Mahesh

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం Ex 15.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 15th Lesson సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం Exercise 15.6

ప్రశ్న 1.
1 నుండి 100 వరకు గల సంఖ్యలలో 5చే భాగింపబడు సంఖ్యల మొత్తం కనుగొనండి.
సాధన.
1 నుండి 100 వరకు గల సంఖ్యలలో 5చే భాగింపబడు సంఖ్యలు 5, 10, 15, ……… 100
ఆ సంఖ్యల మొత్తం = 5 + 10 + 15 + ……… + 100
= 5 (1 + 2 + ………. + 20)
మొదటి ‘n సహజ సంఖ్యల మొత్తం = \(\frac{n(n+1)}{2}\)
= \(\frac{5 \times 20(20+1)}{2}\) = 5 × 10 × 21 = 1050 (∵ n = 20)

ప్రశ్న 2.
11 నుండి 50 వరకు గల సంఖ్యలలో 2చే భాగింపబడు సంఖ్యల మొత్తం కనుగొనండి.
సాధన.
11 నుండి 50 వరకు గల సంఖ్యలలో 2చే భాగింపబడు సంఖ్యలు = 12, 14, 16, …………., 48, 50
ఆ సంఖ్యల మొత్తం = 12 + 14 + 16 + …… + 48 + 50.
= (2 + 4 + …… + 50) – (2 + 4 + …… + 10)
= 2(1 + 2 + …… + 25) – 2(1 + 2 + …… + 5)
= 2[25 × \(\frac{(25+1)}{2}-\frac{5 \times(5+1)}{2}\)
= 2[25 × 13 – 5 × 3]
= 2[325 – 15] = 2 × 310 = 620

ప్రశ్న 3.
1 నుండి 50 వరకు గల సంఖ్యలలో 2 మరియు 3చే భాగింపఐదు సంఖ్యల మొత్తం కనుక్కోంది.
సాధన.
1 నుండి 50 వరకు గల సంఖ్యలలో 2. మరియు 3లచే భాగింపబడు సంఖ్యలు అనగా ‘6’చే భాగింపబడు సంఖ్యలను తీసుకొనగా ఆ సంఖ్యల మొత్తం
= 6 + 12 + …… + 48
= 6(1 + 2 + ….. + 8)
= \(\frac {6(8)(8+1)}{2}\)
= 6 × 4 × 9 = 216

ప్రశ్న 4.
(n³ – n), 3చే భాగింపబడును. వివరించండి.
(లేదా)
“n” సహజసంఖ్య అయిన (n³ – n) ఎల్లప్పుడూ 3చే భాగించబడునా ? వివరించుము.
సాధన.
1వ పద్ధతి:

∴ n యొక్క అన్ని విలువలకు (n³ – n), 3 చే భాగింపబడుతుంది.

2వ పద్ధతి:
n² – n = n(n² – 1) = n(n² – 1²) = (n – 1)
n(n + 1) లు మూడు వరుస సంఖ్యల లబ్ధం కావున ఇది 3చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.
∴ (n³ – n), 3 చే భాగింపబడుతుంది.

ప్రశ్న 5.
n వరుస సంఖ్యల మొత్తం (n భసిసంఖ్య) n చే భాగింపబడును. కారణం వివరించండి.
సాధన.
n వరుస బేసిసంఖ్యల మొత్తం = \(\frac{(2 n-1)(2 n)}{2}\) = n(2n – 1)
ఇది n యొక్క గుణిజం కావున ‘n’ చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.

ప్రశ్న 6.
1¹¹ + 2¹¹ + 3¹¹ + 4¹¹, 5చే భాగింపబడుతుందా? వివరించండి.
సాధన.
1¹¹ + 2¹¹ + 3¹¹ + 4¹¹ సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెల మొత్తం
= 1 + 8 + 7 + 4 = 20 = 20 → \(\frac {0}{5}\) (R = 0)
∴ (1¹¹ + 2¹¹ + 3¹¹ + 4¹¹), 5చే భాగింపబడుతుంది.

ప్రశ్న 7.

పై బొమ్మలో ఎన్ని దీర్ఘచతురస్రాలున్నాయి ?
సాధన.

∴ పై చిత్రంలోని దీర్ఘచతురస్రాల సంఖ్య
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

ప్రశ్న 8.
రాహుల్ తండ్రి, రాహుల్ పుట్టినరోజునాడు ప్రతి సంవత్సరము కొంత సొమ్ము బ్యాంకులో జమ చేయుచున్నాడు. అతని మొదటి పుట్టినరోజున రూ. 100, రెండవ పుట్టినరోజున రూ. 300, మూడవ పుట్టినరోజున రూ. 600, 4వ పుట్టిన రోజున రూ. 1000, అయితే అతడి 15వ పుట్టినరోజున ఎంత జమచేసి ఉంటాడు?
సాధన.

రాహుల్ తండ్రి ప్రతి పుట్టినరోజుకు 200, 300, 100, ……. చొప్పున పెంచుకుంటూ పోతే 14న పుట్టినరోజుకు అతను రూ. 10,500 జము, చేస్తే 16వ పుట్టినరోజుకు జను చేయు మొత్తం = 10,500 + 1,500 = రూ. 12,000

ప్రశ్న 9.
1 నుండి 100 వరకు గల సంఖ్యలలో 2 లేక 5 చే భాగింపబడు సంఖ్యల మొత్తం కనుగొనుము.
సాధన.
1 నుండి 100 వరకు గల సంఖ్యలలో 2చే భాగింపబడే సంఖ్యల మొత్తం
= 2 + 4 + …… + 100 = 2(1 + 2 + ……. + 50)
= \(\frac{2(50)(50+1)}{2}\) = 50 × 51 = 2550
1 నుండి 100 వరకు గల సంఖ్యలలో 5 చే భాగింపబడే సంఖ్యల మొత్తం
= 5 + 10 + 15 + ……. + 100 = 5(1 + 2 + ……. + 20)
= \(\frac{5(20)(20+1)}{2}\)
= 50 × 21 = 1050
∴ 2 మరియు 5చే భాగింపబడే సంఖ్యల మొత్తం = 2550 + 1050 = 3600
దీని నుండి 2 మరియు 5చే (రెండింటిచే) భాగింపబడే సంఖ్యల మొత్తం తీసివేయవలెను.
2 మరియు 5చే భాగింపబడే సంఖ్యల మొత్తం = 10 + 20 + …….. + 100
= 10(1 + 2 + ……. + 10)
= \(\frac{10(10)(10+1)}{2}\)
= 10 × 5 × 11 = 550
∴ కావలసిన సంఖ్యల మొత్తం = 3600 – 550 = 3050

ప్రశ్న 10.
11 నుండి 1000 వరకు గల సంఖ్యలలో 3చే భాగింపబడు సంఖ్యల మొత్తం కనుక్కోండి.
సాధన.
11 నుంది. 1000 వరకు గల సంఖ్యలలో 3చే భాగింపబడు సంఖ్యల మొత్తం
= 12 + 15 + ……. + 999
= 3(4 + 5 + ……. + 333) = 3(1 + 2 + …….. + 333) – 3(1 + 2 + 3)
= 3 × 333 × \(\frac{(333+1)}{2}-\frac{3 \times 3(3+1)}{2}\)
= 3 × 333 × \(\frac{334}{2}-\frac{9 \times 4}{2}\)
= 999 × 167 – 9 × 2
= 166833 – 18 = 166815.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం Ex 15.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 15th Lesson సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం Exercise 15.5

ప్రశ్న 1.
కింది సంకలనములలో లోపించిన అంకెలు అక్షరాలలో ఇవ్వబడినవి. వాటిని కనుక్కోండి.

సాధన.
(a) 1 + A + 7 = 17 ⇒ A = 17 – 8 = 9 ∴ A = 9

(b) 2 + 8 + B = 15 ⇒ B = 15 – 10 = 5
(2వ నిలువ వరుస)
2 + 1 + B = 8 ⇒ B = 8 – 3 = 5 ∴ B = 5

(c) A + 7 + A = 13 ⇒ 2A = 6 ⇒ A = 3
A + A + 1 = 7 ⇒ 24 = 6 ⇒ A = 3 ∴ A = 3

(d) 2 + 9 + 9 + A = 26 (మొదటి నిలువు వరుస)
A = 26 – 20 = 6
లేదా రెండవ నిలువ వరుస నుండి
⇒ 2 + 1 + A = 9 ⇒ A + 9 – 3 = 6 ∴ A = 6

(e) B + 6 + A = 11 లేదా 21 …………………… (1)
B + A + (1 లేదా 2) = 6
A + 1 = 4 ⇒ A = 3
⇒ (1) నుండి B + 6 + 3 = 11 ⇒ B = 2 ∴ A = 3, B = 2

2. కింది వ్యవకలనములలో గల A విలువ కనుక్కోండి.

ప్రశ్న (a)
7A – 16 = A9
సాధన.
(a) 7A – 16 = A9

A – 6 = 9
A = 5 అయిన ఇది సాధ్యం అగును.
∴ A = 5 (లేదా)
7A – 16 = A9
⇒ 7 × 10 + (l × A) – 16 = (A × 10 + 9 × 1)
⇒ 70 + A – 16 = 10A + 9
⇒ 9A = 45 ⇒ A = 5

ప్రశ్న (b)
107 – A9 = 1A
సాధన.
⇒ 107 – (10 × A + 9 × 1) = (l × 10 + A × 1)
⇒ 107 – 10A – 9 = 10A + 9
⇒ 11A = 88 ⇒ A = 8

ప్రశ్న (c)
A36 – 1A4 = 742
సాధన.
⇒ (100 × A + 3 × 10 + 6 × 1) – (1 × 100 + A × 10 + 4 × 1) = 742
⇒ 100A + 36 – 100 – 10A – 4 = 742
⇒ 90A = 810
⇒ A = \(\frac {810}{90}\)
∴ A = 9

ప్రశ్న 3.
కింది గుణకారములోని అక్షరాల విలువలు కనుక్కోంది.

సాధన.
(a) E × 3 = E కావలెనన్న, E = 0 లేదా 5 కావలెను
5 × 3= 15, 0 × 3 = 0
3 × D + 0 = 1D [E = 0 అయిన ]
⇒ 3D = 10 + D
⇒ 2D = 10
⇒ D = 5

∴ F = 1, D = 5, E = 0

(b) H × 6 = H కావలెనన్న, H = 0, 6, 2, 8
G6 = 1G [H = 0 అయిన]
⇒ 6G + 0 = 10 + G
⇒ 5G = 10
⇒ G = \(\frac {10}{5}\) = 2

∴ C = 1, G = 2, H = 0

4. కింది భాగహారములో లోపించిన విలువలు కనుక్కోంది.

ప్రశ్న (a)
73K ÷ 8 = 9L
సాధన.
\(\frac {73k}{8}\) = 9L
73K, 8 చే భాగింపబడవలెనన్న K = [1, 2, 3, ……. 9] సంఖ్యల నుండి ఒక సంఖ్యను ఎన్నుకోవాలి. K = 6
∴ \(\frac {736}{8}\) → (R = 0)
∴ \(\frac {736}{8}\) = 92 = 9L
⇒ 90 + 2 = (9 × 10 + L × 1)
90 + 2 = 90 + L
∴ L = 2
∴ K = 6, L = 2

ప్రశ్న (b)
1MN ÷ 3 = MN
సాధన.
ఒక సంఖ్య (1MN) 3 చే భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం ‘3’ చే భాగింపబడవలెను.
⇒ 1 + M + N = 3 × (1, 2, 3)
⇒ 1 + M + N = 3 × 2 = 6 అనుకొనిన
M + N = 5 ……………….. (1)
\(\frac {1MN}{3}\) = MN
⇒ IMN = 3MN
⇒ 2MN = 0
MN = 0 ………………… (2)
(1), (2) ల నుండి M = 0 అసాధ్యం (10 స్థానంలోని అంకె కావున)
N= 0 అయిన M = 5 అగును.
∴ M = 5, N= 0 [∵ \(\frac {150}{3}\) = 50]

ప్రశ్న 5.
ABB × 999 = ABC123 (A, B, Cలు అంకెలు) అయిన A, B, Cల విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన.
ABB × 999 = ABC123 నుండి ఒకట్ల స్థానంలోని
సంఖ్యల లబ్దం 3 కావలెను.
∴ B × 9 = ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 3.
∴ B = 7 అయిన

∴ A = 8, B = 7, C = 6
∴ కావలసిన లబ్దం 876123

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం Ex 15.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 15th Lesson సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం Exercise 15.4

ప్రశ్న 1.
25110, 45చే భాగింపబడునో, లేదో సరిచూడండి.
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్య = 25110
25110, 45తో భాగింపబడాలంటే అది 5, 9చే భాగింపబడవలెను.

గమనిక : 5చే భాగింపబడవలెనన్న ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ‘0’ లేదా 5 అయి ఉండవలెను, 9చే ఒక సంఖ్య భాగింపబడవలెనన్న సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 9చే భాగింపబడవలెను.
∴ 25110, 45చే భాగింపబడును.

ప్రశ్న 2.
61479, 81చే భాగింపబడునో, లేదో సరిచూడండి.
సాధన.
61479, 81చే భాగింపబడవలెనన్న అది 9చే భాగింపబడవలెను.
ఒక సంఖ్య ‘9’ చే భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 19 చే భాగింపబడవలెను.
∴ 61479 → 6 + 1 + 4 + 7 + 9 → \(\frac {27}{9}\) (R = 0)
∴ 61479, 9 చే భాగింపబడును. (3, 9, 27, 81 లచే కూడా భాగింపబడును)

ప్రశ్న 3.
864, 36చే భాగింపబడుతుందో లేదో తెలపండి. మరియు 36 యొక్క కారణాంకములన్నింటిచే 864 భాగింపబడునో, లేదో పరిశీలించండి.
సాధన.
864, 36చే భాగింపబడవలెనన్న 36 యొక్క కారణాంకాలన్నింటిదే భాగింపబడవలెను.
36 యొక్క కారణాంకాలు = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
864 = 864 → \(\frac {4}{2}\)(R = 0) ‘2’ చే భాగింపబడును.
864 → 8 + 6 + 4 → \(\frac {18}{3}\)(R = 0) ‘3’ చే భాగింపబడును.
864 అనునది 2 మరియు 3 లచే భాగింపబడును కావునా 6చే కూడా భాగింపబడును.
864 = 864 → \(\frac {64}{4}\)(R = 0) ‘4’ చే భాగింపబడును.
864 అనునది 3 మరియు 4 లచే భాగింపబడును కావునా 12చే కూడా భాగింపబడును.
864 → 8 + 6 + 4 → \(\frac {18}{9}\)(R = 0) 9చే భాగింపబడును.
864 అనునది 2 మరియు 9 లతో భాగింపబడును కావున 18చే కూడా భాగింపబడును.
∴ 864 అనునది 4 మరియు 9 లచే భాగింపబడును. కావున ఇది 36చే భాగింపబడును,
∴ 864 అనునది 36 యొక్క కారణాంకములన్నిందిచే భాగింపబడుతుంది.

ప్రశ్న 4.
756, 42చే భాగింపబడుతుందో లేదో తెలపండి. మరియు 42 యొక్క కారణాంకములన్నింటిచే 756 భాగింపబడునో, లేదో తెలపండి.
సాధన.
756, 42చే భాగింపబడవలెనన్న 6 మరియు 7చే భాగింపబడవలెను.
756, 6చే భాగింపబడవలెనన్న అది 2 మరియు 3చే భాగింపబడవలెను.
756 → \(\frac {6}{2}\)(R = 0) ‘2’ చే భాగింపబడుతుంది.
756 → 7 + 5 + 6 → \(\frac {18}{3}\)(R = 0) 3 చే భాగింపబడుతుంది.
756 ⇒ a = 7, b = 5, c = 6
2a + 3b + c = 2 × 7 + 3 × 5 + 6 = 14 + 15 + 6 → \(\frac {35}{7}\)(R = 0)
∴ 756 అనునది 6, 7 లచే భాగింపబడును. కావున ఇది 42చే భాగింపబడును.
756, 2 మరియు 7లచే భాగింపబడుతుంది కావున 14చే భాగింపబడును.
756, 3 మరియు 7 లచే భాగింపబడుతుంది కావున 21చే భాగింపబడుతుంది.
∴ 756, 42 యొక్క కారణాంకాలన్నింటిచే (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42) భాగింపబడుతుంది.

ప్రశ్న 5.
2156, 11 మరియు 7లచే భాగింపబడునో, లేదో చూడండి. మరియు 2156, 11 మరియు 7 ల యొక్క లబ్దంతో భాగింపబడుతుందో, లేదో పరిశీలించండి.
సాధన.

ప్రశ్న 6.
1435, 5 మరియు 7 లచే భాగింపబడునో, లేదో చూడండి. మరియు 1435, 5 మరియు 7ల యొక్క లబ్దంతో భాగింప బడునో, లేదో పరిశీలించండి.
సాధన.

ప్రశ్న 7.
458, 618 సంఖ్యలు అదే భాగింపబడునో, లేదో పరిశీలించండి. మరియు వాటి మొత్తము కూడా 6దే భాగింపబడుతుందో, లేదో తెలపండి.
సాధన.

ప్రశ్న 8.
876, 345 లు 3తో భాగింపబడునో లేదో తెలపండి. మరియు వాటి భేదము కూడా 3తో భాగింపబడుతుందో లేదో తెలపండి.
సాధన.

ప్రశ్న 9.
2² + 2³ + 2⁴; 2, 4 లేదా రెండింటితోను భాగింపబడుతుందో లేదో తెలపండి.
సాధన.

∴ 28 లేదా (2² + 2³ + 2⁴) అనునది 2, 4 మరియు రెండింటితోనూ భాగింపబడుతుంది.

ప్రశ్న 10.
32², 4 లేదా 8 లేదా రెండింటితోను భాగింపబడుతుందో లేదో తెలపండి.
సాధన.

∴ 32², 4 లేదా 8 మరియు రెండింటిచే భాగింపబడును.

ప్రశ్న 11.
A679B, 72 తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడిన A, B విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన.
A679B, 72 చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్య 8 మరియు 9చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడవలెను.
A6798, 9 చే భాగింపబడవలెనన్న
A + 6 + 7 + 9 + B = A + B + 22 = 27 (9 × 3)
⇒ A + B = 5 …………………(1)
A6 79B → \(\frac {79B}{8}\)
B = [2, 4, 6, 8] నుండి B = 2 అయిన
= \(\frac {792}{8}\) (R = 0)
∴ B = 2
(1) నుండి ⇒ A + 2 = 5
⇒ A = 3
∴ A = 3, B = 2

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం Ex 15.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 15th Lesson సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం Exercise 15.3

ప్రశ్న 1.
కింది సంఖ్యలు ‘6’తో భాగింపబడునో, లేదో భాజనీయతా నియమముల ఆధారంగా తెలపండి.
(a) 273432 (b) 100533 (c) 784076 (d) 24684
సాధన.

ప్రశ్న 2.
కింది సంఖ్యలు ‘4’తో భాగింపబడునో, లేదో భాజనీయతా నియమముల ఆధారంగా తెలపండి.
(a) 3024 (b) 1000 (c) 412 (d) 56240
సాధన.

ప్రశ్న 3.
భాజనీయతా నియమముల ఆధారంగా కింది సంఖ్యలు ‘8’ తో భాగింపబడునో లేదో తెలపండి.
(a) 4808 (b) 1324 (c) 1000 (d) 76728
సాధన.
ఒక సంఖ్య ‘8’చే భాగింపబడవలెనన్న సంఖ్యలోని చివరి మూడంకెలు ‘8’చే భాగింపబడవలెను.

ప్రశ్న 4.
భాజనీయతా నియమముల ఆధారంగా కింది సంఖ్యలు ‘7’ తో భాగింపబడునో లేదో తెలపండి.
(a) 427 (b) 3514 (c) 861 (d) 4676
సాధన.

ప్రశ్న 5.
ఈ కింది సంఖ్యలు ’11’తో భాగింపబడునో, లేదో భాజనీయతా నియమాల ఆధారంగా చెప్పండి.
(a) 786764
(b) 536393
(c) 110011
(d) 1210121
(e) 758043
(f) 8338472
(g) 54678
(h) 13431
(i) 423423
(j) 168861
సాధన.

ప్రశ్న 6.
ఒక సంఖ్య ‘8’తో భాగింపబడిన, ‘4’తో కూడా భాగింపబడును. వివరించండి.
సాధన.
ఒక సంఖ్య 8చే భాగింపబడిన అది 4తో కూడా భాగింపబడును.
ఎందుకనగా ఒక సంఖ్య 8చే భాగింపబడిన అది 8 యొక్క కారణాంకాలన్నింటిచే (1, 2, 4, 8) భాగించబడుతుంది.
∴ 4, 8కి ఒక కారణాంకం కావున
8చే భాగించబడే ప్రతి సంఖ్య, 4చే కూడా భాగించబడుతుంది.

ప్రశ్న 7.
ఒక మూడు అంకెల సంఖ్య 4A3, మరొక మూడు అంకెల సంఖ్య 984 కు కలుపగా ఏర్పడు సంఖ్య 13B7. ఈ సంఖ్య 11చే నిశ్శేషముగా భాగింపబడు తుంది. అయిన (A + B) కనుక్కోండి. .
సాధన.
ఇచ్చిన మూడంకెల సంఖ్యలు = 4A3, 984
∴ 4A3 + 984 = 13B7. ఇది 11 చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడిన
⇒ 1 3 B 7
(1 + B) – (3 + 7)
⇒ (B + 1) – 10 = 0 ⇒ B – 9 = 0
∴ B = 9

⇒ A + 8 = 9 ⇒ A = 9 – 8 = 1
∴ A = 1
∴ A + B = 1 + 9 = 10

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం Ex 15.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 15th Lesson సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం Exercise 15.2

ప్రశ్న 1.
345 A 7, 3 తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడిన ‘A’ యొక్క విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక సంఖ్య 3చే నిశ్శేషముగా భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం ‘3’ చే భాగింపబడవలెను.
∴ 345A7 → 3 + 4 + 5 + A + 7 = 3 × 7 → 19 + A = 21
A + 19 = 3 × 8 అయిన
⇒ A = 24 – 19 = 5
A = 5
A + 19 = 3 × 9
A = 27 – 19
A = 8
∴ A = 21 – 19 = 2
A = 2
∴ A = {2, 5, 8} అగును.

ప్రశ్న 2.
2791A, 9 తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడిన ‘A’ యొక్క విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక సంఖ్య ‘9’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడవలెనన్న ఆ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం ‘9’ చే భాగింపబడవలెను.
∴ 2791A → 2 + 7 + 9 + 1 + A = 9 × 3
⇒ 19 + A = 9 × 3= 27
⇒ A = 27 – 19 = 8
∴ A = 8

ప్రశ్న 3.
2, 3, 5, 9 మరియు 10తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడు కొన్ని సంఖ్యలు పేర్కొనండి.
సాధన.
2, 3, 5, 9 మరియు 10లతో భాగింపబడు సంఖ్యలు 90, 180, 270, 360, 450, ……..

ప్రశ్న 4.
2A8 అను సంఖ్య 2తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడిన, Aకు ఎన్ని విలువలు ఉండవచ్చు. ? ఏమి గమనించితిరి ?
సాధన.
2A8 అను సంఖ్య ‘2’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడవలెనన్న ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 0, 2, 4, 6, 8 అయి ఉండి మిగిలిన
పదుల స్థానంలోని అంకె ఏదైనా ఉండవచ్చు.
∴ A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

ప్రశ్న 5.
50B, 5తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడిన, B కు గల విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్య = 50B
ఒక సంఖ్య ‘5’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడవలెనన్న అందు ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ‘0’ లేదా ‘5’ అయి ఉండాలి.
⇒ B = {0, 5}
∴ 500 → \(\frac {0}{5}\) (R = 0)
505 → \(\frac {5}{5}\) (R = 0)
∴ B = 0 లేదా 5 అయిన 50B ‘5’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడును.

ప్రశ్న 6.
2P అను సంఖ్య 2తో, 3తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడిన, P విలువ కనుక్కోండి.
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్య = 2P
2తో, 3తో భాగింపబడవలెనన్న
P = 4 కావలెను [∵ 2 + P = 6 ⇒ P = 6 – 2 = 4)
∴ 2P = 24 → \(\frac {4}{2}\)(R = 0)
24 → 2 + 4 → \(\frac {6}{3}\)(R = 0)
∴ P = 4 కావలెను.

ప్రశ్న 7.
54z ను 5 తో భాగించిన 2 శేషము వచ్చును మరియు 3తో భాగించినపుడు 1 శేషం వచ్చును. అయిన ‘Z’ విలువ కనుగొనండి.
సాధన.
54z ను 3తో భాగించిన శేషం 1 వచ్చు సందర్భంలో
⇒ 5 + 4 + Z = (3 × 4) + 1
9 + z = 13
Z = 13 – 9 = 4 లేదా
9 + Z = (3 × 5) + 1 ⇒ 9 + z = 16 ⇒ z = 7
54z, 5 తో భాగింపబడవలెనన్న ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 0 లేదా 5 అయి ఉండవలెను.
= 54(0 + 2) = 542 (Z = 2)
54 (0 + 7) = 547 (Z = 7)
∴ పై రెండు సందర్భాల నుండి Z = 7 అగును.

ప్రశ్న 8.
27Q ను 5తో భాగించినపుడు 3 శేషము, 2తో భాగించినపుడు 1 శేషం వచ్చును. అయిన 3తో భాగించినపుడు వచ్చు శేషము కనుగొనుము.
సాధన.
27Q, 5 చే భాగించబడిన శేషం 3 వచ్చే సందర్భాలు
27Q = 27(0 + 3) = 273 (Z = 3) (T)
= 27 (0 + 8) = 278 (Z = 8)
27Q, 2చే భాగింపబడినపుడు శేషం 1 వచ్చు సందర్భాలు
27Q = 27(0 + 1) = 271 (Z = 1)
27Q = 27 (0 + 3) = 273 (Z = 3)(T)
∴ పై రెండు సందర్భాల నుండి Z = 3 అగును.
∴ 27Q = 273 → 2 + 7 + 3 → \(\frac {12}{3}\)(R= 0)
∴ 273, 3 చే భాగింపబడినపుడు శేషం ‘0’ అగును.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం Ex 15.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 15th Lesson సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం Exercise 15.1

ప్రశ్న 1.
భాజనీయతా సూత్రములుపయోగించి, క్రింది పట్టికలో ఇవ్వబడిన అంకెలు 2, 5, 10 తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడిన అవును అని, భాగింపబడని కాదు అని వ్రాయండి.

సాధన.

ప్రశ్న 2.
భాజనీయతా నియమము ద్వారా క్రింది సంఖ్యలలో ఏవి ‘2’ తో భాగింపబడునో తెలపండి.
(a) 2144
(b) 1258
(c) 4336
(d) 633
(e) 1352
సాధన.
ఒక సంఖ్య ‘2’ చే భాగింపబడవలెనన్న దాని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 0, 2, 4, 6, 8 అయి ఉండవలెను,
(a) 2144
(b) 1252
(c) 433
(d) 1352 లు “2 చే భాగింపబడును.

ప్రశ్న 3.
భాజనీయతా నియమము ద్వారా కింది సంఖ్యలలో ఏవి ‘5″ తో భాగింపబడునో తెలపండి.
(a) 438750
(b) 179015
(c) 125
(d) 639210
(e) 17852
సాధన.
ఒక సంఖ్య 5’చే భాగింపబడవలెనన్న దాని ఒకట్ల స్థానంలోని అంతె 0 లేదా 5 అయి ఉండవలెను.
(a) 438750
(b) 179015
(c) 125
(d) 639210 లు ‘5’చే భాగింపబడును.

ప్రశ్న 4.
భాజనీయతా నియమము ద్వారా కింది సంఖ్యలలో ఏవి ’10’ తో భాగింపబడునో తెలపంది.
(a) 54450
(b) 10800
(c) 7138965
(d) 7016930
(e) 10101010
సాధన.
ఒక సంఖ్య ’10’చే భాగింపబడవలెనన్న దాని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 0 (సున్నా) అయి ఉండవలెను.
(a) 54450
(b) 1080
(d) 7016930
(e) 10101010 లు ’10 చే భాగింపబడును.

ప్రశ్న 5.
కింది సంఖ్యలకు కారణాంకాల సంఖ్యను కనుగొనండి.
(a) 18 (b) 24 (c) 45 (d) 90 (e) 105
సాధన.

ప్రశ్న6.
2, 5 మరియు 10తో భాగింపబడే ఏవైనా 5 సంఖ్యలను తెలపండి.
సాధన.
2, 5 మరియు 10తో భాగింపబడే సంఖ్యలు 10, 20, 30, 40, 50 ……..

ప్రశ్న 7.
34A అను సంఖ్య ‘2’తో నిశ్శేషముగా భాగింపబడును. 5తో భాగింపబడిన శేషము ‘1’ అయిన ‘A’ విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
34A, 2చే భాగింపబడిన శేషం 0 కావలెనన్న (A = (0, 2, 4, 6, 8 కావలెను)
∴ 340, 342, 344, 346, 348 లలో 5చే భాగించగా శేషం ‘1’ వచ్చు సంఖ్య 346
∴ 346 → \(\frac {6}{5}\) (R = 1)
∴ కావలసిన A విలువ 6.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 ప్రాథమిక అంకగణితం Ex 6.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 6th Lesson ప్రాథమిక అంకగణితం Exercise 6.4

ప్రశ్న 1.
కిందనీయబడిన శాతాలను భిన్నాలుగా కనిష్ఠ రూపంలో రాయండి.
(అ) 15% (ఆ) 35% (ఇ) 50% (ఈ) 75%
సాధన.

ప్రశ్న 2.
కిందనీయబడిన భిన్నాలని శాత రూపంలో రాయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 3.
కిందనీయబడిన నిష్పత్తులను శాత రూపంలో రాయండి.
(అ) 3 : 5
(ఆ) 5 : 8
(ఇ) 2.5 : 55
(ఈ) 4 : 36
సాధన.

ప్రశ్న 4.
కిందనీయబడిన శాతాలను నిష్పత్తులుగా కనిష్ఠ రూపములుగా రాయండి.
(అ) 12%
(ఆ) 25%
(ఇ) 45%
(ఈ) 84%
సాధన.

ప్రశ్న 5.
కిందనీయబడిన శాతాలను దశాంశరూపంలో రాయండి.
(అ) 1%
(ఆ) 6%
(ఇ) 19%
(ఈ) 67%
సాధన.
(అ) 1% = \(\frac {1}{100}\) = 0.01
(ఆ) 6% = \(\frac {6}{100}\) = 0.06
(ఇ) 19% = \(\frac {19}{100}\) = 0.19
(ఈ) 67% = \(\frac {67}{100}\) = 0.67

ప్రశ్న 6.
కిందనీయబడిన దశాంశాలను శాత రూపంలో రాయండి.
(అ) 0.04
(ఆ) 0.52
(ఇ) 0.125
(ఈ) 0.0006
సాధన.
(అ) 0.04 = \(\frac{0.04}{1} \times \frac{100}{100}=\frac{4}{100}\) = 4%
(ఆ) 0.52 = \(\frac{0.52}{1} \times \frac{100}{100}=\frac{52}{100}\) = 52%.
(ఇ) 0.125 = \(\frac{0.125}{1} \times \frac{1000}{1000}=\frac{125}{1000}\) = 12.5%
(ఈ) 0.0006 = \(\frac{0.0006}{1} \times \frac{10000}{10000}=\frac{6}{10000}\) = 0.06%

ప్రశ్న 7.
75 లో 12\(\frac {1}{2}\)% ను కనుగొనండి.
సాధన.
75 లో 12\(\frac {1}{2}\) % = 75 × 12\(\frac {1}{2}\)%
= 75 × \(\frac {25}{2}\) %
= 75 × \(\frac {25}{2}\) × \(\frac {1}{100}\) = \(\frac {75}{8}\) = 9.375
75 లో 12\(\frac {1}{2}\) % = 9.375

ప్రశ్న 8.
గణిత పరీక్షయందు పావని 85% మార్కులు పొందింది. పరీక్ష పేపరు 80 మార్కులకు ఇవ్వబడిన పావనికి వచ్చిన మార్కులను కనుగొనండి.
సాధన.
గణిత పరీక్షయందు పావనికిచ్చిన మార్కుల శాతం = 85% .
గణిత పరీక్షకు ఇవ్వబడిన మార్కులు = 80
పావనికి గణిత పరీక్షలో వచ్చిన మార్కులు = 80 లో 85%
= 80 × \(\frac {85}{100}\)
= 4 × 17 = 68

ప్రశ్న 9.
తన నెలసరి ఆదాయంలో శివ 78% ఖర్చు చేస్తున్నాడు. నెలకి ₹ 7,700/-లు శివ ఆదా చేస్తున్నా తన నెలసరి ఆదాయం ఎంత?
సాధన.
శివ నెలసరి ఆదాయంలో అతని ఖర్చు శాతం = 78%
శివ తన నెలసరి ఆదాయంలో ఆదా చేస్తున్న సొమ్ము శాతము = 100 – 78 = 22%
శివ ఆదా చేస్తున్న సొమ్ము = ₹ 7700
∴ x లో 22% = 7,700
⇒ x × \(\frac {22}{100}\) = 7,700
⇒ x = 7700 × \(\frac {100}{22}\)
⇒ x = ₹35,000
∴ శివ నెలసరి ఆదాయం = ₹35,000
(లేదా)
(అనుపాతంను ఉపయోగించి)
ఖర్చు సొమ్ము = ₹ అనుకొనుము.
ఆదాసొమ్ము : ఆదాశాతం = ఖర్చు సొమ్ము : ఖర్చు శాతం

శివ ఖర్చు = ₹27,300
శివ ఆదాయం = ఖర్చు + ఆదా
= 7,700 + 27,300 = ₹ 35,000
(లేదా)
శివ ఆదా 22% అయితే శివ ఆదాయం 100% అవుతుంది. ఆదాయం x అనుకొనుము.
ఆదా సొమ్ము : ఆదా నిష్పత్తి = ఆదాయం : 100

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 ప్రాథమిక అంకగణితం Ex 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 6th Lesson ప్రాథమిక అంకగణితం Exercise 6.3

ప్రశ్న 1.
3 ఆపిల్ పండ్ల ధర ₹60 అయిన 7 ఆపిల్ పండ్ల ధర ఎంత?
సాధన.
3 ఆపిల్ పండ్ల ధర = ₹60
1 ఆపిల్ పండు ధర = \(\frac {60}{3}\) = ₹ 20
∴ 7 ఆపిల్ పండ్ల ధర = 7 × ₹20 = ₹140

ప్రశ్న 2.
ఉమ 8 పుస్తకాలను ₹ 120 లకు కొన్నది. 5 పుస్తకాల ధరను కనుగొనండి.
సాధన.
ఉమ కొన్న 8 పుస్తకాల ధర = ₹120
ఒక పుస్తకం ధర = \(\frac {120}{8}\) = ₹ 15
∴ 5 పుస్తకాల ధర = 5 × 15 = ₹ 75

ప్రశ్న 3.
5 గాలిపంకాల (fans) ధర ₹ 11,000 అయిన ₹ 4,400 లకు ఎన్ని గాలిపంకాలు వచ్చును ?
సాధన.
5 గాలి పంకాల (fans) ధర = ₹11,000
1 గాలి పంకా ధర : \(\frac {11000}{5}\) = 11000 × \(\frac {1}{5}\) = ₹ 2200
₹ 4400 లకు వచ్చు గాలి పంకాలు = 4400 ÷ 2200 = 4000 × \(\frac {1}{2200}\) = 2

ప్రశ్న 4.
స్థిర వేగంతో ప్రయాణిస్తున్న కారు 3 గంటలలో 180 కి.మీ. ప్రయాణిస్తుంది. అదే కారు అంతే వేగంతో 420 కి.మీ. దూరాన్ని ప్రయాణించుటకు ఎంత సమయం పడుతుంది?
సాధన.
3 గంటలలో కారు ప్రయాణించు దూరం = 180 కి.మీ.
1 గంటలో కారు ప్రయాణించు దూరం = 180 కి.మీ. ÷ 3 = 180 × \(\frac {1}{3}\) = 60 కి.మీ.
420 కి.మీ. దూరాన్ని ప్రయాణించుటకు ఆ కారుకు పట్టే సమయం = 420 ÷ 60 = 420 × \(\frac {1}{60}\) = 7 గంటలు

ప్రశ్న 5.
ఒక ట్రక్కు 594 కి.మీ. దూరాన్ని ప్రయాణించుటకు 108 లీ. డీజిల్ అవసరం. అదే ట్రక్కు అదే వేగంతో 1650 కి.మీ. దూరాన్ని ప్రయాణించుటకు ఎన్ని లీటర్ల డీజిల్ అవసరం?
సాధన.
108 లీ. డీజిల్ తో ఒక ట్రక్కు ప్రయాణించే దూరం = 594 కి.మీ.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 బీజ గణిత పరిచయం InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 7th Lesson బీజ గణిత పరిచయం InText Questions

ప్రయత్నించండి [పేజి నెం. 107, 108]

ప్రశ్న 1.
రెండు అగ్గిపుల్లలను అమర్చి పక్క అమరికను ఏర్పరచండి.

ఇలాంటి రూపాలు 2సార్లు, 3సార్లు, 4సార్లు ఏర్పరచి, ఈ అమరికకు తగిన సూత్రంను కనుగొనండి.
సాధన.

సూత్రం : n వ అమరికకు కావలసిన అగ్గిపుల్లల సంఖ్య = 2 × n = 2n

ప్రశ్న 2.
రీటా అగ్గిపుల్లలతో పక్క అమరికను ఏర్పరచింది. ఆమె దీనిని కొనసాగించి కావలసిన అగ్గిపుల్లల సంఖ్య = 6y, y అనునది ఏర్పరచబడే పక్కరూపాలు అనే నియమం కనుగొన్నది? దీనిని నీవు అంగీకరిస్తావా? వివరిస్తూ, ఇలాంటి 5 అమరికలను ఏర్పరచటానికి కావలసిన అగ్గిపుల్లల సంఖ్యను కనుగొనండి.

సాధన.
రీటా కనుగొన్న నియమంతో ఏకీభవిస్తాను.
వివరణ:

సూత్రం : 5 అమరికలను ఏర్పరచటానికి కావలసిన అగ్గిపుల్లల సంఖ్య = 5 × 6 = 30
6 × y = 6y

ప్రశ్న 3.
కింది ఆకారాలను అమర్చడానికి అగ్గిపుల్లల సంఖ్యను పరిశీలించండి.

(i) పై అమరికలో ప్రతీ ఆకారాల సమూహానికి కావలసిన అగ్గిపుల్లల సంఖ్యకు సూత్రం కనుగొనండి.
(ii) పై విధంగా ఉండే12 ఆకారాల సమూహాల అమరికకు కావలసిన అగ్గిపుల్లల సంఖ్యను తెల్పండి.
సాధన.

(i) సూత్రం : n వ ఆకారంలో అగ్గిపుల్లల సంఖ్య = 2 × n + 1
(ii) 12 ఆకారాల సమూహాల అమరికకు కావలసిన అగ్గిపుల్లల సంఖ్య = 2 × 12 + 1 = 24 + 1 = 25.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 110]

ఇచ్చిన ఉదాహరణ ప్రకారం కింది పట్టికలో మిగిలిన వాటిని రాయండి.

సాధన.

ప్రయత్నించండి [పేజి నెం. 111]

ప్రశ్న 1.
దీర్ఘచతురస్ర చుట్టుకొలత కనుక్కోవడానికి సాధారణ సూత్రం కనుగొనండి. (పొడవుకు ‘l’, వెడల్పుకు ‘b’ అనే చరరాశులను తీసుకోండి)
సాధన.

దీర్ఘచతురస్రము చుట్టుకొలత
= పొడవు + వెడల్పు + పొడవు + వెడల్పు
= 2 పొడవులు + 2 వెడల్పులు
= 2l + 2b (ఇక్కడ పొడవును l, వెడల్పును b గా తీసుకొన్నాము)
= 2(l + b) (విభాగన్యాయం)
∴ దీర్ఘచతురస్ర చుట్టుకొలత = 2(l + b)

ప్రశ్న 2.
చతురస్ర వైశాల్యం కనుగొనడానికి సాధారణ సూత్రం రాయండి. (చతురస్ర భుజాన్ని 8 అనే చరరాశితో గుర్తించండి)
సాధన. చతురస్ర వైశాల్యం = భుజం × భుజం
= s × s (చతురస్రభుజాన్ని S గా గుర్తించాము)

పేజి నెం. 112

1. కింది సంఖ్యల అమరికకు nవ పదం రాయండి.

ప్రశ్న (అ)
3, 6, 9, 12, ………….
సాధన.
ఇవ్వబడిన సంఖ్యల అమరిక 3, 6, 9, 12, ……………….

మొదటి సంఖ్య = 3 × 1
రెండవ సంఖ్య = 3 × 2
‘n’ వ సంఖ్య : 3 × n = 3n
కావున, 3, 6, 9, 12, …….. అమరికలో ‘n’ వ పదం = 3n

ప్రశ్న (ఆ)
2, 5, 8, 11, …………..
సాధన.
ఇవ్వబడిన సంఖ్యల అమరిక 2, 5, 8, 11, ……

మొదటి సంఖ్య = 2 = 3 × 1 – 1
రెండవ సంఖ్య = 5 = 3 × 2 – 1
మూడవ సంఖ్య = 8 = 3 × 3 – 1
‘n’ వ సంఖ్య = n = 3 × n – 1 = 3n – 1
కావున, 2, 5, 8, 11, ….. అమరికలో ‘n’ వ పదం = 3n – 1

ప్రశ్న (ఇ)
21, 4, 9, 16, …………
సాధన.
ఇవ్వబడిన సంఖ్యల అమరిక 1, 4, 9, 16, …….

మొదటి సంఖ్య = 1 = 1 × 1
రెండవ సంఖ్య = 4 = 2 × 2
మూడవ సంఖ్య = 9 = 3 × 3
‘n’వ సంఖ్య = n = n × n = n²
కావున, 1, 4, 9, 16….. అమరికలో ‘n’ వ పదం = n²

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 113]

ప్రశ్న 1.
కింది పట్టికను పూర్తిచేసి \(\frac {P}{3}\) = 4 అనే సమీకరణంను సంతృప్తి పరిచే ‘p’.

సాధన.

\(\frac {P}{3}\) = 4 అనే సమీకరణంను సంతృప్తిపరిచే p విలువ = 12

2. కింది సమీకరణాలలో LHS మరియు RHS లను గుర్తించి, రాయండి.

ప్రశ్న (అ)
2x + 1 = 10
సాధన.
2x + 1 = 10
L.H.S = 2x + 1
R.H.S = 10

ప్రశ్న (ఆ)
9 = y – 2
సాధన.
9 = y – 2
LHS = 9
RHS = y – 2

ప్రశ్న (ఇ)
3p + 5 = 2p + 10
సాధన.
LHS = 3p + 5
RHS = 2p + 10

ప్రశ్న 3.
ఏవైనా రెండు సామాన్య సమీకరణాలు రాసి, వాటి యొక్క LHS మరియు RHS లను తెలపండి.
సాధన.
(i) 3x + 4 = 19
L.H.S = 3x + 4
RHS = 19

(ii) 8 = 7y – 6
LHS = 8
RHS = 7y – 6

ప్రయత్నించండి [పేజి నెం. 114]

ప్రశ్న 1.
3m = 15 అనే సమీకరణాన్ని పరిశీలించి, m అనే చరరాశి యొక్క ఏ విలువకు సమీకరణంలో LHS మరియు RHS లు సమానమైనాయో చూడండి.
సాధన.
m = 5 అయినప్పుడు ఇచ్చిన సమీకరణంలో LHS మరియు RHS లు సమానం అవుతాయి.
∴ 3m = 15 సమీకరణ సాధన m = 5.

ఉదాహరణలు

ప్రశ్న 1.
రాము వద్ద రహీం వద్ద కన్నా 3 పెన్సిళ్ళు ఎక్కువ ఉన్నాయి. రహీం వద్ద గల పెన్సిళ్లను బట్టి రాము వద్ద గల పెన్సిళ్ల సంఖ్యకు సూత్రం రాయండి.
సాధన.
రహీం వద్ద 2 పెన్సిళ్లు ఉంటే రాము వద్ద ఉండేవి 2 + 3 = 5 పెన్సిళ్లు.
రహీం వద్ద 5 పెన్సిళ్లు ఉంటే రాము వద్ద ఉండేవి 5 + 3 = 8 పెన్సిళ్లు.
రహీం వద్ద ఎన్ని పెన్సిళ్లున్నవో తెలియదు.
కాని మనకు తెల్సింది రాముని వద్ద గల పెన్సిళ్లు = రహీం పెన్సిళ్లు + 3
అందుచే రహీం వద్దగల పెన్సిళ్ల సంఖ్యను ‘n’ అనుకుంటే రాము వద్ద గల పెన్సిళ్ల సంఖ్య = n + 3 అగును.
ఇచ్చట n = 1, 2, 3, …………… అగును. అందుచే ‘n’ అనేది ఒక చరరాశి.

ప్రశ్న 2.
హేమ, మాధవి ఇద్దరు అక్కచెల్లెళ్లు. మాధవి, హేమకన్నా 3 సంవత్సరాలు చిన్నది. మాధవి వయస్సును, హేమ వయస్సుతో పోల్చి సూత్రం రాయండి.
సాధన.
మాధవి, హేమకన్నా 3 సంవత్సరాలు ‘చిన్నది’ అని ఇవ్వబడింది.
హేమ వయస్సు 10 సంవత్సరాలు అయితే మాధవి వయస్సు 10 – 3 = 7 సంవత్సరాలు.
హేమ వయస్సు 16 సంవత్సరాలు అయితే మాధవి వయస్సు 16 – 3 = 13 సంవత్సరాలు.
హేమ వయస్సు కచ్చితంగా తెలియనప్పుడు, ఏ వయస్సును తీసుకున్ననూ, మాధవి వయస్సు తెలుసుకోవాలి.
హేమ వయస్సు ‘p’ సంవత్సరాలు అయితే మాధవి వయస్సు “p – 3” సంవత్సరాలు అగును.
ఇచ్చట ‘p’ అనేది చరరాశికి ఉదాహరణ. దీనికి 3, 4, 5, …… వంటి విలువలు ఇస్తాం.
దీని నుండి ‘p’ = 10 అయిన ‘p – 3’ = 7 అయిన p = 16 అయితే p – 3 = 13 అని తెలుస్తుంది.

ప్రశ్న 3.
కింది సమాసాలకు వాక్యాలను రాయండి.
(i) 2p
(ii) 7 + x
సాధన.
(i) సీమ వద్ద ఉన్న డబ్బుకు రెట్టింపు డబ్బు రాజు వద్ద ఉంది.
(ii) దిలిప్ వద్ద కంటే నా వద్ద 7 గోళీలు ఎక్కువగా ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 4.
మనోజ్ చిక్కుడు విత్తనాల కన్నా, వేరుశనగ విత్తనాలను 5 ఎక్కువగా నాటాడు. అయిన వేరుశనగ విత్తనాలు ఎన్ని?
సాధన.
నాటిన చిక్కుడు విత్తనాలు = m అనుకొనండి. అందుచే నాటిన వేరుశనగ విత్తనాల సంఖ్య = ‘m + 5’ అగును.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 బీజ గణిత పరిచయం Unit Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 7th Lesson బీజ గణిత పరిచయం Unit Exercise

ప్రశ్న 1.
ఒక ఫ్యాన్ ధర ₹1500 అయిన ‘n’ ఫ్యాన్ల ధర ఎంత?
సాధన.
ఒక ఫ్యాన్ ధర = ₹ 1500
n ఫ్యాన్ల ధర = ₹ 1500 × n = ₹ 1500n

ప్రశ్న 2.
శ్రీను దగ్గర కొన్ని పెన్సిళ్లు ఉన్నాయి. రహీం దగ్గర శ్రీను దగ్గర ఉన్న పెన్సిళ్లకు 4 రెట్లు ఎక్కువ పెన్సిళ్లు ఉన్నాయి. అయితే రహీం దగ్గర గల పెన్సిళ్లను ఒక సమాస రూపంలో రాయండి.
సాధన.
శ్రీను దగ్గర గల పెన్సిళ్లు = p అనుకొందాం.
రహీం దగ్గర శ్రీను దగ్గర గల పెన్సిళ్లకు 4 రెట్లు పెన్సిళ్లు కలవు.
∴ రహీం దగ్గర గల పెన్సిళ్లు = 4 × p = 4p

ప్రశ్న 3.
సోఫియా దగ్గర కంటే పార్వతి దగ్గర 5 పుస్తకాలు ఎక్కువగా ఉన్నాయి. పార్వతి దగ్గర ఎన్ని పుస్తకాలున్నాయి? పుస్తకాల సంఖ్యను సూచించడానికి ఏదేని ఒక చరరాశిని తీసుకొని సమాసంను రాయండి.
సాధన.
సోఫియా దగ్గర గల పుస్తకాలు = x అనుకొందాం.
సోఫియా దగ్గర పార్వతి దగ్గర 5 పుస్తకాలు ఎక్కువ కలవు.
∴ పార్వతి దగ్గర గల పుస్తకాలు = x + 5

ప్రశ్న 4.
కింది వానిలో సమీకరణాలు ఏవి?
(అ) 10 – 4p = 2
(ఆ) 10 + 8 = p – 22
(ఇ) x + 5 = 8
(ఈ) m + 6 = 2
(ఉ) 22x – 5 = 8
(ఊ) 4k + 5 > 100
(ఋ) 4p + 7 = 23
(ౠ) y < – 4
సాధన.
(అ) 10 – 4p = 2 – సమీకరణము
(ఆ) 10 + 8 = p – 22 – సమీకరణము
(ఇ) x + 5 = 8 – సమీకరణము
(ఈ) m + 6 = 2 – సమీకరణము
(ఉ) 22x – 5 = 8 – సమీకరణము
(ఊ) 4k + 5 > 100 – సమీకరణము కాదు
(ఋ) 4p + 7 = 23 – సమీకరణము
(ౠ) y < – 4 – సమీకరణము కాదు

5. కింది సమీకరణాలకు L.H.S మరియు R.H.S లను రాయండి.

ప్రశ్న (అ)
7x + 8 = 22
సాధన.
7x + 8 = 22
LHS = 7x + 8
RHS = 22

ప్రశ్న (ఆ)
9y – 3 = 6
సాధన.
9y – 3 = 6
LHS = 9y – 3
RHS = 6

ప్రశ్న (ఇ)
3k – 10 = 2 4
సాధన.
3k – 10 = 2
LHS = 3k – 10
RHS = 2

ప్రశ్న (ఈ)
3p – 4q = 19
సాధన.
3p – 4q = 19
LHS = 3p – 4q
RHS = 19

6. యత్నదోష పద్ధతిలో కింది సమీకరణాలను సాధించండి.

ప్రశ్న (అ)
x – 3 = 5
సాధన.

అవును x = 8 అయిన LHS = RHS
∴ x – 3 = 5 యొక్క సాధన x = 8

ప్రశ్న (ఆ)
y + 6 = 15
సాధన.

y = 9 అయిన LHS = RHS
కావున y + 6 = 15 యొక్క సాధన y = 9

ప్రశ్న (ఇ)
\(\frac {m}{2}\)
సాధన.

m = 2 అయిన LHS = RHS కావున \(\frac {m}{2}\) = 1 యొక్క సాధన m = 2.

ప్రశ్న (ఈ)
2k – 1 = 3
సాధన.

k= 2 అయిన LHS = RHS.
కావున 2k – 1 = 3 యొక్క సాధన k = 2.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 బీజ గణిత పరిచయం Ex 7.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 7th Lesson బీజ గణిత పరిచయం Exercise 7.3

ప్రశ్న 1.
కింది వానిలో ఏవి సమీకరణాలో తెలపండి.
(అ) x – 3 =7
(ఆ) l + 5 > 9
(ఇ) p – 4 < 10
(ఈ) 5 + m = – 6
(ఉ) 2s – 2 = 12
(ఊ) 3x + 5
సాధన.
(అ) x – 3 = 1 సమీకరణము
(ఆ) l + 5 > 9 సమీకరణము కాదు
(ఇ) p – 4 < 10 సమీకరణము కాదు
(ఈ) 5 + m = – 6 సమీకరణము
(ఉ) 2s – 2 = 12 సమీకరణము
(ఊ) 3x + 5 సమీకరణము కాదు

2. కింది సమీకరణాలలో LHS మరియు RHS లను తెలపండి.

ప్రశ్న (అ)
x – 5 = 6
సాధన.
x – 5 = 6
LHS = x – 5
RHS = 6

ప్రశ్న (ఆ)
4y = 12
సాధన.
4y = 12
LHS = 4y
RHS = 12

ప్రశ్న (ఇ)
2z + 3 = 7
సాధన.
2z + 3 = 7
LHS = 2z + 3
RHS = 7

3. కింది సమీకరణాలను యత్న-దోష పద్దతిలో సాధించండి.

ప్రశ్న (అ)
x + 3 = 5
సాధన.
x + 3 = 5

x = 2 అయిన ఇచ్చిన సమీకరణం x + 3 = 5 యొక్క LHS = RHS అవుతున్నది.
∴ x + 3 = 5 యొక్క సాధన (మూలం) x = 2.

ప్రశ్న (ఆ)
y – 2 = 7
సాధన.
y – 2 = 7

y = 9 అయిన LHS = RHS అవుతున్నది.
కావున y – 2 = 7 యొక్క సాధన y = 9.

ప్రశ్న (ఇ)
a + 4 = 9
సాధన.
a + 4 = 9

a = 5 అయిన LHS = RHS అవుతున్నది.
కావున a + 4 = 9 యొక్క సాధన a = 5.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 బీజ గణిత పరిచయం Ex 7.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 7th Lesson బీజ గణిత పరిచయం Exercise 7.2

ప్రశ్న 1.
కింది వాక్యాలకు తగిన సమాసాలు రాయండి.
(i) ‘Z’ యొక్క మూడు రెట్లకు 5 కలపబడింది.
(ii) ‘n’ యొక్క 9 రెట్లకు 10 కలపబడింది.
(iii) ‘y’ యొక్క రెట్టింపు నుండి 16 తీసివేయబడింది.
(iv) 10 చే ‘y’ ను గుణించి లబ్దానికి ‘X’ కలపబడింది.
సాధన.
(i) 3z + 5
(ii) 9n + 10
(iii) 2y – 16
(iv)10y + x

ప్రశ్న 2.
పీటర్ వద్ద ‘p’ సంఖ్య గల బంతులు కలవు. డేవిడ్ వద్ద పీటర్ కన్నా అదే రకమైన బంతులు మూడు రెట్లు కలవు. దీనిని సమానంగా రాయండి.
సాధన.
పీటర్ వద్ద బంతుల సంఖ్య = p
డేవిడ్ వద్ద పీటర్ కన్నా మూడు రెట్లు బంతులు కలవు.
∴ డేవిడ్ వద్ద గల బంతులు = 3p

ప్రశ్న 3.
గీత వద్ద ఉన్న పుస్తకాల కన్నా సీత వద్ద 3 పుస్తకాలు ఎక్కువగా ఉన్నాయి. సీత వద్ద గల పుస్తకాలు ఎన్ని?
(గీత వద్ద ఉండే పుస్తకాల సంఖ్యను ఏదైనా చరరాశితో గుర్తించు)
సాధన.
గీత వద్ద గల పుస్తకాల సంఖ్య = X అనుకొనుము
గీత వద్ద గల పుస్తకాల కన్నా సీత వద్ద 3 పుస్తకాలు ఎక్కువగా కలవు.
∴ సీత వద్ద గల పుస్తకాల సంఖ్య = x + 3

ప్రశ్న 4.
ఒక కవాతులో ప్రతి వరుసకు 5 గురు సైనికులు ఉన్నారు. మొత్తం కవాతులో పాల్గొన్న సైనికుల సంఖ్య తెలుసుకోవడానికి సూత్రం కనుగొనండి. (వరుసల సంఖ్యను ‘n’ అనే చరరాశితో గుర్తించు)
సాధన.
ఒక కవాతులోని ప్రతి వరుసలో గల సైనికుల సంఖ్య = 5
కవాతులోని వరుసల సంఖ్య = n అనుకొనుము.
కవాతులో పాల్గొన్న మొత్తం సైనికుల సంఖ్య = 5 × n = 5n