలచే ‘ జాబితారూపం’లో సూచించగలరా ? (పేజీ నెం. 28)
సాధన.
అకరణీయ సంఖ్యా సమితిని జాబితా రూపంలో సూచించలేము. ఎందుకనగా ఇందులో అపరిమిత సంఖ్యలో మూలకాలుంటాయి గనుక దీనిని జాబితా రూపంలో వ్రాయలేము.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
బీజగణిత మరియు రేఖాగణిత భావనలతో కొన్ని సమితులను ఏర్పరచండి. (పేజీ నెం. 30)
సాధన.
(i) A = {x : x² – 25 = 0 మరియు x ∈ Z}
(ii) B = {x : x = [latex]\frac{y}{y+1}[/latex], y ∈ W మరియు y < 7}
(iii) C = {x : 3x – 2 < 15 మరియు x ∈ W}
(iv) D = {అల్పకోణ త్రిభుజం, లంబకోణ త్రిభుజం, అధిక కోణ త్రిభుజం}
(v) E = {కర్ణాలు లంబసమద్విఖండనం చేసుకొనే చతుర్భుజాలు}
(vi) F = {x = 3 సరళరేఖకు సమాంతరంగా గల రేఖల సమితి}
(vii) G = {అంతర కోణాల మొత్తం 360° గా గల బహుభుజుల సమితి}.

ప్రశ్న 2.
రోస్టర్ రూపంతో, సమితీ నిర్మాణ రూపంను జతపరచండి.

సాధన.
(i) d
(ii) c
(iii) a
(iv) b

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4}, C = {1, 2, 3, 4, 7}, F = { } అయిన క్రింది ఖాళీలను ⊂ లేదా ⊄ లతో పూరించండి. (పేజీ నెం. 34)
(i) A …… B
సాధన.
A ⊄ B

(ii) C ……. A
సాధన.
C ⊄ A

(iii) B …… A
సాధన.
B ⊂ A

(iv) A …… C
సాధన.
A ⊂ C

(v) B …… C
సాధన.
B ⊂ C

(vi) Φ …… B
సాధన.
Φ ⊂ B

ప్రశ్న 2.
క్రింది వాక్యాలలో ‘సత్యమైన’ వాటిని పేర్కొనండి. ((పేజీ నెం. 34)
(i) { } = Φ
సాధన.
సత్యం

(ii) Φ = 0
సాధన.
అసత్యం

(iii) 0 = {0}
సాధన.
అసత్యం

ప్రశ్న 3.
A = {1, 3, 7, 8} మరియు B = {2, 4, 7, 9} అయిన A ∩ B కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
A = { 1, 3, 7, 8}, B = {2, 4, 7, 9}
∴ A ∩ B = {7}.

ప్రశ్న 4.
A = {6, 9, 11}; B = { } అయిన A ∪ Φ కనుక్కొండి. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
A ∪ Φ = {6, 9, 11} ∪ { } = {6, 9, 11}
A ∪ Φ = A

ప్రశ్న 5.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; B = {2, 3, 5, 7}. A ∩ B కనుగొని, A ∩ B = B అని చూపండి. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, B = {2, 3, 5, 7}
A ∩ B = {2, 3, 5, 7}
⇒ A ∩ B = B

ప్రశ్న 6.
A = {4, 5, 6}; B = {7, 8} అయిన A ∪ B = B ∪ A అని చూపండి. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
A ∪ B = {4, 5, 6} ∪ {7, 8} = {4, 5, 6, 7, 8}
B ∪ A= {7, 8} U {4, 5, 6} = {4, 5, 6, 7, 8}
∴ A ∪ B = B ∪ A

ప్రశ్న 7.
A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {4, 5, 6, 7} అయిన A – B మరియు B – A కనుగొనండి. A- B, B – A లు రెండు సమానమా? (పేజీ నెం. 39)
సాధన.
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7}
A – B = {1, 2, 3, 4, 5} {4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3}
B – A = {4, 5, 6, 7} {1, 2, 3, 4, 5} = { 6, 7}
A – B ≠ B – A

2వ పద్దతి :
వెన్ చిత్రం ద్వారా A – B, B – A ను కనుగొనడం

B – A = {6, 7}
A – B = {1 2, 3}
A – B ≠ B – A

ప్రశ్న 8.
V = {a, e, i, 0, U} మరియు B = {a, i, k, u} – అయిన V – B మరియు B – V లను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 39)
సాధన.
V = {a, e, i, 0, u}; B = {a, i, k, u}
V – B = {a, e, i, 0, u} – {a, i, k, u} = {e, o}
B – V = {a, i, k, u} – {a, e, 1, 0, u} = {k}

2వ పద్ధతి :
వెన్ చిత్రం ద్వారా

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
A = {చతుర్భుజాలు}, B = {చతురస్రం, దీర్ఘచతురస్రం, ట్రెపీజియం , రాంబస్}. A ⊂ B లేక B ⊂ A అవుతుందేమో పేర్కొనండి. నీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి. (పేజీ నెం. 34)
సాధన.
A = {చతుర్భుజాలు}
B = {చతురస్రం, దీర్ఘచతురస్రం. ట్రెపీజియం, రాంబస్ }

(i) A ⊄ B చతుర్భుజాల సమితి A లో సమాంతర చతుర్భుజం ఉంటుంది. కాని B సమితిలో సమాంతర చతుర్భుజం లేదు. కావున A ⊄ B.
(ii) B ⊂ A
B సమితిలోని మూలకాలైన చతురస్రం, దీర్ఘచతురస్రం, ట్రెపీజియం, రాంబన్లు అన్నీ చతుర్భుజాలే అనగా A B లోని మూలకాలన్నీ A లో ఉన్నాయి. కాబట్టి B ⊂ A.

ప్రశ్న 2.
A = {a, b, c, d} అయిన Aకి ఎన్ని — — ఉపసమితులున్నాయి? (పేజీ నెం. 34)
(A) 5
(B) 6
(C) 16
(D) 65
సాధన.
Hint: n మూలకాలు కలిగిన సమితికి గల ఉపసమితుల సంఖ్య 2ⁿ.
జవాబు : [C].

ప్రశ్న 3.
P అనేది 5 యొక్క కారణాంకాల సమితి. Q అనేది 25 యొక్క కారణాంకాల సమితి. R అనేది 125 యొక్క కారణాంకాల సమితి. క్రింది వానిలో ఏది అసత్యం ? (పేజీ నెం. 34)
(A) P ⊂ Q
(B) Q ⊂ R
(C) R ⊂ P
(D) T ⊂ R
సాధన.
Hint : P = {1, 5} Q = {1, 5, 25) R = {1, 5, 25, 125}
జవాబు : [C].

ప్రశ్న 4.
A అనేది 10 కంటే తక్కువైన ప్రధానాంకాల సమితి, B అనేది 10 కంటే తక్కువైన బేసి సంఖ్యల సమితి. C అనేది 10 కంటే తక్కువైన సరిసంఖ్యల సమితి. క్రింది వానిలో ‘సత్యమైన” వాక్యా లేవి ? (పేజీ నెం. 34)
(i) A ⊂ B
(ii) B ⊂ A
(iii) A ⊂ C
(iv) C ⊂ A
(v) B ⊂ C
(vi) Φ ⊂ A
సాధన.
A = {2, 3, 5, 7} B = {1, 3, 5, 7, 9} C = {2, 4, 6, 8}
(i) A ⊂ B అసత్యం
(ii) B ⊂ A అసత్యం
(iii) A ⊂ C అసత్యం
(iv) C ⊂ A అసత్యం
(v) B ⊂ C అసత్యం
(vi) Φ ⊂ A సత్యం

ప్రశ్న 5.
A మరియు B వియుక్త సమితులు అయ్యేటట్లుగా కొన్ని సమితులు A మరియు B లు, వాని మూలకాలు ఎన్నుకొని జాబితా తయారుచేయండి. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
A మరియు B లు వియుక్త సమితులు అయ్యేటట్లు A, B లకు కొన్ని ఉదాహరణలు.
ఉదా 1: A = {1, 3, 5, 7, 9} B = {2, 4, 6, 8, 10}
ఉదా 2: A = {1, 3, 7, 21} B = {2, 4, 5, 8, 10, 20 40}
ఉదా 3: A = {1, 2, 3, 4, 5 6} B = {7 8 9 10}

ప్రశ్న 6.
A = {2, 3, 5} అయిన A ∪ Φ మరియు Φ ∪ A కనుగొని పోల్చండి. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
A = {2, 3, 5}
A ∪ Φ = {2, 3, 5} ∪ { } = {2, 3, 5}
Φ ∪ A = { } ∪ {2, 3, 5} = {2, 3, 5}
∴ A ∪ Φ = Φ ∪ A = A

ప్రశ్న 7.
A = {1, 2, 3, 4}; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} అయిన A ∪ B, A ∩ B కనుగొనండి. ఫలితం నుండి మీరు ఏమి గమనించారు ? (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
A = {1, 2, 3, 4} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
(i) A ∪ B = {1, 2, 3, 4} ∪ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B

(ii) A ∩ B = {1, 2, 3, 4} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = {1, 2, 3, 4}
A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A మరియు A ∪ B ≠A ∩ B.

ప్రశ్న 8.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; B = {2, 4, 6, 8, 10} గా ఇవ్వబడినవి. A, B ల ఛేదనాన్ని కనుగొనండి.(పేజీ నెం. 38)
సాధన.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {2, 4, 6, 8, 10} A, B ల ఛేదనము
A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∩ {2, 4, 6, 8, 10} = {2, 4, 6}

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
ఏవైనా రెండు వియుక్త సమితుల ఛేదనం శూన్య సమితి అవుతుంది. ఈ వాక్యం సత్యమా ? అసత్యమా? (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
సత్యం. వియుక్త సమితులలో ఉమ్మడి మూలకాలు ఉండవు కాబట్టి వియుక్త సమితుల ఛేదనం శూన్యసమితి.

ప్రశ్న 2.
సమితులు A – B, B – A మరియు A ∩ B పరస్పరం వియుక్త సమితులు అవుతాయి. కొన్ని ఉదాహరణల సహాయంతో ఈ సత్యాన్ని పరిశీలించండి. (పేజీ నెం. 39)
సాధన.
ఉదా 1 :
A = {1, 2, 3, 5, 8} B = {1, 2, 4, 6, 8, 10} అనుకుందాం .
A – B = {1, 2, 3, 5, 8} – {1, 2, 4, 6, 8, 10} = {3, 5}
B – A = {1, 2, 4, 6, 8, 10} – {1, 2, 3, 5, 8} = {4, 6, 10}
A ∩ B= {1, 2, 3, 5, 8} ∩ {1, 2, 4, 6, 8, 10} = {1, 2, 8}
A – B, B – A మరియు A ∩ B లలో ఉమ్మడి మూలకాలు లేవు.
కావున A – B, B – A, A ∩ Bలు వియుక్త సమితులు.

ఉదా : 2
A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} B = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} అనుకుందాం.
వెన్ చిత్రాల ద్వారా A – B, B – A, A∩ B లను కనుగొందాము.

A – B = {4, 8, 12, 24}

B – A {7, 14, 21, 42}

A ∩ B = {1, 2, 3, 6}
A- B, B – A, A ∩ Bలలో ఉమ్మడి మూలకాలు లేవు. కావున A – B, B – A, A ∩ B లు వియుక్త సమితులు.
గమనిక :
A – B, B – A, A ∩ Bలు పరస్పర వియుక్త సమితులు కాబట్టి
(A – B) ∩ (B – A ) = Φ
(B – A) ∩ (A ∩ B) = Φ
(A – B) ∩ (A ∩ B) = Φ.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింది వానిలో శూన్యసమితులు ఏవి ? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి.(పేజీ నెం. 44)
(i) 2 మరియు 3 ల మధ్యనున్న పూర్ణసంఖ్యల సమితి.
(ii) 1 కంటే తక్కువైన సహజసంఖ్యా సమితి.
(iii) 2 చే భాగించినపుడు శేషం సున్న వచ్చే బేసిసంఖ్యా సమితి.
సాధన.
(i) శూన్యసమితి.
2 మరియు 3ల మధ్య, పూర్ణసంఖ్యలు లేవు. కాబట్టి శూన్యసమితి అవుతుంది.
(ii) శూన్యసమితి.
సహజసంఖ్యలలో 1కన్నా తక్కువైన సహజసంఖ్య లేదు. కాబట్టి శూన్యసమితి.
(iii) శూన్యసమితి.
2చే భాగించినపుడు శేషం సున్న వచ్చే బేసి సంఖ్యలు లేవు. కాబట్టి శూన్యసమితి.

ప్రశ్న 2.
క్రింది సమితులలో ఏవి పరిమిత సమితులో, ఏవి అపరిమిత సమితులో తెలపండి. నీ సమాధానానికి తగిన కారణాలు ఇవ్వండి. (పేజీ నెం. 44)
(i) A = {x : x ∈ N మరియు x < 100}
(ii) B = {x : x ∈ N మరియు x < 5}
(iii) C = {1², 2², 3², …….}
(iv) D = {1, 2, 3, 4}
(v) {x : x వారంలో ఒక రోజు}
సాధన.
(i) A = {x: x ∈ N మరియు x < 100} పరిమిత సమితి.
A సమితిలో 1 నుండి 99 వరకు గల సహజ సంఖ్యలు ఉంటాయి. అనగా A పరిమిత సంఖ్యలో 99 మూలకాలను కలిగి ఉంది. కావున పరిమిత సమితి అవుతుంది
(లేదా)
A = {x : x ∈ N మరియు x < 100}
A = {1, 2, 3, 4, ….., 98, 99}
A సమితి 99 మూలకాలను కలిగి ఉంది, కావున A పరిమిత సమితి.

(ii) B = {x : x ∈ N మరియు x < 5} పరిమిత సమితి.
సమితి B లో 1, 2, 3, 4, 5 అనే మూలకాలు మాత్రమే ఉంటాయి. B సమితి పరిమిత సంఖ్యలో 5 మూలకాలను కలిగి ఉంది. కావున పరిమిత సమితి.
(లేదా)
B = {x : x ∈ N మరియు x ≤ 5}
∴ B = {1, 2, 3, 4, 5}
B సమితిలో పరిమిత సంఖ్యలో 5 మూలకాలు కలవు. కావున B పరిమిత సమితి

(iii) C = {1², 2², 3², ………..}
అపరిమిత సమితి.
C సమితిలోని మూలకాలైన వర్గ సంఖ్యలు అనంతముగా ఉన్నాయి. కావున C అపరిమిత సమితి.

(iv) D = {1, 2, 3, 4}
పరిమిత సమితి సమితి D లో నాలుగు మూలకాలు కలవు. కావున పరిమిత సమితి,

(v) E = {x : x వారంలో ఒక రోజు పరిమిత సమితి}
సమితి E లో 7 మూలకాలు ఉంటాయి. (వారానికి 7 రోజులు) కావున పరిమిత సమితి
(లేదా )

E = {x : x వారంలో ఒక రోజు}
E = {ఆదివారం, సోమవారం, మంగళవారం, బుధవారం, గురువారం, శుక్రవారం, శనివారం}
E లో 7 మూలకాలు కలవు. కావున పరిమిత సమితి.
సూచన : ఒక సమితి యొక్క కార్డినల్ సంఖ్యను మనం నిర్ణయించగలిగితే ఆ సమితి పరిమిత సమితి అవుతుంది.
పై సమస్యలో n(A) = 99
n(B) = 5
n(C) = నిర్ణయించలేము
n(D) = 4
n(E) = 7

ప్రశ్న 3.
క్రింది సమితులలో అపరిమిత సమితిని / చేయండి. (పేజీ నెం. 44)
(A) 10 కంటే తక్కువైన పూర్ణాంకాల సమితి
(B) 10 కంటే తక్కువైన ప్రధానసంఖ్యల సమితి
(C) 10 కంటే తక్కువైన పూర్ణసంఖ్యల సమితి
(D) 10 యొక్క కారణాంకాల సమితి
సాధన.
(A) x
(B) ×
(C) ✓
(D) X

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమితులలో ఏవి శూన్యసమితులు ? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి. (పేజీ నెం. 44)
(i) A = {x : x² = 4 మరియు 3x = 9}.
(ii) ఒక తలంలోని మొత్తం త్రిభుజాలలో మూడు కోణాల మొత్తం 180° కంటే తక్కువైన త్రిభుజాల సమితి.
సాధన.
(i) A = {x : x² = 4 మరియు 3x = 9} శూన్యసమితి.
x² = 4 మరియు 3x = 9 అయ్యేటట్లు x విలువ వ్యవస్థితం కాదు. కావున Aలో ఎలాంటి మూలకాలు ఉండవు. కాబట్టి A శూన్యసమితి.
(ii) ఒక తలంలోని మొత్తం త్రిభుజాలలో మూడు కోణాల మొత్తం 180° కంటే తక్కువైన త్రిభుజాల సమితి శూన్యసమితి. ఏ త్రిభుజంలో అయినా మూడు కోణాల మొత్తం 180° కన్నా తక్కువగా ఉండవు. కాబట్టి శూన్యసమితి.

ప్రశ్న 2.
B = {x : x + 5 = 5} శూన్య సమితి కాదు. ఎందువలన ? (పేజీ నెం. 44)
సాధన.
x + 5 = 5 ⇒ x = 5 – 5
x = 0, B సమితిలో ‘0’ ఒక మూలకంగా కలదు కావున B శూన్యసమితి కాదు,
B = {0}

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
శూన్య సమితి పరిమిత సమితి అవుతుంది. ఈ వాక్యం సత్యమా ? లేదా అసత్యమా ? ఎందుకు? (పేజీ నెం. 44)
సాధన.
శూన్యసమితి పరిమిత సమితి. శూన్యసమితిలోని మూలకాల సంఖ్య సున్న (‘0’). సున్న ఒక పరిమిత సంఖ్య. కావున శూన్యసమితి పరిమిత సమితి.

(లేదా )

శూన్యసమితి పరిమిత సమితి కాదు అనుకొందాం. అప్పుడు శూన్యసమితి అపరిమిత సమితి అవుతుంది. అనగా శూన్యసమితిలో ‘అపరిమిత సంఖ్యలో మూలకాలుంటాయి. కాని ఇది శూన్యసమితిలో మూలకాలు ఉండవు అనడానికి విరుద్దము. కావున శూన్యసమితి పరిమిత సమితి కాదు అనుకోవడం విరోధాభాసం.
∴ శూన్యసమితి పరిమిత సమితి.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
n(A), n(B), n(A ∩ B) మరియు n(A ∪ R)ల మధ్య సంబంధం ఏమిటి ? (పేజీ నెం. 45)
సాధన.
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) లేదా
n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A ∪ D) లేదా
n(A ∪ B) + n(A ∩ B) = n(A) + n(B)

ప్రశ్న 2.
సమితులు A మరియు B లు వియుక్త సమితులైతే n(AUD) ని. ఎలా కనుగొంటారు ? (పేజీ నెం. 45)
సాధన.
A మరియు B సమితులు వియుక్త సమితులైన ఆ రెండు సమితులకు ఉమ్మడిగా ఎటువంటి మూలకాలు ఉండవు.
అనగా n (A ∩ B) = 0
అపుడు n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) నందు n(A ∩ B) = 0 ప్రతిక్షేపించగా n(A ∪ B) = n(A) + n(B) అగును.

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
నీ తరగతి విద్యార్థులలో మంగళవారం పాఠశాలకు హాజరుకాని వారిని సమితి A అని, బుధవారం హాజరుకాని విద్యార్థుల సమితి B అనుకొందాం. అపుడు A = {రోజా, రాము, రవి} మరియు B = {రాము , ప్రీతి, హనీఫ్ } ఇపుడు మనం మంగళవారం లేక బుధవారం పాఠశాలకు హాజరుకాని విద్యార్థుల సమితి K, అనుకుంటే అపుడు రోజా ∈ K అవుతుందా ? రాము ∈ K అవుతుందా ? రవి ∈ K అవుతుందా ? హనీఫ్ ∈ K అవుతుందా ? ప్రీతి ∈ K అవుతుందా ? అఖిల ∈ K అవుతుందా ? (పేజీ నెం. 35&36)
సాధన.
రోజా, రాము, రవి, హనీఫ్ మరియు ప్రీతి అందరూ K సమితికి చెందుతారు. కాని అఖిల K సమితికి చెందదు. అందువలన, K = {రోజా, రాము, రవి, హనీఫ్, ప్రీతి}
ఇక్కడ మనం K ని A, B సమితుల సమ్మేళనం అంటారు. A, B సమితుల సమ్మేళనమనగా . A మరియు B సమితులలోని ఉమ్మడి ‘మూలకాలను ఒకేసారి తీసుకొని రెండింటిలోని మూలకాలన్నింటిని కలిగి వున్న సమితి అని అర్థం, సమితుల సమ్మేళనంను ‘µ’ గుర్తుతో సూచిస్తాం.

సంకేతంగా A UB అని రాస్తూ A యూనియన్ B అని చదువుతాం.
A ∪ B = {x : x ∈ A లేదా x ∈ B}

ప్రశ్న 2.
A = {2, 5, 6, 8} మరియు B = {5, 7, 9, 1} అయిన A ∪ B కనుగొనుము. పేజీ నెం. 36)
సాధన.
A ∪ B = {1, 2, 5, 6, 7, 8, 9}.
A ∪ B రాసేటపుడు A,B సమితులలోని ఉమ్మడి మూలకమైన 5ని ఒకేసారి తీసుకొన్నామని గమనించవచ్చు.

ప్రశ్న 3.
A = {a, e, i, 0, u} మరియు B = {a, i, u} అయిన A ∪ B = A అని చూపండి. (పేజీ నెం. 36)
సాధన.
A ∪ B = {a, e, i, 0, u} = A అవుతుంది.
ఈ ఉదాహరణ ద్వారా సమితి A మరియు దాని ఉప సమితి B ల సమ్మేళనం సమితి A అవుతుందని తెలుస్తుంది.
అంటే B ⊂ A అయితే A ∪ B = A.

ప్రశ్న 4.
A = {1, 2, 3, 4} మరియు B = {2, 4, 6, 8} అయిన A ∪ Bని వెన్ చిత్రాలలో వివరించండి. (పేజీ నెం. 36)
సాధన.

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}

ప్రశ్న 5.
A = {5, 6, 7, 8} మరియు B = {7, 8, 9, 10} అయిన A ∩ B ని కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 37)
సాధన.
A, B లలోని ఉమ్మడి మూలకాలు 7, 8.
∴ A ∩ B = {7, 8}.

ప్రశ్న 6.
A = {1, 2, 3} మరియు B = {3, 4, 5} అయిన A ∩ Bని వెన్ చిత్రాలలో వివరించండి. (పేజీ నెం. 37)
సాధన.
A, B సమితుల ఛేదనాన్ని వెన్ చిత్రాలలో క్రింది విధంలో చూపవచ్చు.

∴ A ∩ B = {3}.

ప్రశ్న 7.
A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {4, 5, 6, 7} అనుకొనుము. A – Bని కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
A = {1, 2, 3, 4, 5} మరియు B = {4, 5, 6, 7} అని ఇవ్వబడినవి.
‘A’ సమితికి మాత్రమే చెంది, సమితి ‘B’ కి చెందని మూలకాలను మాత్రం తీసుకొనాలి.
A – B = {1, 2, 3, 4, 5} – {4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3}.
∵ 4, 5 మూలకాలు B లో ఉన్నాయి.
కాబట్టి తీసుకోలేదు. అదేవిధంగా B – A అంటే, B సమితిలో ఉన్న మూలకాలను మాత్రమే తీసుకోవాలి.
B – A = {4, 5, 6, 7} – {1, 2, 3, 4, 5} .
B – A = {6, 7} (4, 5 మూలకాలు A లో ఉన్నాయి.)
A – B ≠ B – A అని గమనించండి.
A – B మరియు B – A ల వెన్ చిత్రం క్రింద చూపబడింది.

A – B = {1, 2, 3}
B – A = {6, 7}

ప్రశ్న 8.
క్రింది సమితులను తీసికుందాం. A = {p, q, r}, B = {q, p, r} (పేజీ నెం. 40)
సాధన.
పై సమితులలో A లోని ప్రతి మూలకం B లో కూడా ఉంది.
∴ A ⊆ B.
అదేవిధంగా సమితి B లోని ప్రతి మూలకం A లో కూడా ఉంది.
∴ B ⊆ A.

ప్రశ్న 9.
A = {1, 2, 3, ……} మరియు ‘N’ సహజ సంఖ్యా సమితి. అయిన A మరియు Nలు సమానమవుతాయేమో సరిచూడండి: (పేజీ నెం. 40)
సాధన.
రెండు సమితులలో మూలకాలు ఒకటి. కావున A మరియు N సమితులు రెండు కూడా సహజసంఖ్యా సమితులే. అందువలన సమితి A మరియు సమితి Nలు సమానం.
∴ A = N.

ప్రశ్న 10.
సమితులు A = {p, q, r, s} మరియు B= {1, 2, 3, 4} లు సమానమా ? (పేజీ నెం. 41)
సాధన.
సమితి A మరియు సమితి B లలో ఒకే మూలకాలు లేవు. కాబట్టి A ≠ B.

ప్రశ్న 11.
6 కంటే తక్కువైన ప్రధానాంకాల సమితిని A అనుకోండి. మరియు 30 కి ప్రధాన కారణాంకాలు గల సమితిని P అనుకోండి. A మరియు P సమానమా? సరిచూడండి. (పేజీ .నెం. 41)
సాధన.
6 కంటే తక్కువైన, ప్రధానాంకాల సమితి
A = {2, 3, 5}
30 కి ప్రధాన కారణాంకాలు 2, 3 మరియు 5. కావున
P= {2, 3, 5}
సమితి A మరియు Pలలో ఒకే రకమైన మూలకాలున్నాయి. కాబట్టి A మరియు P సమానం.

ప్రశ్న 12.
A = {x : x అనేది ‘ASSASSINATION అనే పదంలోని అక్షరం}
S = {x : x అనేది STATION అనే పదంలోని అక్షరం} అయిన A మరియు B సమితులు సమానం అని చూపండి. (పేజీ నెం. 41)
సాధన.
A = {x : x అనేది ‘ASSASSINATION’ అనే పదంలోని అక్షరం} అని ఇవ్వబడినది.
సమితి Aని ఈ విధంగా కూడా రాయవచ్చు.
A = {A,S, I, N,T,0}. ఎందుకంటే సమితిలోని మూలకాలు మరలా మరలా రాయకూడదు
B = {x : x అనేది STATION అనే పదంలోని అక్షరం} అని ఇవ్వబడింది.
B = {A, S,I, N,T,O} అని కూడా రా యవచ్చు కావున A మరియు B లోని మూలకాలు సమానం
A = B.

ప్రశ్న 13.
Φ, A = {1, 3}, B = {1, 5, 9}, C = {1, 3, 5, 7, 9} సమితులను తీసుకొందాం.. క్రింది ప్రతి సమితుల జతలలో C లేదా 4 గుర్తును ఉంచండి.
(i) Φ …… B
(ii) A …… B
(iii) A …… C
(iv) B …… C (పేజీ నెం: 41)
సాధన.
(i) Φ ⊂ B ఎందుకంటే శూన్య సమితి ప్రతి సమితికి ఉపసమితి అవుతుంది.
(ii) A ⊄ B, ఎందుకంటే 3 ∈ A కాని 3 ∉ B.
(iii) A ⊂ C, ఎందుకంటే 1, 3 ∈ A మరియు C.
(iv) B ⊂ C, ఎందుకనగా B లో ఉన్న ప్రతి మూలకం C లో కూడా ఉన్నది.

ప్రశ్న 14.
క్రింది సమితులలో ఏవి పరిమిత సమితులో, లేక అపరిమిత సమితులో పేర్కొనండి. (పేజీ నెం. 43)
(i) {x : x ∈ N మరియు (x – 1) (x – 2) = 0}
(ii) {x : x ∈ N మరియు x² = 4}
(iii) {x : x ∈ N మరియు 2x – 2 = 0}
(iv) {x : x ∈ N మరియు X ప్రధానసంఖ్య}
(v) {x : x ∈ N మరియు X బేసిసంఖ్య }
సాధన.
(i) ఈ సందర్భంలో X కి 1 లేదా 2 విలువలను – తీసుకోవచ్చు. కావున {1, 2} పరిమిత సమితి అవుతుంది. ఇది పరిమిత సమితి.
(ii) x² = 4 అనగా x = + 2 లేక – 2 కాని x ∈ N లేదా x ఒక సహజ సంఖ్య కాబట్టి {2}గా తీసుకోవాలి. ఇది కూడా పరిమిత సమితే,
(iii) దత్తసమితి x = 1 కాని 1 ∈ N కావున ఇది కూడా పరిమిత సమితి.
(iv) దత్తసమితిలో అన్నీ ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి. ప్రధానసంఖ్యలు అనంతము కావున ఈ సమితి అపరిమిత సమితి.
(v) దత్తసమితిలో అనంతమైన బేసి సంఖ్యలున్నాయి. కావున ఈ సమితి కూడా అపరిమిత సమితియే.

ప్రశ్న 15.
A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {2, 4, 6, 8}; అయిన n(A ∪ B) కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 45)
సాధన.
A = {1, 2, 3, 4, 5,} ⇒ n(A) = 5
B = {2, 4, 6, 8} ⇒ n(B) = 4
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} ⇒ n(AU B) = 7

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 2 సమితులు Exercise 2.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 2nd Lesson సమితులు Exercise 2.4

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమితులలో ఏవి శూన్యసమితులో, ఏవి కావో తెల్పండి.
(i) ఒక బిందువు గుండా వెళ్ళే సరళరేఖల సమితి
(ii) 2 చే భాగించబడే బేసి సహజ సంఖ్యల సమితి
(iii) {x : x ఒక సహజసంఖ్య, x < 5 మరియు x > 7}
(iv) {x : x ఏవేని రెండు సమాంతర రేఖల ఉమ్మడి బిందువు}
(v) సరి ప్రధాన సంఖ్యల సమితి
సాధన.
(i) శూన్యసమితి కాదు
(ii) శూన్యసమితి
(iii) శూన్యసమితి
(iv) శూన్యసమితి
(v) శూన్యసమితి కాదు

ప్రశ్న 2.
క్రింది సమితులలో ఏవి పరిమిత సమితులో, ఏవి అపరిమిత సమితులో తెలపండి.
(i) ఒక సంవత్సరంలోని నెలల సమితి
(ii) {1, 2, 3, ….. 99, 100}
(iii) 99 కంటే తక్కువగా గల ప్రధానసంఖ్యల సమితి
సాధన.
(i) పరిమిత సమితి
(ii) పరిమిత సమితి
(iii) పరిమిత సమితి

ప్రశ్న 3.
క్రింది సమితులలో ప్రతి సమితిని, పరిమిత సమితో
లేదా అపరిమిత సమితో తెల్పండి.
(i) ఆంగ్ల భాషలోని అక్షరాల సమితి
(ii) X – అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే రేఖల సమితి
(iii) 5 యొక్క గుణిజాల సమితి
(iv) (0, 0) మూలబిందువు గుండా వెళ్ళే వృత్తాల సమితి
సాధన.
(i) పరిమిత సమితి
(ii) అపరిమిత సమితి
(iii) అపరిమిత సమితి
(iv) అపరిమిత సమితి

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 2 సమితులు Exercise 2.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 2nd Lesson సమితులు Exercise 2.3

ప్రశ్న 1.
క్రింది వాటిలో సమసమితులు ఏవి?
i) A = {x : x అనేది ‘FOLLOW’ అనే పదంలోని ఒక అక్షరం}
(ii) B = {x : x అనేది ‘FLOW’ అనే పదంలోని ఒక అక్షరం} మరియు
(iii) C = {x : x అనేది ‘WOLF’ అనే పదంలోని ఒక అక్షరం}
సాధన.
(i) A = {F, O, L, W}
(ii) B = {F, L, 0, W}
(iii) C = {W, O, L, F}
A, B, C సమితులు ఒకే మూలకాలను కలిగి ఉన్నాయి.
∴ A = B = C.

ప్రశ్న 2.
క్రింది సమితులను పరిశీలించి, క్రింద ఇచ్చిన వాక్యాలు సరియగునట్లు = లేదా ≠ తో ఖాళీలను పూరించండి.
A = {1, 2, 3}; B = {మొదటి మూడు సహజ సంఖ్యలు} C = {a, b, c, d); D = {d, c, a, b} E= {a, e, i, 0, u}; F = {ఆంగ్లభాషలోని అచ్చుల సమితి}
(i) A …… B
సాధన.
A = B

(ii) A ……. E
సాధన.
A + E

(iii) C ……. D
సాధన.
C = D

(iv) D ….. F
సాధన.
D ≠ F

(v) F …… A
సాధన.
F ≠ A

(vi) D …… E
సాధన.
D ≠ E

(vii) F ……. B.
సాధన.
F ≠ B

ప్రశ్న 3.
క్రింద ఇచ్చిన ప్రతి సమితిలో A = B అవుతుందో, లేదో తెలపండి.
(i) A = {a, b, c, d} B = {d, c, a, b}
(ii) A = {4, 8, 12, 16} B = {8, 4, 16, 18}
(iii) A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {x : x ఒక ధన సరిపూర్ణ సంఖ్య మరియు x ≤ 10}
(iv) A = {x : x, 10 యొక్క గుణిజం} B = {10, 15, 20, 25, 30, ……}
సాధన.
(i) A = B
(ii) A ≠ B
(iii) A = B
(iv) A ≠ B

ప్రశ్న 4.
క్రింది వాక్యాలకు తగు కారణాలు పేర్కొనండి.
(i) {1, 2, 3, ……. 10} ≠ {x : x ∈ N మరియు 1 < x < 10}
(ii) {2, 4, 6, 8, 10} ≠ {x : x = 2n + 1 మరియు X ∈ N}
(iii) {5, 15, 30, 45} ≠ {x : x, 15 యొక్క గుణిజం}
(iv) {2, 3, 5, 7, 9} ≠ {x : x ఒక ప్రధానసంఖ్య}
సాధన.
(i) {1, 2, 3, …… 10} ≠ {x : x ∈ N మరియు 1 {1, 2, 3……. 10} ≠ {2, 3, 4, …..9}
రెండవ సమితిలో 1 మరియు 10 మూలకాలు లేవు.

(ii) {2, 4, 6, 8, 10} ≠ {x : x = 2n + 1 మరియు X E N}
{2, 4, 6, 8, 10} ≠ {3, 5, 7, 9, …..} 1)
(1) మొదటి సమితి 10లోపు సరిసంఖ్యలను సూచించగా, రెండవ సమితి 1తప్ప మిగిలిన బేసి సంఖ్యలను సూచిస్తున్నది.
(లేదా)
(2) మొదటి సమితి పరిమిత సమితి, రెండవ సమితి అపరిమిత సమితి.
(లేదా )
(3) మొదటి సమితి సరిసంఖ్యను సూచించగా, రెండవ సమితి బేసి సంఖ్యను సూచిస్తుంది.

(iii) {5, 15, 30, 45} ≠ {x : x, 15 యొక్క గుణిజం}
{5, 15, 30, 45} ≠ {15, 30, 45, 60 …… 1)
(1)మొదటి సమితిలో 5 అనే మూలకం 15 . యొక్క గుణిజం కాదు
(లేదా)
(2) మొదటి సమితిలోని 5 అనే మూలకం .రెండవ సమితిలో ఉండదు
(లేదా)
(3) మొదటి సమితి పరిమిత సమితి రెండవ సమితి అపరిమిత సమితి.

(iv) {2, 3, 5, 7, 9} ≠ {x : x ఒక ప్రధానసంఖ్య }
{2, 3, 5, 7, 9} ≠ {2, 3, 5, 7, 11, ……}
(1) మొదటి సమితిలోని 9 అనే మూలకం ప్రధాన సంఖ్య కాదు.
(లేదా)
(2) మొదటి సమితిలోని 9 అనే మూలకం రెండవ సమితిలో ఉండదు.
(లేదా)
(3) మొదటి సమితి పరిమిత సమితి. రెండవ సమితి అపరిమిత సమితి.

ప్రశ్న5.
క్రింది సమితులకు గల ఉపసమితులన్నింటి జాబితాను రాయండి.
(i) B = {p, q}
(ii) C = {x, y, z}
(iii) D = {a, b, c, d}
(iv) E = {1, 4, 9, 16}
(v) F = {10, 100, 1000}
సాధన.
(i) B = {p, q}
B యొక్క ఉపసమితులు
Φ,
{p}, {q}
{p, q}

(ii) C = {x, y, z}
C యొక్క ఉపసమితులు
Φ,
{x}, {y}, {x}
{x, y}, {x, Z}, {y, Z}
{x, y, z}

(iii) D = {a, b, c, d)
D యొక్క ఉపసమితులు
Φ,
{a}, {b}, {C}, {d}
{a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d),
{a, b, c}, {a, c, d}, {a, b, d}, {b, c, d}
{a, b, c, d)

(iv) E = {1, 4, 9, 16}
E యొక్క ఉపసమితులు
Φ,
{1}, {4}, {9}, {16}
{1, 4}, {1, 9}, {1, 16}, {4, 9} {4, 16}, {9, 16}
{1, 4, 9}, {1, 9, 16}, {1, 4, 16 )
{4, 9, 16}
{1, 4, 9, 16}

(v) F = {10, 100, 1000}
F యొక్క ఉపసమితులు
Φ,
{10}, {100}, {1000}
{10,100}, {10, 1000}, {100, 1000};
{10, 100, 1000}
సూచన:
ఒక సమితిలో n మూలకాలుంటే ఆ సమితి యొక్క ఉపసమితుల సంఖ్య 2ⁿ.