Category: Class 10

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాలు వర్గ సమీకరణాలో, కాదో తెలపండి. (పేజీ నెం. 102)
(i) x² – 6x – 4 = 0
సాధన.
x² – 6x – 4 = 0
అవును. ఇది వర్గ సమీకరణమే.

(ii) x³ – 6x² + 2x – 1 = 0
సాధన.
x² – 6x² + 2x – 1 = 0
కాదు. ఇది వర్గ సమీకరణము కాదు. ఎందుకనగా దీని పరిమాణము 3.

(iii) 7x = 2x²
సాధన.
7x = 2x² అవును. ఇది వర్గ సమీకరణమే.

(iv) x² + \(\frac{1}{x^{2}}\) = 2
సాధన.
x² + \(\frac{1}{x^{2}}\) = 2
⇒ \(\) = 2
⇒ x⁴ – 2x² + 1 = 0
కాదు. ఇది వర్గ సమీకరణము కాదు. ఎందుకనగా పరిమాణము 4.

v) (2x + 1) (3x + 1) = b(x – 1) (x – 2)
సాధన. (2x + 1) (3x + 1) = b(x – 1) (x – 2)
కాదు. ఇది వర్గ సమీకరణము కాదు. ఎందుకనగా
ఇరువైపులా x- గుణకము

(vi) 3y² = 192.
సాధన.
3y² = 192
అవును. ఇది వర్గ సమీకరణమే.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
1 మరియు \(\frac{3}{2}\) లు 2x² – 5x + 3 = 0 యొక్క మూలాలవుతాయేమో సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 107)
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 2x² – 5x + 3 = 0
x = 1 ⇒ 2(1)² – 5(1) + 3 = 0.
2 – 5 + 3 = 0
5 – 5 = 0
0 = 0.
x = \(\frac{3}{2}\) ⇒ 2 (\(\frac{3}{2}\))² – 5 (\(\frac{3}{2}\)) + 3 = 0
⇒ 2(\(\frac{9}{4}\)) – \(\frac{15}{2}\) + 3 = 0
⇒ \(\frac{9-15+6}{2}\) = 0
⇒ \(\frac{0}{2}\) = 0
⇒ 0 = 0
∴ x = 1 మరియు x = \(\frac{3}{2}\) వర్గ సమీకరణాన్ని తృప్తి పరుస్తున్నాయి. కావున మూలాలు అవుతాయి.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
వర్గమును పూర్తి చేయుట ద్వారా క్రింది వర్గ సమీకరణాలను సాధించుము. (పేజీ నెం. 113)
(i) x² – 10x + 9 = 0
సాధన.
x² – 10x + 9 = 0.
x² – 10x = – 9
x² – 2.x.5 = – 9
x² – 2.x.5 + 5² = – 9 + 5²
(ఇరువైపులా 5² కలుపగా)
(x – 5)² = – 9 + 25
[∵ a² – 2ab + b² = (a – b)²]
(x – 5)² = 16
∴ x – 5 = √16 = ± 4
x – 5 = 4 లేదా x – 5 = – 4
x = 4 + 5 = 9 లేదా x = – 4 + 5 = 1
x = 9 లేదా 1.

(ii) x² – 5x + 5 = 0
సాధన.
x² – 5x + 5 = 0
x² – 5x = – 5
x² – 2.x.\(\frac{5}{2}\) + (\(\frac{5}{2}\))² = – 5 + (\(\frac{5}{2}\))²
(ఇరువైపులా (\(\frac{5}{2}\))² ను కలుపగా)

(iii) x² + 7x – 630
సాధన.
x² + 7x – 6 = 0
x² + 7x = 6
x² + 2. \(\frac{1}{2}\).x.7 = 6
x² + 2.x.\(\frac{7}{2}\) + (\(\frac{7}{2}\))² = 6 + (\(\frac{7}{2}\))²
(ఇరువైపులా (\(\frac{7}{2}\))² ను కలుపగా,

అలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
ఒక వర్గ సమీకరణమును సాధించుటకు పై మూడు పద్ధతులలో నీవు ఏ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తావు ? (పేజీ నెం. 115)
సాధన.
సందర్భాన్ని బట్టి వర్గ సమీకరణ సాధనకు ఇచ్చిన మూడు పద్ధతులలో ఏదో ఒక దానిని ఎన్నుకొంటాను.
సందర్భం -1:
వర్గ సమీకరణం ax² + bx + c = 0 లోని మధ్య పదంలోని x గుణకం b ని p + q = b మరియు p × q = a × c గా రాయగలిగినప్పుడు కారణాంక పద్ధతిని ఎన్నుకొంటాను.

సందర్భం – 2:
వర్గ సమీకరణం ax² + bx + c = 0 కచ్చిత వర్గంగా రాయగల సందర్భంలో వర్గం పూర్తి చేయు పద్ధతిని ఎన్నుకొంటాను.

సందర్భం – 3:
పై రెండు సందర్భాలు సాధ్యం కానప్పుడు లేదా ఎలాంటి వర్గ సమీకరణాన్ని సాధించే సందర్భంలోనైనా వర్గ సూత్ర పద్ధతిని ఎన్నుకొంటాను.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
ఒక వర్గ సమీకరణమును సాధించటానికి ముందు దాని యొక్క విచక్షణిని కనుగొనటం వల్ల కలిగే లాభం ఏమిటో వివరించండి. దీని విలువ ఎందుకు ముఖ్యమైనది ? (పేజీ నెం. 122)
సాధన.ఒక వర్గ సమీకరణమును సాధించుటానికి ముందు దాని యొక్క విచక్షణి (D = b² – 4ac) ని కనుగొనటం వలన ఆ వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు వాస్తవాలా, కాదా నిర్ణయించగలము. అలాగే మూలాలు వాస్తవాలైతే సమానాలా, విభిన్నాలా అని తెలుసుకొనగలము.

ఈ విచక్షణి విలువ ఆధారంగా ఇచ్చిన సమస్యల సాధన సందర్భంలో వాస్తవ మూలాలు లేనిచో సమస్యకు వాస్తవ సాధనలు లేవని నిర్ణయిస్తాము.
విచక్షణి D = b² – 4ac విలువపై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు ఆధారపడి ఉంటాయి. కావున దీని విలువ వర్గ సమీకరణ సాధనలో చాలా ముఖ్యమైనది.

ప్రశ్న 2.
మూడు వేరువేరు .వర్గ సమీకరణాలను తయారు చేయుము. అందులో ఒకటి రెండు వేరువేరు వాస్తవ మూలాలను, మరియొకటి రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలను, ఇంకొకటి వాస్తవ మూలాలను కలిగిలేని విధంగా ఉండాలి. (పేజీ నెం. 122)
సాధన.
(1) x² + 2x – 3 = 0,
b² – 4ac = 2² – 4.1. (- 3)
= 4 + 12 = 16 > 0 .

(2) x² + 2x + 1 = 0 .
b² – 4ac = 2² – 4 (1) (1) = 4 – 4 = 0

(3) x² + 2x + 3 = 0
b² – 4ac = 2² – 4 (3) (1)
= 4 – 12 = – 8 < 0
(1) మూలాలు వాస్తవాలు, విభిన్నాలు.
(2) మూలాలు వాస్తవాలు, సమానాలు.
(3) మూలాలు సంకీర్ణాలు.

ఉదాహరణలు :

ప్రశ్న 1.
రాణి వద్ద ఒక చతురస్రాకారపు లోహపు రేకు గలదు పటంలో చూపిన విధంగా దీని నాలుగు మూలం నుంచి 9 సెం.మీ. భుజంగల చతురస్రాలను తొలగించి మిగిలిన భాగంతో ఒక మూతలేని పెట్టెను తయారుచేసింది ఇలా తయారైన పెట్టె యొక్క ఘనపరిమాణము 144 ఘ. సెం.మీ. అయిన మొదట తీసుకున్న లోహపు రేకు యొక్క భుజం పొడవును కనుగొనగలమా ? (పేజీ నెం. 101)
సాధన.
చతురస్రాకారపు లోహపు రేకు భుజం పొడవు x సెం.మీ. అనుకొనిన తయారుచేయబడిన పెట్టె యొక కొలతలు 9 సెం.మీ. × (x – 18) సెం.మీ. × (x – 18) సెం.మీ.
పెట్టె యొక్క ఘనపరిమాణము 144 సెం.మీ
కనుక 9 (x – 18) (x – 18) = 144
(x – 18)² = 16
x² – 36x + 308 = 0

అనగా పై సమీకరణమును తృప్తిపరచే ‘x’ విలువే మొదట తీసుకున్న లోహపు రేకు యొక్క భుజం అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
క్రింది వానికి సరియగు సమీకరణాలను రాయుము కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 103)
(i) రాజు మరియు రాజేందర్ ఇద్దరి వద్ద కలిపి 45 గోళీలు కలవు. అయితే ఇద్దరూ చెరి 5 గోళీలను పోగొట్టుకున్నారు. ఇద్దరి వద్ద మిగిలిన గోళీల సంఖ్య యొక్క లబ్దము 124 అయిన ఇద్దరి వద్ద మొదట వున్న గోళీల సంఖ్యను కనుగొనుటకు అవసరమయ్యే సమీకరణమును కనుగొనుము/ రాయుము.
(ii) ఒక లంబకోణ త్రిభుజము యొక్క కర్ణము 25 సెం.మీ. మిగిలిన రెండు భుజాల పొడవుల భేదము 5 సెం.మీ. అని ఇవ్వబడింది. అయిన మిగిలిన రెండు భుజాల పొడవులను కనుగొనుటకు అవసరమయ్యే సమీకరణమును రాయుము.
సాధన.
1) రాజు వద్ద గల గోళీల సంఖ్య ‘x’ అనుకొనిన రాజేందర్ వద్ద గల గోళీల సంఖ్య = 45 – x
5 గోళీలను పొగొట్టుకున్న తరువాత రాజు వద్ద వుండే గోళీల సంఖ్య = x – 5
అదే విధంగా రాజేందర్ వద్ద వుండే గోళీల సంఖ్య = (45 – x) – 5 = 40 – x
∴ ఇద్దరి వద్ద మిగిలిన గోళీల సంఖ్య యొక్క లబ్దం = 124
(x – 5) (40 – x) = 124
40x – x² – 200 + 5x = 124
– x² + 45x – 200 – 124 = 0
– x² + 45x – 324 = 0
∴ x² – 45x + 324 = 0 (∵’ ఇరువైపులా ‘- 1’ చే గుణించగా)
అనగా x² – 45x + 324 = 0 సమీకరణాన్ని గోళీల సంఖ్యను ఇస్తుంది.
కావలసిన గణిత సమీకరణం x² – 45x + 324 = 0

(ii) చిన్న భుజము యొక్క పొడవును x సెం.మీ. అనుకొనిన పెద్ద భుజం పొడవు = (x + 5) సెం.మీ.
ఇవ్వబడిన కర్ణము యొక్క పొడవు = 25 సెం.మీ.
లంబకోణ త్రిభుజములో (భుజము)² + (భుజము)² = (కర్ణము)²
x² + (x + 5)² = (25)²
x² + x² + 10x + 25 = 625
2x² + 10x – 600 = 0 .
2(x² + 5x – 300) = 0
∴ x² + 5x – 300 = 0 పై సమీకరణంను సాధించుట ద్వారా పొందే x విలువ ఆధారంగా లంబకోణ త్రిభుజంలోని మిగిలిన రెండు భుజాల పొడవులను గణించవచ్చు.

ప్రశ్న 3.
క్రిందివి వర్గ సమీకరణాలేమో పరిశీలించండి.
(i) (x – 2)² + 1 = 2x – 3
(ii) x(x + 1) + 8 = (x + 2) (x – 2)
(iii) x(2x + 3) = x2+1 0
(iv) (x + 2)³ = x³ – 4 (పేజీ నెం. 104)
సాధన.
(i) (x – 2)² + 1 = 2x – 3
(x² – 4x + 4) + 1 = 2x – 3.
[∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]
x² – 4x + 5 = 2x – 3
x² – 6x + 8 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కనుక ఇది ఒక వర్గ సమీకరణం.

(ii) x(x + 1) + 8 = (x + 2) (x – 2) .
[∵ (a + b) (a – b) = a² – b²]
x² + x + 8 = x² – 4
x² + x + 8 – x² + 4 = 0
∴ x + 12 = 0
దీని పరిమాణం 1. ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో లేదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణం కాదు.

(iii) x (2x + 3) = x² + 1
2x² + 3x = x² + 1
2x² + 3x – x² – 1 = 0
x² + 3x – 1 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కనుక ఇది. ఒక వర్గ సమీకరణం.

(iv) (x + 2)³ = x³ – 4.
x³ + 6x² + 12x + 8 = x³ – 4
x³ + 6x² + 12x + 8 – x³ + 4 = 0
∴ 6x² + 12x + 12 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కనుక ఇది ఒక వర్గ సమీకరణం.

ప్రశ్న 4.
కారణాంక పద్దతిని 2x² – 5x + 3 = 0 యొక్క మూలాలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 107)
సాధన.
ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణం 2x² – 5x + 3 = 0

2x² – 2x – 3x + 3 = 0
2x (x – 1) – 3(x – 1) = 0
(x – 1) (2x – 3) = 0
x – 1 = 0
x = 1
2x – 3 = 0
2x = 3
x = \(\frac{3}{2}\)

ఇచ్చిన వర్గ ‘సమీకరణం యొక్క మూలాలు = 1 మరియు \(\frac{3}{2}\).

ప్రశ్న 5.
x – \(\frac{1}{3 x}\) = \(\frac{1}{6}\) వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 107)
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము x – \(\frac{1}{3 x}\) = \(\frac{1}{6}\)
⇒ \(\frac{3 x^{2}-1}{3 x}=\frac{1}{6}\) (అడ్డ గుణకారం చేయగా)

⇒ 6(3x² – 1) = 1 × 3x
⇒ 18x² – 3x – 6 = 0
⇒ 3(6x² – x – 2) = 0
∴ 6x² – x – 2 = 0
⇒ 6x² – 4x + 3x – 2 = 0
⇒ 2x(3x – 2) + 1(3x – 2) = 0
⇒ (3x – 2) (2x + 1) = 0
3x – 2 = 0
3x = 2
x = \(\frac{2}{3}\)
2x + 1 = 0. . . – –
2x = – 1
x = \(-\frac{1}{2}\)
∴ 6x² – x – 2 = 0 యొక్క మూలాలు \(\frac{2}{3}\) మరియు \(-\frac{1}{2}\).

ప్రశ్న 6.
శీర్షిక 5,1 లో చర్చించిన సమస్యలోని ప్రేక్షకుల కొరకు వదిలిన ఖాళీ స్థలము యొక్క వెడల్పును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 108)
చర్చించిన సమస్య :
కస్పా పురపాలక పాఠశాల క్రీడల కమిటీ పాఠశాల ఆవరణలో 29మీ. × 16మీ. కొలతలతో ఒక ఖో-ఖో కోర్టును నిర్మించాలని భావించింది. ఇందుకుగాను వారికి 558 చ.మీ. వైశాల్యం గల ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం అందుబాటులో ఉంది. అందువల్ల వారు ఖో-ఖో కోర్టు చుట్టూ ప్రేక్షకుల కొరకు కొంత ఖాళీ స్థలమును కూడా వదలాలని భావించారు. అయితే వదిలే ఖాళీ స్థలము యొక్క వెడల్పు కోర్టు చుట్టూ ఒకే విధంగా వుండేటట్లు వదిలితే దాని వెడల్పు ఎంత వుండాలి ?
సాధన.
శీర్షికలో 5.1 చర్చించిన సమస్యలోని ప్రేక్షకుల కొరకు వదిలిన ఖాళీ స్థలము యొక్క వెడల్పు x మీ. అనుకొనిన అది 2x² + 45x – 47 = 0 ను తృప్తిపరిచే ఒక విలువ. కారణాంక పద్ధతిని ఈ సమీకరణంనకు అనువర్తింపచేసిన
2x² – 2x + 47x – 47 = 0
2x (x – 1) + 47 (x – 1) = 0
i.e., (x – 1) (2x + 47) = 0
అనగా x = 1 మరియు x = \(-\frac{47}{2}\), లు 2x² – 2x + 47x – 47 = 0 యొక్క మూలాలు.
అయితే x అనేది ప్రేక్షకుల కొరకు వదిలిన ఖాళీ స్థలము యొక్క వెడల్పు కనుక దీని విలువ ఋణాత్మకం కాజాలదు.
∴ ఖాళీ స్థలం యొక్క వెడల్పు = x = 1 మీ.

ప్రశ్న 7.
వర్గమును పూర్తి చేయుట ద్వారా వర్గ సమీకరణమును – సాధించే పద్ధతి ద్వారా 5x² – 6x – 2 = 0 ను సాధించుము. (పేజీ నెం. 112)
సాధన.
ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణము 5x² – 6x – 2 = 0
⇒ x² – \(\frac{6}{5}\)x – \(\frac{2}{5}\) = 0 (ఇరువైపులా 5 చే భాగించగా)
⇒ x² – 2.\(\frac{1}{2}\) x.\(\frac{6}{5}\) = \(\frac{2}{5}\)
(ఇరువైపులా (3)² ను కలుపగా)
x² – 2.\(\frac{3}{5}\) + (\(\frac{3}{5}\))² = \(\frac{2}{5}\) + (\(\frac{3}{5}\))²
(x – \(\frac{3}{2}\) )² = \(\frac{2}{5}+\frac{9}{25}\)
[∵ a² – 2ab + b² = (a – b)²]
x – \(\frac{3}{5}\) = \(\pm \sqrt{\frac{19}{25}}=\frac{\pm \sqrt{19}}{5}\)

∴ x = \(\frac{3}{5}+\frac{\sqrt{19}}{5}\) లేదా x = \(\frac{3}{5}-\frac{\sqrt{19}}{5}\)

x = \(\frac{3+\sqrt{19}}{5}\) లేదా x = \(\frac{3-\sqrt{19}}{5}\)

ప్రశ్న 8.
4x² + 3x + 5 = 0 ను వర్గమును పూర్తి చేయుట ద్వారా సాధించుము.(పేజీ నెం. 112)
సాధన.
4x² + 3x + 5 = 0 (ఇరువైపులా 4 చే భాగించగా)

ఒక వాస్తవ సంఖ్య యొక్క వర్గం ఎల్లప్పుడు ఋణాత్మకం కాదు. కావున x యొక్క ఏ వాస్తవ విలువ పై సమీకరణాన్ని తృప్తి పరచదు. కనుక ఇచ్చిన సమీకరణానికి వాస్తవ మూలాలు లేవు.

ప్రశ్న 9.
అభ్యాసము 5.1 లోని 2(i) వ ప్రశ్నను పై సూత్రమును 1 ఉపయోగించి సాధించుము. (పేజీ నెం. 114)
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం యొక్క వెడల్పు ‘x’ మీ.
అనుకొనిన దాని పొడవు = (2x + 1) మీ.
లెక్క ప్రకారం దాని వైశాల్యము 528 చ.మీ.
∴ x(2x + 1) = 528
2x² + x – 528 = 0.
ఇది ax² + bx + c = 0రూపంలో కలదు.
ఇచ్చట a = 2, b = 1, c = – 528.
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-1 \pm \sqrt{(1)^{2}-4(2)(-528)}}{2.2}\)

= \(\frac{-1 \pm \sqrt{1+4224}}{4}=\frac{-1 \pm \sqrt{4225}}{4}\)

x = \(\frac{-1 \pm 65}{4}\)

∴ x = \(\frac{-1+65}{4}=\frac{64}{4}\) = 16

x = \(\frac{-1-65}{4}=\frac{-66}{4}=\frac{-33}{2}\)

దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క కొలతలు రుణాత్మకం కాదు.
కావున వెడల్పు x = 16 మరియు
పొడవు = 2x + 1
= 2(16) + 1 = 32 + 1 = 33 మీ.

సరిచూచుట :
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = 16 × 33 = 528 చ.మీ.

ప్రశ్న 10.
రెండు వరుసధన బేసిసంఖ్యల మొత్తము 290 అయిన ఆ సంఖ్యలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 115)
సాధన.
మొదటి బేసి సంఖ్య = ‘x’ అనుకొనిన
రెండవ బేసి సంఖ్య (x + 2)
రెండు వరుస ధన బేసి సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం 290.
∴ x² + (x + 2)² = 290
x² + x² + 4x + 4 = 290
2x² + 4x + 4 – 290 = 0
2x² + 4x – 286 = 0
2(x² + 2x – 143) = 0
∴ x² + 2x – 143 = 0 (∵ 2 ≠ 0)
వర్గ సూత్రం ప్రకారం
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-2 \pm \sqrt{4-4(1)(-143)}}{2(1)}\)

= \(\frac{-2 \pm \sqrt{4+572}}{2}\)

= \(\frac{-2 \pm \sqrt{576}}{2}=\frac{-2 \pm 24}{2}\)

∴ x = \(\frac{-2+24}{2}\) లేదా x = \(\frac{-2-24}{2}\)

x = \(\frac{22}{2}\) = 11 లేదా x = \(-\frac{26}{2}\) = – 13
కాని x ఒక ధన బేసి సంఖ్య. ∴ x = 11
రెండవ బేసి సంఖ్య = x + 2 = 11 + 2 = 13

సరిచూసుకోవడం :
112 + 132 = 121 + 169 = 290.

ప్రశ్న 11.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార పార్కు తయారుచేయ బడుతుంది. దీని వెడల్పు, పొడవు కంటే 3 మీ. తక్కువ. దీని వైశాల్యము, దీని వెడల్పుకు సమానమైన భూమి మరియు 12 మీ. ఎత్తు గల ఒక సమద్విబహు త్రిభుజ వైశాల్యం కంటే 4 చ.మీ. ఎక్కువ. అయిన దీర్ఘ చతురస్రాకార పార్కు యొక్క పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 116)
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్రాకార పార్కు పొడవు = x మీ. అనుకొనిన
వెడల్పు పొడవు కన్నా 3 మీ . తక్కువ.
వెడల్పు = (x – 3) మీ.”
∴ దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యము = x(x – 3) చ.యూ.
త్రిభుజ భూమి = x – 3; త్రిభుజ ఎత్తు = 12 మీ.
త్రిభుజ వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac{1}{2}\) × (x – 3) × 12 = 6 (x – 3)

కాని లెక్క ప్రకారం దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం త్రిభుజ ∴వైశాల్యము కన్నా 4 యూనిట్లు ఎక్కువ.
∴ x(x – 3) = 6 (x – 3) + 4
x² – 3x = 6x – 18 + 4
x² – 3x – 6x + 18 – 4 = 0
x – 9x + 14 = 0
వర్గ సూత్రం నుండి x = \(\frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^{2}-4 \cdot(1)(14)}}{2 \cdot(1)}\)

= \(\frac{9 \pm \sqrt{81-56}}{2}\)

x = \(\frac{9 \pm \sqrt{25}}{2}=\frac{9 \pm 5}{2}\)

x = \(\frac{9+5}{2}=\frac{14}{2}\) = 7 లేదా x = \(\frac{9-5}{2}=\frac{4}{2}\) = 2
పొడవు x = 7 మీ. అయిన వెడల్పు = x – 3 = 7 – 3 = 4 మీ.
పొడవు x = 2 మీ. అయిన వెడల్పు x – 3 = 2 – 3 = – 1 మీ.
ఇది సాధ్యం కాదు కాబట్టి
∴. దీర్ఘ చతురస్ర కొలతలు పొడవు = 7 మీ.
వెడల్పు = 4 మీ.

సరిచూచుట :
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = 7 × 4 = 28 చ.మీ.
త్రిభుజ వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × 4 × 12 = 24 చ.మీ.

ప్రశ్న 12.
క్రింది వర్గ సమీకరణాలకు మూలాలు వుంటే వానిని సూత్రము ద్వారా కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 116)
(i) x² + 4x + 5 = 0
(ii) 2x² – 2√2x + 1 = 0
సాధన.
(i) x² + 4x + 5 = 0,
-ఇక్కడ a = 1, b = 4, c = 5
b² – 4ac = (4)² – 4(1)(5)
= 16 – 20 = – 4 < 0
b² – 4ac < 0 కావున వాస్తవ మూలాలు లేవు.

(ii) 2x² – 2√2 x + 1 = 0
ఇక్కడ a = 2, b = 2/2 , c = 1.
b² – 4ac = (-2√2)² – 4.2.1 .
= 8 – 8 = 0
b² – 4ac = 0 కావున మూలాలు వాస్తవాలు మరియు సమానాలు.
మూలాలు x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-2 \sqrt{2}) \pm \sqrt{0}}{2(2)}\)

= \(\frac{2 \sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
∴ మూలాలు \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

ప్రశ్న 13.
క్రింది సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనుము.

(i) x + \(\frac{1}{x}\) = 3, x ≠ 0
(ii) \(\frac{1}{x}\) – \(\frac{1}{x-2}\) = 3, x ≠ 0, 2.
సాధన.
(i) x + \(\frac{1}{x}\) = 3
⇒ \(\frac{x^{2}+1}{x}\) = 3
∴ x² + 1 = 3x
x² – 3x + 1 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = – 3, c = 1
b² – 4ac = (- 3)² – 4(1) (1)
= 9 -4 = 5 > 0
మూలాలు వాస్తవాలు.

మూలాలు x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-3) \pm \sqrt{5}}{2(1)}=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)

∴ మూలాలు \(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) మరియు \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)

(ii) \(\frac{1}{x}\) – \(\frac{1}{x-2}\) = 3, x ≠ 0, 2

⇒ \(\frac{(x-2)-x}{x(x-2)}\) = 3

⇒ \(\frac{x-2-x}{x^{2}-2 x}\) = 3

⇒ \(\frac{-2}{x^{2}-2 x}\) = 3
⇒ 3(x² – 2x) = – 2
3x² – 6x + 2 = 0
ఇక్కడ a = 3, b = – 6, c = 2.
b² – 4ac = (- 6)² – 4(3) (2)
= 36 – 24 = 12 > 0
మూలాలు వాస్తవాలు.
x = \(\frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2(3)}\)

= \(\frac{6 \pm \sqrt{12}}{6}=\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}\)
[∵ \(\sqrt{12}=\sqrt{4 \times 3}=2 \sqrt{3}\)]

= \(\frac{2(3 \pm \sqrt{3})}{6}\)

= \(\frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}\)

∴ మూలాలు = \(\frac{3+\sqrt{3}}{3}\) మరియి \(\frac{3-\sqrt{3}}{3}\).

ప్రశ్న 14.
నిశ్చల నీటిలో ఒక మోటారు బోటు యొక్క వేగము గంటకు 18 కి.మీ. నీటి ప్రవాహమునకు ఎదురుగా 24 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే కాలము, తిరిగి బయలుదేరిన స్థానమునకు వచ్చుటకు పట్టే కాలం కంటే 1 గంట ఎక్కువ. అయిన నీటి వేగమెంత ? (పేజీ నెం. 18)
సాధన.
నిశ్చల నీటిలో బోటు వేగము = 18 కి.మీ./గం.
నీటి ప్రవాహ వేగము = x కి. మీ./గం. అనుకొందాం.
నీటి ప్రవాహానికి ఎదురుగా బోటు వేగం = (18 – x) కి.మీ./గం.
తిరుగు ప్రయాణంలో (ప్రవాహ దిశలో) బోటు వేగం = (18 + x) కి.మీ./గం.
నీటి ప్రవాహానికి ఎదురుగా 24 కి.మీ. పోవుటకు పట్టే కాలం =
తిరుగు ప్రయాణానికి (ప్రవాహ దిశలో) పట్టే కాలం = \(\)
లెక్క ప్రకారం
\(\frac{24}{18-x}=\frac{24}{18+x}+1\)

⇒ \(\frac{24}{18-x}-\frac{24}{18+x}\) = 1

\(\frac{24(18+x)-24(18-x)}{(18-x)(18+x)}\) = 1

24 × 18 + 24x – 24 × 18 + 24x = (18 – x) (18 + x)
48x = 18² – x²
∴ x² + 48x – 324 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = 48, c = – 324
b² – 4ac = 48² – 4(1)(- 324)
= 2304 + 1296 = 3600
వర్గ సూత్రం నుండి x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-48 \pm \sqrt{3600}}{2(1)}\)

= \(\frac{-48 \pm 60}{2}\)

మూలాలు x = \(\frac{-48+60}{2}=\frac{12}{2}\) = 6

x = \(\frac{-48-60}{2}=\frac{-108}{2}\) = – 54
ప్రవాహ వేగం ఋణాత్మకం కాదు కావున x = 6.
∴ నీటి ప్రవాహము యొక్క వేగము = 6 కి.మీ/గం.

ప్రశ్న 15.
2x² – 4x + 3 = 0 యొక్క విచక్షణిని కనుగొని తద్వారా మూలాల స్వభావమును చర్చించుము. (పేజీ నెం. 121)
సాధన.
2x²న – 4x + 3 = 0
ఇక్కడ a = 2, b = – 4, c = 3. విచక్షణి b² – 4ac = (- 4)² – (4 × 2 × 3) .
= 16.- 24 = – 8 < 0.
ఇచ్చిన సమీకరణం వాస్తవ మూలాలను కలిగి వుండదు.

ప్రశ్న 16.
18 సెం.మీ. వ్యాసం గల ఒక వృత్తాకార పార్కు సరిహద్దు మీద ఒక స్తంభమును ఏర్పాటు చేయాలని అనుకున్నారు. పార్కు యొక్క సరిహద్దు మీద ఎదురెదురుగా అనగా ఒక వ్యాసం యొక్క చివరి బిందువుల వద్ద ఏర్పాటు చేయబడిన A మరియు B అనే రెండు గేట్ల నుంచి ఈ స్తంభము వరకూ గల దూరాల భేదము 7 మీ. వుండునట్లు స్తంభమును ఏర్పాటు చేయగలమా ? ఒకవేళ చేయగలిగితే రెండు గేట్ల నుంచి ఈ స్తంభం ఎంత దూరంలో ఉంటుంది ? (పేజీ నెం. 121)
సాధన.
క్రింది పటంలో A మరియు B లు రెండు గేట్లు మరియు ఏర్పాటు చేయవలసిన స్తంభము P అనుకొందాము.

B గేటు నుండి P కి గల దూరం = x మీ అనుకుందాం.
BP = x మీ.
AP = (x + 7) మీ.
[∵ AP, BPల మధ్య భేదము 7 మీ.]
AB = 13 మీ.
(లెక్క ప్రకారం AB వ్యాసం = 13 మీ.)
∆ ABP లో ∠P = 90°. [∵ అర్థ వృత్తంలోని కోణము]
పైథాగరస్ సిద్ధాంతము ప్రకారము –
AP² + BP² = AB²
(x + 7)² + x²2 = 13²
x² + 14x + 49 + x² = 169
2x² + 14x + 49 + x² – 169 = 0
2x² + 141 – 120 = 0
2(x² +7x – 60) = 0
x² + 7x – 60 = 0 ను తృప్తి పరిచే x విలువ B గేటు నుండి P కు గల దూరం అవుతుంది.
కావున x² + 7x – 60 = 0 కు వాస్తవ మూలాలు. ఉన్నప్పుడే స్తంభం ఏర్పాటు చేయగలము.
∴ విచక్షణి b² – 4ac = 7² – 4 (1) (- 60)
= 49 + 240
= 289 > 0.
వర్గ సమీకరణంకు రెండు విభిన్న వాస్తవ మూలాలు ఉంటాయి. కాబట్టి స్తంభాన్ని ఇచ్చిన షరతులకు అనుగుణంగా ఏర్పాటు చేయగలము.
వర్గ సూత్రం నుంచి x =\(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2(1)}=\frac{-7 \pm 17}{2}\)

∴ x = \(\frac{-7+17}{2}=\frac{10}{2}\) = 5 లేదా

x = \(\frac{-7-17}{2}=\frac{-24}{2}\) = – 12

దూరము రుణాత్మకం కాదు.
కావున x = 5.
∴ B నుంచి స్తంభమునకు దూరం x = 5 మీ.
A నుంచి P స్తంభమునకు దూరం. x + 7 = 5 + 7 = 12 మీ.

ప్రశ్న 17.
3x² – 2x + \(\frac{1}{3}\) = 0 యొక్క విచక్షణిని కనుగొనుము. తద్వారా మూలాల స్వభావమును తెలుపుము. ఒకవేళ మూలాలు వాస్తవ సంఖ్యలైతే వానిని కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చట a = 3, b = – 2 మరియు c = \(\frac{1}{3}\)
విచక్షణి b² – 4ac = (- 2)² – 4 × 3 × \(\frac{1}{3}\)
= 4 – 4 = 0.
ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణంకు రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు వుంటాయి.
అవి \(\frac{-b}{2 a}\), \(\frac{-b}{2 a}\)

⇒ \(\frac{2}{6}\), \(\frac{2}{6}\)

⇒ \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{3}\).

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
ఒక తలంలో కొన్ని బిందువులు గుర్తించబడినవి. ప్రతి బిందువు మిగిలిన అన్ని బిందువులతో రేఖండాలచే కలుపబడింది. ఈ విధంగా చేయటం వల్ల మొత్తం 10 రేఖాఖండాలు ఏర్పడితే మొత్తం బిందువులు ఎన్ని ? (గమనిక: సమస్యలో ఏ మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు కాని కొన్ని బిందువులు గుర్తించబడ్డాయి. అని ఇవ్వాలి.)
సాధన.
ఏ మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు కాని n బిందువులలో ప్రతి బిందువును మిగిలిన అన్ని బిందువులతో కలుపగా ఏర్పడే రేఖాఖండాల సంఖ్య = \(\frac{1}{2}\) n(n – 1)
కాని లెక్క ప్రకారం రేఖా ఖండాల సంఖ్య = 10

\(\frac{1}{2}\) n(n – 1) = 10
n(n – 1) = 20
n² – n – 20 = 0
n² – 5n + 4n – 20 = 0
n(n – 5) + 4(n – 5) = 0
(n – 5) (n + 4) = 0
n – 5 = 0 లేదా n + 4 = 0
n = 5 లేదా n = – 4
బిందువుల సంఖ్య రుణాత్మకం కాదు కావున n = 5
∴ బిందువుల సంఖ్య n = 5
సరిచూచుట :

A, B, C, D, E లు ఏ మూడు సరేఖీయాలు కొని 5 బిందువులు వీటితో ఏర్పడే రేఖాఖండాలు AB, BC, CD, DE, EA, AC, AD, BE, BD, CE మొత్తం 10 రేఖాఖండాలు కలవు.

ప్రశ్న 2.
ఒక రెండంకెల సంఖ్యలో అంకెల లబ్ధం &. ఈ సంఖ్యకు – . 18 కలిపిన వచ్చే సంఖ్య మొదటి సంఖ్యలోని అంకెలను తారుమారు చేయగా వచ్చే సంఖ్య ఒక్కటే. అయిన మొదటి సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె = x
పదుల స్థానంలోని అంకె = y అనుకొందాం.

లెక్క ప్రకారం అంకెల లబ్ధం = 8
∴ xy = 8
⇒ y = \(\frac{8}{x}\) ………… (1)
మరియు సంఖ్యకు 18 కలిపిన వచ్చే సంఖ్య = ఆ సంఖ్యలోని అంకెలను తారుమారు చేయగా వచ్చే సంఖ్య
(10y + x) + 18 = 10x + y
10y + x + 18 – 10x – y = 0
9y – 9x + 18 = 0
9(y – x + 2) = 0
∴ y – x + 2 = 0 లో (1)ని ప్రతిక్షేపించగా

\(\frac{8}{x}\) – x + 2 = 0

\(\frac{8-x^{2}+2 x}{x}\) = 0
8 – x² + 2x = 0
⇒ x² – 2x – 8 = 0
x² – 4x + 2x – 8 = 0
x(x – 4) + 2 (x – 4) = 0
(x – 4) (x + 2) = 0
x – 4 = 0
x = 4
x + 2 = 0
x = – 2
సంఖ్యలోని అంకె రుణాత్మకం కాదు. ఒకట్ల స్థానం x = 4 –
పదుల స్థానం y = \(\frac{8}{4}\) = 2 (∵ (1) నుండి)
∴ కావలసిన సంఖ్య = 24.

సరిచూచుట :
24 + 18 = 42 .

ప్రశ్న 3.
8 మీ. పొడవు వున్న తీగను రెండు ముక్కలుగా కత్తిరించారు. ప్రతి ముక్కను తిరిగి ఒక చతురస్రాకారంగా వంచారు. ఇలా ఏర్పడిన రెండు చతురస్రాల వైశాల్యాల మొత్తం 2 చ.మీ. కావలెనన్న ప్రతి ముక్క పొడవు ఎంత వుండాలి ?
[x + y = 8, \(\left(\frac{x}{4}\right)^{2}+\left(\frac{y}{4}\right)^{2}\) = 2
⇒ \(\left(\frac{x}{4}\right)^{2}+\left(\frac{8-x}{4}\right)^{2}\) = 2]
సాధన.

మొదటి ముక్క పొడవు = x మీ.
రెండవ ముక్క పొడవు = y మీ. అనుకొనుము.
x + y = 8
y = 8 – x ……… (1)
ప్రతి ముక్కను ఒక చతురస్రంగా వంచిన మొదటి ముక్క యొక్క చతురస్ర చుట్టుకొలత = x మీ
భుజము = \(\frac{x}{4}\) మీ.
వైశాల్యం = (\(\frac{x}{4}\))² చ.మీ.
రెండవ ముక్క యొక్క చతురస్ర చుట్టుకొలత = y మీ.
భుజము = \(\frac{y}{4}\) మీ.
వైశాల్యం = (\(\frac{x}{4}\))² = \(\frac{(8-x)^{2}}{4}\) (∵ (1) నుండి)
కాని లెక్క ప్రకారం వైశాల్యం మొత్తం = 2 చ.మీ.
\(\left(\frac{x}{4}\right)^{2}+\left(\frac{8-x}{4}\right)^{2}\) = 2

\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{(8-x)^{2}}{16}\) = 2

\(\frac{x^{2}+64-16 x+x^{2}}{16}\) = 2
2x² – 16x + 64 = 32
2x² – 16x + 64 – 32 = 0
2x² – 16x + 32 = 0
2(x² – 8x + 16) = 0
x² – 8x + 16 = 0
x² – 2. x . 4 + 4² = 0.
(x – 4)² = 0
ఈ సందర్భంలో మూలాలు సమానము.
x – 4 = 0
x = 4
∴ మొదటి ముక్క పొడవు x = 4 మీ.
రెండవ ముక్క పొడవు y = 8 – 4 = 4 మీ. [∵ (1) నుండి]

సరిచూచుట :
చతురస్ర భుజాలు 1 మీ. మరియు 1 మీ. వైశాల్యా ల మొత్తం 1² + 1² = 1 + 1 = 2 చ.మీ.

ప్రశ్న 4.
వినయ్ మరియు ప్రవీళ్లు కలసి ఒక ఇంటికి రంగులు వేసే పనిని 6 రోజులలో పూర్తి చేయగలరు. వినయ్ ఒక్కడే ఆ పనిని ప్రవీణ్ కంటే 5 రోజులు ముందుగా పూర్తి చేయగలడు. అయిన వినయ్ ఒక్కడే ఆ పనిని ఎన్ని రోజులలో పూర్తి చేయగలడు ?
సాధన.
ప్రవీణ్ ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టే కాలం = x రోజులు అనుకొనుము.
వినయ్ ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టే కాలం = (x – 5) రోజులు.
ప్రవీణ్ ఒక్కడే ఒక రోజులో చేసే పని = \(\frac{1}{x-5}\)
వినయ్ ఒక్కడే ఒక రోజులో చేసే పని = \(\frac{1}{6}\)
లెక్క ప్రకారం ప్రవీణ్ మరియు వినయ్ లు కలసి ఒక రోజులో చేసే పని = \(\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-5}=\frac{1}{6}\)

∴ x² – 5x = 6(2x – 5)
x² – 5x = 12x – 30
x² – 5x – 12x + 30 = 0
x² – 17x + 30 = 0

x² – 15x – 2x + 30 = 0
x(x – 15) – 2(x – 15) = 0
(x – 15) (x – 2) = 0.
x – 15 = 0 లేదా x – 2 = 0
x = 15 లేదా x = 2
x = 15 అయిన x – 5 = 10
x = 2 ⇒ x – 5 = – 3
రోజుల సంఖ్య ఋణాత్మకం కాదు. కావున x ≠ 2.
వినయ్ ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టే కాలం x – 5 = 10 రోజులు

సరిచూచుట :
వినయ్ మరియు ప్రవీలు కలసి ఒక రోజులో చేసే పని = \(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3+2}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}\)
∴ ఇద్దరూ కలసి ఆ పనిని 6 రోజులలో పూర్తి చేస్తారు.

ప్రశ్న 5.
ఒక వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు మొత్తం : అని చూపుము.
సాధన.
ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు α, β అనుకొందాం.
వర్గ సూత్రం నుంచి
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
మూలాలు α = \(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\) మరియు β = \(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

మూలాల మొత్తం

మూలాల మొత్తం α + β = \(-\frac{b}{a}\)
∴ ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణ మూలాల మొత్తం = \(-\frac{b}{a}\).

ప్రశ్న 6.
ఒక వర్గ సమీకరణం యొక్క మూల చూపుము.
సాధన.
వర్గ సమీకరణం ax² + bx + c = 0 మూలాలు
α = \(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\) మరియు β = \(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
మూలాల లబ్దం

మూలాల లబ్ధం αβ = \(\frac{c}{a}\)
∴ ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణ మూలాల లబ్ధం = \(\frac{c}{a}\)

ప్రశ్న 7.
ఒక భిన్నములో హారము, లవము యొక్క రెట్టింపు కంటే ఒకటి ఎక్కువ. ఆ భిన్నము మరియు దాని వుత్రమాల మొత్తము 2\(\frac{16}{21}\) అయిన ఆ భిన్నమును కనుగొనుము.
సాధన.
లవము = x అనుకొనిన
హారము = 2x + 1 (∵ హారము, లవము యొక్క రెట్టింపు కంటే ఒకటి ఎక్కువ)
భిన్నము = \(\frac{x}{2 x+1}\)
భిన్నము యొక్క వ్యుత్తమము = \(\frac{2 x+1}{x}\)
లెక్క ప్రకారం భిన్నము మరియు దాని వ్యుత్ర్కమాల మొత్తం = 2\(\frac{16}{21}\) = \(\frac{58}{21}\)

58 (2x² + x) = 21 (5x² + 4x + 1) (అడ్డగుణకారం చేయగా)
116x² + 58 x = 105x² + 84x + 21
116x² + 58 x – 105x² – 84x – 21 = 0
11x² – 26x – 21 = 0 …………… (1)
a = 11, b = – 26, c = -21
b² – 4ac = (- 26)² – 4 (11) (- 21)
= 676 + 924 = 1600
∴ వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-(-26) \pm \sqrt{1600}}{2(11)}=\frac{26 \pm 40}{22}\)

x = \(\frac{26+40}{22}=\frac{66}{22}=3\) లేదా

x = \(\frac{26-40}{22}=\frac{-14}{22}=\frac{-7}{11}\)
భిన్నం యొక్క లవ, హారాలు పూర్ణ సంఖ్యలు. కావున
∴ x = 3.
లవము x = 3
హారము 2x + 1 = 7
కావలసిన భిన్నము = \(\frac{3}{7}\)

సరిచూచుట :
భిన్నము. + వ్యుత్రమం = \(\frac{3}{7}+\frac{7}{3}=\frac{9+49}{21}=\frac{58}{21}=2 \frac{16}{21}\)

(లేదా)

(1) ⇒ 11x² – 26x – 21 = 0

11x² – 33x + 7x – 21 = 0
11x (x – 3) + 7 (x – 3) = 0
(x – 3) (11x + 7) = 0
11 x (- 21) = – 231

3 × 7 × 11 = 231
x – 3 = 0
x = 3
11x + 7 = 0
11x = – 7
x = \(\frac{-7}{11}\)
భిన్నం యొక్క లవ, హారాలు మళ్ళీ భిన్నాలు కాదు. కావున
x = 3
లవము x = 3
హారము 2x + 1 =7
∴ కావలసిన భిన్నము = \(\frac{3}{7}\)

ప్రశ్న 8.
29.4 మీ. ఎత్తుగల భవనం పైభాగం నుంచి 24.5 మీ/ – సేక. శాలి వేగుతో ఒక బంతి పైవైపుకు విసిరి వేయబడింది. ‘1 సెకనుల తరువాత భూమట్టం నుండి బంతి యొక్క ఎత్తు H = 29.4 + 24.5 t – 4.9 t² అయితే ఆ బంతి భూమిని ఎన్ని సెకనుల తరువాత . తాకుతుంది ?
సాధన.

తొలివేగం ‘U’ = 24.5
భూమట్టం నుండి బంతి యొక్క ఎత్తు H = 29.4 + 24.5 t- 4.9 t²
బంతి భూమట్టాన్ని, ‘t’ సెకనులలో చేరింది. అనగా భూమట్టం నుండి ఎత్తు H = 0
కనుక 29.4 + 24.5t – 4.9t² = 0 = H
⇒ 4.9 t² – 24.5t – 29.4 = 0
⇒ 4.9 [t² – 5t – 6] = 0
∴ t² – 5t – 6 = 0
⇒ t² – 6t + 1 – 6 = 0
⇒ t(t – 6) + 1(t – 6) = 0
(t- 6) (t + 1) = 0
⇒ t – 6 = 0
∴ t = 6
లేదా t + 1 = 0 ⇒ t = – 1 కాని ‘t’ ఋణాత్మకం కాదు.
కనుక t = 6
∴ బంతి భూమిని తాకిన కాలము = t = 6 సెకనులు.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాలకు మూలాలు వుండే వానిని వర్గంను పూర్తి చేయుట ద్వారా కనుగొనుము.

(i) 2x² + x – 4 = 0
సాధన.
\(\frac{2 x^{2}}{2}+\frac{x}{2}-\frac{4}{2}=\frac{0}{2}\) (ఇరువైపులా (1) కలుపగా)
x² + \(\frac{x}{2}\) – 2 = 0
x² + \(\frac{x}{2}\) = 2
x² + 2.\(\frac{1}{2}\).\(\frac{x}{2}\) = 2
[∵ \(\frac{x}{2}\) = 2.\(\frac{1}{2}\).\(\frac{x}{2}\)]
x² + 2.x.\(\frac{1}{4}\) + (\(\frac{1}{4}\))² = 2 + (\(\frac{1}{4}\))²
(x + \(\frac{1}{4}\))² = 2 + \(\frac{1}{16}\) = \(\frac{32+1}{16}\)
(x + \(\frac{1}{4}\))² = \(\frac{33}{16}\)
⇒ x + \(\frac{1}{4}\) = \(\sqrt{\frac{33}{16}}=\pm \frac{\sqrt{33}}{4}\)
మూలాలు x = – \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{\sqrt{33}}{4}\)
లేదా x = – \(\frac{1}{4}\) – \(\frac{\sqrt{33}}{4}\)
x = \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) లేదా x = \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\)

(ii) 4x² + 4√3x + 3 = 0
సాధన.
4x² + 4√3 x+ 3 = 0
x² + \(\frac{4 \sqrt{3} x}{4}\) + \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{0}{4}\)
(ఇరువైపులా 4 తో భాగించగా)
x² + √3x = – \(\frac{3}{4}\)
x² + 2.\(\frac{1}{2}\).√3x = – \(\frac{3}{4}\)
x² + 2.x.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{-3}{4}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\)
ఇరువైపులా \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\) కలుపగా

\(\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\) = 0

∴ x + \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 0
⇒ x = – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ఈ సందర్భంలో మూలాలు సమానము.
∴ మూలాలు – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

2వ పద్దతి :
4x² + 4 √3x + 3 = 0
(2x)² + 2 . 2x . √3 + (√3)² = 0
a² + 2ab + b² = (a + b)²
∴ (2x + √3)² = 0
ఈ సందర్భంలో మూలాలు సమానము.
2x + √3 = 0
2x = – √3
⇒ x = – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
∴ మూలాలు – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

(iii) 5x² – 7x – 6 = 0
సాధన.
5x² – 7x – 6 = 0
ఇరువైపులా 5 తో భాగించగా
x² – \(\frac{7}{5}\) x – \(\frac{6}{5}\) = 0
x² – \(\frac{7}{5}\) x = \(\frac{6}{5}\)
x² – 2 . \(\frac{1}{2}\) . \(\frac{7}{5}\)x = \(\frac{6}{5}\)
x² – 2.x.\(\frac{7}{10}\) + (\(\frac{7}{10}\))² = \(\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}\)
ఇరువైపులా (\(\frac{7}{10}\))² కలుపగా

∴ మూలాలు 2 లేదా – \(\frac{3}{5}\)

(iv) x² + 5 = 6x
సాధన.
x² + 5 = – 6x
x² + 6x + 5 = 0
x² + 6x = -5
x² + 2.\(\frac{1}{2}\).6x = – 5
∴ ఇరువైపులా (3)² ను కలుపగా
x² + 2.x.3 + 3² = – 5 + 3²
(x + 3)² = 4
x + 3 = √4 = ± 2
x + 3 = 2
x + 3 = – 2
x = 2 – 3
x = -1
x = – 2 – 3
x = – 5
మూలాలు – 1 మరియు – 5.

ప్రశ్న 2.
సూత్రమును ఉపయోగించి 1వ ప్రశ్నలోని సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనుము.
(i) 2x² + x – 4 = 0
సాధన.
2x² + x – 4 = 0,
a = 2, b = 1, c = – 4
b² – 4ac = (1)² – 4 (2) (- 4)
= 1 + 32 = 33
వర్గ సూత్రం x = – \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
= \(\frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2(2)}\)
= \(\frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}\)
∴ x = \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) లేదా \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\)
∴ మూలాలు \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) మరియు \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\)

(ii) 4x² + 4√3x + 3 = 0
సాధన.
4x² + 4√3 x + 3 = 0
a = a, b = 4√3, c = 3
b² – 4ac = (4√3)² – 4 (4) (3)
= 48 – 48 = 0
ఈ సందర్భంలో మూలాలు సమానాలు. వర్గ సూత్రం నుండి ,
x = – \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
= \(\frac{-4 \sqrt{3} \pm \sqrt{0}}{2(4)}\)
= \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\)
∴ మూలాలు \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\), మరియు \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\).

(iii) 5x² – 7x – 6 = 0
సాధన.
5x² – 7x – 6 = 0
a = 5, b = – 7, c = – 6
b² – 4ac = (- 7)² – 4 (5) (- 6)
= 49 + 120 = 169
వర్గ సూత్రం

∴ మూలాలు 2 మరియు \(-\frac{3}{5}\)

(iv) x² + 5 = – 6x
సాధన.
x² + 5 = – 6x
x² + 6x + 5 = 0
a = 1; b = 6; c = 5
b² – 4ac = (6)² – 4 (1) (5)
= 36 – 20 = 16
వర్గ సూత్రం x = – \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2(1)}=\frac{-6 \pm 4}{2}\)

∴ x = \(\frac{-6+4}{2}=\frac{-2}{2}\) = – 1 లేదా
x = \(\frac{-6-4}{2}=\frac{-10}{2}\) = – 5
∴ మూలాలు – 1 మరియు – 5.

ప్రశ్న 3.
క్రింది సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనుము.
(i) x – \(\frac{1}{x}\) = 3, x ≠ 0
సాధన.
x – \(\frac{1}{x}\) = 3
\frac{x^{2}-1}{x}\(\) = 3
x² – 1 = 3x
x² – 3x – 1 = 0
a = 1, b = – 3, c = –
b² – 4ac = (- 3)² – 4 (1) (- 1)
= 9 + 4 = 13
వర్గ సూత్రం
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-3) \pm \sqrt{13}}{2(1)}=\frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}\)

x = \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) లేదా x = \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\)

∴ మూలాలు \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) మరియు \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\)

(ii) \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}\), x ≠ – 4, 7
సాధన.

అడ్డగుణకారం చేయగా
(x + 4) (x – 7) = – 30
– x² – 7x + 4x – 28 = – 30
x² – 3x – 28 + 30 = 0
x² – 3x + 2 = 0
a = 1, b = – 3, c = 2
b² – 4ac = (- 3)² – 4 (1) (2)
= 9 – 8 = 1
వర్గ సూత్రం
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2(1)}=\frac{3 \pm 1}{2}\)

∴ x = \(\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}\) = 2 లేదా \(\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}\) = 1

∴ మూలాలు 2 మరియు 1.
గమనిక :
సమీకరణం (1) ని కారణాంక. విభజన పద్దతితో కూడా సాధించవచ్చును.

x² = 2
x² – 3x + 2 = 0
x² – 2x – x + 2 = 0
x(x – 2) – 1 (x – 2) = 0
(x – 2) (x – 1) = 0
x – 2 = 0
x = 2
x – 1 = 0.
x = 1
x = 2 లేదా 1.

ప్రశ్న 4.
3 సం||ల క్రితము రహమాన్ వయస్సు యొక్క వ్యుత్రమము, 5 సం||ల తరువాత అతని వయస్సు యొక్క వ్యుత్తమముల మొత్తము , అయిన అతని – – ప్రస్తుత వయస్సు ఎంత ?
సాధన.
రహమాన్ ప్రస్తుత వయస్సు = x సం||లు అనుకొందాం.

లెక్క ప్రకారం \(\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{3}\)

అడ్డగుణకారం చేయగా
(x – 3) (x + 5) = 3 (2x + 2)
x² + 5x – 3x – 15 = 6x + 6
x² + 2x – 15 – 6x – 6 = 0
x² – 4x – 21 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = – 4, c = – 21
b² – 4ac = (- 4)² – 4 (1) (- 21)
= 16 + 84 = 100
వర్గ సూత్రం .. .
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-4) \pm \sqrt{100}}{2(1)}\)

= \(\frac{4 \pm 10}{2}\)

x = \(\frac{4+10}{2}=\frac{14}{2}\) = 7 లేదా

x = \(\frac{4-10}{2}=\frac{-6}{2}\) = – 3.

వయస్సు రుణాత్మకం కాదు.
∴ x = 7. అనగా రహమాన్ ప్రస్తుత వయస్సు = 7 సం||.

సరిచూచుట :
3 సం|| క్రితం రహమాన్ వయస్సు = 7 – 3 = 4 ప్యమం
వ్యుత్కమం = \(\frac{1}{4}\)
5 సం|| తర్వాత రహమాన్ వయస్సు = 7 + 5 = 12
ద్యుతమం = \(\frac{1}{12}\)
వృత్కమాల మొత్తం = \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{12}\)
= \(\frac{3+1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న 5.
మౌళికకు గణితములో మరియు ఇంగ్లీషులో వచ్చిన మార్కుల మొత్తము 30. ఆమెకు ఒకవేళ గణితంలో 2 మార్కులు ఎక్కువగా, ఇంగ్లీషులో 3 మార్కులు తక్కువగా వచ్చి వుంటే ఆ’ రెండింటి యొక్క లబ్ధము 210 అయివుండేది. అయిన ఆమెకు రెండు సబ్జెక్టులలో వచ్చిన మార్కులను కనుగొనుము.
సాధన.
మౌళికకు గణితంలో వచ్చిన మార్కులు = x అనుకొనిన
ఇంగ్లీషులో వచ్చిన మార్కులు = 30 – x (∵ గణితం మరియు ఇంగ్లీషులలో వచ్చిన మార్కుల మొత్తం 30)
ఒకవేళ గణితంలో రెండు మార్కులు ఎక్కువగా వచ్చినచో వచ్చే మార్కులు = x + 2 .
ఇంగ్లీషులో మూడు మార్కులు తక్కువగా వచ్చినచో వచ్చే మార్కులు = (30 – x) – 3 = 27 – x.
లెక్క ప్రకారం పై రెండు మార్కుల లబ్దం = 210
∴ (x + 2) (27 – x) = 210
27 x – x² + 54 – 2x = 210
– x² + 25x + 54 – 210 = 0
– x² + 25x – 156 = 0
x² – 25x + 156 = 0
(∵ – 1 తో ఇరువైపులా గుణించగా)
ఇక్కడ a = 1, b = – 25, c = 156
b² – 4ac = (- 25)² – 4 (1) (156)
= 625 – 624 = 1
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-25) \pm \sqrt{1}}{2(1)}=\frac{25 \pm 1}{2}\)

x = \(\frac{25+1}{2}=\frac{26}{2}\) లేదా x = \(\frac{25-1}{2}=\frac{24}{2}\) = 12
x = 13 అయిన గణితంలో మార్కులు = 13
ఇంగ్లీషులో మార్కులు = 30 – 13 = 17

సరిచూచుట :
(13 + 2) (17 – 3) = 15 × 14 = 210
x = 12 అయిన
గణితంలో మార్కులు = 12
ఇంగ్లీషులో మార్కులు = 30 – 12 = 18

సరిచూచుట (12 + 2) (18 – 3)
= 14 × 15 = 210

ప్రశ్న 6.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలము యొక్క కర్ణము దాని వెడల్పు కంటే 60 మీ. ఎక్కువ. మరియు పొడవు, వెడల్పు కంటే 30 మీ. ఎక్కువ. అయిన దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలము యొక్క కొలతలను కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్ర వెడల్పు = x మీ. అనుకొనుము. ‘
కర్ణము = (x + 60) మీ.
పొడవు = (x + 30) మీ. అవుతాయి.
∆ ABC లంబకోణ త్రిభుజము

∴ పైథాగరస్ సిద్ధాంతము ప్రక రం
AB² + BC² = AC²
(x + 30)² + x² = (x + 60)²
x² + 60x + 900 + x² = x² + 120x + 3600
2x² + 60x + 900 – x² – 120x – 3600 = 0
x² – 60x – 2700 = 0 ఇక్కడ a = 1, b = – 60, c = – 2700
b² – 4ac = (- 60)² – 4 (1) (- 2700)
= 3600 + 10800 = 14400
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-60) \pm \sqrt{14400}}{2(1)}=\frac{60 \pm 120}{2}\)

∴ x = \(\frac{60+120}{2}=\frac{180}{2}\) = 90 లేదా

x = \(\frac{60-120}{2}=\frac{-60}{2}\) = – 30

దీర్ఘ చతురస్ర వెడల్పు ఋణాత్మకం కాదు.
కావున x = 90.
దీర్ఘ చతురస్ర వెడల్పు x = 90 మీ.
దీర్ఘ చతురస్ర పొడవు (x + 30) = 120 మీ.
కర్ణం (x + 60) = 150 మీ.

సరిచూచుట :
AB² + BC² = (120)² + (90)²
= 14400 + 8100
= 22500 = AC^2.

ప్రశ్న 7.
రెండు సంఖ్యల వర్గాల భేదము 180. చిన్న సంఖ్య యొక్క వర్గము, పెద్దదానికి 8 రెట్లు అయిన ఆ సంఖ్యలను కనుగొనుము.
సాధన.
పెద్ద సంఖ్య = x
చిన్న సంఖ్య = y అనుకొందాం.
రెండు సంఖ్యల వర్గాల భేదము 180.
x² – y² = 180 …………. (1)
మరియు చిన్న సంఖ్య యొక్క వర్గము పెద్ద సంఖ్యకు 8 రెట్లు
y² = 8x ……….. (2)
(2) ను (1)లో ప్రతిక్షేపించగా
x² – 8x = 180
⇒ x² – 8x – 180 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = – 8, c = – 180
b² – 4ac = (- 8)² – 4 (1) (- 180)
= 64 + 720 = 784
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-(-8) \pm \sqrt{784}}{2(1)}=\frac{8 \pm 28}{2}\)

x = \(\frac{8+28}{2}=\frac{36}{2}\) =18 లేదా x = \(\frac{8-28}{2}=\frac{-20}{2}\) = – 10
x = 18 అయిన
y² = 8 x 18 = 144
y = \(\sqrt(144)\) = ± 12
y = 12 లేదా – 12
x = – 10 అయిన
y² = 8 (- 10) = – 80
కాని ఇది అసాధ్యము (వర్గం రుణాత్మకం కాదు)
పెద్ద సంఖ్య 18
చిన్న సంఖ్య 12 లేదా – 12

సరిచూచుట :
18, 12 అయిన వర్గాల తేడా
18² – 12² = 324 – 144 = 180
18, – 12 అయిన వర్గాల తేడా
18² – (-12)² = 324 – 144 = 180.

ప్రశ్న 8.
ఒక రైలు 360 కి.మీ. దూరమును ఏకరీతి వేగముతో ప్రయాణించును. దీని వేగము గంటకు 5 కి.మీ. పెరిగిన అదే దూరమును ప్రయాణించుటకు పట్టు కాలము 1 గంట తగ్గును. అయిన రైలు వేగమును కనుగొనుము.
సాధన.
రైలు వేగము = x కి.మీ./గం. అనుకొందాం.
రైలు ప్రయాణించే దూరం = 360 కి.మీ. –
దూరం 360 రైలు ప్రయాణానికి పట్టే కాలం =
రైలు వేగము గంటకు 5 కి.మీ. పెరిగినప్పుడు రైలు వేగం = (x + 5) కి.మీ./గం.
360 ఇప్పుడు రైలు ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = \(\frac{360}{x+5}\) గం.
లెక్క ప్రకారం \(\frac{360}{x}-\frac{360}{x+5}\) = 1

360 \(\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+5}\right)\) = 1

360 \(\left(\frac{x+5-x}{x(x+5)}\right)\) = 1

x² + 5x = 360×5
x² + 5x = 1800
∴ x² + 5x – 1800 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = 5, c = – 1800
b² – 4ac = 5² – 4 (1) (- 1800)
= 25 + 7200 = 7225
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-5 \pm \sqrt{7225}}{2(1)}=\frac{-5 \pm 85}{2}\)

∴ x = \(\frac{-5+85}{2}=\frac{80}{2}\)= 40 లేదా

x = \(\frac{-5-85}{2}=\frac{-90}{2}\) = 45
రైలు వేగం రుణాత్మకం కాదు. కావున x = 40
∴ రైలు వేగం = 40 కి.మీ./గం.

సరిచూచుట :
40 కి.మీ/గం. వేగంతో 360 కి.మీ ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = \(\frac{360}{40}\) = 9 గం.
(40 + 5) = 45 కి.మీ/గం.
వేగంతో 360 కి.మీ ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = \(\frac{360}{45}\) = 8 గం.

ప్రశ్న 9.
రెండు కుళాయిలు కలిసి ఒక నీళ్ల ట్యాంకును 9\(\frac{3}{8}\) గం||లలో నింపును. ఎక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి ఒక్కటే, తక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి నింపే సమయమునకు 10 గం|| తక్కువ సమయంలో నింపును. అయితే ఒక్కొక్క కుళాయి విడివిడిగా ట్యాంకును నింపుటకు పట్టే కాలమును కనుగొనుము.
సాధన.
తక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి నీళ్ళ ట్యాంకును నింపుటకు పట్టే కాలం = x గం|| అనుకొంటే
తక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి 1 గంటలో నింపే భాగం = \(\frac{1}{x}\)
ఎక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి ట్యాంకు నింపేందుకు పట్టే కాలం = (x – 10) గం||
ఎక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి 1 గంటలో నింపే భాగం = \(\frac{1}{x-10}\)
రెండు కుళాయిలు కలిసి 1 గంటలో నింపే భాగం = \(\frac{1}{x}\) – \(\frac{1}{x-10}\)
లెక్క ప్రకారం రెండు కుళాయిలు కలిసి నీళ్ళ ట్యాంకును నింపుటకు పట్టే కాలం = 9\(\frac{3}{8}\) గం. = \(\frac{75}{8}\) గం.
రెండు కుళాయిలు కలసి 1 ‘గంటలో నింపే భాగం = \(\frac{1}{\frac{75}{8}}=\frac{8}{75}\)
కావున \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-10}=\frac{8}{75}\)

\(\frac{2 x-10}{x(x-10)}=\frac{8}{75}\)
అడ్డగుణకారం చేయగా
8x (x – 10) = 75 (2x – 10)
8x² – 80x = 150x – 750
8x² – 80x – 150 x + 750 = 0
8x² – 230x + 750 = 0
ఇక్కడ a = 8, b = – 230, c = 750
b² – 4ac = (- 230)² – 4 (8) (750)
= 52900 – 24000 = 28900
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-(-230) \pm \sqrt{28900}}{2(8)}\)

28900 = 289 × 100
= 17 × 17 × 10 × 10
= (17 × 10)²
= (170)²
= \(\frac{230 \pm 170}{16}\)
x = \(\frac{230+170}{16}=\frac{400}{16}\) = 25 లేదా
x = \(\frac{230-170}{16}=\frac{60}{16}=3 \frac{3}{4}\)
x = 25 అయిన x – 10 = 25 – 10 = 15
∴ తక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి నీళ్ళట్యాంకు నింపుటకు పట్టే కాలం = 25 గం.
ఎక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి నీళ్ళట్యాంకు నింపుటకు పట్టే కాలం = 15 గం.
x = 3\(\frac{3}{4}\)
x – 10 = 3\(\frac{3}{4}\) – 10
ఇది రుణాత్మకం. ఇది అసాధ్యము.

సరిచూచుట :
రెండు కుళాయిలు కలిసి తొట్టిని 1 గంటలో నింపే భాగం = \(\frac{1}{25}+\frac{1}{15}=\frac{3+5}{75}=\frac{8}{75}\)
రెండు కుళాయిలు ట్యాంకును నింపుటకు పట్టే కాలం = \(\frac{75}{8}\) గం. = \(\frac{3}{8}\) గం.

ప్రశ్న 10.
మైసూరు, బెంగళూరు మధ్య 132 కి.మీ. దూరమును ప్రయాణించుటకు ఒక ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు, ప్యాసింజర్ రైలు కంటే 1 గంట సమయము తక్కువ తీసుకొంటుంది. (మధ్యలో ఆగే సమయాలను లెక్కలోకి తీసుకోలేదు) ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు సగటు వేగము, ప్యాసింజర్ రైలు వేగం కంటే 11కి.మీ/గ్రంట ఎక్కువ అయిన రెండు రైళ్ల వేగాలను కనుగొనుము.
సాధన.
ప్యాసింజర్ రైలు సగటు వేగం = x కి.మీ/గం.
అనుకొంటే ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు సగటు వేగం = (x + 11) కి.మీ./గం.
మైసూర్, బెంగళూరుల మధ్య దూరం = 132 కి.మీ.
మైసూర్, బెంగళూరుల మధ్య ప్రయాణానికి ప్యాసింజర్ రైలుకు పట్టే కాలం = \(\frac{132}{x}\) గం.
132 ఎక్స్ ప్రెస్ రైలుకు పట్టే కాలం = \(\frac{132}{x+11}\) గం.
లెక్క ప్రకారం ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు, ప్యాసింజర్ రైలుకన్నా 1 గం. సమయం తక్కువ తీసుకుంటుంది.
\(\frac{132}{x+11}=\frac{132}{x}-1\)

\(\frac{132}{x+11}-\frac{132}{x}\) = – 1

\(\frac{132 x-132(x+11)}{x(x+11)}\) = – 1

132x – 132x – 1452 = -x (x + 11)
– 1452 = – x² – 11 x
– x² + 11 x – 1452 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = 11, c = – 1452
∴ b² – 4ac = (11)² – 4 (1) (- 1452)
= 121 – 5808 = 5929
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-11 \pm \sqrt{5929}}{2(1)}\)

x = \(\frac{-11 \pm 77}{2}\)

5929 = 11 × 11 × 7 × 7
= (11 × 7)² = (77)²
∴ x = \(\frac{-11+77}{2}=\frac{66}{2}\) = 33 లేదా

x = \(\frac{-11-77}{2}=\frac{-88}{2}\) = – 44

రైలు వేగము రుణాత్మకం కాదు. కావున x = 33.
∴ ప్యాసింజర్ రైలు వేగం x = 33 కి.మీ./గం.
ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు వేగం = (x + 11)
= 33 + 11 = 44 కి.మీ./గం.

సరిచూచుట :
ప్యాసింజర్ రైలు ప్రయాణ కాలం = \(\frac{132}{33}\) = 4 గం.
ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు ప్రయాణ కాలం = \(\frac{132}{44}\) = 3 గం.

ప్రశ్న 11.
రెండు చతురస్రాల వైశాల్యాల మొత్తం 468 చ.మీ వాని చుట్టుకొలతల భేదము 24 మీ. అయిన ఆ రెండు చతురస్రాల భుజాలను కనుగొనుము.
సాధన.
రెండు చతురస్రాల యొక్క భుజాలు వరుసగా x మీ., y మీ అనుకొందాం.
వైశాల్యం = y²
చుట్టుకొలత = 4y
వైశాల్యం = x²
చుట్టుకొలత = 4x
లెక్క ప్రకారం,
రెండు చతురస్రాల వైశాల్యాలు మొత్తం = 468 చ.మీ.
x² + y² = 468 ……….. (1)
మరియు వాటి చుట్టుకొలతల భేదం = 24 మీ.
4x – 4y = 24
4(x – y) = 24
x – y = \(\frac{24}{4}\) = 6.
x – 6 = y ను (1)లో ప్రతిక్షేపించగా
x² + (x – 6)² = 468
x² + x² – 12x + 36 = 468
2x² – 12x + 36 – 468 = 0
2x² – 12x – 432 = 0
ఇక్కడ a = 2, b = – 12, c = – 432
b² – 4ac = (- 12)² – 4 (2) (-432)
= 144 + 3456 = 3600
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-(-12) \pm \sqrt{3600}}{2(2)}\)

x = \(\frac{12 \pm 60}{4}\)

x = \(\frac{12+60}{4}=\frac{72}{4}\) లేదా

x = \(\frac{12-60}{4}=\frac{-48}{4}\)
చతురస్ర భుజం కొలత ఋణాత్మకం కాదు. కావున x = 18 ,
18 – 6 = y
y = 12
రెండు చతురస్రాల భుజాలు 18 మీ. మరియు 12మీ.

సరిచూచుట :
రెండు చతురస్రాల వైశాల్యాల భేదం = 18² – 12²
= 324 – 144 = 180.

ప్రశ్న 12.
‘n’ భుజాలు గల ఒక బహుభుజిలోని కర్ణాల సంఖ్య \(\frac{1}{2}\) n (n – 3). అయితే 65 కర్ణాలు గల బహుభుజి యొక్క భుజాల సంఖ్య ఎంత ? 50 కర్ణాలు గల బహుభుజి వ్యవస్థితమౌతుందా ?
సాధన.
n భుజాలు గల బహుభుజిలోని కర్ణాల సంఖ్య = \(\frac{1}{2}\) n(n – 3)
లెక్క ప్రకారం బహుభుజి యొక్క కర్ణాల సంఖ్య = 65
∴ \(\frac{1}{2}\) n (n – 3) = 65
n² – 3n = 130
n² – 3n – 130 = 0
ఇది n లో వర్గ సమీకరణము.
a = 1, b = – 3, c = – 130
∴ b² – 4ac = (- 3)² – 4 (1) (-130)
= 9 + 520 = 529
వర్గ సూత్రం n = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

n = \(\frac{-(-3) \pm \sqrt{529}}{2(1)}=\frac{3 \pm 23}{2}\)

n = \(\frac{3+23}{2}=\frac{26}{2}\) = 13

n = \(\frac{3-23}{2}=\frac{-20}{2}\) = – 10
భుజాల సంఖ్య రుణాత్మకం కాదు. కావున
∴ n = 13
∴ కర్ణాల సంఖ్య 65 గల బహుభుజి యొక్క భుజాల సంఖ్య n = 13

(ii) కర్ణాల సంఖ్య 50 అయితే
\(\frac{1}{2}\) n (n – 3) = 50
n (n – 3) = 100
n² – 31 – 100 = 0
ఇది n లో వర్గ సమీకరణము ……….. (1)
a = 1, b = – 3, c = – 100
b² – 4ac = (- 3)² – 4 (1) (- 100)
= 9 + 400 = 409
వర్గ సూత్రం n = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
n = \(\frac{-(-3) \pm \sqrt{409}}{2(1)}=\frac{3 \pm \sqrt{409}}{2}\)
409 ఖచ్చిత వర్గ సంఖ్య కాదు. అనగా దీని వర్గమూలం పూర్ణసంఖ్య కాదు. కావున n విలువ పూర్ణ సంఖ్య కాదు.
కావున కర్ణాల సంఖ్య 50 గా గల బహుభుజి వ్యవస్థితం కాదు.

2వ పద్ధతి :
\(\frac{1}{2}\) n (n – 3) = 50
∴ n² – 3n = 100
n² – 3n – 100 = 0
a = 1, b = – 3, c = – 100
b² – 4ac = (- 3)² – 4 (1) (- 100)
= 9 + 400 = 409

b² – 4ac > 0 మరియు ఖచ్ఛిత వర్గ సంఖ్య కాదు. కావున వర్గ సమీకరణ మూలాలు వాస్తవాలై కరణీయ సంఖ్యలు అవుతాయి. అంటే n విలువ కరణీయ సంఖ్య అవుతుంది. కాని బహుభుజి భుజాల సంఖ్య ఎల్లప్పుడు 3 కన్నా పెద్దదైన సహజ సంఖ్య. కావున కర్ణాల సంఖ్య 50 గా గల బహుభుజి వ్యవస్థితం కాదు.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2

ప్రశ్న 1.
కారణాంక పద్ధతిన క్రింది వర్గ సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనుము.
(i) x² – 3x – 10 = 0
సాధన.
x² – 3x – 10 = 0

x² – 5x + 2x – 10 = 0
x (x – 5) + 2(x – 5) = 0
(x – 5) (x + 2) = 0
x – 5 = 0
x = 5
x + 2 = 0
x = – 2.
∴ మూలాలు 5 మరియు – 2.

(ii) 2x²2 + x – 6 = 0
సాధన.
2x² + x – 6 = 0

2x² – 3x + 4x – 6 = 0
x (2x – 3) + 2(2x – 3) = 0
(2x – 3) (x + 2) = 0
2x – 3 = 0
2x = 3
x + 2 = 0
x = – 2
∴ మూలాలు , మరియు – 2.

(iii) √2x² + 7x + 5√2 = 0
సాధన.
√2 x² + 7x + 5√2 = 0

√2 x² + 5x + 2x + 5√2 = 0
x(√2 x + 5) + √2 (√2 x + 5) = 0
(√2 x + 5) (x + √2) = 0
√2x + 5 = 0
√2x = – 5
x = \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\)

x + √2 = 0
x = – √2
∴ మూలాలు \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\), మరియు – √2.

(iv) 2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
సాధన.
2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0

\(\frac{16 x^{2}-8 x+1}{8}\) = 0
∴ 16x² – 4x + 4x + 1 = 0
4x(4x – 1) – 1(4x – 1) = 0.
(4x – 1)(4x – 1) = 0
4x – 1 = 0
4x = 1
x = \(\frac{1}{4}\)

4x – 1 = 0
4x = 1
x = \(\frac{1}{4}\)

∴ మూలాలు \(\frac{1}{4}\), మరియు \(\frac{1}{4}\)

(v) 100x² – 20x + 1 = 0
సాధన.
100x² – 20x + 1 = 0

100x² – 10x – 10x + 1 = 0
10x(10x – 1) – 1(10x – 1) = 0
(10x – 1) (10x – 1) = 0
(10x – 1)² = 0
10x – 1 = 0
10x = 1
x = \(\frac{1}{10}\) ఈ సందర్భంలో మూలాలు సమానం.
∴ మూలాలు \(\frac{1}{10}\), \(\frac{1}{10}\).

(vi) x(x + 4) = 12
సాధన.
x(x + 4) = 12

x² + 4x = 12
x² + 4x – 12 = 0
x² – 2x + 6x – 12 = 0
x(x – 2) + 6(x – 2) = 0
(x – 2) (x + 6) = 0
x – 2 = 0
x = 2

x + 6 = 0
x = – 6
∴ మూలాలు 2 మరియు – 6.

(vii) 3x² – 5x + 2 = 0
సాధన.
3×2 – 5x + 2 = 0

3x² – 2x – 3x + 2 = 0
x (3x – 2) – 1(3x – 2) = 0
(3x – 2) (x – 1) = 0
3x – 2 = 0
3x = 2
x = \(\frac{2}{3}\)

x – 1 = 0
x = 1
∴ మూలాలు \(\frac{2}{3}\), మరియు 1.

(viii) x – \(\frac{3}{x}\) = 2
సాధన.
x – \(\frac{3}{x}\) = 2

\(\frac{x^{2}-3}{x}\) = 2
x² – 3 = 2x
x² – 2x – 3 = 0
x² – 3x + x – 3 = 0 –
x (x – 3) + 1(5 – 3) = 0.
(x – 3) (x + 1) = 0
x – 3 = 0
x = 3
x + 1 = 0
x = – 1
∴ మూలాలు 3 మరియు – 1.

(ix) 3(x – 4)² – 5(x – 4) = 12
సాధన.
3(x – 4)² – 5(x – 4) = 12
x – 4 = t అనుకొంటే

3t² – 5t = 12.
3t² – 5t – 12 = 0
3t² – 9t + 4t – 12 = 0.
3t (t – 3) + 4(t – 3) = 0
(t – 3) (3t + 4) = 0
t – 3 = 0
t = 3
3t + 4 = 0
3 t = – 4
3 t = \(\frac{-4}{3}\)
కాని x – 4 = t
x – 4 = 3
x = 3 + 4 = 7
x – 4 = \(\frac{-4}{3}\)
x = \(\frac{-4}{3}\) + 4
x = \(\frac{-4+12}{3}\)
x = \(\frac{8}{3}\)
∴ మూలాలు 7 మరియు \(\frac{8}{3}\).

ప్రశ్న 2.
మొత్తము 27, లబ్ధము 182 అయ్యే విధంగా రెండు సంఖ్యలను – కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక సంఖ్య = x అనుకొందాం.
రెండవ సంఖ్య = 27 – x
(∵ రెండు సంఖ్యల మొత్తం 27)
లెక్క ప్రకారం రెండు సంఖ్యల లబ్దం = 182

x(27 – x) = 182
27x – x² = 182
– x² + 27x – 182 = 0
x² – 27x + 182 = 0
x² – 13x – 14x + 182 = 0
x(x – 13) – 14(x – 13) = 0
(x – 13) (x – 14) = 0
x – 13 = 0
x = 13
x – 14 = 0
x = 14
ఒక సంఖ్య x = 13 అయిన రెండవ సంఖ్య = 27 – x = 27 – 13 = 14
ఒక సంఖ్య x = 14 అయిన రెండవ సంఖ్య = 27 – x = 27 – 14 = 13
∴ కావలసిన సంఖ్యలు 13, 14

సరిచూసుకోవడం :
13 × 14 = 182

ప్రశ్న 3.
రెండు వరుస ధన పూర్ణ సంఖ్యల వర్గాల మొత్తము 613 అయిన ఆ సంఖ్యలను కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి సంఖ్య = x అనుకొందాం.
రెండవ సంఖ్య = x + 1
(∵ రెండు సంఖ్యలు వరుస ధనపూర్ణ సంఖ్యలు)
రెండు వరుస ధనపూర్ణ సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం = 613
x² + (x + 1)² = 613

x² + x² + 2x + 1 = 613
2x² +2x + 1 – 613 = 0
2x² + 2x – 612 = 0
2(x² + x – 306) = 0
x² + x – 306 = 0
x² – 17x + 18x – 306 = 0
x(x – 17) + 18(x – 17) = 0
(x – 17) (x + 18) = 0
x – 17 = 0
x = 17
x + 18 = 0
x = – 18
∴ x = – 18 ధనపూర్ణ సంఖ్య కాదు.
∴ x = 17 ధనపూర్ణ సంఖ్య
మొదటి సంఖ్య x = 17 .
రెండవ సంఖ్య = x + 1 = 17 + 1 = 18

సరిచూసుకోవడం :
17² + 18² = 289 + 324 = 613.

ప్రశ్న 4.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు దాని భూమి కంటే 7 సెం.మీ. తక్కువ. కర్ణము పొడవు 13 సెం.మీ. అయిన మిగిలిన రెండు భుజాలను కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క భూమి = x సెం.మీ. . అనుకొనుము.
ఎత్తు = (x – 7) సెం.మీ.

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం భుజము 2 + భుజము 2 = కర్ణము?
x² + (x – 7)² = 132
x² + x² – 14x + 49 = 169
2x² – 14x + 49 – 169 = 0
2x² – 14x – 120 = 0
2(x² – 7x – 60) = 0
x² – 7x – 60 = 0

x² – 12x + 5x – 60 = 0
(x – 12) + 5(x – 12) = 0
(x – 12) (x + 5) = 0
x – 12 = 0
x = 12
x + 5 = 0
x = – 5 త్రిభుజ భుజం కొలత రుణాత్మకం కాదు.
కావున x = 12 భూమి = 12 సెం.మీ.
ఎత్తు = x – 7 = 12 – 7 = 5 సెం.మీ.

సరిచూచుట :
భూమి 2 + ఎత్తు = 122 + 52
= 144 + 25 = 169
= (13)² = కర్ణం².

ప్రశ్న 5.
ఒక కుటీర పరిశ్రమలో ప్రతిరోజు ఒక నియమిత సంఖ్యలో వస్తువులను తయారు చేస్తారు. ఒక రోజు తయారైన ఒక్కొక్క వస్తువు ఖరీదు (రూపాయిలలో) ఆ రోజు తయారైన వస్తువుల సంఖ్యకు రెట్టింపు కంటే -3 ఎక్కువ. ఆ రోజు తయారైన మొత్తం వస్తువుల ఖరీదు ₹ 90 అయిన ఆ రోజు తయారైన మొత్తం వస్తువుల సంఖ్య మరియు ఒక్కొక్క వస్తువు ఖరీదును కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక రోజు తయారైన వస్తువుల సంఖ్య = x అనుకొందాం.
ఆ రోజు తయారైన ఒక్కొక్క వస్తువు ఖరీదు = 2x + 3
(∵ ఆ రోజు తయారైన వస్తువుల సంఖ్యకు రెట్టింపు కంటే 3 ఎక్కువ).
ఆ రోజు తయారైన మొత్తం వస్తువుల ఖరీదు = ₹ 90
x(2x + 3) = 90
2x² + 3x = 90

2x² + 3x – 90 = 0.
2x² – 12x + 15x – 90 = 0
2x (x – 6) + 15 (x – 6) = 0
(x – 6) (2x + 15) = 0
2x + 15 = 0
2x = – 15
x = \(\frac{-15}{2}\)
x – 6 = 0
x = 6
వస్తువుల సంఖ్య రుణాత్మకం కాదు.
కావున ఒక రోజు తయారైన వస్తువుల సంఖ్య = 6
ఆ రోజు తయారైన ఒక్కొక్క వస్తువు ఖరీదు = 2 × (6) + 3 = 12 + 3 = ₹ 15

సరిచూచుకోవడం :
మొత్తం ఖరీదు 6 × 15 = 90

ప్రశ్న 6.
ఒక దీర్ఘచతురస్రము యొక్క చుట్టుకొలత 28 మీ. మరియు దాని వైశాల్యం 40 చ.మీ. అయిన దీర్ఘచతురస్రము యొక్క కొలతలను కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు = x మీ.
దీర్ఘచతురస్ర వెడల్పు = y మీ. అనుకొనుము.

లెక్క ప్రకారం దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత = 28 మీ.
2 (x + y) = 28
⇒ x + y = \(\frac{28}{2}\) = 14
⇒ y = 14 – x …………. (1)
మరియు దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = 40 చ.మీ.
x . y = 40 ………… (2)
(1) & (2) ల నుండి
x (14 – x) = 40
14x – x² = 40
– x² + 14x – 40 = 0
x² – 14x + 40 = 0
x² – 10x – 4x + 40 = 0
x(x – 10) – 4(x – 10) = 0
(x – 10) (x – 4) = 0
x – 10 = 0
x = 10
x – 4 = 0
x = 4
పొడవు x = 10 మీ. అయితే ఈ వెడల్పు 14 – x = 14 -10 = 4 మీ.
పొడవు 4 మీ. అయితే వెడల్పు 14 – 4 = 10 మీ.
∴ దీర్ఘచతురస్ర కొలతలు 10 మరియు 4.

ప్రశ్న 7.
ఒక త్రిభుజము యొక్క భూమి, దాని ఎత్తు కంటే 4 సెం.మీ. ఎక్కువ. ఈ త్రిభుజ వైశాల్యము 48 చ.సెం.మీ. అయిన దాని భూమిని, ఎత్తును కనుగొనుము.
సాధన.
త్రిభుజము యొక్క ఎత్తు = x సెం.మీ. అనుకొనిన
భూమి = (x + 4) సెం.మీ.
లెక్క ప్రకారం త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యము = 48 చ.సెం.మీ.
\(\frac{1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు = 48
\(\frac{1}{2}\) × (x + 4) x = 48
\(\frac{1}{2}\) × (x² + 4x) = 48

x² + 4x = 96
x² + 4x-96 = 0
x² – 8x + 12x – 96 = 0
x(x – 8) + 12(x – 8) = 0
(x – 8) (x + 12) = 0
x – 8 = 0
x = 8
x + 12 = 0
x= – 12
త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు రుణాత్మకం కాదు.
కావున x = 8.
∴ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు x = 8 సెం.మీ.

సరిచూచుకోవడం :
భూమి x + 4 = 8 + 4 = 12 సెం.మీ.
త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × 8 × 12 = 48 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 8.
రెండు రైళ్లు ఒక స్టేషన్ నుంచి ఒకే సమయంలో ఒకటి పడమరకు, మరియొకటి ఉత్తరం వైపుకు బయలుదేరును. మొదటి రైలు, రెండవ రైలు కంటే 5 కి.మీ./గంట ఎక్కువ వేగంతో ప్రయాణిస్తుంది. అవి బయలుదేరిన రెండు గంటల తరువాత ఒకదానికొకటి 50 కి.మీ. దూరంలో వున్న ఒక్కొక్క రైలు సగటు వేగం ఎంత ?
సాధన.
రెండవ రైలు వేగం = x కి.మీ./గం. అనుకొనిన ,
మొదటి రైలు వేగం = (x + 5) కి.మీ/గం.
రెండు రైళ్ళు B వద్ద బయలుదేరాయి అనుకొంటే
దూరం = కాలం × వేగం
2 గంటలలో మొదటి రైలు ప్రయాణించిన దూరం BC = 2(x + 5) = 2x + 10
రెండవ రైలు ప్రయాణించిన దూరం BA = 2x

ABC లంబకోణ త్రిభుజము AB² + BC² = AC (∵ పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం) ,
(2x)² + (2x + 10)² = 50²
4x² + (2x)² + 2.2x. 10 + 10² = 2500
4x² + 4x² + 40x + 100 = 2500
8x² + 40x + 100 – 2500 = 0
8x² + 40x – 2400 = 0
8(x² + 5x – 300) = 0
x² + 5x – 300 = 0

x² – 15x + 20x – 300 = 0
x(x – 15) + 20(x – 15) = 0
(x – 15) (x + 20) = 0
x – 15 = 0
x = 15
x + 20 = 0
x = – 20
వేగము రుణాత్మకం కాదు. కావున x = 15.
∴ రెండవ రైలు వేగం x = 15 కి.మీ/గం.
మొదటి రైలు వేగం x + 5 = 15 + 5 = 20 కి.మీ/గం.

ప్రశ్న 9.
60 మంది విద్యార్థులు గల తరగతిలో ప్రతి అబ్బాయి, అమ్మాయిల సంఖ్యకు సమానమైన సొమ్మును, ప్రతి అమ్మాయి అబ్బాయిల సంఖ్యకు సమానమైన సొమ్మును చందాగా ఇచ్చారు. మొత్తం వసూలైన సొమ్ము ₹ 1600 అయిన తరగతిలో ఎంత మంది అబ్బాయిలు గలరు ?
సాధన.
తరగతిలోని అబ్బాయిల సంఖ్య = x
అనుకొనిన అమ్మాయిల సంఖ్య = 60 – x
(∵ తరగతిలో విద్యార్థులు 60 మంది)
తరగతిలోని ప్రతి అబ్బాయి చెల్లించే చందా = x (60 – x)
అబ్బాయిల చందా = x (60 – x) = 60x – x²
తరగతిలోని ప్రతి అమ్మాయి చెల్లించే చందా = x
అమ్మా యిల చందా = (60 – x)x = 60x – x²
మొత్తం వసూలైన సొమ్ము = ₹ 1600.
అబ్బాయిల చందా + అమ్మాయిల చందా= 1600.
60x – x² + 60x – x² = 1600
120x – 2x² = 1600

– 2x² + 120x – 1600 = 0
– 2(x² – 60x + 800) = 0
∴ x² – 60x + 800 = 0
x² – 20x – 40x + 800 = 0
x(x – 20) – 40 (x – 20) = 0
(x – 20) (x – 40) = 0
x – 20 = 0
x = 20.
x – 40 = 0
x = 40
తరగతిలోని అబ్బాయిల సంఖ్య x = 20 లేదా 40.
తరగతిలోని అమ్మాయిల సంఖ్య x = 40 లేదా 20.

ప్రశ్న 10.
గంటకు 3 కి.మీ వేగంతో ప్రయాణిస్తున్న ఒక నదిలో ఒక మోటారు బోటు 24 కి.మీ. దూరము ప్రయాణించి తిరిగి బయలుదేరిన స్థానానికి రావడానికి పట్టిన కాలం 6 గంటలైన బోటు స్థిరవేగంతో ప్రయాణించినదని భావించి దాని వేగమును కనుగొనుము.
సాధన.
నది ప్రవాహ వేగం = 3 కి.మీ./గం.
నిలకడ నీటిలో పడవ వేగం = x కి.మీ/గం. అనుకొనుము.
ప్రవాహ దిశలో పడవ వేగం = (x + 3) కి.మీ/గం||
24 కి.మీ ప్రయాణించుటకు పటుకాలం = దూరం/వేగం = 24/x + 3 గం.
ప్రవాహ దిశకు ఎదురుగా పడవ వేగం = (x – 3) కి.మీ/గం.
24 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టు కాలం = \(\frac{24}{x-3}\) కి.మీ/గం.
మొత్తం ప్రయాణ కాలము = 6గం.
∴ \(\frac{24}{x+3}+\frac{24}{x-3}\) = 6

\(\frac{24(x-3)+24(x+3)}{(x+3)(x-3)}\) = 6

\(\frac{24 x-72+24 x+72}{x^{2}-9}\) = 6

\(\frac{48 x}{x^{2}-9}\) = 48x

6(x² – 9) = 48x
6x² – 54 = 48x
6x² – 48x – 54 = 0

6x² – 54x + 6x – 54 = 0
6x (x – 9) + 6(x – 9) = 0
(x – 9) (6x + 6) = 0
x – 9 = 0
6x + 6 = 0
6x = – 6
x = \(\frac{-6}{6}\)
x = – 1
పడవ వేగం రుణాత్మకం కాదు, కావున x = 9.
∴ నిలకడ నీటిలో పడవ వేగం x = 9 కి.మీ./గం.

సరిచూసుకోవడం :
ప్రవాహ దిశలో ప్రయాణ కాలం = \(\frac{24}{9+3}=\frac{24}{12}\) = 2 గం.
= \(\frac{24}{9-3}=\frac{24}{6}\) = 4 గం.
మొత్తం ప్రయాణ కాలం = 2 + 4 = 6 గం.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.1

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాలు వర్గ సమీకరణాలు అవునో, కాదో నిర్ణయించండి.

(i) (x + 1)² = 2(x – 3)
సాధన.
(x + 1)² = 2(x – 3),
[: (a + b)² = a² + 2ab + b²]
⇒ x² + 2x + 1 = 2x – 6
⇒ x² + 2x + 1 – 2x + 6 = 0
⇒ x² + 7 = 0
⇒ x² + 0. x + 7 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0, b= 0, రూపంలో కలదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణము.

(ii) x² – 2x = – 2(3 – x)
సాధన.
x² – 2x = (- 2) (3 – x)
⇒ x² – 2x = – 6 + 2x
⇒ x² – 2x + 6 – 2x = 0.
⇒ x² – 4x + 6 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణము.

(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
సాధన.
(x – 2) (x + 1) = (x – 1)(x + 3)
⇒ x² + x – 2x – 2 = x² + 3x – x – 3
⇒ x² – x – 2 = x² + 2x – 3
⇒ x² – x – 2 – x² – 2x + 3
⇒ – 3x + 1 = 0
దీని పరిమాణం 1. ఇది ax2 + bx + c = 0 రూపంలో లేదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణం కాదు.

(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
సాధన.
(x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
⇒ 2x² + x – 6x – 3 = x² + 5x
⇒ 2x² – 5x – 3 – x² – 5x = 0
⇒ x² – 10x – 3 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణము.

(v) (2x – 1)(x – 3) = (x + 5) (x – 1)
సాధన.
(2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
⇒ 2x² – 6x – x + 3 = x² – x + 5x – 5
⇒ 2x² – 7x + 3 = x² + 4x – 5
⇒ 2x² – 7x + 3 – x² – 4x + 5 = 0
⇒ x² – 11x + 8 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణము.

(vi) x² + 3x + 1 = (x – 2)²
సాధన.
x² + 3x + 1 = (x – 2)²
[:: (a – b)² = a² – 2ab + b²]
⇒ x² + 3x + 1 = x² – 4x + 4
⇒ x² + 3x + 1 – x² + 4x – 4 = 0
⇒ 7x – 3 = 0
దీని పరిమాణం 1. ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో లేదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణం కాదు.

(vii) (x + 2)³ = 2x (x² – 1)
సాధన.
(x + 2)³ = 2x (x² – 1)
[∵ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³)]
⇒ x³ + 6x² + 12x + 8 = 2x³ – 2x
⇒ x³ + 6x² + 12x + 8 – 2x³ + 2x = 0
⇒ – x³ + 6x² + 14x + 8 = 0
దీని పరిమాణం 3. ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో లేదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణం కాదు.

(viii) x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
సాధన.
x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
[∵ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³]
⇒ x³ – 4x² – x + 1 = x³ – 6×2 + 12x – 8
⇒ x³ – 4x² – x + 1 – x³ + 6x² – 12x + 8
⇒ 2x² – 13x + 9 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణము.

ప్రశ్న 2.
క్రింది వానికి సరియగు వర్గ సమీకరణాలను కనుగొనుము.
i) ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార స్థలము యొక్క వైశాల్యము 528 చ.మీ. దీని పొడవు, వెడల్పు యొక్క రెట్టింపు కంటే ఒక మీటరు ఎక్కువ. అయిన దాని పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుటకు అవసరమైన వర్గ సమీకరణమును కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘచతురస్ర వెడల్పు x మీ. అనుకొనిన
‘పొడవు = 2x + 1.
లెక్క ప్రకారం దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = 528 చ.మీ.
పొడవు × వెడల్పు = 528.
(2x + 1) (x) = 528
2x² + x = 528
2x² + x – 528 = 0
∴ పై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలలో సాధ్యమైన విలువ దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వెడల్పు అవుతుంది. వెడల్పు సహాయంతో పొడవును కనుగొనవచ్చును.

(ii) రెండు వరుస ధన పూర్ణ సంఖ్యల లబ్దము 306. అయిన ఆ సంఖ్యలను కనుగొనుటకు అవసరమయ్యే వర్గ సమీకరణమును కనుగొనుము/రాయుము.
సాధన.
రెండు వరుస ధన పూర్ణసంఖ్యలు x, x + 1 అనుకొందాం.
లెక్క ప్రకారం రెండు వరుస ధనసంఖ్యల లబ్దం = 306
x(x + 1) = 306
x² + x = 306
∴ x² + x – 306 = 0
పై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలలోని ధన విలువ చిన్న సంఖ్య అవుతుంది. దాని నుండి రెండవ సంఖ్యను కనుగొనవచ్చును..

(iii) రోహన్ తల్లి, రోహన్ కంటే 26 సం||లు పెద్దది. 3సం||లు తరువాత వారిద్దరి వయస్సుల లబ్దం 360. అయిన రోహన్ యొక్క ప్రస్తుత వయస్సును కనుగొనుటకు అవసరమయ్యే వర్గసమీకరణమును రాయుము.
సాధన.
రోహన్ ప్రస్తుత వయస్సు = x సం||లు అనుకొంటే

లెక్క ప్రకారం 3 సం||ల తర్వాత వారిద్దరి వయస్సుల లబ్దం = 360
(x + 3) (x + 29) = 360
= x ²+ 29x + 3x + 87 = 360
= x² + 32x + 87-360 = 0
= x² + 32x – 273 = 0
పై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలలోని ధన విలువ రోహన్ యొక్క వయస్సు అవుతుంది.

(iv) 480 కి.మీ. దూరమును ఒక రైలు ఏకరీతి వేగముతో ప్రయాణిస్తుంది. ఒకవేళ ఇదే రైలు ఇప్పటి వేగం కంటే 8కి.మీ తక్కువ వేగముతో ప్రయాణిస్తే గమ్యం చేరుటకు పట్టే కాలం 3 గం||లు పెరుగుతుంది. అయిన రైలు వేగమును కనుగొనుటకు కావలసిన వర్గ సమీకరణమును కనుగొనుము.
సాధన.
రైలు వేగం = x కి.మీ. | గం|| అనుకొంటే
480 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే కాలం = \(\frac{480}{x}\) గం||.
రైలు వేగం 8 కి.మీ. | గం|| తగ్గిన తర్వాత రైలు వేగం = (x – 8) కి.మీ. గం||.
రైలు 480 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే కాలం = \(\frac{480}{x-8}\) గం॥..
లెక్క ప్రకారం \(\frac{480}{x-8}=\frac{480}{x}+3\)
∴ \(\frac{480}{x-8}=\frac{480}{x}\) = 3
\(\left[\frac{x(480)-(x-8)(480)}{x(x-8)}\right]\)
⇒ 3840 = 3(x² – 8x)
⇒ 3x² – 24x = 3840
⇒ 3x² – 24x – 3840 = 0
⇒ 3(x² – 8x – 1280) = 0
⇒ x² – 8x – 1280 = 0.
పై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలలో ఒకటి రైలు యొక్క వేగము అవుతుంది.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
కింది సమీకరణాల వ్యవస్థను సాధించండి. (పేజీ నెం. 79)
(i) x – 2y = 0; 3x + 4y = 20
(ii) x + y = 2; 2x + 2y = 4
(iii) 2x – y = 4; 4x – 2y = 6
సాధన.
(i) x – 2y = 0; 3x + 4y = 20
x – 2y = 0
– 2y = – x
2y = x
y = \(\frac{x}{2}\)

3x + 4y = 20
4y = 20 – 3x
y = \(\frac{20-3 x}{4}\)

∴ సాధన ఇచ్చిన సమీకరణాల సాధన జత ఖండనరేఖలు.
(x, y) = (4, 2)
x = 4, y = 2.

(ii) x + y = 2;
2x + 2y = 4
సాధన.
x + y = 2
y = 2 – x

2x + 2y = 4
2y = 4 – 2x
⇒ y = \(\frac{4-2 x}{2}\)

ఇచ్చిన సమీకరణాల జత ఏకీభవించే రేఖలు. కావున అనంత సాధనలు ఉంటాయి.

(iii) 2x – y = 4
4x – 2y = 6
సాధన.
2x – y = 4
– y = 4 – 2x
y = 2x – 4

4x – 2y = 6
– 2y = 6 – 4x
⇒ 2y = 4x – 6
⇒ y = \(\frac{4 x-6}{2}\)

∴ ఇచ్చిన సమీకరణాల జత అసంగత రేఖీయ సమీకరణాలు. కావున సాధన ఉండదు.

ప్రశ్న 2.
x + 2y – 4 = 0 మరియు 2x + 4y – 12 = 0 సమీకరణాలను గ్రాఫ్ ద్వారా సూచించండి. వ్యాఖ్యానించండి. (పేజీ నెం. 79)
సాధన.
x + 2y – 4 = 0 ……………….(1)
2x + 4y – 12 = 0 …………….. (2)
x + 2y – 4 = 0
2x + 4y – 12 = 0
2y = 4 – x
y = \(\frac{4-x}{2}\)

2x + 4y – 12 = 0
4y = 12 – 2x
y = \(\frac{12-2 x}{4}\)

పై గ్రాఫ్ నుండి, ఈ రెండు రేఖీయ సమీకరణాలు అసంగత రేఖీయ సమీకరణాలని తెలుస్తుంది. అనగా సమాంతరాలు, ఖండన బిందువులు లేవు, ఉమ్మడి సాధన లేదు.

ప్రశ్న 3.
కింది సమీకరణాల జతలకు ఏకైక సాధన, అనంత సాధనలా లేక సాధనలు లేవో సరిచూడండి. వాటిని గ్రాఫ్ పద్ధతి ద్వారా సాధించండి.
(i) 2x + 3y = 1
3x – y = 7

(ii) x + 2y = 6
2x + 4y = 12

(iii) 3x + 2y = 6
6x + 4y = 18 (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
(i) 2x + 3y = 1, 3x – y = 7
2x + 3y = 1 ⇒ 2x + 3y – 1 = 0 ………. (1)
3x – y = 7 ⇒ 3x – y – 7 = 0 ………. (2)
a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = – 1
a₂ = 3, b₂ = – 1, c₂ = – 7
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{3}\),

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{3}{-1}\) = – 3

\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}} \neq \frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}\) కావున ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జత ఏకైక సాధనను కలిగి ఉంటుంది. వీటి రేఖాచిత్రము ఖండన రేఖలు అవుతాయి. 2x + 3y = 1

2x + 3y = 1
3y = 1 – 2x
y = \(\frac{1-2 x}{3}\)

3x – y = 7
– y = 7 – 3x
y = 3x – 7

(ii) x + 2y = 6
* 2x + 4y = 12
సాధన.
x + 2y – 6 = 0 … ……. (1)
a₁ = 1, b₁ = 2, c₁ = – 6
2x + 4y – 12 = 0 ………. (2)
a₂ = 2, b₂ = 4, c₂ = – 12

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\);

∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
కావున ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జత పరస్పరాధారిత రేఖల జత అవుతుంది. వీటికి అనంత సాధనలు సమకరణాల జత పర సాధనలు ఉంటాయి, మరియు వీటి గ్రాఫ్ ఏకీభవించే రేఖలు.
x + 2y = 6
2y = 6 – x
y = \(\frac{6-x}{2}\)

2x + 4y = 12
4y = 12 – 2x
y = \(\frac{12-2 x}{4}\)

సాధన రేఖపై గల అన్ని బిందువులు సాధనలు అవుతాయి.

(iii) 3x + 2y = 6
6x + 4y = 18
సాధన.
3x+2y – 6 = 0
⇒ a₁ = 3, b₁ = 2, c₁ = 6

6x+4y – 18 = 0
⇒ a₂ = 6, b₂ = 4, c₂ = 18

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\).
కావున ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాలు అసంగత సమీకరణాలు అవుతాయి. కావున వీటికి a b2 C2 సాధన ఉండదు. వీటి రేఖాచిత్రం సమాంతర రేఖలు
3x + 2y = 6
2y = 6 – 3x
y = \(\frac{6-3 x}{2}\)

6x + 4y = 18
4y = 18 – 6x
y = \(\frac{18-6 x}{4}\)

ప్రయత్నించండి:
ఈ కింది ప్రశ్నలకు సరియైన సమాధానాన్ని గుర్తించండి. (పేజీ నెం. 75, 76)

ప్రశ్న 1.
ఈ కింది సమీకరణాలలో ఏది రేఖీయ సమీకరణం కాదు ?
a) 5 + 4x = y + 3
b) x + 2y = y – x
c) 3 – x = y² + 4
d) x + y = 0
సాధన.
c) 3 – x = y² + 4

ప్రశ్న 2.
ఈ క్రింది వాటిలో ఏది ఏక చరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణము ?
a) 2x + 1 = y – 3
b) 2t – 1 = 2t + 5
c) 2x – 1 = x²
d) x² – x + 1 = 0
సాధన.
b) 2t – 1 = 2t + 5

ప్రశ్న 3.
క్రింది సంఖ్యలలో ఏది 2(x + 3) = 18 అనే సమీకరణానికి సాధన ?
a) 5
b) 6
c) 13
d) 21
సాధన.
b) 6

ప్రశ్న 4.
2x – (4 – x) = 5 – x అనే సమీకరణాన్ని తృప్తిపరచే x విలువ
a) 4.5
b) 3
c) 2.25
d) 0.5
సాధన.
c) 2.25

ప్రశ్న 5.
x – 4y = 5 అనే సమీకరణానికి
a) సాధనలేదు
b) ఒకే ఒక సాధన
c) రెండు సాధనలు
d) అనంతమైన సాధనలు
సాధన.
d) అనంతమైన సాధనలు

ప్రశ్న 6.
ఎమ్.కె. నగర్ ఉన్నత పాఠశాల క్రికెట్ జట్టు శిక్షకుడు 3 బ్యా ట్లు మరియు 6 బంతులను ₹ 3900 లకు కొనెను. తరువాత అతడు మరియొక బ్యాట్ మరియు 2 బంతులను ₹ 1300 లకు కొనెను. ప్రతీ బ్యాటు మరియు ప్రతీ బంతి వెలను మీరు కనుగొనగలరా ? (పేజీ నెం. 79)
సాధన.
బ్యాటు మరియు బంతి యొక్క కచ్చితమైన వెలను కనుగొనలేము.

ప్రశ్న 7.
కింది సమీకరణాల జతకు ‘p’ యొక్క ఏ విలువకు ఏకైక సాధన ఉంటుందో కనుగొనండి. 2x + py = – 5 మరియు 3x + 3y = – 6 (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
2x + py = – 5
⇒ 2x + py + 5 = 0

3x + 3y = – 6
⇒ 3x + 3y + 6 = 0

రేఖీయ సమీకరణాలకు ఏకైక సాధన ఉంటే \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}} \neq \frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}\) కావాలి.
∴ p యొక్క విలువ 2 తప్ప మిగిలిన అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలకు ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జత ఏకైక సాధనను కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 8.
2x – ky + 3 = 0, 4x + 6y – 5 = 0 సమీకరణాల జతకు, ఓ యొక్క ఏ విలువకు అవి సమాంతర రేఖలవుతాయో కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
2x – ky + 3 = 0
4x + 6y – 5 = 0 లు సమాంతర రేఖలు అయితే \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \neq \frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\)
∴ \(\frac{2}{4}=\frac{-k}{6}\)

⇒ – 4k = 12

∴ k = \(\frac{12}{-4}\) = – 3
k = – 3 కి ఇచ్చిన రేఖలు సమాంతరాలు అవుతాయి.

ప్రశ్న 9.
‘k’ యొక్క ఏ విలువకు, 3x + 4y + 2 = 0 మరియు 9x + 12y + k= 0 రేఖా సమీకరణాల జత ఏకీభవించే రేఖలవుతాయో కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
3x + 4y + 2 = 0
9x + 12y + k = 0
రేఖీయ సమీకరణాల జత ఏకీభవించే రేఖలు అయితే \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\)

⇒ \(\frac{1}{3}=\frac{2}{k}\)

k = 6.

k = 6 కి ఇచ్చిన రేఖలు ఏకీభవించే రేఖలు అవుతాయి.

ప్రశ్న 10.
‘p’ యొక్క ఏ ధనవిలువలకు కింది సమీకరణాల జతకు అనంత సాధనలుంటాయో కనుగొనండి. px + 3y – (p- 3) = 0 12x + py – p = 0 (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
px + 3y – (p – 3) = 0
12x + py – p = 0
సమీకరణాల జతకు అనంత సాధనలుంటే ఇవి పరస్పరాధారిత రేఖల జత అవుతుంది. కావున \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\)

∴ \(\frac{p}{12}=\frac{3}{p}=\frac{-(p-3)}{-p}\)

∴ \(\frac{\mathrm{p}}{12}=\frac{3}{\mathrm{p}}\)

⇒ p² = 36
⇒ p = √36 = 6
∴ p = 6

(లేదా)

\(\frac{p}{12}=\frac{-(p-3)}{-p}\)
p² = 12(p – 3)
p² – 12p + 36 = 0
p² = 12p – 36
(p – 6)² = 0
p – 6 = 0
∴ p = 6.

(లేదా)

\(\frac{3}{p}=\frac{-(p-3)}{-p}\)
(p – 3) = 3p
p² – 3p = 3p
p² – 6p = 0
p (p – 6) = 0
p = 0 లేదా p = 6
p ధనవిలువ కావాలి.
∴ p = 6.
p = 6 అయినప్పుడు ఇచ్చిన రేఖలకు అనంత సాధనలు ఉంటాయి.

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి:

ప్రశ్న 1.
ఈ కింద రెండు సందర్భాలు ఇవ్వబడ్డాయి.
(i) 1 కిలో బంగాళదుంపలు మరియు 2 కిలోల టమాటాల. మొత్తము వెల ₹ 30. రెండు రోజుల తరువాత, 2 కిలోల బంగాళదుంపలు మరియు 4 కిలోల టమాటాల మొత్తము వెల ₹ 66.
(ii) ఎమ్.కె.నగర్ ఉన్నత పాఠశాల క్రికెట్ జట్టు శిక్షకుడు 3 బ్యాట్లు మరియు 6 బంతులను ₹ 3,900 లకు కొనెను. తరువాత అతడు మరియొక బ్యాట్ మరియు 2 బంతులను ₹ 1,300 లకు కొనెను.
పై ప్రతీ సందర్భంలో అవ్యక్తరాశులను గుర్తించండి. ప్రతీ సందర్భంలో రెండు చరరాశులు ఉండటాన్ని మనం గమనించవచ్చును. (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
అవ్యక్త రాశులు
(i) కిలో బంగాళదుంపల వెల మరియు కిలో టమాటాల వెల. .
(ii) ఒక బ్యాట్ వెల మరియు ఒక బంతి వెల.

ప్రశ్న 2.
పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత ఎల్లప్పుడూ సంగత జత అవుతుందా ? ఎందుకు అవుతుంది (లేదా) ఎందుకు కాదు ? కారణాన్ని వివరించండి. (పేజీ నెం. 79)
సాధన.
పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత ఎల్లప్పుడు సంగత జత అవుతుంది.
పరస్పరాధారిత జత సాధనలను కలిగి ఉంటుంది. కావున సంగత జత అవుతుంది.
ఎందుకనగా \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\)

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింద యిచ్చిన ప్రతీ జత సమీకరణాలను ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి ద్వా రా సాధించండి. (పేజీ నెం. 88)

1) 3x – 5y = – 1
x – y = – 1
సాధన.
3x – 5y = – 1 ………… (1)
x-y=-1 ……….. (2)
(2) ⇒ – y = – x – 1
⇒ y = x + 1
y = x + 1 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా.
3x – 5(x + 1) = – 1
3x – 5x – 5 = – 1
– 2x = – 1 + 5
– 2x = 4
⇒ 2x = – 4
⇒ x = \(\frac{-4}{2}\) = – 2
x = – 2 ని (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
– 2 – y = – 1.
– y = – 1 + 2
⇒ – y = 1
⇒ y = – 1
∴ సాధన x = – 2, y = – 12

సరిచూడటం :
x = – 2, y = – 1 లను (1)లో ప్రతిక్షేపించగా,
3(- 2) – 5 (- 1) = – 1
– 6 + 5 = – 1
-1 = – 1.

ప్రశ్న 2.
x + 2y = – 1
2x – 3y = 12
సాధన.
x + 2y = – 1 ………….(1)
2x – 3y = 12 …………….(2)
(1) ⇒ x = – 1 – 2y ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
2 (- 1 – 2y) – 3y = 12
– 2 – 4y – 3y = 12
– 7y = 12 + 2
⇒ – 7y = 14
⇒ 7y = – 14
∴ y = \(\frac{-14}{7}\) = – 2
y = – 2 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా
x + 2 (- 2) = – 1
x – 4 = – 1
⇒ x = – 1 + 4 = 1
∴ సాధన x = 3, y = – 2.

సరిచూడటం :
x = 3, y = – 2ను (2)లో రాయగా.
2(3) – 3(- 2) = 12
6 + 6 = 12
⇒ 12 = 12 .

ప్రశ్న 3.
2x + 3y = 9; 3x + 4y = 5
సాధన.
2x + 3y = 9 …………….(1)
3x + 4y = 5 …………… (2)
(1) ⇒ 3y = 9 – 2x
y = \(\frac{9-2 x}{3}\) ని (2) లో ప్రతిక్షేపించగా.
3x + 4(\(\frac{9-2 x}{3}\)) = 5

3x + \(\frac{36-8 x}{3}\) = 5

\(\frac{9 x+36-8 x}{3}\) = 5

x + 36 = 15 ⇒ x = 15
x = – 21
x = – 21 ని (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
2(- 21) + 3y = 9
42 + 3y = 9
⇒ 3y = 9 + 42
⇒ 3y = 51
⇒ y = \(\frac{51}{3}\) = 17
సాధన x = – 21, y = 17

సరిచూడటం :
x = – 21, y = 17 లను (2) లో రాయగా
3(- 21) + 4(17) = 5
– 63 + 68 = 5.

ప్రశ్న 4.
x + \(\frac{6}{y}\) = 6;
3x – \(\frac{8}{y}\) = 5
సాధన.
x + \(\frac{6}{y}\) = 6 ………..(1)
3x – \(\frac{8}{y}\) = 1 ………….(2)
(1) ⇒ x = 6 2 ని (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
3(6 – \(\frac{6}{y}\)) – \(\frac{8}{y}\) = 5
18 – \(\frac{18}{y}\) – \(\frac{8}{y}\) = 5
\(\frac{-26}{y}\) = 5 – 18
⇒ \(\frac{-26}{y}\) = – 13
⇒ \(\frac{26}{y}\) = 13
⇒ 13 y = 26
⇒ y = \(\frac{26}{13}\) = 2
y = 2 ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా
3x – \(\frac{8}{2}\) = 5
⇒ 3x – 4 = 5
⇒ 3x = 5 + 4 = 9
⇒ x = 3, y = 2.

(లేదా)

x + \(\frac{6}{y}\) = 6 ………….(1)
3x – \(\frac{8}{y}\) = 5 ………..(2)
(1) ⇒ \(\frac{6}{y}\) = 6 – x
\(\frac{1}{y}=\frac{6-x}{6}\)ని (2) లో రాయగా,
3x – 8(\(\frac{6-x}{6}\)) = 5
3x – (\(\frac{48-8 x}{6}\)) = 5
\(\frac{18 x-48+8 x}{6}\) = 5
26x – 48 = 30
26x = 30 + 48 = 78
x = \(\frac{78}{26}\) = 3
x = 3ను (1) లో రాయగా,
3 + \(\frac{6}{y}\) = 6
⇒ \(\frac{6}{y}\) = 6 – 3 = 3
3y = 6
⇒ y = \(\frac{6}{3}\) = 2
∴ సాధన. x = 3, y = 2

సరిచూడటం :
x = 3, y = 2 ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
3(3) – \(\frac{8}{2}\) = 5
⇒ 9 – 4 = 5
5 = 5.

ప్రశ్న 5.
0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5y = 2.3
సాధన.
0.2x + 0.3y = 1.3 ……………..(1)
0.4x + 0.5 y = 2.3 …………….(2)
(1) × 10 = 2x + 3y = 13
(2) × 10 = 4x + 5y = 23
(3) ⇒ 3y = 13 – 2x
y = \(\frac{13-2 x}{3}\) ని (4) లో ప్రతిక్షేపించగా,
4x + 5 (\(\frac{13-2 x}{3}\)) = 23
4x + \(\frac{65-10 x}{3}\) = 23
\(\frac{12 x+65-10 x}{3}\) = 23
2x + 65 = 69
⇒ 2x = 69 – 65 = 4
⇒ x = \(\frac{4}{2}\) = 2
x = 2 ను (4) లో ప్రతిక్షేపించగా.
4(2) + 5y = 23
⇒ 8 + 5y = 23
⇒ 5y = 15
⇒ y = \(\frac{15}{5}\) = 3
∴ సాధన. x = 2, y = 3.

సరిచూడటం : x = 2, y = 3ను (1) లో రాయం
0.2 (2) + 0.3 (3) = 1.3
0.4 + 0.9 = 1.3
1.3 = 1.3

ప్రశ్న 6.
√2x + √3y = 0;
√3x – √8y = 0
సాధన.
√2x + √3y = 0 ………… (1)
√3x – √8y = 0 ………… (2)
(1) ⇒ √3y = – √2x
y = \(\frac{-\sqrt{2} x}{\sqrt{3}}\) (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
√3x – √8(\(\frac{-\sqrt{2} x}{\sqrt{3}}\)) = 0
√3x – \(\frac{\sqrt{16} x}{\sqrt{3}}\) = 0
√3x – \(\frac{4}{\sqrt{3}}\) = 0 కావున
x = 0 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా, √2(0) + √3y = 0
√3y = 0 ⇒ y = 0
సాధన. x = 0, y = 0

సూచన :
ax + by + c₁ = 0
ax + by + c₂ = 0,
c₁ = c₂ = 0 అయితే
x = 0, y = 0 సాధన అవుతుంది.

ప్రశ్న 7.
క్రింది ప్రతీజత రేఖీయ సమీకరణాలను చరరాశిని తొలగించే పద్ధతి ద్వారా సాధించండి. (పేజీ నెం. 89)

1. 8x + 5y = 9; 3x + 2y = 4 .
సాధన.
8x + 5y = 9 ……….. (1)
3x + 2y = 4 ……….. (2)

x = – 2 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
8(- 2) + 5y = 9
– 16 + 5y = 9
⇒ 5y = 9 + 16 = 25
⇒ y = \(\frac{25}{5}\) = 5
సాధన x = – 2, y = 5.

సరిచూడటం :
x = – 2, y = 5ను (2)లో ప్రతిక్షేపించగా.
3(- 2) + 2(5) = 4
– 6 + 10 = 4
4 = 4

2. 2x + 3y = 8; 4x + 6y =7
సాధన.
2x + 3y = 8 ⇒ 2x + 3y – 8 = 0
4x + 6y – 7 = 0
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
కావున ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జత అసంగత రేఖీయ సమీకరణాలు. కావున సాధన ఉండదు.

ప్రశ్న 3.
3x + 4y = 25; 5x – 6y = – 9
సాధన.
3x + 4y = 25 ………… (1)
5x – 6y = – 9 ………… (2)

x = 3ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
3(3) + 4y = 25
9 + 4y = 25
4y = 25 – 9 = 16
y = \(\frac{16}{4}\) = 4
∴ సాధన. x = 3, y = 4.
సరిచూడటం :
x = 3, y = 4ను (2)లో ప్రతిక్షేపించగా,
5(3) – 6(4) = – 9
15 – 24 = – 9
– 9 = – 9

ప్రశ్న 8.
ఒక పోటీ పరీక్షలో, ప్రతీ సరియైన సమాధానానికి 3 మార్కులు వేయగా, ప్రతీ తప్పు సమాధానానికి 1 మార్కు తగ్గించెదరు. ఈ పరీక్షలో మధు 40 మార్కులు సంపాదించెను. ప్రతి సరియైన సమాధానానికి 4 మార్కులు వేసి, ప్రతీ తప్పు సమాధానానికి 2 మార్కులు తగ్గించిన అతనికి 50 మార్కులు వచ్చి ఉండేవి అయిన ఆ పరీక్షలో ఉన్న మొత్తము ప్రశ్నలు ఎన్ని ? (మధు పరీక్ష పత్రములోని అన్ని ప్రశ్నలకు జవాబులు రాసెను) ఈ సమస్యను చరరాశిని తొలగించే పద్ధతిలో సాధించండి. (పేజీ నెం. 91)
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణములు 3x – y = 40 …………… (1)
4x – 2y = 50 …………….. (2)

∴ x = \(\frac{30}{2}\) = 15
x = 15 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
3(15) – y = 40
45 – y = 40
⇒ – y = 40 – 45 = – 5
⇒ y = 5
∴ సాధన x = 15, y = 5.
పరీక్షలోని మొత్తం ప్రశ్నల సంఖ్య = 15 + 5 = 20

ప్రశ్న 9.
మేరి తన కూతురితో ఇలా చెప్పింది. “7 సంవత్సరముల . క్రితం నా వయస్సు అప్పటి నీ వయస్సుకు 7 రెట్లు. అలాగే యిప్పటి నుండి 3 సంవత్సరముల తరువాత నా వయస్సు నీ వయస్సుకు మూడు రెట్లు ఉంటుంది” అయిన మేరి మరియు ఆమె కూతురి ప్రస్తుత వయస్సును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 92) ఈ సమస్యను ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి ద్వారా సాధించండి.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణములు
x – 7y + 42 = 0 ………….(1)
x – 3y – 6 = 0 …………(2)
(1) ⇒ x = 7y – 42
⇒ x = 7y – 42 ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
7y – 42 – 3y = 6
4y = 6 + 42
⇒ 4y = 48
⇒ y = \(\frac{48}{4}\) = 12
y = 12 ను (1) లో రా యగా,
x – 7 (12) = – 42,
x – 84 = – 42
x = – 42 + 84
⇒ x = 42
సాధన x = 42, y = 12.
మేరి ప్రస్తుత వయస్సు = 42 సంవత్సరాలు
ఆమె కూతురి వయస్సు = 12 సంవత్సరాలు.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాలు జతను సాధించండి.
(a – b)x + (a + b)y = a² – 2ab – b
(a + b) (x + y) = a² + b²
సాధన.
(a – b)x + (a + b)y = a² – 2ab – b² …………..(1)
(a + b) (x + y) = a² + b² ………………(2)
⇒ (a + b)x + (a + b)y = a² + b²
(1) – (2);

[(a – b) – (a + b)] x = – 2b (a + b).
(a – b – a – b) x = – 2b (a + b)
– 2b x = – 2b (a + b)
x = \(\frac{-2 b}{-2 b}\) (a + b)
x = a + b
x = a + bని (2) లో ప్రతిక్షేపించగా
(a + b)(a + b) + (a + b) y = a² + b²
a² + 2ab + b² + (a + b) y = a² + b²
(a + b) y = a² + b² – a² – 2ab – b²
(a + b) y = – 2ab
y = \(\frac{-2 a b}{a+b}\)
సాధన.
x = a + b, y = \(\frac{-2 a b}{a+b}\)

సరిచూడటం:
x = a + b, y = \(\frac{-2 a b}{a+b}\)ని (1)లో ప్రతిక్షేపించగా.
(a – b)(a + b) + (a + b)\(\frac{-2 a b}{a+b}\) = a² – 2ab – b²
a² – b² – 2ab = a² – 2ab – b²
a² – 2ab – b² = a² – 2ab – b².

ఉదాహరణలు.

ప్రశ్న 1.
కింది సమీకరణాల జత ఖండనరేఖలా, సమాంతర రేఖలా లేదా ఏకీభవించే రేఖలా సరిచూడండి. ఆ సమీకరణాలు సంగతము అయిన వాటి సాధనను కనుగొనుము.
2x + y -5 = 0, 3x – 2y – 4 = 0 (పేజీ నెం. 80)
సాధన.
2x + y -5 = 0 ……….. (1)
3x – 2y – 4 = 0 ………..(2),
a₁ = 2, b₁ = 1, c₁ = – 5
a₂ = 3, b₂ = – 2, c₂ = – 4
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{3}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{-2}\);

\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) కావున అవి ఖండన రేఖలు. అనగా సంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత.

2x + y – 5 = 0
y = 5 – 2x

3x – 2y -4 = 0
– 2y = 4 – 3x
⇒ 2y = 3x – 4
y = \(\frac{3 x-4}{2}\)

ఇచ్చిన రేఖలు ఖండన రేఖలు సాధన (x, y) = (2, 1)
x = 2, y = 1

ప్రశ్న 2.
కింది సమీకరణాల జత సంగత జత అవునో, కాదో సరిచూడండి.
3x + 4y = 2 మరియు 6x + 3y = 4 గ్రాఫ్ గీయడం ద్వారా మీ జవాబును సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 81)
సాధన.
3x + 4y = 2 మరియు 6x + 8y = 4
3x + 4y = 2 ⇒ 3x + 4y – 2 = 0 …………… (1)
6x + 8y = 4 ⇒ 6x + 8y – 4 = 0 ……………(2)
⇒ a₁ = 3, b₁ = 4, c₁ = – 2;
a₂ = 6, b₂ = 8, c₂ = – 4

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) కావున అవి ఏకీభవించే రేఖలు. కావున ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జత సంగతం అవుతూ పరస్పరాధారిత సమీకరణాల జత అవుతుంది.

3x + 4y = 2
⇒ 4y = 2 – 3x
⇒ y = \(\frac{2-3 x}{4}\)

6x + 8y – 4
⇒ 8y = 4 – 6x
⇒ y = \(\frac{4-6 x}{8}\)

∴ ఇచ్చిన రేఖలు ఏకీభవిస్తున్నాయి.

ప్రశ్న 3.
4x – 6y = 15 మరియు 2x – 3y = 5 సమీకరణాలు సంగత సమీకరణాలేమో సరిచూడండి. ఇంకా వాటికి గ్రాఫ్ గీయండి. (పేజీ నెం. 82)
సాధన.
4x – 6y = 15
⇒ 4x – 6y – 15 = 0 …………….(1)
2x – 3y = 5
⇒ 2x – 3y – 5 = 0 …………… (2)
\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{4}{2}\) = 2;

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-6}{-3}\) = 2;

\(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-15}{-5}\) = 3

∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
కావున ఇది అసంగత సమీకరణాలు. వీటికి సాధన లేదు మరియు వీటి రేఖాచిత్రము (గ్రాఫ్) సమాంతర రేఖలు.
4x – 6y = 15
6y = 15 – 4x
6y = 4x – 15
y = \(\frac{4 x-15}{6}\)

2x – 3y = 5
-3y = 5 – 2x
3y = 2x – 5
y = \(\frac{2 x-5}{3}\)

ప్రశ్న 4.
ఒక తోటలో కొన్ని తుమ్మెదలు మరియు పువ్వులు కలవు. ప్రతీ పువ్వుపై ఒక తుమ్మెద వాలినపుడు ఒక తుమ్మెద ,  మిగిలిపోతుంది. ప్రతీ పువ్వుపై రెండు తుమ్మెదలు వాలితే ఒక పువ్వు మిగిలిపోతుంది. అయిన పువ్వులెన్ని ? తుమ్మెదలెన్ని? (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
తుమ్మెదల సంఖ్య = x,
పువ్వుల సంఖ్య = y అనుకొనుము.
ప్రతీ పువ్వుపై ఒక తుమ్మెద వాలిన, ఒక తుమ్మెద మిగిలిపోతుంది
∴ x = y + 1
⇒ x – y – 1 = 0 …………….(1)
ప్రతీ పువ్వుపై రెండు తుమ్మెదలు వాలితే, ఒక పువ్వు మిగిలిపోతుంది,
కావున x = 2(y – 1)
⇒ x = 2y – 2
⇒ x – 2y + 2 = 0 …………..(2)
x – y – 1 = 0
– y = 1 – x
y = x – 1

x – 2y + 2 = 0
– 2y = – x – 2
2y = x + 2
y = \(\frac{x+2}{2}\)

సాధన (x, y) = (4, 3)
x = 4, y = 3
తుమ్మెదల సంఖ్య – 4
పువ్వుల సంఖ్య – 3

ప్రశ్న 5.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలము చుట్టుకొలత 32 మీ. దాని పొడవును 2 మీ పెంచి, వెడల్పును 1 మీ తగ్గించగా దాని వైశాల్యములో ఏ మార్పూ లేక యథాతథంగా ఉండును. అయిన ఆ స్థలము పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 84)
సాధన.
దీర్ఘచతురస్రాకార స్థలము పొడవు = 1 మీ.
వెడల్పు = b మీ. అనుకొందాం.
∴ దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = l × b = lb చ||మీ.
చుట్టుకొలత = 2 (l + b) = 32
⇒ l + b = 16
∴ l + b – 16 = 0 …………… (1)
పొడవును 2 మీ. పెంచి, వెడల్పును 1 మీ తగ్గించినపుడు , కొత్త పొడవు = 1 + 2 మీ., కొత్త వెడల్పు = b – 1 మీ
కొత్త వైశాల్యం = (l + 2) (b – 1) చ||మీ.
= lb – 1 + 2b – 2
వైశాల్యములో మార్పులేదు కాబట్టి,
lb – 1 + 2b – 2 = lb
⇒ lb – 1 + 2b – 2 – lb = 0
⇒ – l + 2b – 2 = 0
∴ l – 2b + 2 = 0 ………… (2)

l + b – 16 = 0
b = 16 – l

l – 2b + 2 = 0
– 2b = – l – 2
2b = l + 2
b = \(\frac{l+2}{2}\)

సాధన (l, b) = (10, 6)
l = 10, b = 6
పొడవు = 10 మీ
వెడల్పు = 6 మీ.

ప్రశ్న 6.
ఇచ్చిన సమీకరణాల జతను ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి ద్వారా సాధించుము. (పేజీ నెం. 87)
2x – y = 5
3x + 2y = 11
సాధన.
2x – y = 5 ……………..(1)
3x + 2y = 11 ……………. (2)
(1)వ సమీకరణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా రాయవచ్చును
y = 2x – 5 (సోపానము 1)
దీనిని (2)వ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
3x + 2(2x – 5) = 11 (సోపానము 2)
3x + 4x – 10 = 11
7x = 11 + 10 = 21
x = 21/7 = 3. (సోపానము 3)
x = 3ని సమీకరణం (1) లో ప్రతిక్షేపించగా
2(3) – y = 5 (సోపానము 4)
y = 6 – 5 = 1
x, y ల విలువలు (2)లో ప్రతిక్షేపించగా,
3(3) + 2(1) = 9 + 2 = 11
కాబట్టి, కావలసిన సాధన x = 3 మరియు y = 1.
ఇచ్చిన, రెండు సమీకరణాలను x = 3 మరియు y = 1 సంతృప్తి పరుస్తాయి (సోపానము 5)

ప్రశ్న 7.
క్రింద ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జతను చరరాశిని తొలగించే పద్ధతి ద్వారా సాధించండి. 3x + 2y = 11 . 2x + 3y = 4 (పేజీ నెం. 88)
సాధన.
3x + 2y = 11 ……… (1)
2x + 3y = 4 ……… (2) (సోపానము 1)
ఇచ్చిన సమీకరణాల నుండి చరరాశి ‘y’ని తొలగించాలనుకొనుము. రెండు సమీకరణాలలో ‘y’ గుణకాలు వరుసగా 2 మరియు 3. వాటి క.సా.గు. 6. కావున సమీకరణము (1) ని 3 చే, సమీకరణము (2) ని 2 చే గుణించాలి.

x = 5 విలువను సమీకరణం (1) లో వ్రాయగా,
3(5) + 2y = 11
2y = 11 – 15 = – 4 (సోపానము. 5)
కావున కావలసిన సాధన x = 5, y = – 2.

ప్రశ్న 8.
రుబీనా బ్యాంకు నుండి ₹ 2000 తీసుకొనదలచినది. ఆమె క్యాషియర్‌ను ఆ మొత్తానికి ₹ 50 మరియు ₹ 100 నోట్లు మాత్రమే ఇవ్వమని కోరినది. మొత్తము ఆమెకు 25 నోట్లు వచ్చిన, ఆమెకు ఎన్ని ₹ 50 నోట్లు, ఎన్ని ₹ 100 నోట్లు వచ్చినవో చెప్పగలరా ? (పేజీ నెం. 89)
సాధన.
ఆమెకు వచ్చిన ₹ 50 నోట్ల సంఖ్యను x అని, ₹ 100
నోట్ల సంఖ్యను y అని అనుకొనుము.
అపుడు, x + y = 25 ………. (1) మరియు
50x + 100y = 2000 …….. (2)
వీనిని ప్రతిక్షేపణ పద్ధతిలో సాధించిన;
(1) వ సమీకరణము నుండి x = 25 – y
(2) వ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా,
50 (25 – y) + 100y = 2000
1250 – 50y + 100y = 2000
50y = 2000 – 1250 = 750
y = \(\frac{750}{50}\) = 15
x = 25 – 15 = 10
కావున, రుబీనా పది ₹ 50 నోట్లను, పదిహేను ₹ 100 నోట్లను తీసుకొన్నది.
శ్వేత చరరాశిని తొలగించు పద్ధతి ద్వారా దీనిని సాధించినది.
సమీకరణాలలో, గుణకాలు వరుసగా 1 మరియు 50 కావున,

ఒకే గుర్తు కావున సమీకరణాన్ని తీసివేయగా,

y = \(\frac{-750}{-50}\) = 15

(1)వ సమీకరణంలో y విలువను ప్రతిక్షేపించగా
x + 15 = 25
⇒ x = 25 – 15 = 10
కావున ఆమె పది ₹ 50 నోట్లను, పదిహేను ₹ 100. నోట్లను తీసుకొన్నది.

ప్రశ్న 9.
ఒక పోటీ, పరీక్షలో, ప్రతీ సరియైన సమాధానానికి 3 మార్కులు వేయగా, ప్రతీ తప్పు సమాధానానికి 1 మార్కు తగ్గించెదరు. ఈ పరీక్షలో మధు 40 మార్కులు సంపాదించెను. కాని ప్రతి సరియైన సమాధానానికి 4 మార్కులు వేసి, ప్రతీ తప్పు సమాధానానికి 2 మార్కులు తగ్గించిన అతనికి 50 మార్కులు వచ్చి ఉండేవి అయిన ఆ పరీక్షలో ఉన్న మొత్తము ప్రశ్నలు ఎన్ని ? (మధు పరీక్ష పత్రములోని అన్ని ప్రశ్నలకు జవాబులు రాసెను) (పేజీ నెం. 90)
సాధన.
సరియైన సమాధానముల సంఖ్య x;
తప్పు సమాధానముల సంఖ్య y అనుకొనుము.
ప్రతీ సరియైన సమాధానానికి 3 మార్కులు వేయగా, ప్రతీ తప్పు సమాధానానికి 1 మార్కు తగ్గించెదరు.
అపుడు అతనికి వచ్చిన మార్కులు 40.
3x – y = 40 …………. (1)
ప్రతీ సరియైన సమాధానానికి 4 మార్కులు వేయగా, ప్రతీ తప్పు సమాధానానికి 2 మార్కులు తగ్గించిన అతనికి 50 మార్కులు వచ్చి ఉండేవి.
4x – 2y = 50………… (2)
ప్రతిక్షేపణ పద్దతి :
(1)వ సమీకరణము నుండి, y = 3x – 40
(2)వ సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించగా
4x – 2 (3x – 40) = 50
4x – 6x + 80 = 50
– 2x = 50 – 80 = – 30
⇒ x = \(\frac{-30}{-2}\) = 15
x విలువను (1)వ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
3(15) – y = 40
45 -y = 40
⇒ y = 45 – 40 = 5
కావున పరీక్ష పత్రములోని మొత్తము ప్రశ్నల సంఖ్య = 15 + 5 = 20.

ప్రశ్న 10.
మేరి తన కూతురితో ఇలా చెప్పింది. “7 సంవత్సరముల క్రితం నా వయస్సు అప్పటి నీ వయస్సుకు 7 రెట్లు. అలాగే యిప్పటి నుండి 3 సంవత్సరముల తరువాత నా వయస్సు నీ వయస్సుకు మూడు రెట్లు ఉంటుంది” అయిన మేరి మరియు ఆమె కూతురి ప్రస్తుత వయస్సును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 91)
సాధన.
మేరి ప్రస్తుత వయస్సు x సంవత్సరములు;
ఆమె కూతురి వయస్సు y సంవత్సరములు అనుకొనుము.
7 సంవత్సరముల క్రితం, మేరి వయస్సు (x – 7) సం||. ఆమె కూతురి వయస్సు (y – 7) సం||
x – 7 = 7(y – 7)
x – 7 = 7y – 49
x – 7y + 42 = 0 ……………. (1)
3 సంవత్సరముల తరువాత, మేరి వయస్సు x + 3 మరియు ఆమె కూతురి వయస్సు y + 3
x + 3 = 3(y + 3)
x + 3 = 3y + 9
x – 3y – 6 = 0 ………………..(2)

చరరాశిని తొలగించు పద్ధతి :

x పదానికి ఒకే గుర్తు కావున సమీకరణం (1) నుండి సమీకరణం (2) ను తీసివేయగా

y = \(\frac{-48}{-4}\)
ఈ, y విలువను (2) వ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
x – 3 (12) – 6 = 0
x = 36 + 6 = 42
కావున మేరి ప్రస్తుత వయస్సు 42 సంవత్సరములు మరియు ఆమె కూతురి వయస్సు 12 సంవత్సరములు.

ప్రశ్న 11.
ఒక ప్రచురణ కర్త, క్రొత్త పాఠ్యపుస్తకాన్ని సిద్ధం చేశాడు. వాటి స్థిర ధర (పునర్విమర్శ, ముద్రణ, టైపింగ్ ఖర్చులు మొదలైనవి) ఒక్కొక్క పుస్తకానికి ₹ 31.25. ఇవి కాక అదనంగా అతడు ఒక పుస్తకము ముద్రణకై ₹ 320000 ఖర్చు చేసెను. ఆ పుస్తకము టోకు ధర పుస్తకానికి ₹ 48.75 (ప్రచురణ కర్తకు వచ్చు సొమ్ము) ఆ ప్రచురణ కర్త ఖర్చులు, రాబడి సమానం కావాలంటే సమతుల్య స్థానం చేరవలెనంటే ఎన్ని పుస్తకాలను అమ్మాలి ? (పేజీ నెం. 92)
వస్తువు ఉత్పాదకతకు అయిన ఖర్చు, వాటి అమ్మకాల ద్వారా వచ్చిన రాబడి సమానంగా ఉండే స్థానాన్ని సమతుల్యతా స్థానము అంటారు.
సాధన.
ప్రచురణ కర్త సమతుల్యతా స్థానం చేరాలంటే ఖర్చులు, రాబడి సమానం కావాలి.
ముద్రణ అయి అమ్మకమయిన పుస్తకాల సంఖ్య x, సమతుల్యతా స్థానము y అనుకొనుము.
అపుడు ఆ ప్రచురణ కర్తకు పుస్తకముద్రణ ఖర్చు, రాబడిల సమీకరణాలు ,
ముద్రణ సమీకరణం y = 320000 + 31.25x ………… (1)
రాబడి సమీకరణం y = 43.75x ……….. (2)
రెండవ సమీకరణము నుండి y విలువను ఒకటవ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
43.75x = 3,20,000 + 31.25x
12.5x = 3,20,000
x = \(\frac{3,20,000}{12.5}\) = 25,600
25,600 పుస్తకాలను ముద్రించి అమ్మిన అతడు సమతుల్యతా స్థానము చేరును.

ప్రశ్న 12.
క్రింది సమీకరణాల జతను సాధించండి. (పేజీ నెం. 93)
\(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}\) = 13
\(\frac{5}{x}-\frac{4}{y}\) = – 2
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణాల జతను పరిశీలించండి. అవి రేఖీయ సమీకరణాలు కావు. మనకు ఇచ్చిన సమీకరణాలు
2(\(\frac{1}{x}\)) + 3(\(\frac{1}{y}\)) = 13 …………..(1)

5(\(\frac{1}{x}\)) – 4(\(\frac{1}{y}\)) = – 2 …………. (2)
మనం \(\frac{1}{x}\) = p మరియు \(\frac{1}{y}\) = q ప్రతిక్షేపించగా

క్రింది రేఖీయ సమీకరణాల జత ఏర్పడుతుంది
2p + 3q = 13 ………..(3)
5p – 4q = – 2 ……….. (4)
q గుణకాలు 3, 4 మరియు వాటి క.సా.గు 12 చరరాశిని తొలగించే పద్ధతి ద్వారా సమీకరణం

q’ పదములకు వేరువేరు గుర్తులున్నాయి. కావున ఆ సమీకరణాలను కలుపగా
p = \(\frac{46}{23}\) = 2
p విలువను సమీకరణం (3) లో ప్రతిక్షేపించగా
2(2) + 3q = 13
3q = 13 – 4 = 9
కాని, \(\frac{1}{x}\) = p = 2
⇒ x = \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{y}\) = q = 3
⇒ y = \(\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న 13.
కవిత తన ఇంటిలో మరి రెండు గదులను నిర్మించాలనుకొంది. ఆమె గృహనిర్మాణ కూలీల గురించి ఆరా తీయగా 6 గురు పురుషులు మరియు 8 మంది స్త్రీలు కలిసి ఆ పనిని 14 రోజులలో పూర్తి చేయగలరని తెలిసింది. కాని ఆమెకు తన ఇంటిలోని గదుల నిర్మాణ పని 10 రోజులలోనే పూర్తికావాలి. 8మంది పురుషులు మరియు 12 మంది స్త్రీలు కలిసి ఆ పనిని 10 రోజులలో పూర్తి చేయగలరని తెలుసుకొంది. పురుషుడు లేదా స్త్రీ ఒక్కరే ఆ పనిని పూర్తి చేయాలంటే ఎంత కాలం పడుతుందో ? కనుక్కోండి.(పేజీ నెం. 94)
సాధన.
పురుషుడు ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలం = x రోజులు అనుకొనుము.
పురుషుడు ఒక్కడే ఒక రోజులో చేయగలిగిన పని = \(\frac{1}{x}\) రోజులు అవుతుంది..
స్త్రీ ఒక్కరే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలం = y రోజులు అనుకొనిన
స్త్రీ ఒక్కరే ఒక రోజులో చేయగలిగిన పని = \(\frac{1}{y}\) అవుతుంది.
8 మంది పురుషులు మరియు 12 మంది స్త్రీలు ఆ పనిని 10 రోజులలో పూర్తి చేయగలరు.
అనగా 8 మంది పురుషులు మరియు 12 మంది స్త్రీలు ఒక రోజులో చేయగలిగిన పని = \(\frac{1}{10}\) ……… (1)
8 మంది పురుషులు ఒక రోజులో చేయగలిగిన పని 8 × \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{8}{x}\)
అదే విధంగా 12 మంది స్త్రీలు ఒక రోజులో 12 చేయగలిగిన పని 12 × \(\frac{1}{y}\) = \(\frac{12}{y}\)
8 మంది పురుషులు మరియు 12 మంది స్త్రీలు ఒక రోజులో చేయగలిగిన మొత్తము పని = \(\frac{8}{x}\) + \(\frac{12}{y}\) ……….. (2)
(1), (2) సమీకరణాల నుండి,
\(\left(\frac{8}{x}+\frac{12}{y}\right)=\frac{1}{10}\)

10 \(\left(\frac{8}{x}+\frac{12}{y}\right)\) = 1

⇒ \(\frac{80}{x}+\frac{120}{y}\) = 1 ………. (3)
అలాగే, 6 గురు పురుషులు మరియు 8 మంది స్త్రీలు ఆ పనిని 14 రోజులలో పూర్తి చేయగలరు. 6 గురు పురుషులు మరియు 8 మంది స్త్రీలు ఒక రోజులో చేయగలిగిన పని = \(\frac{6}{x}+\frac{8}{y}=\frac{1}{14}\)

⇒ 14 \(\left(\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\right)\) = 1
⇒ \(\left(\frac{84}{x}+\frac{112}{y}\right)\) = 1 …………. (4)
(3), (4) సమీకరణాలను పరిశీలించండి. అవి రేఖీయ సమీకరణాలేనా?
వాటి సాధన మనం ఎలా కనుగొంటాము? \(\frac{1}{x}\) = u మరియు \(\frac{1}{y}\) = 1
ప్రతిక్షేపించడం ద్వారా వాటిని మనం రేఖీయ సమీకరణాలుగా మార్చవచ్చును.
(3) వ సమీకరణాన్ని రేఖీయ సమీకరణంలా మార్చగా
80u + 120v = 1 ……….. (5)
(4) వ సమీకరణాన్ని రేఖీయ సమీకరణంలా మార్చగా
84u + 112v = 1 ……….. (6)
80 మరియు 84 ల క.సా.గు. 1680. చరరాశిని తొలగించు పద్ధతి ద్వారా,
సమీకరణం (3) × 21;
(21 × 80)u + (21 × 120)v = 21
సమీకరణం (4) × 20;
(20 × 84)u + (20 × 112)v = 20

u కు ఒకే గుర్తు కావున తీసివేయగా v = \(\frac{1}{280}\)
సమీకరణం (5) లో ప్రతిక్షేపించగా
80u + 120 x \(\frac{1}{280}\) = 1
80u = 1 – \(\frac{3}{7}\) = \(\frac{7-3}{7}=\frac{4}{7}\)
u = \(\frac{4}{7}\) × \(\frac{1}{80}\)
= \(\frac{1}{140}\)
కావున పురుషుడొక్కడే ఆ పనిని 140 రోజులలో, స్త్రీ ఒక్కరే ఆ పనిని 280 రోజులలో పూర్తి చేయగలరు.

ప్రశ్న 14.
ఒక వ్యక్తి 370 కి.మీ. దూరాన్ని కొంత దూరం రైలులో, కొంతదూరం కారులో ప్రయాణించాడు. అతను 250కి.మీ దూరాన్ని రైలులో, మిగిలిన దూరాన్ని కారులో ప్రయాణించగా అతనికి 4 గంటలు పట్టినది. అదే అతను 130 కి.మీ దూరం రైలులో, మిగిలిన దూరం కారులో ప్రయాణిస్తే అతనికి 18 నిమిషాల కాలం ఎక్కువ పట్టేది. రైలు మరియు కారుల వేగాన్ని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 96)
సాధన.
రైలు వేగం x కి.మీ/గం., కారు వేగం 5 కి.మీ/గం. అనుకొనుము.

అని మనకు తెలుసు.
1వ సందర్భంలో, రైలు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{250}{x}\) గం.
కారు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{140}{y}\) గం.
మొత్తం కాలం = రైలు ప్రయాణానికి పట్టినకాలం + కారు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{250}{x}\) + \(\frac{140}{y}\)
కాని మొత్తం ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం 4 గంటలు కావున
\(\frac{250}{x}\) + \(\frac{140}{y}\) = 4

⇒ \(\frac{125}{x}+\frac{60}{y}\) = 2
మరల 130 కి.మీ దూరం రైలులో మిగిలిన దూరం కారులో ప్రయాణించినపుడు 130 కి.మీ రైలు

ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{130}{x}\) గం.
240 కి.మీ (370 – 130) కారు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{240}{y}\) గం.
మొత్తం కాలం = \(\frac{130}{x}+\frac{240}{y} \)
కాని ప్రయాణానికి పట్టిన మొత్తం. కాలం 4 గంటల 18 నిమిషాలు 4\(\frac{18}{60}\) = 4\(\frac{3}{10}\) గం.
అనగా, \(\frac{130}{x}+\frac{240}{y}=\frac{43}{10}\) …………..(2)
(1) (2) సమీకరణాలలో \(\frac{1}{x}\) = a మరియు \(\frac{1}{y}\) = b ప్రతిక్షేపించగా
125a + 60b = 2 ……………(3)
130a+ 240b = 7 …………. (4)
60, 240 ల క.సా.గు. 240. చరరాశిని తొలగించే పద్ధతిని ఉపయోగించగా,

a = \(\frac{1}{100}\) ను సమీకరణం (3) లో ప్రతిక్షేపించగా
(125 × \(\frac{1}{100}\)) + 60b = 2
60b = 2 – \(\frac{5}{4}\)
= \(\frac{8-5}{4}=\frac{3}{4}\)

b = \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{1}{60}\) = \(\frac{1}{80}\)
కావున a = \(\frac{1}{100}\) మరియు b = \(\frac{1}{80}\)
\(\frac{1}{x}=\frac{1}{100}\) మరియు \(\frac{1}{y}=\frac{1}{80}\)
x = 100 కి.మీ/గం. మరియు y = 80 కి.మీ/గం కావున రైలు వేగం 100 కి.మీ/గం. మరియు కారు వేగం 80 కి.మీ/గం.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాలను సాధించండి :
(i) \(\frac{2 x}{a}+\frac{y}{b}\) = 2;
\(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\) = 4
సాధన.
1వ పద్ధతి :
\(\frac{2 x}{a}+\frac{y}{b}\) = 2 …………….. (1);
\(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\) = 4……………….. (2)

x = 2a ని (2) లో రాయగా,
\(\frac{2 a}{a}-\frac{y}{b}\) = 4
⇒ – \(\frac{y}{b}\) = 4 – 2
⇒ – \(\frac{y}{b}\) = 2 =
⇒ – y = 2b
∴ y = – 2b
సాధన x= 2a, y = – 2b.

2వ పద్ధతి :
(1) ⇒ \(\frac{y}{b}\) = 2 – \(\frac{2 x}{a}\) (2) లో ప్రతిక్షేపించగా
\(\frac{x}{a}\) – (2 – \(\frac{2 x}{a}\))
⇒ \(\frac{x}{a}\) – 2 + \(\frac{2 x}{a}\) – 4
⇒ \(\frac{3 x}{a}\) = 4 + 2 = 6
⇒ x = 6 × \(\frac{a}{3}\) = 2a
x = 2a ను (2) లో రాయగా,
\(\frac{2 a}{a}\) – \(\frac{y}{b}\) = 4
⇒ – \(\frac{y}{b}\) = 4
2 = 2
⇒ – y = 2b
y = – 2b
సాధన x = 2a, y = – 2b

3వ పద్ధతి :
\(\frac{2 x}{a}+\frac{y}{b}\) = 2 …………….. (1)

\(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\) = 4 …………….. (2)

(1) ⇒ \(\frac{2 b x+a y}{a b}\) = 2
⇒ 2bx + ay = 2ab ………… (3)
(2) ⇒ \(\frac{b x-a y}{a b}\) = 4
⇒ bx – ay = 4ab …………..(4)

x = 2a ని (3) లో రా3యగా,
2b (2a) + ay = 2ab
⇒ 4ab + ay = 2ab
⇒ ay = 2ab – 4ab = – 2ab
y = \(\frac{-2 \mathrm{ab}}{\mathrm{a}}\) = – 2b
సాధన x = 2a, y = 2b

సరిచూచుట :
x = 2a, y = – 2b ని (2) లో రాయగా
\(\frac{-2 \not a}{\not a}\) – (- \(\frac{-2 \not b}{\not b}\)) = 4
⇒ 2 + 2
⇒ 4= 4 = 4.

(ii) \(\frac{x+1}{2}+\frac{y-1}{3}\) = 8

\(\frac{x-1}{3}+\frac{y+1}{2}\) = 9
సాధన.
\(\frac{x+1}{2}+\frac{y-1}{3}\) = 8 ……………..(1)

\(\frac{x-1}{3}+\frac{y+1}{2}\) = 9 ……………..(2)
(1) ⇒ \(\frac{3(x+1)+2(y-1)}{6}\) = 8
3x + 3 + 2y – 2 = 48
3x + 2y = 48 – 10
3x + 2y = 47 …………… (4)
(2) ⇒ \(\frac{2(x-1)+3(y+1)}{6}\) = 9
2x – 2 + 3y + 3 = 54
2x + 3y = 54 – 15
2x + 3y = 53 …………… (4)

x = 7 ను (3) లో రాయగా,
3 (7) + 2y = 47
⇒ 2y = 47 – 21
⇒ 2y = 26
⇒ y = \(\frac{26}{2}\) = 13
సాధన x = 7, y = 13.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో రాయగా,
\(\frac{7+1}{2}+\frac{13-1}{3}\) = 8
\(\frac{8}{2}+\frac{12}{3}\) = 8
⇒ 4 + 4 = 8
⇒ 8 = 8.

(iii) \(\frac{x}{7}+\frac{y}{3}\) = 5;
\(\frac{x}{2}-\frac{y}{9}\) = 6
సాధన.
1వ పద్ధతి
\(\frac{x}{7}+\frac{y}{3}\) = 5 ……………(1)

\(\frac{x}{2}-\frac{y}{9}\) = 6 …………….(2)

(1) ⇒ \(\frac{3 x+7 y}{21}\) = 5
⇒ 3x + 7y = 105 …………….. (3)
\(\frac{9 x-2 y}{18}\) = 6
9x – 2y = 108 ………….. (4)

y = 9 ని (4) లో రాయగా
9x – 2(9) = 108
9x – 18 = 108
9x = 108 + 18 = 126
x = \(\frac{120}{9}\) = 14
సాధన x = 14, y = 9

2వ పద్దతి :
\(\frac{x}{7}+\frac{y}{3}\) = 5 …………..(1)

\(\frac{x}{2}-\frac{y}{9}\) …………… (2)

x = 14 ని (1) లో రాయగా

\(\frac{14}{7}+\frac{y}{3}\) = 5

⇒ 2 + \(\frac{y}{3}\) = 5
⇒ \(\frac{y}{3}\) = 5 – 2 = 3
⇒ y = 9 .
సాధన x = 14, y = 9.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో రాయగా,
\(\frac{14}{7}+\frac{9}{3}\) = 5
2 + 3 = 5
5 = 5

(iv) √3x – √2y = √3; √5x + √3y =√3
సాధన.
√3x – √2y = √3 …………. (1) .
√5x + √3y = √3 ……….. (2)
1వ పద్ధతి :
(1) ⇒ – √2y = √3 – √3x
√2y = √3x – √3
y = \(\frac{\sqrt{3} x-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,

√5x + √3(\(\frac{\sqrt{3} x-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)) = √3

√5x + \(\frac{3 x-3}{\sqrt{2}}\) = √3

\(\frac{\sqrt{10} x+3 x-3}{\sqrt{2}}\) = √3

x(√10 + 3) – 3 = √6
x(3 + √10) = 3 + √6
x = \(\frac{3+\sqrt{6}}{3+\sqrt{10}}\)
x విలువను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
√5 (\(\)) + √3y = √3

\(\frac{3+\sqrt{6}}{3+\sqrt{10}}\) + √3y = √3

√3y = √3 – \(\frac{3 \sqrt{5}+\sqrt{30}}{3+\sqrt{10}}\)

2వ పద్ధతి:
√3x – √2y = √3 …………(1)
√5x + √3y = √3 ……….. (2)

x = \(\frac{3+\sqrt{6}}{3+\sqrt{10}}\)

√10y + 3y = 3 – √15
y(3 + √10) = 3 – √15
⇒ y = \(\frac{3-\sqrt{15}}{3+\sqrt{10}}\)
∴ సాధన. x = \(\frac{3+\sqrt{6}}{3+\sqrt{10}}\) , y = \(\frac{3-\sqrt{15}}{3+\sqrt{10}}\).

(v) \(\frac{a x}{b}-\frac{b y}{a}\) = a + b; ax – by = 2ab
సాధన.
\(\frac{a x}{b}-\frac{b y}{a}\) = a +b; …………….(1)
ax – by = 2ab …….. (2)
(1) ⇒ \(\frac{a^{2} x-b^{2} y}{a b}\) = a + b
a²x – b²y = ab (a + b)
a²x – b²y = a²b + ab² ……….. (3)
(2) × b = abx – b²y = 2ab² …………… (4)

x = \(\frac{a^{2} b-a b^{2}}{a^{2}-a b}\)
⇒ x = \(\frac{a b(a-b)}{a(a-b)}\)
⇒ x = b
x = b ని (2) లో రాయగా
ab – by = 2ab
– by = 2ab – ab = ab
⇒ by = – ab
⇒ y = \(\frac{-a b}{b}\) = – a
⇒ y = – a

సరిచూడటం:
x, y విలువలను (2) లో రాయగా,
a(b) – b (- a) = 2ab
⇒ ab + ab = 2ab
⇒ 2ab = 2ab.

(vi) 2^x + 3^y = 17; 2^{x + 2} – 3^{y + 1} = 5
సాధన.
2^x + 3^y = 17 …………. (1)
2^{x + 2} – 3^{y + 1} = 5 ………… (2)
(2) ⇒ 2^x × 2² – 3^y × 3 = 5
(∵ a^{m + n} = a^m × aⁿ)
4 × 2^x – 3 × 3^y = 5 ………. (3)
(1) మరియు (3)లలో 2^x = p, 3^y = q అనుకొనుము.
(1) ⇒ p+ q = 17 ………. (4)
(3) ⇒ 4p- 3q = 5 ………. (5)
(4) ⇒ q= 17 – pని (5) లో ప్రతిక్షేపించగా,
4p – 3 (17 – p) = 5
4p -51 + 3p = 5
7p = 5 + 51 = 56
⇒ p = \(\frac{56}{7}\) = 8
p = 8ని (4) లో రాయగా,
8 + q = 17
⇒ q = 17 – 8 = 9
p = 8, q = 9
కాని, 2^x = p = 8
2^x = 2³
⇒ x = 3,
3^y = q = 9
3^y = 3²
⇒ y = 2
సాధన x = 3, y = 2.

సరిచూడటం :
x, y విలువలు (1) లో రాయగా,
2³ + 3² = 17
⇒ 8 + 9 = 17
⇒ 17 = 17

ప్రశ్న 2.
ఒక ప్రయోగంలో జంతువులకు నిర్దేశించిన ఆహారాన్ని ఇవ్వాలి. ప్రతీ జంతువుకు మిగిలిన వాటితోపాటు 20 గ్రాముల ప్రోటీన్లు, 6 గ్రాముల క్రొవ్వు ఇవ్వాలి. ఆ ప్రయోగశాల పరిశీలకులు A, B అనే రెండు రకాల ఆహార మిశ్రమాలను కొన్నారు. మిశ్రమం Aలో 10% ప్రోటీన్లు మరియు 6% క్రొవ్వువున్నాయి. మిశ్రమం Bలో 20% ప్రోటీన్లు, 2% క్రొవ్వు ఉన్నాయి. అయిన వారు ప్రతీ మిశ్రమానికి ఎన్ని గ్రాములు ఉపయోగించాలి ?
సాధన.
జంతువులకు ఇవ్వవలసిన ఆహారంలో 20 గ్రాముల ప్రోటీన్లు ఉండుట కొరకు A మిశ్రమాన్ని x గ్రాములు, Bమిశ్రమాన్ని 5 గ్రాములు ఉపయోగించాలి అనుకుందాం.
లెక్క ప్రకారం ఆహారంలోని ప్రోటీన్లు = 20 గ్రా.
అనగా A మిశ్రమంలోని ప్రోటీన్లు + B మిశ్రమంలోని ప్రోటీన్లు = 20 గ్రా.
\(x \times \frac{10}{100}+y \times \frac{20}{100}\) = 20

\(\frac{x}{10}+\frac{y}{5}\) = 20
⇒ x + 2y = 200 ……… (1)
ఆహారంలోని కొవ్వు = 6 గ్రాములు.
అనగా A మిశ్రమంలోని కొవ్వు + B మిశ్రమంలోని కొవ్వు = 6 గ్రాములు

3x + y = 300 ………. (2)
(2) ⇒ y = 30 – 3x ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా.
x + 2 (300 – 3x) = 200
x + 600 – 6x = 200
5x = 200 – 600 = – 400 .
5x = 400
⇒ x = \(\frac{400}{5}\) = 80
⇒ x = 80
x = 80 ని (2) లో రాయగా,
3 (80) + y = 300
⇒ 240 + y = 300
⇒ y = 300 – 240 = 60
∴ సాధన x = 80, y = 60..
∴ A మిశ్రమాన్ని 80 గ్రాములు, B మిశ్రమాన్ని 60 గ్రాములు ఉపయోగించాలి.

సరిచూసుకోవడం :
A మిశ్రమం 80 గ్రా. గల ప్రోటీన్లు (10%) = 80 × \(\frac{10}{100}\) = 8 గ్రా.

A మిశ్రమం 60 గ్రా. గల ప్రోటీన్లు (20%) = 60 × \(\frac{20}{100}\) = 12 గ్రా
మొత్తం ప్రోటీన్లు = 20 గ్రా.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Exercise 4.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Exercise 4.3

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాల జతలను, రేఖీయ సమీకరణాల ‘ జతలుగా మార్చడం ద్వారా వాటికి సాధన కనుగొనండి.

(i) \(\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}\) = 2
\(\frac{6}{x-1}-\frac{3}{y-2}\) = 1
సాధన.
\(\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}\) = 2 ……………(1)
\(\frac{6}{x-1}-\frac{3}{y-2}\) = 1 …………….(2)
(1) మరియు (2) లలో \(\frac{1}{x-1}\) = p \(\frac{`1}{y-2}\) = q అనుకొనుము.
(1) ⇒ 5p + q = 2 ………….. (3)
(2) ⇒ 6p – 3q = 1 ………….. (4)
(3) ⇒ q = 2 – 5p ని (4) లో ప్రతిక్షేపించగా,
6p – 3 (2 – 5p) = 1
6p – 6 + 15p = 1
21p = 1 + 6 = 7
⇒ p = \(\frac{7}{21}\) = \(\frac{1}{3}\)
p = \(\frac{1}{3}\) ని (4) లో రాయగా,
6 (\(\frac{1}{3}\)) – 3q = 1
– 3q = 1 – 2 = – 1
⇒ 3q = 1
⇒ q = \(\frac{1}{3}\)
p = \(\frac{1}{3}\), q = \(\frac{1}{3}\)
కానీ \(\frac{1}{x-1}\) = p = \(\frac{1}{3}\)
x – 1 = 3 ⇒ x = 3 + 1 = 4 1
\(\frac{1}{y-2}\) = q = \(\frac{1}{3}\)
y – 2 = 3 ⇒ y = 3 + 2 = 5
∴ సాధన x = 4, y = 5.

సరిచూచుట :
\(\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}\) = 2
x = 4, y = 5 విలువలను రాయగా,
\(\frac{5}{4-1}+\frac{1}{5-2}\) = 2
\(\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}\)
\(\frac{5}{3}+\frac{1}{3}\) = 2
⇒ \(\frac{6}{3}\) = 2
⇒ 2 = 2

(ii) \(\frac{x+y}{x y}\) = 2;
\(\frac{x-y}{x y}\) = 6
సాధన.
\(\frac{x+y}{x y}\) = 2 ………….(1)
\(\frac{x-y}{x y}\) = 6 …………(2)

(1) ⇒ \(\frac{x}{x y}+\frac{y}{x y}\) = 2

\(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\) = 2

(2) ⇒ \(\frac{x}{x y}-\frac{y}{x y}\) = 6

\(\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\) = 6 ……………(4)

\(\frac{1}{x}\) = q, \(\frac{1}{y}\) = p అనుకుంటే,
(3) ⇒ p + q = 2 ………….. (5)
(4) ⇒ p – q = 6 ………….. (6)
p + q = 2
p – q = 6
(5) + (6) ⇒ 2p = 8
⇒ p = \(\frac{8}{2}\) = 4
p = 4 ను (5) లో రా యగా,
4 + q = 2
⇒ q = 2 – 4 = – 2
p = 4, q = – 2
కానీ, \(\frac{1}{y}\) = p = 4

y = \(\frac{1}{4}\)

⇒ q = – 2 ⇒ x = – \(\frac{1}{2}\)
∴ సాధన x = – \(\frac{1}{2}\) , y = \(\frac{1}{4}\)

సరిచూచుట :
\(\frac{x+y}{x y}\) = 2

x, y విలువలను రాయగా, \(\frac{-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}{\frac{-1}{2} \times \frac{1}{4}}\) = 2

(iii) \(\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}\) = 2

\(\frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{y}}\) = – 1
సాధన.
\(\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}\) = 2 ………….(1)

\(\frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{y}}\) = – 1 ………….(2)
\(\frac{1}{\sqrt{x}}\) = p, \(\frac{1}{\sqrt{y}}\) = q అనుకుంటే,
(1) ⇒ 2p + 3q = 2 ………….. (3)
(2) ⇒ 4p – 9q = – 1 …………. (4)

p = \(\frac{1}{2}\) ను (3) లో రాయగా,
2(\(\frac{1}{2}\)) + 3q = 2
3q = 2 -1 = 1
⇒ q = \(\frac{1}{3}\)
కానీ \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) = p = \(\frac{1}{2}\)
⇒ √x = 2
⇒ x = 4
\(\frac{1}{\sqrt{y}}\) = q = \(\frac{1}{3}\)
⇒ √y = 3
⇒ y = 9
∴ సాధన x = 4, y = 9.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో రాయగా, \(\frac{2}{\sqrt{4}}+\frac{3}{\sqrt{9}}\) = 2
⇒ \(\frac{2}{2}+\frac{3}{3}\) = 2
⇒ 1 + 1 = 2
⇒ 2 = 2

(iv) 6x + 3y = 6xy
2x + 4y = 5xy
సాధన.
6x + 3y = 6xy ……….. (1)
2x + 4y = 5x………… (2)
(1) ⇒ \(\frac{6 x}{x y}+\frac{3 y}{x y}\) = 6 (∵ ఇరువైపులా xy తో భాగించగా)
\(\frac{6}{y}+\frac{3}{x}\) = 6 ………..(3)

(2) ⇒ \(\frac{2 x}{x y}+\frac{4 y}{x y}\) = 5
\(\frac{2}{y}+\frac{4}{x}\) = 5 …………….(4)

\(\frac{1}{y}\) = P, \(\frac{1}{x}\) = q అనుకుందాం.
(3) ⇒ 6p + 3q = 6 …………. (5)
⇒ 2p + 4q = 5 ………….. (6)

p = \(\frac{9}{18}=\frac{1}{2}\)
p = \(\frac{1}{2}\) ను (5) లో ప్రతిక్షేపించగా,
6(\(\frac{1}{2}\)) + 3q = 6
3q = 6 – 3
q = \(\frac{3}{3}\) = 1
కానీ \(\frac{1}{y}\) = p = \(\frac{1}{2}\)
⇒ y = 2
\(\frac{1}{x}\) = q = 1
⇒ x = 1
∴ సాధన x = 1, y = 2.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో రాయగా,
6 (1) + 3 (2) = 6 (1) (2)
6 + 6 = 12
12 = 12

(v) \(\frac{5}{x+y}-\frac{2}{x-y}\) = – 1
\(\frac{15}{x+y}+\frac{7}{x-y}\) = 10 x ≠ 0, y ≠ 0 అయిన
సాధన.
\(\frac{5}{x+y}-\frac{2}{x-y}\) = – 1 …………… (1)
\(\frac{15}{x+y}+\frac{7}{x-y}\) = 10 …………. (2)

\(\frac{1}{x+y}\) = p, \(\frac{1}{x-y}\) = q అనుకుంటే,
(1) ⇒ 5p – 2q = – 1 …………. (3)
(2) ⇒ 15p + 7q = 10 ………. (4)

p = \(\frac{1}{5}\) ను (3) లో రాయగా,
5(\(\frac{4}{4}\)) – 2q = – 1
1 – 2q = -1
– 2q = – 1 – 1
2q = 2
q = \(\frac{2}{2}\) = 1
p = \(\frac{1}{5}\), q = 1

కానీ, \(\frac{1}{x+y}\) = P = \(\frac{1}{5}\)
⇒ x + y = 5 ………… (5)
\(\frac{1}{x-y}\) = q = 1
⇒ x – y = 1 …… (6)
(5) మరియు (6) లను సాధించగా,

x = 3ను (5) లో రాయగా,
3 + y = 5
y = 5 – 3 = 2
∴ సాధన x = 3, y = 2.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (2) లో రాయగా,
\(\frac{15}{3+2}+\frac{7}{3-2}\) = 10
\(\frac{15}{5}+\frac{7}{1}\) = 10
3 + 7 = 10
10 = 10

(vi) \(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}\) = 13
\(\frac{5}{x}-\frac{4}{y}\) = – 2 x ≠ 0, y ≠ 0 అయిన
సాధన.
\(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}\) = 13 …………… (1)

\(\frac{5}{x}-\frac{4}{y}\) = – 2 …………… (2)

\(\frac{1}{x}\) = p, \(\frac{1}{y}\) = q అనుకుంటే,
(1) ⇒ 2p+ 3q = 13 ………….(3)
(2) ⇒ 5p – 4q = – 2 ………..(4)

p = 2 ను (3) లో రాయగా,
2(2) + 3q = 13
4 + 3q = 13
3q = 13 – 4 = 9
⇒ q = \(\frac{9}{3}\) = 3
p = 2, q = 3
కానీ, \(\frac{1}{x}\) = p = 2
⇒ x = \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{y}\) = q = 3
⇒ y = \(\frac{1}{3}\)
∴సాధన x = \(\frac{1}{2}\), y = \(\frac{1}{3}\)

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
\(\frac{2}{\frac{1}{2}}+\frac{3}{\frac{1}{3}}\) = 13
⇒ 2 × \(\frac{2}{1}\) + 3 × \(\frac{3}{1}\) = 13
⇒ 4 + 9 = 13
⇒ 13 = 13

(vii) \(\frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y}\) = 4
\(\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}\) = – 2
సాధన.
\(\frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y}\) = 4 ………. (1)

\(\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}\) = – 2 ………….. (2)

\(\frac{1}{x+y}\) = p, \(\frac{1}{x-y}\) = q అనుకుంటే,
(1) ⇒ 10p + 2q = 4 ………….. (3)
(2) ⇒ 15p – 5q = – 2…………… (4)

p = \(\frac{1}{5}\) ను (3) లో రాయగా,
10(\(\frac{1}{5}\)) + 2q = 4
2 + 2q = 4
⇒ 2q = 4 – 2
⇒ 2q = 2
q = \(\frac{2}{2}\) = 1, p = \(\frac{1}{5}\), q = 1
కానీ, \(\frac{1}{x+y}\) = p = \(\frac{1}{5}\)
⇒ x + y = 5 …………….. (5)
\(\frac{1}{x+y}\) = q = 1
⇒ x – y = 1 …………….. (6)
(5), (6) లను సాధించగా,

x = 3 ను (5) లో రాయగా,
3 + y = 5
⇒ y = 5 – 3 = 2
∴ సాధన, x = 3, y = 2.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
\(\frac{10}{3+2}+\frac{2}{3-2}\) = 4

⇒ \(\frac{10}{5}+\frac{2}{1}\) = 4
2 + 2 = 4
4 = 4

(viii) \(\frac{1}{3 x+y}+\frac{1}{3 x-y}=\frac{3}{4}\)
\(\frac{1}{2(3 x+y)}-\frac{1}{2(3 x-y)}=\frac{-1}{8}\)
సాధన.
\(\frac{1}{3 x+y}+\frac{1}{3 x-y}=\frac{3}{4}\) …………….(1)

\(\frac{1}{2(3 x+y)}-\frac{1}{2(3 x-y)}=\frac{-1}{8}\) ………. (2)
(2) ⇒ \(\frac{1}{2}\left[\frac{1}{3 x+y}-\frac{1}{3 x-y}\right]=\frac{-1}{8}\)

⇒ \(\frac{1}{3 x+y}-\frac{1}{3 x-y}=\frac{-2}{8}\)

⇒ \(\frac{1}{3 x+y}-\frac{1}{3 x-y}=\frac{-1}{4}\) ………………(3)
(1) & (3) లలో \(\frac{1}{3 x+y}\) = p, \(\frac{1}{3 x-y}\) = q అనుకుంటే,
(1) ⇒ p + q = \(\frac{3}{4}\) …………. (4)
(3) ⇒ p – q = \(\frac{1}{4}\) ……….. (5)
(4) + (5) ⇒

p = \(\frac{1}{4}\) ను (4) లో రాయగా,
\(\frac{1}{4}\) + q = \(\frac{3}{4}\)

q = \(\frac{3}{4}\) – \(\frac{1}{4}\)
= \(\frac{3-1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

p = \(\frac{1}{4}\), q = \(\frac{1}{2}\)

కానీ, \(\frac{1}{3 x+y}\) = p = \(\frac{1}{4}\)
⇒ 3x + y = 4 …………(6)

\(\frac{1}{3 x-y}\) = q = \(\frac{1}{2}\)
⇒ 3x – y = 2 ……. (7)
(6), (7) లను సాధించగా.

x = 1 ని (6) లో రా యగా,
3 (1) + y = 4 ⇒ y = 4 – 3 = 1
సాధన x = 1, y = 1.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
\(\frac{1}{3(1)+1}+\frac{1}{3(1)-1}=\frac{3}{4}\)

ప్రశ్న 2.
క్రింది సమస్యలకు సమీకరణాల జతలను వ్రాసి వాటికి సాధన కనుగొనండి.
(i) ఒక పడవ నీటిలో ప్రవాహమునకు అభిముఖముగా 30 కి.మీ దూరమును మరియు ప్రవాహపువాలులో 44 కి.మీ. దూరము ప్రయాణించుటకు 10 గంటలు పట్టును. అదే పడవకు 40 కి.మీ అభిముఖముగా, 55 కి.మీ. ప్రవాహపు వాలులో ప్రయాణించుటకు 13 గంటలు కాలము పట్టును. అయిన ప్రవాహవేగమును, నిలకడ నీటిలో పడవ వేగమును కనుగొనుము.
సాధన.
నిలకడ నీటిలో పడవ వేగం = x కి.మీ./గం.
ప్రవాహ వేగము = y కి.మీ./ గం. అనుకొనుము
ప్రవాహ అభిముఖంగా పడవ వేగం = (x – y) కి.మీ./గం.
ప్రవాహవాలు (ప్రవాహ దిశలో) గా పడవవేగం = (x + y) కి.మీ./గం. దూరం

సందర్భం -1:
ప్రవాహ అభిముఖంగా 30 కి.మీ. ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = \(\frac{30}{x-y}\) గం.
ప్రవాహవాలుగా 44 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే 44 కాలం = \(\frac{44}{x+y}\) గం.
మొత్తం ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = 10 గం.

\(\frac{30}{x-y}+\frac{44}{x+y}\) = 10 …… (1)

సందర్భం – 2:
ప్రవాహ అభిముఖంగా 40 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే కాలం = \(\frac{40}{x-y}\) గం
ప్రవాహ వాలులో 55 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే కాలం = \(\frac{55}{x+y}\) గం.
మొత్తం ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = 13 గం.

\(\frac{40}{x-y}+\frac{55}{x+y}\) = 13 ……….. (2)
\(\frac{1}{x-y}\) = p మరియు \(\frac{1}{x+y}\) = q అనుకొంటే
(1) ⇒ 30p + 44q = 10 ………… (3)
(2) ⇒ 40p + 55q = 13 ………… (4)
30, 40 ల క.సా.గు = 120,

q = \(\frac{1}{11}\)
q = \(\frac{1}{11}\) ని (3) లో రాయగా
30p + 44 (\(\frac{1}{11}\)) = 10
30p + 4 = 10
30p = 10 – 4 = 6
⇒ p = \(\frac{6}{30}=\frac{1}{5}\)
కానీ, \(\frac{1}{x-y}\) = p = \(\frac{1}{5}\)
⇒ x – y = 5 ……………..(5)
\(\frac{1}{x+y}\) = q = \(\frac{1}{11}\)
⇒ x + y =11 ……………….(6)

x = 8ని (6) లో రాయగా,
8 + y = 11
y = 11 – 8 = 3
∴ సాధన x = 8, y = 3.
నిలకడ నీటిలో పడవ వేగం = 8 కి. మీ./గం,
ప్రవాహ వేగము = 3 కి. మీ./గం.

సరిచూచుట :
అభిముఖంగా 30 కి.మీ. ప్రయాణానికి పట్టే కాలము = \(\frac{30}{8-3}=\frac{30}{5}\) = 6 గం.
ప్రవాహవాలుగా 40 కి.మీ. ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = \(\frac{40}{8+2}=\frac{40}{10}\) = 4 గం.
మొత్తం ప్రయాణకాలం = 6 + 4 = 10 గం.

(ii) రహీమ్ తన యింటికి పోవుటకు 600 కి.మీ దూరములో, కొంత దూరము రైలులో మరియు కొంత దూరము కారులో ప్రయాణించును. 120 కి.మీ. దూరము రైలులో, మిగిలిన దూరము కారులో ప్రయాణమునకు అతనికి 8 గంటలు పట్టును. అదే 200కి.మీ. దూరము రైలులో, మిగిలిన దూరము కారులో ప్రయాణము చేసిన అతనికి 20 నిమిషాల కాలము ఎక్కువ పట్టును. అయిన కారు మరియు రైలుల వేగములను కనుగొనండి. సాధన.
రైలు వేగము = x కి.మీ./గం.
కారు వేగము = y కి.మీ./గం. అనుకుందాం.

సందర్భం – 1:
120 కి.మీ. రైలు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{120}{x}\) గం
600 – 120 = 480 కి.మీ. ‘కారు ప్రయాణానికి
పట్టిన కాలం = \(\frac{480}{y}\) గం
మొత్తం ప్రయాణకాలం = 8 గం.
\(\frac{120}{x}+\frac{480}{y}\) = 8 …………….. (1)

సందర్భం – 2:
200 కి.మీ. రైలు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{200}{x}\) గం.
600 – 200 = 400 కి.మీ. కారు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{400}{y}\) గం.
మొత్తం ప్రయాణ కాలం = 8 గం. + 20 ని.
\(\frac{200}{x}+\frac{400}{y}=8 \frac{20}{60}\) గం. = \(\frac{25}{3}\) గం.
∴ \(\frac{200}{x}+\frac{400}{y}=\frac{25}{3}\) …………….(2)
\(\frac{1}{x}\) = p, \(\frac{1}{y}\) = q అనుకుంటే,
(1) ⇒ 120p + 480q = 8 ………………… (3)
(2) ⇒ 200p + 400q = \(\frac{25}{3}\) ……………. (4)

q = \(\frac{1}{80}\) = ని (3) లో రాయగా,
120p + 480(\(\frac{1}{80}\)) = 8
⇒ 120p = 8 – 6 = 2
⇒ p = \(\frac{2}{120}\)
⇒ p = \(\frac{1}{60}\)
∴ p = \(\frac{1}{60}\), q = \(\frac{1}{80}\)
కానీ, \(\frac{1}{x}\) = p = \(\frac{1}{60}\)
⇒ x = 60
\(\frac{1}{y}\) = q = \(\frac{1}{80}\)
⇒ y = 80
∴ సాధన x = 60, y = 80.
రైలు వేగం = 60 కి.మీ./గం.
కారు వేగం = 80 కి.మీ./గం.

సరిచూచుట :
120 కి.మీ. రైలు ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = \(\frac{120}{60}\) = 2 గం.
480 కి.మీ. కారు ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = \(\frac{480}{80}\) = 6 గం.

మొత్తం ప్రయాణకాలం = 2 + 6 = 8 గం.

(iii) ఇద్దరు స్త్రీలు మరియు 5గురు పురుషులు ఒక కుట్టుపనిని 4 రోజులలో చేయగా, ముగ్గురు స్త్రీలు మరియు 6గురు పురుషులు దానిని 3 రోజులలో చేసెదరు. స్త్రీ ఒక్కరే లేదా పురుషుడు ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలమును కనుగొనుము.
సాధన.
స్త్రీ ఒక్కరే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలం = x రోజులు
పురుషుడు ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలం = y రోజులు అనుకుందాం.
స్త్రీ ఒక్కరే 1 రోజు చేయు పని = \(\frac{1}{x}\)
పురుషుడు ఒక్కడే 1 రోజు చేయు పని = \(\frac{1}{y}\)

సందర్భం -1:
ఇద్దరు స్త్రీలు మరియు 5 గురు పురుషులు ఆ పనిని 4 రోజులలో చేయుదురు.
కావున, ఇద్దరు స్త్రీలు మరియు 5 గురు పురుషులు ఒక రోజులో చేయు పని = \(\frac{1}{4}\)

∴ \(\frac{2}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}\)
[∵ ఇద్దరు స్త్రీలు ఒకరోజులో చేయు పని = 2 × \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{2}{x}\)
5 గురు పురుషులు ఒక రోజులో చేయు పని = 5 × \(\frac{1}{y}\) = \(\frac{5}{y}\)]

∴ \(\frac{8}{x}+\frac{20}{y}\) = 1 ……………. (1)

సందర్భం – 2:
ముగ్గురు స్త్రీలు మరియు 6 గురు పురుషులు ఆ పనిని 3 రోజులలో చేసెదరు.
∴ ముగ్గురు స్త్రీలు మరియు 6 గురు పురుషులు ఒక రోజు చేయు పని = \(\frac{1}{3}\)
\(\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{3}\)

⇒ \(\frac{9}{x}+\frac{18}{y}\) = 1 ………… (2)

p = \(\frac{1}{x}\), q = \(\frac{1}{y}\) అనుకుంటే,

(1) ⇒ 8p + 20q = 1 ………….. (3)
(2) ⇒ 9p + 18q = 1 ………….. (4)

q = \(\frac{1}{36}\) ను (4) లో రాయగా,
9p + 18(\(\frac{1}{36}\)) = 1
⇒ 9p + \(\frac{1}{2}\) = 1
⇒ 9p = 1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ p = \(\frac{1}{18}\)
⇒ p = \(\frac{1}{18}\), q = \(\frac{1}{36}\)
కానీ \(\frac{1}{x}\) = p = \(\frac{1}{18}\)
⇒ x = 18
\(\frac{1}{y}\) = q = \(\frac{1}{36}\)
⇒ y = 36
‘స్త్రీ ఒక్కరే ఆ పని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలం = 18 రోజులు
‘పురుషుడు ఒక్కరే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలం = 36 రోజులు.

సరిచూచుట :
x = 18, y = 36 ని (2) లో రాయగా,
\(\frac{9}{18}+\frac{18}{36}\) = 1
⇒ \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\) = 1
⇒ \(\frac{2}{2}\) = 1

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Exercise 4.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Exercise 4.2

క్రింది సమస్యలలో ప్రతి సందర్భంలో రేఖీయ సమీకరణాల జతను వ్రాసి దానికి సాధన కనుగొనండి.

ప్రశ్న 1.
ఇద్దరు వ్యక్తుల ఆదాయాల నిష్పత్తి 9 : 7 మరియు వాటి ఖర్చుల నిష్పత్తి 4 : 3. వారు ప్రతీ ఒక్కరూ నెలకు ₹ 2000 సొమ్ము ఆదాచేసిన, వారి నెలవారీ ఆదాయాలను కనుగొనండి.
సాధన.
ఇద్దరు వ్యక్తుల ఆదాయాల నిష్పత్తి = 9 : 7.
మొదటి వ్యక్తి ఆదాయం = ₹ 9x
రెండవ వ్యక్తి ఆదాయం = ₹ 7x అనుకొనుము
వారి ఖర్చుల నిష్పత్తి = 4 : 3
మొదటి వ్యక్తి ఖర్చు = ₹ 4y
రెండవ వ్యక్తి ఖర్చు = ₹ 3y అనుకుందాము.
ప్రతీ ఒక్కరూ నెలకు ఆదా చేస్తున్న సొమ్ము = ₹ 2000
మొదటి వ్యక్తి ఆదా చేస్తున్న సొమ్ము
9x – 4y = 2000 ……… (1)
రెండవ వ్యక్తి ఆదా చేస్తున్న సొమ్ము
7x – 3y = .2000 ………. (2)
1వ పద్ధతి (చరరాశి తొలగింపు పద్ధతి) :

∴ x = 2000
మొదటి వ్యక్తి ఆదాయం = 9x = 9 × 2000 = ₹ 18000
రెండవ వ్యక్తి ఆదాయం = 7x = 7 × 2000 = ₹ 14000.

రెండవ పద్ధతి (ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి) :
(1) ⇒ – 4y = 2000 – 9x
4y = 9x – 2000
y = \(\frac{9 x-2000}{4}\) ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా.

7x – 3(\(\frac{9 x-2000}{4}\)) = 2000
\(\frac{28 x-27 x+6000}{4}\) = 2000

x + 6000 = 8000
x = 8000 – 6000 = 2000
మొదటి వ్యక్తి ఆదాయం = 9x = 9 × 2000 = ₹ 18000
రెండవ వ్యక్తి ఆదాయం = 7x = 7 × 2000 = ₹ 14000
సరిచూసుకోవడం :
ఆదాయాల నిష్పత్తి = 18000 : 14000 = 9 : 7
ఖర్చుల నిష్పత్తి = 18000 – 2000 : 14000 – 2000
16000 : 12000 = 4 : 3.

ప్రశ్న 2.
ఒక రెండంకెల సంఖ్య మరియు దానిలోని స్థానాలను, తారుమారు చేయగా వచ్చిన సంఖ్యల మొత్తము 66. ఆ సంఖ్యలోని రెండు అంకెల భేదము 2 అయిన ఆ సంఖ్యను కనుగొనుము. అటువంటి సంఖ్యలు ఎన్ని ఉంటాయి ?
సాధన.
ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె = x
పదుల స్థానంలోని అంకె = y అనుకొందాం.
రెండంకెల సంఖ్య = 10x + y
అంకెలను తారుమారు చేయగా
ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె = y
పదుల స్థానంలోని అంకె = x
రెండంకెల సంఖ్య = 10y + x
లెక్క ప్రకారం, ఒక రెండంకెల సంఖ్య మరియు దానిలోని స్థానాలను మార్పు చేయగా వచ్చిన సంఖ్యల మొత్తం
∴ (10x + y) + (10y +x) = 66.
⇒ 11x + 11y = 66
x + y = 6 ……….. (1)
అలాగే ఆ సంఖ్యలోని రెండంకెల భేదము
x – y = 2 ……… (2) లేదా
y – x = 2 ……….. (3)
(1) & (2) ల నుండి

x = \(\frac{8}{2}\) = 4
x = 4 ను (1) లో రాయగా
4 + y = 6
y = 6 – 4 = 2
సాధన x = 4, y = 2
కావలసిన సంఖ్య = 42

(1) & (3) ల నుండి .

y = \(\frac{8}{2}\) = 4

y = 4 ను (1) లో రాయగా
x + 4 = 6
x = 6 – 4 = 2
సాధన y = 2, y = 4
కావలసిన సంఖ్య = 24
∴ ఇచ్చిన షరతులను పాటించేటట్లు 24 మరియు 42 అనే రెండు సంఖ్యలు ఉంటాయి.

ప్రశ్న 3.
రెండు సంపూరక కోణాలలో పెద్ద కోణము, చిన్న కోణము కన్నా 18° ఎక్కువ. అయిన ఆ కోణాలను కనుగొనండి.
సాధన.
పెద్ద కోణము = x;
చిన్న కోణము = y అనుకుందాము.
పై రెండు కోణాలు .సంపూరకాలు.
x + y = 180° ……. (1)
పెద్ద కోణము, చిన్న కోణము కన్నా 18° ఎక్కువ.
x = y + 18° ……. (2)
(2) ని (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
y + 18° + y = 180°
2y = 180° – 18° = 162°
y = \(\frac{162}{2}\) = 81°
y = 81°ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా, x = 81° + 18° = 99°
సాధన x = 99°, y = 81°
∴ పెద్ద కోణము = 99°; చిన్న కోణము = 81°

2వ పద్ధతి (చరరాశి తొలగింపు పద్ధతి) :

x = \(\frac{198}{2}\) = 99°
x = 99 ను (1) లో రాయగా,
99 + y = 180° ⇒ y = 180 – 99 = 81°
సాధన x = 99, y = 81
∴ పెద్ద కోణము = 999; చిన్న కోణము = 81°
సరి చూసుకోవడం :
x, y విలువలను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా, 99° + 81° = 180° (సంపూరకాలు)
99° = 81° + 18°.

ప్రశ్న 4.
హైదరాబాద్ లో టాక్సీ ఛార్జీలు రెండు అంశాలుగా ఉంటాయి. మొదటిది స్థిర ఛార్జీ కాగా, రెండవది దూరాన్ని బట్టి నిర్ణయించే ఛార్జీ. 10కి.మీ. దూరం ప్రయాణం చేసినపుడు అయిన మొత్తము ఛార్జి ₹ 220. అలాగే 16 కి.మీ. దూరం ప్రయాణం చేసినపుడు అయిన మొత్తము ఛార్జి ₹ 310. అయిన
(i) స్థిర ఛార్జీ విలువ మరియు ఒక కిలోమీటరుకు అయ్యే ఛార్జీల విలువ ఎంత ?
(ii) ఒక వ్యక్తి 25 కి.మీ. దూరం ప్రయాణించిన అతను ఛార్జీల నిమిత్తం చెల్లించవలసిన మొత్తం ఎంత ?
సాధన.
(i) స్థిర ఛార్జీ = ₹ x అనుకొందాం.
కిలోమీటరుకు అయ్యే ఛార్జీ = ₹ y అనుకొందాం.
10 కి.మీ. దూరం ప్రయాణం చేసినపుడు అయిన మొత్తం ఛార్టీ = ₹ 220
x + 10y = 220 ………….. (1)
15 కి.మీ. దూరం ప్రయాణం చేసినపుడు అయిన మొత్తం ఛార్టీ = ₹ 310
x + 15y = 310 …… (2)

y = \(\frac{90}{5}\) = 18
y = 18ని (1) లో రాయగా,
x + 10 (18) = 220
⇒ x + 180 = 220
x = 220 – 180 = ₹ 40
సాధన x = ₹ 40, y = ₹ 18 ,
∴ స్థిర ఛార్జీ = ₹ 40
కిలో మీటరుకు అయ్యే ఛార్జీ = ₹18.

2వ పద్ధతి (ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి) :
(1) ⇒ x = 220 – 10y ని (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
220 – 10y + 15y = 310
5y = 310 – 220
5y = 90
y = \(\frac{90}{5}\) = 18
y = 18 ని (1) లో రా యగా,
x + 10 (18) = 220
x + 180 = 220
x = 220 – 180 = ₹ 40
∴ సాధన x = ₹ 40, y = ₹ 18.
∴ స్థిరఛార్టీ = ₹ 40
కిలోమీటరుకు అయ్యే ఛార్జీ = ₹ 18.
సరిచూసుకోవడం :
10 కి.మీ.లకు అయ్యే ఛార్జీ = స్థిర ఛార్జీ + 10 కి.మీ. ఛార్జీ –
40 + 10 × 18 = 40 + 180 = ₹ 220

(ii) 40 + 25 × 18 = 40 + 450 = 490.

ప్రశ్న 5.
ఒక భిన్నంలో లవ, హారాలకు 1 కలిపిన అది \(\frac{4}{5}\) అవుతుంది. అలాగే లవ, హారాల నుండి 5 తీసివేసిన ఆ భిన్నము 1/2 అవుతుంది. అయిన ఆ భిన్నాన్ని కనుగొనండి..
సాధన.
లవం = x, హారం = y అనుకుందాము.
∴ భిన్నము = \(\frac{x}{y}\)
లవ, హారాలకు 1 కలిపిన ఆ భిన్నం \(\frac{4}{5}\) అవుతుంది.
\(\frac{x+1}{y+1}=\frac{4}{5}\) (అడ్డగుణకారము చేయగా)
5x + 5 = 4y + 4
5x – 4y = 4 – 5
5x – 4y = – 1 ……… (1)
లవ, హారాల నుండి 5 తీసివేసిన 1/2 అవుతుంది.
\(\frac{x-5}{y-5}=\frac{1}{2}\)
∴ 2x – 10 = y – 5,
2x – y = – 5 + 10
2x – y = 5 ………. (2)
(2) ⇒ – y = 5 – 2x ,
y = 2x – 5 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
5x – 4 (2x – 5) = – 1
5x – 8x + 20 = – 1
– 3x = – 1 – 20 = – 21
3x = 21 ⇒ x = \(\frac{21}{3}\) = 7
x = 7 ను (2) లో రాయగా,
2(7) – y = 5 = 14 – y = 5
⇒ y = 5 – 14 = – 9
⇒ y = 9
సాధన, x = 7, y = 9
∴ భిన్నము = \(\frac{7}{9}\)

2వ పద్ధతి (చరరాశి తొలగింపు పద్ధతి) :

3x = 21
⇒ x = \(\frac{21}{3}\) = 7
x = 7 ను (2) లో రాయగా,
2 (7) – y = 5
– y = 5 – 14 = – 9
⇒ y = 9
సాధన x = 7, y = 9
భిన్నము = \(\frac{7}{9}\)
సరిచూచుట :
\(\frac{7+1}{9+1}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\)

ప్రశ్న 6.
ఒక రహదారిపై గల A, B అనే ప్రదేశాలు 100 కి.మీ. దూరంలో ఉన్నాయి. A నుండి ఒక కారు, B నుండి ఒక కారు ఒకే సమయంలో వేరు వేరు వేగాలతో ప్రయాణిస్తున్నాయి. ఆ రెండు కార్లు ఒకే దిశలో ప్రయాణం చేసిన అవి 5 గంటల తరువాత కలుస్తాయి. అలాకాక అవి ఒకదానివైపు ఒకటి ప్రయాణం చేసిన 1 గంట తరువాత కలుస్తాయి. అయిన ఆ రెండు కార్ల వేగాలను కనుగొనండి. D
సాధన.
A నుండి బయలుదేరిన కారు వేగం = x కి.మీ./గం.
B నుండి బయలుదేరిన కారు వేగం = y కి.మీ./గం. అనుకుందాం.
రెండు కార్లు. ఒకే దిశలో ప్రయాణం చేసిన అవి 5 గంటల తర్వాత కలుస్తాయి. (x > y)

5 గంటలలో 4 నుండి బయలుదేరిన కారు ప్రయాణించిన దూరం = 5x కి.మీ.
5 గంటలలో B నుండి బయలుదేరిన కారు ప్రయాణించిన దూరం = 5y కి.మీ.
∴ 5x = 100 + 5y
5x – 5y = 100
5 (x – y) = 100 x – y = 20 ………… (1)
రెండు కార్లు ఒకదానివైపు ఒకటి ప్రయాణంచిన అవి 1 గంట తరువాత కలుస్తాయి

A నుండి బయలుదేరిన కారు 1 గంటలో ప్రయాణించిన దూరం = x కి.మీ.
B నుండి బయలుదేరిన కారు 1 గంటలో ప్రయాణించిన దూరం = y కి.మీ.

∴ x + y = 100 …….. (2)

x = \(\frac{120}{2}\) = 60
x = 60ని (2) లో రాయగా,
60 + y = 100
⇒ y = 100 – 60 = 40
సాధన x = 60, y = 40
∴ కార్లవేగం 60 కి.మీ./గం., 40 కి.మీ./గం.

రెండవ పద్దతి :
A కారు వేగం = 7 కి.మీ./ గం.
B కారు వేగం = y కి.మీ./గం. అనుకుందాం.
(i) రెండు కార్లు ఒకే దిశలో ప్రయాణించిన
సాపేక్ష వేగం V = x – y కి.మీ/గం.
దూరం (d) = 100 కి.మీ.
రెండు కార్లు ఒకే దిశలో ప్రయాణించిన 5 గం. తరువాత కలుస్తాయి.
∴ కాలం (t) = 5 గం.
కాలం × వేగం = దూరం
5 × (x – y) = 100
x – y = 5
x – y = \(\frac{100}{5}\) = 20
∴ x – y = 20. ……….. (1)

(ii) రెండు కార్లు ఎదురెదురు దిశలో ప్రయాణించిన సాపేక్షవేగం V = x + y కి.మీ./గం.
దూరం d = 100 కి.మీ.,
కాలము t = 1 గం|| (∵ 1 గంట తరువాత రెండు కార్లు కలుస్తాయి)
1 (x + y) = 100
x + y = 100 ………. (2)
(2) ⇒ y = 100 – x ని (1) లో రాయగా,
x – (100 – x) = 20
x – 100 + x = 20
2x = 20 + 100 = 120
x = \(\frac{120}{2}\) = 60
x = 60 ని (2) లో రాయగా,
60 + y = 100
⇒ y = 100 – 60 = 40
సాధన x = 60, y = 40
∴ A కారు వేగం X = 60 కి.మీ./గం.
B కారు వేగం y = 40 కి.మీ./గం.

ప్రశ్న 7.
రెండు కోణాలు పూరక కోణాలు. పెద్ద కోణము కొలత, చిన్న కోణము రెట్టింపు కన్నా 3° తక్కువ అయిన ఆ రెండు కోణాలను కనుగొనండి.
సాధన.
పెద్ద కోణం = x, చిన్న కోణం = y అనుకుందాం.
∴ రెండు కోణాలు పూరకాలు
∴ x + y = 90° ………. (1)
పెద్ద కోణం, చిన్న కోణం రెట్టింపు కన్నా 3° తక్కువ.
x = 2y – 3° …………. (2)
(2) ని (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
(2y – 3) + y = 90°
3y – 3 = 90°
3y = 90 + 3 = 93°
⇒ y = \(\frac{93}{3}\) = 31°
y = 31°ని (2) లో రాయగా,
x = 2 (31) – 3
⇒ x = 62 – 3 = 59°
సాధన x = 59°, y = 31°
పెద్ద కోణము = 59°, చిన్న కోణము = 31°
సరిచూచుట :
59° + 31° = 90° (పూరక కోణాలు)
2 × 31 – 3 = 61 – 3 = 59°.

ప్రశ్న 8.
ఒక బీజగణిత పాఠ్యపుస్తకంలో మొత్తము 1382 పేజీలు వున్నాయి. దీనిని రెండు భాగాలు చేసిన రెండవ భాగములో, మొదటి భాగము – కన్నా 64 పేజీలు ఎక్కువ వున్నాయి. అయిన ప్రతీ భాగములోని పేజీల సంఖ్యను కనుగొనండి.
సాధన.
మొదటి భాగంలోని పేజీల సంఖ్య = x అనుకుందాం.
రెండవ భాగంలోని పేజీల సంఖ్య = y అనుకుందాం.
పుస్తకంలోని మొత్తం పేజీలు 1382 కలవు.
∴ x + y = 1382 …………. (1)
రెండవ భాగంలో, మొదటి భాగము కన్నా 64 పేజీలు ఎక్కువ ఉన్నాయి.
y= x + 64 …….. (2)
(2) ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
x + (x + 64) = 1382
2x + 64 = 1382
2x = 1382 – 64
2x = 1318
⇒ x = \(\frac{1318}{2}\) = 659
x = 659 ను (2) లో రాయగా,
y = 659 + 64 = 723
సాధన x = 659, y = 723
మొదటి భాగంలోని పేజీల సంఖ్య = 659
రెండవ భాగంలోని పేజీల సంఖ్య = 723
సరిచూచుట :
659 + 723 = 1382
723 – 64 = 659.

ప్రశ్న 9.
ఒక రసాయనాలు అమ్మే దుకాణదారుని వద్ద రెండు రకాల హైడ్రోక్లోరిక్ ఆమ్ల ద్రావణాలున్నాయి. ఒకటి 50% ద్రావణము మరియు రెండవది 80% ద్రావణము. 100మి.లీ. 68% ద్రావణం కావాలన్న ఆ రెండు ద్రావణాలను ఎంత పరిమాణంలో తీసుకోవాలి ?
సాధన.
100 మి.లీ. 68% ద్రావణం కోసం తీసుకోవాల్సిన 50% హైడ్రోక్లోరికామ్లం = x మి.లీ..
80% హైడ్రోక్లోరికామ్లం = y మి.లీ. అనుకొందాం.
కావలసిన ద్రావణం పరిమాణం = 100 మి.లీ.
∴ x + y = 100 ……… (1) మరియు
x మి.లీ.లో 50% + y మి.లీ. 80%. = 100 మి.లీ.లో 68%

⇒ \(\frac{x}{2}+\frac{4 y}{5}\) = 68

⇒ \(\frac{5 x+8 y}{10}\) = 68
⇒ 5x + 8y = 680 …………….. (2)
(1) ⇒ y = 100 – x ను (2) లో రా యగా,
5x + 8 (100 – x) = 680
5x + 800 – 8x = 680
– 3x = 680 – 800
– 3x = – 120
3x = 120
x = \(\frac{120}{3}\) = 40
x = 40 ని (1) లో రా యగా,
40 + y = 100
y = 100 – 40 = 60
సాధన x = 40, y = 60. 100 మి.లీ.
68% ద్రావణం కోసం 50% హైడ్రోక్లోరికామ్ల ద్రావణం 40 మి.లీ. 68% హైడ్రోక్లోరికామ్ల ద్రావణం 60 మి.లీ. తీసుకోవాలి.

2వ పద్ధతి (చరరాశి తొలగింపు పద్ధతి) :

x = \(\frac{120}{3}\) = 40
x = 40ని (1) లో రాయగా,
40 + y = 100
⇒ y = 100 – 40 = 60
సాధన x = 40, y = 60.
100 మి.లీ. 68% ద్రావణం తయారుచేయుటకు 40 మి.లీ. 50% హైడ్రోక్లోరికామ్ల ద్రావణం, 60మి.లీ. 80% హైడ్రోక్లోరికామ్ల ద్రావణంలను కలపాలి.
సరిచూచుట :
40 మి.లీ. హైడ్రోక్లోరికామ్లం = 40 × \(\frac{50}{100}\)
= 20 మి.లీ.
60 మి.లీ. హైడ్రోక్లోరికామ్లం = 60 × \(\frac{80}{100}\) = 48
100 మి.లీ.లలో మొత్తం హైడ్రోక్లోరికామ్లం = 20 + 48 = 68 = 68%.

ప్రశ్న 10.
నీ వద్ద దాచుకొనుటకు ₹ 12000 సొమ్ము కలదనుకొనుము. దానిలో కొంత మొత్తాన్ని 10% వడ్డీరేటుకు మిగిలినది 15% వడ్డీరేటు వచ్చునట్లు పొదుపు చేయాలి. అయితే మొత్తము మీద పొదుపు 12% వడ్డీరేటు రావాలంటే ఏ వడ్డీరేటున ఎంత సొమ్ము దాచుకోవాలి ?
సాధన.
10% వడ్డీరేటున పొదుపు చేసినది = ₹ x
15% వడ్డీరేటున పొదుపు చేసినది = ₹ y అనుకొనుము.
పొదుపు చేసిన మొత్తము సొమ్ము = ₹ 12000 = x + y = 12000 …….. (1) మరియు
₹ x పై 10% వడ్డీ + ₹ y పై 15% వడ్డీ = 12000 పై 12% వడ్డీ
⇒ \(\frac{10}{100}\) x + \(\frac{15}{100}\) y = \(\frac{12}{100}\) × 12000

⇒ \(\frac{x}{10}+\frac{3 y}{20}\) = 1440

\(\frac{2 x+3 y}{20}\) = 1440
2x + 3y = 28800 ………. (2)
(1) ⇒ y = 12000 – x ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
2x + 3 (12000 – x) = 28800
2x + 36000 – 3x = 28800
⇒ – x = 28800 – 36000
⇒ – x = – 7200
⇒ x = 7200
x = 7200 ను (1) లో రా యగా 7200 + y = 12000
⇒ y = 12000 – 7200
⇒ y = 4800
సాధన x = 7200, y = 4800 – ₹ 12000 పై 12% వడ్డీరేటు రావాలంటే 10% వడ్డీరేటుకు ₹ 7200, 15% వడ్డీరేటుపై ₹ 4800 పొదుపు చేయాలి.

2వ పద్ధతి (చరరాశి తొలగించు పద్ధతి) :

x = 7200 ను (1) లో రాయగా
7200 + y = 12000
y = 12000 – 7200 = 4800
సాధన x = 7200, y = 4800.
₹ 12000 పై 12% వడ్డీరేటు వచ్చుటకు 10% వడ్డీరేటుపై ₹ 7200, 15% వడ్డీరేటుపై ₹ 4800 లు పొదుపు చేయాలి.

సరిచూచుట :
₹ 7200 పై 1 సం||కి 10% వడ్డీరేటున అవు వడ్డీ = \(\frac{7200 \times 1 \times 10}{100}\) = 720
₹ 4800 పై 1 సం||కి 15% వడ్డీరేటున అవు వడ్డీ = \(\frac{4800 \times 15}{100}\)= 720
మొత్తం వడ్డీ ₹ 720 + ₹ 720 = ₹ 1440
₹ 12000 పై 12% వడ్డీ = 12000 × \(\frac{12}{100}\) = 1440

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Exercise 4.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Exercise 4.1

ప్రశ్న 1.
గ్రాఫీలు గీయకుండా, \(\frac{a_{1}}{a_{2}}\), \(\frac{b_{1}}{b_{2}}\), \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\) నిష్పత్తులను పోల్చి, కింద ఇచ్చిన రేఖా సమీకరణాల జతలు ఖండన రేఖలో, సమాంతర రేఖలో లేదా ఏకీభవించే రేఖలో కనుగొనుము.
a) 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
సాధన.
5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
a₁ = 5, b₁ = – 4, c₁ = 8
a₂ = 7, b₂ = 6, c₂ = – 9
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{5}{7}\); \(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-4}{6}\); \(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{8}{-9}\)

\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) కావున ఖండన రేఖలు.

b) 9x + 3y + 12 = 0; 18x + 6y + 24 = 0 a b1 1 విపతులను
సాధన.
9x + 3y + 12 = 0 , 18x + 6y + 24 = 0
a₁ = 9, b₁ = 3, c₁ = 12
a₂ = 18, b₂ = 6, c₂ = 24

\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\) కావున ఏకీభవించే రేఖలు

c) 6x – 3y + 10 = 0; 2x – y + 9 = 0
సాధన.
6x – 3y + 10 = 0; 2x-y + 9 = 0
a₁ = 6, b₁ = – 3, c₁ = 10
a₂ = 2, b₂ = – 1, c₂ = 9
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{6}{2}\) = 3;

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{-1}\) = 3;

\(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{10}{9}\)
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}\) = \(\frac{b_{1}}{b_{2}}\) ≠ \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\) కావున సమాంతర రేఖలు.

ప్రశ్న 2.
కింద ఇచ్చిన సమీకరణాల జతలు సంగత సమీకరణాలో అసంగత సమీకరణాలో సరిచూడుము. వాటిని రేఖాచిత్ర పద్ధతిలో (గ్రాఫ్ పద్ధతిలో) సాధించుము
a) 3x + 2y = 8
2x – 3y = 1
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణాలు 3x + 2y = 8 మరియు 2x – 3y = 1
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{2}{-3}\);

కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు సంగత సమీకరణాలు

ఇచ్చిన సమీకరణాల జత ఖండనరేఖలు. కావున ఏకైక సాధన ఉంటుంది.
∴ (x, y) = (2, 1)

b) 2x – 3y = 8
4x – 6y = 9
సాధన.
2x – 3y = 8 ⇒ 2x – 3y – 8 = 0
4x – 6y = 9 ⇒ 4 – 6y – 9 = 0 .
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}\);;

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\), కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు అసంగత సమీకరణాలు a, 2x – 3y = 8
-3y = 8 – 2x
3y = 2x – 8
y = \(\frac{2 x-8}{3}\)
4x – 6y = 9
-6y = 9 – 4x
6y = 4x – 9
y = \(\frac{4 x-9}{6}\).

ఇచ్చిన సమీకరణాల జత సమాంతరరేఖలు. కావున సాధన ఉండదు.

c) \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7
9x – 10y = 12
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణాలు \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7 మరియు 9x – 10y = 12
ఇప్పుడు, \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7
⇒ \(\frac{9 x+10 y}{6}\) = 7
⇒ 9x + 10y = 42
9x – 10y = 12
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{9}{9}=\frac{1}{1}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{10}{-10}=\frac{1}{-1}\); మరియు

∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\), కావున సమీకరణాలు సంగత సమీకరణాలు.

ఇచ్చిన సమీకరణాల జత ఖండనరేఖలు. కావున ఏకైక సాధన ఉంటుంది.
∴ (x, y) = (3.1, 1.4)

d) 5x + 3y = 11
– 10x + 6y = – 22
సాధన.
5x – 3y = 11 ⇒ 5x – 3y – 11 = 0
-10x + 6y = – 22⇒ – 10x + 6y + 22 = 0
a₁ = 5, b₁ = – 3, c₁ = – 11
a₂ = – 10, b₂ = 6, c₂ = 22
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{5}{-10}=\frac{-1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{6}=\frac{-1}{2}\);

∴ \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\), కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు సంగత సమీకరణాలు మరియు పరస్పరాధారిత సమీకరణాలు.
5x – 3y = 11
– 3y – 11 = 5x
y = \(\frac{5 x-11}{3}\)

– 10x + 6y = – 22
6y = 10x – 22
y = \(\frac{10 x-22}{6}\)

∴ ఇచ్చిన సమీకరణాల జత ఏకీభవించే రేఖలు కావున అనంత సాధనలు ఉంటాయి. రేఖపై గల అన్ని బిందువులు సాధనలు అవుతాయి.

e) \(\frac{4}{3}\)x + 2y = 8 ; 2x + 3y = 12
సాధన.
\(\frac{4}{3}\)x + 2y = 8 ⇒ \(\frac{4}{3}\)x + 2y – 8 = 0
2x + 3y = 12 ⇒ 2x + 3y – 12 = 0
a₁ = \(\frac{4}{3}\), b₁ = 2, c₁ = – 8
a₂ = 2, b₂ = 3, c₂ = – 12

∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\), కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు
సంగత సమీకరణాలు మరియు పరస్పరాధారిత సమీకరణాలు.
\(\frac{4}{3}\)x + 2y = 8
ఇరువైపులా 3తో గుణించగా
6y = 24 – 4x
y = \(\frac{24-4 x}{6}\)

2x + 3y = 12
3y = 12 – 2x
y = \(\frac{12-2 x}{3}\)

∴ ఇచ్చిన సమీకరణాల జత ఏకీభవించే రేఖలు. కావున అనంత సాధనలు ఉంటాయి. రేఖ పై గల అన్ని బిందువులు సాధనలు అవుతాయి.

f) x + y = 5
2x + 2y = 10
సాధన.
x + y = 5 ⇒ x + y – 5 = 0.
2x + 2y – 10 ⇒ 2x + 2y – 10 = 0
a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = -5
a₂= 2, b₂ = 2, c₂ = – 10
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{2}\);

∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\), కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు సంగత సమీకరణాలు మరియు పరస్పరాధారిత సమీకరణాలు.
x + y = 5
y = 5 – x

2x + 2y = 10
2y = 10 – 2x
y = \(\frac{10-2 x}{2}\)

∴ ఇచ్చిన సమీకణాల జత ‘ఏకీభవించే రేఖలు. కావున అనంత సాధనలు ఉంటాయి. రేఖపై గల అన్ని బిందువులు సాధనలు అవుతాయి.

g) x – y = 8.
3x – 3y = 16
సాధన.
x – y = 8 ⇒ x – y – 8 = 0
3x – 3y = 16 ⇒ 3x – 3y = 16
a₁ = 1, b₁ = – 1, c₁ = – 8
a₂ = 3, b₂ = – 3, c₂ = – 16
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{3}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}\); మరియు

∴ \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \neq \frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\)
కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు అసంగత సమీకరణాలు.
x – y = 8
y = x – 8

3x – 3y = 16
– 3y = 16 – 3x
y = \(\frac{3 x-16}{3}\)

∴ ఇచ్చిన సమీకరణాల జత సమాంతర రేఖలు. కావున సాధన ఉండదు.

h) 2x + y – 6 = 0
4x-2y – 4 = 0
సాధన.
2x + y – 6 = 0;
4x – 2y – 4 = 0
a= 2, b = 1, c = – 6 ;
a = 4, b = – 2, c = – 4
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{-2}=\frac{-1}{2}\);

∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\), కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు సంగత సమీకరణాలు
2x + y – 6 = 0
y = 6 – 2x

4x – 2y – 4 = 0
– 2y = 4 – 4x
y = \(\frac{4 x-4}{2}\)

∴ ఇచ్చిన సమీకరణాల జత ఖండనరేఖలు, కావున ఏకైక సాధన ఉంటుంది.
(x, y) = (2, 2)
సాధన : x = 2, y = 2

i) 2x – 2y – 2 = 0
4x – 4y -5 = 0
సాధన.
2x – 2y – 2 = 0
4x – 4y – 5 = 0
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}\);

∴ \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \neq \frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\)
కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు అసంగత సమీకరణాలు.
2x – 2y – 2 = 0
– 2y = 2 – 2x
2y = 2x – 2
y = \(\frac{2 x-2}{2}\)

4x – 4y – 5 = 0 L
– 4y = 5 – 4x
y = \(\frac{4 x-5}{4}\)

∴ ఇచ్చిన సమీకరణాల జత సమాంతర రేఖలు. కావున సాధన ఉండదు.

ప్రశ్న 3.
నేహ కొన్ని ప్యాంటులను మరియు స్కర్టులను కొనడానికి దుకాణమునకు వెళ్ళినది. ఆమె మిత్రురాలు ప్యాంటులు ఎన్ని, స్కర్టులు ఎన్ని కొన్నావని అడుగగా ఆమె ఇలా జవాబిచ్చింది. “నేను కొన్న స్కర్టుల సంఖ్య, ప్యాంట్ల సంఖ్య రెట్టింపు కన్నా రెండు తక్కువ. అలాగే స్కర్టుల సంఖ్య ప్యాంట్ల సంఖ్యకు మూడు రెట్లు కన్నా నాలుగు తక్కువ”. నేహ ఎన్ని ప్యాంటులు, ఎన్ని స్కర్టులు కొన్నదో తెలుసుకోవడంలో ఆమె మిత్రురాలికి సహాయం చేయండి. –
సాధన.
నేహ కొన్న ప్యాంట్ల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
స్కర్టుల సంఖ్య = y అనుకొనుము.
నేహ కొన్న స్కర్టుల సంఖ్య ప్యాంట్ల సంఖ్య రెట్టింపు కన్నా రెండు తక్కువ.
y = 2x – 2 …………(1)
మరియు నేహ కొన్న స్కర్టుల సంఖ్య ప్యాంట్ల సంఖ్యకు మూడురెట్ల కన్నా నాలుగు తక్కువ.
y = 3x – 4 ………….(2)
y = 3x – 4

(x, y) = (2, 2)
∴ నేహ కొన్న ప్యాంట్ల సంఖ్య = 2
స్కర్టుల సంఖ్య = 2.

ప్రశ్న 4.
రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత) 4. పదవతరగతి చదివే 10 మంది విద్యార్థులు ఒక గణిత క్విజ్ లో పాల్గొన్నారు. దానిలో పాల్గొన్న బాలికల సంఖ్య, బాలుర సంఖ్య కన్నా 4 ఎక్కువ అయిన ఆ క్విజ్ లో పాల్గొన్న బాలికల సంఖ్యను, బాలుర సంఖ్యను కనుగొనండి.
సాధన.
బాలికల సంఖ్య = x
బాలుర సంఖ్య = y అనుకుందాం.
గణిత క్విజ్ లో పాల్గొన్న విద్యార్థులు = 10
x + y = 10 …………. (1)
గణిత క్విజ్ లో బాలికల సంఖ్య బాలుర సంఖ్య కన్నా 4 ఎక్కువ,
∴ x = y + 4
x – y = 4 …………. (2)

x + y = 10
y = 10 – x

x – y = 4
– y = 4 – x
y = x – 4

(x, y) = (7, 3)
∴ బాలికల సంఖ్య = 7
బాలుర సంఖ్య = 3.

ప్రశ్న 5.
5 పెన్సిళ్ళు మరియు 7 కలముల మొత్తము వెల ₹ 50. అలాగే 7 పెన్సిళ్ళు మరియు 5 కలముల మొత్తము వెల (అవే రకం) ₹ 46 అయిన ప్రతీ పెన్సిల్ మరియు కలముల వెల కనుగొనండి.
సాధన.
ఒక పెన్సిళ్ళు ₹ x, కలము వెల = ₹y అనుకుందాము.
5 పెన్సిళ్ళు మరియు 7 కలముల మొత్తం వెల ₹ 50
5 x + 7y = 50 ………….. (1)
7 పెన్సిళ్ళు మరియు 5 కలముల మొత్తం వెల ₹ 46
7x + 5y = 46 …………… (2)
5x + 7y = 50
7y = 50 – 5x
y = \(\frac{50-5 x}{7}\)

7x + 5y = 46
5y = 46 -7x
y = \(\frac{46-7 x}{5}\)

(x, y) = (3, 5)
ఒక పెన్సిల్ వెల = ₹ 3
ఒక కలము వెల = ₹ 5.

ప్రశ్న 6.
వెడల్పు కన్నా పొడవు 4 మీ. ఎక్కువ కలిగిన ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార తోట చుట్టుకొలతలో సగము 36మీ. అయిన ఆ తోట కొలతలు కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు = 1 మీ., వెడల్పు = b మీ. అనుకుందాం
దీర్ఘచతురస్ర వెడల్పు కన్నా పొడవు 4 మీ. ఎక్కువ.
l = b + 4 ⇒ l – b = 4 ………… (1)
దీర్ఘచతురస్రాకార తోట చుట్టుకొలతలో సగము 36 మీ
\(\frac{2(l+b)}{2}\) ⇒ l + b = 36 ………… (2)
l – b = 4
– b = 4 – l
b = l – 4

l + b = 36
b = 36 – l

(l ,b) = (20, 16)
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు = 20 మీ
వెడల్పు = 16 మీ

ప్రశ్న 7.
2x + 3y – 8 = 0 ఒక రేఖీయ సమీకరణము. దీనితో జ్యా మితీయంగా ఖండనరేఖలను ఏర్పరిచేటట్లు వేరొక రేఖీయ సమీకరణాన్ని రాయండి. అదేవిధంగా సమాంతర రేఖలు అయ్యేటట్లు, ఏకీభవించే రేఖలు. అయ్యేటట్లు మరి రెండు సమీకరణాలను రాయండి.
సాధన.
i) 2x + 3y – 8 = 0 కు ఖండనరేఖ అయ్యేటట్లుండే వేరొక రేఖీయ సమీకరణం 5x + 4y – 14 = 0.
(గమనిక : \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) అయ్యేటట్లు ఉండే రేఖీయ సమీకరణాలు ఖండన రేఖలు అవుతాయి.)

ii) 2x + 3y – 8 = 0కు సమాంతరంగా ఉండే మరో రెండు సమీకరణాలు
i) 4x + 6y – 10 = 0 ii) 6x + 9y – 15 = 0
(గమనిక : \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \neq \frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\) అయితే రేఖీయ సమీకరణాలు సమాంతర రేఖలు అవుతాయి.)

iii) 2x + 3y – 8 = 0 తో ఏకీభవించే రేఖీయ సమీకరణాలు 4x + 6y – 16 = 0, 6x + 9y – 24 = 0
(గమనిక : \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) అయితే రేఖీయ సమీకరణాలు ఏకీభవిస్తాయి. (లేదా)
L₁, L₂ రేఖలు ఏకీభవించే రేఖలు అయితే రేఖీయ సమీకరణాలు L₂ = KL₁ KE R అయ్యేటట్లుంటాయి.
L₂ = 2x + 3y – 8 = 0 తో ఏకీభవించే రేఖీయ సమీకరణాలు L₂ = K (2x + 3y — 8) = 0, K యొక్క వివిధ విలువలకు వివిధ రేఖీయ సమీకరణాలు వస్తాయి.
K = 2 = L₂ = 4x + 6y – 16 = 0
K = 3 = L₂ = 6x + 9y – 24 = 0

ప్రశ్న 8.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రానికి పొడవు 5 యూనిట్లు తగ్గించి, వెడల్పు 2 యూనిట్లు పెంచగా, వైశాల్యము 80 చదరపు యూనిట్లు తగ్గును. పొడవును 10 యూనిట్లు పెంచి, వెడల్పు 5 యూనిట్లు తగ్గించగా, వైశాల్యము 50 చదరపు యూనిట్లు పెరుగును. అయిన ఆ దీర్ఘ చతురస్రము పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు = l యూనిట్లు
వెడల్పు = b యూనిట్లు అనుకుందాం.
∴ దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = lb చ.యూ.
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు 5 యూనిట్లు తగ్గించిన కొత్త పొడవు = l – 5 యూసట్లు
వెడల్పు 2 యూనిట్లు పెంచగా కొత్త వెడల్పు = b + 2 యూనిట్లు
వైశాల్యం = (l – 5) (b + 2) చ|| మీ.
పొడవు 5 యూనిట్లు తగ్గించి, వెడల్పు 2 యూనిట్లు పెంచగా వైశాల్యము 80 చ||యూ|| తగ్గును.
∴ (l – 5) (b + 2) = lb – 80.
lb + 2l – 5b – 10 = lb – 80.
lb + 2l – 5b – 10 – lb + 80 = 0
2l – 5b + 70 = 0 . ………….. (1)
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు 10 యూనిట్లు పెంచిన కొత్త పొడవు = (l + 10) యూనిట్లు
వెడల్పు 5 యూనిట్లు తగ్గించిన కొత్త వెడల్పు = b – 5 యూనిట్లు
వైశాల్యము = (l – 10) (b – 5) చ|| యూనిట్లు
పొడవు 10 యూనిట్లు పెంచి, వెడల్పు 5 యూనిట్లు తగ్గించగా వైశాల్యం 500 చదరపు యూనిట్లు
(l + 10) (b – 5) = lb + 50
lb – 5l + 10b – 50 = lb + 50
lb – 5l + 10b – 50 – lb – 50 = 0
– 5l + 10b – 100 = 0
5l – 10b + 100 = 0 …………… (2)
2l – 5 b + 70 = 0
– 5 b = – 2l – 70
5 b = 2l + 70
b = \(\frac{2 l+70}{5}\)

5l – 10 b + 100 = 0
– 10 b = – 5l – 100
10 b = 5l + 100
b = \(\frac{5 l+100}{10}\)

(l, b) = (40, 30)
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు = 40 మీ.
వెడల్పు = 30 మీ

ప్రశ్న 9.
10వ తరగతిలో ముగ్గురేసి విద్యార్థులు ఒక బెంచిపై కూర్చొనగా, ఒక విద్యార్థికి కూర్చునేందుకు స్థలము ఉండదు. అలాగని ఒక్కొక్క బెంచిపై నలుగురేసి విద్యార్థులు కూర్చొన్నచో, ఒక బెంచి ఖాళీగా మిగిలిపోవును. అయిన ఆ తరగతిలోని విద్యార్థులెందరు ? బెంచీలెన్ని ? కనుగొనుము.
సాధన.
తరగతిలోని విద్యార్థుల సంఖ్య = x, బెంచీల సంఖ్య = y అనుకుందాం.
ముగ్గురేసి విద్యార్థులు ఒక బెంచి పై కూర్చొనగా ఒక విద్యార్థి కూర్చునేందుకు స్థలము ఉండదు.
x – 1 = 3y ⇒ x – 3y – 1 = 0 …………. (1)
ఒక్కొక్క బెంచి పై నలుగురేసి విద్యార్థులు కూర్చొన్నచో, ఒక బెంచి ఖాళీగా మిగిలిపోవును.
x = 4 (y – 1) ⇒ x = 4y – 4 ⇒ x – 4y + 4 = 0 ……… (2)
x – 3y – 1 = 0 ⇒ – 3y = 1 – x
⇒ y = \(\frac{x-1}{3}\)

x – 4y + 4 = 0 ⇒ – 4y = – x – 4
⇒ y = \(\frac{x+4}{4}\)

∴ ( x, y) = (16, 5)
తరగతిలోని విద్యార్థుల సంఖ్య = 16
బెంచీల సంఖ్య = 5

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 3 బహుపదులు Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
కింది ఘన బహుపదులకు ప్రక్కన ఇవ్వబడిన సంఖ్యలు ఆయా బహుపదులకు శూన్యాలు అగునో, లేదో సరిచూడండి ఇదే విధంగా బహుపదుల పదాల గుణకాలకు, శూన్యాలకు మధ్య గల సంబంధాన్ని రాబట్టండి.
(i) 2x³ + x² – 5x + 2 ; (\(\frac{1}{2}\), 1, – 2)
(ii) x³ + 4x² + 5x – 2 ; (1, 1, 1)
సాధన.
(i) 2x³ + x² – 5x + 2, (\(\frac{1}{2}\), 1, – 2)
p(x) = 2x³ + x² – 5x + 2
p(\(\frac{1}{2}\)) = 2(\(\frac{1}{2}\))³ + (\(\frac{1}{2}\))² – 5(\(\frac{1}{2}\)) + 2
= \(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{5}{2}+\frac{2}{1}\)
= \(\frac{1+1-10+8}{4}\)
p(\(\frac{1}{2}\)) = \(\frac{0}{4}\) = 0 …………… (1)
p(1) = 2(1)³ + (1)² – 5(1) + 2 –
= 2 + 1 – 5 + 2
p(1) = 0 ……………… (2)
(లేదా)
p(x) లో గుణకాల మొత్తం 2 + 1 – 5 + 2 = 0
∴ p(1) = 0 ………… (2)
p(- 2) = 2(- 2)³+ (- 2)² – 5(- 2) + 2
= 2(- 8) + 4 + 10 + 2
= – 16 + 16 = 0
p(- 2) = 0 ………………(3)
(1), (2) & (3) ల నుండి P(\(\frac{1}{2}\)) = 0
p(1) = 0
p(- 2) = 0
∴ p(x) కు \(\frac{1}{2}\), 1, – 2లు శూన్య విలువలు అవుతాయి.
α = \(\frac{1}{2}\), β = 1,γ = – 2 అనుకొందాం.
శూన్య విలువల మొత్తం α + β + γ = \(\frac{1}{2}\) + 1 + (- 2)
= \(\frac{3}{2}\) – 2
= \(-\frac{1}{2}\)
=
రెండేసి శూన్య విలువల లబ్ధాల మొత్తం (αβ + βγ + γα) = (\(\frac{1}{2}\)) (1) + (1) (- 2) + (- 2) (\(\frac{1}{2}\))
= \(\frac{1}{2}\) – 2 – 1 = \(\frac{1}{2}\) – 3
= \(\frac{1-6}{2}=\frac{-5}{2}\) =
శూన్య విలువల లబ్దం αβγ = \(\frac{1}{2}\) × 1 × (- 2)
= – 1 =

(ii) x³ + 4x² + 5x – 2, (1, 1, 1)
p(x) = x³ + 4x² + 5x – 2
p(1) = (1)³ + 4(1)² + 5(1) – 2
= 1 + 4 + 5 – 2
p(1) = 8
p(1) ≠ 0
∴ p(x) కు 1 శూన్య విలువ కాదు.
(లేదా)
గుణకాల మొత్తం = 0 అయితే 1 ఒక శూన్య విలువ అవుతుంది.
p(x) యొక్క గుణకాల మొత్తం 1 + 4 + 5 – 2 = 8
గుణకాల మొత్తం 8 ≠ 0.
∴ p(x) కు 1 శూన్య విలువ కాదు.

2వ పద్ధతి :
p(x) = x³ + 4x² + 5x – 2 యొక్క శూన్య విలువలు α = β = γ = 1 అయితే p(x) = (x – 1)³ కావాలి.
(x – 1)³ = x³ – 3x² + 3x – 1
p(x) = x³ + 4x² + 5x – 2 ≠ (x – 1)³
∴ కాబట్టి 1, 1, 1లు p(x) యొక్క శూన్య విలువలు కావు.

ప్రశ్న 2.
ఒక ఘన బహుపది యొక్క శూన్యాల మొత్తము, రెండేసి శూన్యాల లబ్దాల మొత్తము మరియు శూన్యాల లబ్దము వరుసగా 2, – 7 మరియు – 14 అయిన ఆ బహుపదిని కనుగొనుము.
సాధన.
ఘన బహుపది p(x) యొక్క శూన్య విలువలు α, β, γ అనుకొనుము α + β + γ = 2
αβ + βγ + γα = – 7
αβγ = – 14
p(x) = k[x³ – (α + β + γ) x³ + (αβ + βγ + γα) x – αβγ]
= k[x³ – 2x² + (- 7) x – (- 14)]
= k[x³ – 2x² – 7x + 14]
k = 1 అయిన p(x) = x³ – 2x² – 7x + 14.

ప్రశ్న 3.
x³ – 3x² + x + 1 అను బహుపది శూన్యాలు a – b, a, a + b లు అయిన a, b విలువలను కనుగొనండి.
సాధన.
p(x) = x³ – 3x² + x + 1 యొక్క శూన్య విలువలు α = a – b, β = a, γ = a + b –
శూన్య విలువల మొత్తం α + β + γ =
a – b + a + a + b = \(\frac{-(-3)}{1}\)
3a = 3
a = \(\frac{3}{3}\) = 1
శూన్య విలువల లబ్ధం αβγ =
(a – b) (a) (a + b) = \(\frac{-1}{1}\)
కాని a = 1
∴ (1 – b) (1) (1 + b) = – 1
1 – b² = – 1
-b² = – 1 – 1 = – 2
b² = 2
b = ± √2
∴ a = 1, b = ± √2.

ప్రశ్న 4.
x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 యొక్క రెండు శూన్యాలు 2 ± √3 అయిన మిగిలిన రెండు శూన్యాలను కనుగొనండి.
సాధన.
p(x) = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 యొక్క రెండు శూన్య విలువలు 2 + √3 మరియు 2 – √3 . కాబట్టి
2 + √3 మరియు 2 – √3 శూన్య విలువలుగా గల వర్గ బహుపది p(x) కు కారణాంకం అవుతుంది.
α = 2 + √3 , β = 2 – √3 శూన్య విలువలుగా గల వర్గ బహుపది.
α + β = 2 + √3 + 2 – √3 = 4
αβ = 22 – (13)2 = 4 – 3 = 1.6
f(x) = k[x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – 4x + 1]
k = 1 ⇒ f(x) = x² – 4x + 1,
p(x) కు కారణాంకము

భాగఫలంలో రెండవ పదం = \(\frac{x^{4}}{x^{2}}\) = x²

భాగఫలంలో మూడవ పదం = \(\frac{-2 x^{3}}{x^{2}}\) = – 2x

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{-35 x^{2}}{x^{2}}\) = x

బహుపదులు భాగహార అల్గారిథమ్ నుండి ,
p(x) = x⁴ + 6x³ – 26x² + 138x – 35
⇒ (x² – 4x + 1) (x² – 2x – 35) + 0
p(x) = 0 అయిన
(x² – 4x + 1) (x² – 2x – 35) = 0
(x² – 4x + 1) = 0 లేదా x² – 2x – 35 = 0.
x² – 4x + 1 యొక్క శూన్య విలువలు 2 + √3.
x² – 2x – 35 యొక్క శూన్య విలువలు
x² – 2x – 35 = 0
⇒ x² – 7x + 5x – 35 = 0
x(x – 7) + 5 (x – 7) = 0
(x – 7) (x + 5) = 0
x – 7 = 0 లేదా x + 5 = 0.
x = 7 లేదా x = – 5
∴ p (x) యొక్క శూన్య విలువలు 2 + √3, 7 మరియు – 5.

ప్రశ్న 5.
x⁴ – 6x³ – 16x² + 25x + 10 అనే బహుపదిని x² – 2x + k అనే మరొక బహుపదిచే భాగించగా వచ్చు శేషం x + a అయిన ‘k’ మరియు ‘a’ విలువలు కనుగొనండి.
సాదన.
p(x) = x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10
g(x) = x² – 2x + k మరియు
r(x) = x + a

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{x^{4}}{x^{2}}\) = x²

భాగఫలంలో రెండవ పదం = \(\frac{-4 x^{3}}{x^{2}}\) = – 4x

భాగఫలంలో మూడవ పదం = \(\frac{-(24+k) x^{2}}{x^{2}}\) = – (24 + k)
శేషం r(x) = x + a
∴ (- 23 + 2k) x + (10 + 24k + k²) = x + a
x గుణకాలను పోల్చగా ,
– 23 + 2k = 1
2k = 24
∴ k = 12
స్థిర పదాలను పోల్చగా

2వ పద్ధతి :
(10 + 24k + k²)
p(x) = x⁴ – 6x³ – 16x² + 25x + 10 లెక్క ప్రకారం
r(x) = x + 10
g(x) = x² – 2x + k
భాగహార అల్ గారిథమ్ నుండి
p(x) = g(x) . q(x) + r(x)
p(x) – r(x) = g(x) . q(x)
p(x) – r(x) కు g(x) కారణాంకము అవుతుంది.
కాబట్టి p(x) – r(x) ను g(x) తో భాగిస్తే శేషము ‘0’ అవుతుంది.
కాని p(x) – r(x) a = (x⁴ – 6x³ – 16x² + 25x + 10) – (x + a)
= x⁴ – 6x³ – 16x² + 24x + (10 – a)

= [[24 + 4k) – (48 + 2k)] x + [(10 – a) + (24k + k)]
= (- 24 + 2k) x + (10 – a + 24k + k²) = 0 కావాలంటే
-24 + 2k = 0 మరియు 10 – a + 24k + k² = 0 కావాలి
∴ 2k = 24 మరియు 10 – a + 24(12) + (12) = 0
k= 12 మరియు 10 – a + 288 + 144 = 0
442 – a = 0
∴ a = 442.
∴ k = 12 మరియు a = 442.

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{x^{4}}{x^{2}}\) = x
భాగఫలంలో రెండవ పదం = \(\frac{-4 x^{3}}{x^{2}}\) = – 4x
భాగఫలంలో మూడవ పదం = \(\frac{-(24+k) x^{2}}{x^{2}}\) = – (24+ k)

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 3 బహుపదులు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమాసాలలో ఏవి బహుపదులు ? ఏవికావు ? కారణాలు తెల్పండి. (పేజీ నెం. 48)
(i) 2x³
(ii) \(\frac{1}{x-1}\)
(iii) 4z² + \(\frac{1}{7}\)
(iv) m² – √2m + 2
(v) p^-2 + 1
సాధన.
(i), (iii), (iv) లు బహుపదులు
(ii), (v) లు కావు.
కారణం బహుపదుల చరరాశుల ఘాతాంకాలు రుణేతర
పూర్ణ సంఖ్యలు కాని రుణ పూర్ణ సంఖ్యలు కావు.

ప్రశ్న 2.
(i) p(x) = x² – 5x – 6 అయిన p(1), p(2), p(3), p(0), p(- 1), p(- 2), p(- 3) విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 49)
సాధన.
p(x) = x² – 5x – 6
p(1) = (1)² – 5(1) – 6 = 1 – 5 – 6
p(1) = – 10
p(2) = (2)² – 5(2) – 6.= 4 – 10 – 6
p(2) = – 12
p(3) = 3² – 5(3) – 6 = 9 – 15 – 6
p(3) = – 12
p(0) = 0² – 5(0) – 6
p(0) = – 6
p(- 1) = (- 1)² – 5(- 1) – 6 = 1 + 5 – 6
p(- 1) = 0
p(- 2) = (- 2)² – 5(- 2) – 6 = 4 + 10 – 6
p(- 2) = 8
p(- 3) = (- 3)² – 5(- 3) – 6 = 9 + 15 – 6
p(- 3) = 18.

(ii) p(m) = m² – 3m +1 అయిన p(1) మరియు p(- 1) విలువలు కనుగొనండి:
సాధన.
p(m) = m² – 3m + 1
p(1) = (1)² – 3(1) + 1
= 1 – 3 + 1
p(1) = – 1
p(- 1) = (- 1)² – 3(- 1) +1
= 1 + 3 + 1
p(- 1) = 5

ప్రశ్న 3.
(i) p(x) = x² – 4x + 3 అయిన p(0), p(1), p(2), p(3) విలువలు కనుగొనండి. p(x) యొక్క శూన్యాలు ఏవో తెల్పండి. (పేజీ నెం. 50)
సాధన.
p(x) = x² – 4x + 3
p(0) = (0)² – 4(0) + 3
p(0) = 3
p(1) = (1)² – 4(1) + 3
= 1 – 4 + 3
p(1) = 0
p(2) = (2)² – 4(2) + 3
= 4 – 8 + 3
= 7 – 8
p(2) = – 1
p(3) = (3)² – 4(3) +.3
= 9 – 12 + 3
= 12 – 12
p(3) = 0
∴ p(1) = 0, p(3) = 0 కావున p(x) యొక్క శూన్య విలువలు 1 మరియు 3.

(ii) x² – 9 అనే బహుపదికి – 3 మరియు 3 శూన్యాలు 1. అవుతాయో కాదో సరిచూడండి.
సాధన.
p(x) = x² – 9
p(- 3) = (- 3)² – 9 = 9 – 9 = 0
p(3) = 3 – 9 = 9 – 9 = 0
p(- 3) = 0 మరియు p(3) = 0
∴ p(x) కు -3 మరియు 3లు శూన్య విలువలు అవుతాయి.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
ఏవైనా మూడు త్రిపరిమాణ, వర్గ బహుపదులను, రెండు రేఖీయ బహుపదులను విభిన్న పదాలతో రాయండి. (పేజీ నెం. 48)
సాధన.
(i) వర్గ బహుపదులు :
p(x) = x² – 5x + 6
f(x) = 5x – 10
g(x) = 7x²

(ii) ఘన బహుపదులు .
p(x) = 4x³ + 2x² + 7x + 4
f(x) = x³ + 9x – 15
g(x) = 5x³ + 9x² + 11

(iii) రేఖీయ బహుపదులు
p(x) = 5x – 20
g(x) = 4x

ప్రశ్న 2.
x చరరాశిలో గల వర్గ బహుపది, త్రిపరిమాణ బహుపదుల సాధారణ రూపాలను రాయండి. (పేజీ నెం. 49)
సాధన.
వర్గ బహుపది p(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0
ఘన బహుపది p(x) = ax³ + bx² + cx + d, a ≠ 0
(లేదా)
వర్గ బహుపది p(x) = a₀x² + a₁x + a₂ a₀ ≠ 0
ఘన బహుపది p(x) = a₀x³ + a₁x² + a₂x + a₃ a₀ ≠ 0

ప్రశ్న 3.
n పరిమాణం . కలిగిన ఒక బహుపది q(2)ను రాయండి. ఇందులో చరరాశీ గుణకాలుగా b₀ ………. b_n తీసుకుంటే, వాటికి ఏ నిబంధనలు వర్తిస్తాయో తెల్పండి. (పేజీ నెం. 49)
సాధన.
b₀, b₁ ………… b_n లు గుణకాలుగా గల, n వ పరిమాణ బహుపది q(2) యొక్క సాధారణ రూపం.
q(z) = b₀zⁿ + b₁z^{n – 1} + b₂z^{n – 2}
+ ………. + b_{n – 1}z + b_n.
ఇక్కడ b₀ ≠ 0 మరియు b₁, b₂, b₃, ……… b_n లు వాస్తవ సంఖ్యలు.
p(1) = (1)³ – 1 = 0
p(- 1) = (- 1)³ – 1 = – 1 – 1 = – 2
p(0) = (0)³ – 1 = – 1
p(2) = (2)³ – 1 = 8 – = 7
p(- 2) = (- 2)³ – 1 = – 8 – 1 = – 9

ప్రశ్న 4.
– 2 మరియు 2 అనేవి x⁴ – 16 అనే బహుపదికి శూన్యాలు అగునో, కాదో సరి చూడండి.
సాధన.
p(x) = x⁴ – 16
p(- 2) = (- 2)⁴ – 16 = 16 – 16 = 0
p(2) = (2)⁴ – 16 = 16 – 16 = 0.
p(- 2) = 0 మరియు p(2) = 0
∴ – 2 మరియు 2 లు x⁴ – 16 కు శూన్య విలువలు అవుతాయి.

ప్రశ్న 5.
p(x) = x² – x – 6 అనే బహుపదికి 3 మరియు – 2 అనేవి శూన్యాలు అగునో, కాదో సరిచూడండి.
సాధన.
p(x) = x² – x – 6
p(3) = (3)² – (3) – 6 = 9 – 9 = 0
p(- 2) = (- 2)² – (- 2) – 6 = 4 + 2 – 6 = 0
p(3) = 0 మరియు p(- 2) = 0
∴ 3 మరియు – 2 లు p(x) కి శూన్య విలువలు అవుతాయి.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
(i) y = 2x + 5,
(ii) y = 2x – 5,
(iii) y = 2x అను బహుపదులకు రేఖాచిత్రాలు గీయండి. ఈ రేఖలు x- అక్షాన్ని ఖండించే బిందువులు కనుగొనండి. వీటి x – నిరూపకాలు బహుపదుల శూన్య విలువలేనా ? (పేజీ నెం. 52)
సాధన.
(i) y = 2x + 5

a) y = 2x + 5 సూచించే సరళరేఖ x – అక్షాన్ని (- 2.5, 0) వద్ద ఖండించుచున్నది.
b) y = 2x + 5 యొక్క శూన్య విలువ 2x + 5 = 0 2x = – 5
శూన్య విలువ x = – 5/2 = – 2.5
c) y = 2x + 5 ను సూచించే సరళరేఖ
x – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువులోని x – నిరూపకమే శూన్య విలువ అవుతున్నది.

ii) y = 2x – 5

a) y = 2x – 5 గ్రాఫ్ సూచించే సరళరేఖ X – అక్షాన్ని (2.5, 0) బిందువు వద్ద ఖండించుచున్నది.
b) y = 2x – 5 శూన్య విలువ
2x – 5 = 0
2x = 5
శూన్య విలువ x = 5/2 = 2.5
c) y = 2x – 5 ను సూచించే సరళరేఖ X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువులోని x – నిరూపకమే శూన్య విలువ అవుతున్నది.

(iii) y = 2x

a) y = 2x గ్రాఫ్ సూచించే సరళరేఖ X – అక్షాన్ని (0, 0) బిందువు వద్ద ఖండించుచున్నది.
b) y = 2x శూన్య విలువ 2x = 0
∴ శూన్య విలువ x = 0
c) y = 2x గ్రాఫ్ సూచించే సరళరేఖ X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువులోని X – నిరూపకమే శూన్య విలువ అవుతున్నది.

Note : y = ax + b గ్రాఫ్ X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు \(-\frac{b}{a}\) x – నిరూపకమే y = ax + b యొక్క శూన్య విలువ అవుతుంది.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
i) y = x² – x – 6, ii) y = 6 – x – x² లకు రేఖాచిత్రాలు గీయండి. ప్రతి సందర్భంలోనూ బహుపది శూన్యాలను కనుగొనండి. మీరు ఏమి గమనించారు ? (పేజీ నెం. 53)
సాధన.
i) y = x² – x – 6

y = x² – x – 6

పరిశీలనాంశాలు :
1) y = x² – x – 6 పరావలయం X – అక్షాన్ని (- 2, 0) మరియు (3, 0) అనే బిందువుల వద్ద ఖండించుచున్నది.

2) p(x) యొక్క శూన్య విలువలు
p(x) = x² – x – 6 = 0
⇒ x² – 3x + 2x – 6 = 0
⇒ x (x – 3) + 2 (x – 3) = 0
⇒ (x – 3) (x + 2) = 0
⇒ x – 3 = 0 లేదా x + 2 = 0
⇒ x = 3 లేదా x = – 2
p(x) శూన్య విలువలు 3 మరియు – 2.

3) y = x² – x – 6 పరావలయం X – అక్షాన్ని ఖండించిన బిందువులు (3, 0) మరియు (- 2, 0) లలోని X – నిరూపకాలు 3 మరియు – 2 లు x² – x – 6 యొక్క శూన్య విలువలు అవుతున్నాయి.

ii) y = 6 – x – x²

పరిశీలనాంశాలు :
1) y = 6 – x – x² లో – 1 < 0 (a < 0).
2) y = 6 – x – x² పరావలయం క్రింది వైపు వివృతంగా (తెరచుకొని) ఉంది.
3) y = 6 – x – x² పరావలయం X – అక్షాన్ని (- 3, 0) మరియు (2, 0) అనే బిందువుల వద్ద ఖండించుచున్నది.
y = 6 – x – x² యొక్క శూన్య విలువలు
p(x) = – x² – x + 6 = 0
⇒ – x² – 3x + 2x + 6 = 0
⇒ – x (x + 3) + 2 (x + 3) = 0.
⇒ (x + 3) (2 -x) = 0
⇒ x + 3 = 0 లేదా 2 – x = 0
⇒ x = – 3 లేదా x = 2
∴ p(x) శూన్య విలువలు -3 మరియు 2

4) p(x) = y = 6 – x – x² పరావలయం X – అక్షాన్ని ఖండించిన బిందువులు (- 3, 0) మరియు (2, 0) లలోని x – నిరూపకాలు’ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు అవుతున్నాయి.

ప్రశ్న 2.
రెండు శూన్యాలు కలిగిన ఏవేని మూడు బహుపదులను వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
బహుపది p(x) = ax² + bx + c రెండు వాస్తవ శూన్య విలువలను కలిగి ఉండాలంటే b² – 4ac > 0 అయ్యేటట్లు a, b, c లు ఉండాలి (a ≠ 0).
i) a = 1, b = 5, c = 6 అయిన
b² – 4ac = (5)² – 4(1) (6) = 25 – 24 > 0
∴ బహుపది p(x) = x² + 5x + 6.

ii) a = 1, b = 0, c = – 8 అయిన
b² – 4ac = 0 – 4(1) (-8) = 32 > 0
∴ బహుపది p(x) = x² – 8.

iii) a = 1, b = – 3, c = 0 అయిన
b² – 4ac = (-3) – 4(1) (0) = 9 > 0
∴ బహుపది p(x) = x² – 3x.

2వ పద్ధతి :
బహుపది p(x)కి రెండు వాస్తవ శూన్య విలువలు (α, β) ఉంటే p(x) = (x – α) (x – β)గా రాయవచ్చును.

i) p(x) = [x – (-2)] [x – (-3)]
= (x + 2) (x + 3)
∴ p(x) = x² + 5x + 6.

ii) p(x) = (x – 272) (x + 2/2 )
= x² – (2/2)²
∴ p(x) = x² – 8.

iii) p(x) = (x – 0) (x – 3)
∴ p(x) = x² – 3x.

ప్రశ్న 3.
ఒకే ఒక శూన్యం కలిగిన ఒక బహుపదిని వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
p(x) = ax² + bx + c ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉండాలంటే b² – 4ac = 0 అయ్యేటట్లు a, b, c లు ఉండాలి (a #0).
a = 1, b = – 4, c = 4 అయిన
b² – 4ac = (- 4)² – 4(1)(4)
= 16 – 16 = 0
∴ బహుపది p(x) = x² – 4x + 4.

2వ పద్దతి :
వర్గ బహుపది ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉంటే p(x) = (x – α)² రూపంలో రాయగలము.
p(x) = (x – 2)²
= x² – 4x + 4.

ప్రశ్న 4.
ఒక బహుపదికి ఒకే ఒక శూన్యము వుంటే దానిని ఏవిధంగా నిరూపిస్తావు ? (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
p(x) = x² – 4x + 4 ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉంటే b² – 4ac.= 0 కావాలి.
(- 4)² – 4(1) (4) = 16 – 16 = 0.
(లేదా)
p(x) = x² – 4x + 4 యొక్క గ్రాఫ్ గీచి గ్రాఫ్ X- అక్షాన్ని ఒకే ఒక బిందువు వద్ద ఖండిస్తుందని చూపి సరిచూడగలను. .
(లేదా)
p(x) = ax² + bx + c ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉండాలంటే
p(x) = (x – α)², α ∈ R అయ్యేట్లు రాయగలగాలి.
p(x) = x² – 4x + 4
= x² – 2.x. 2 + (2)²
p(x) = (x – 2)²
p(x) = (x – α)² రూపంలో రాయగలిగాను కాబట్టి
p(x) ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 5.
వాస్తవసంఖ్య ‘x’ కలిగి వుండి శూన్యం లేని బహుపదులను ఏవైనా మూడింటిని రాయండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
బహుపది p(x) యొక్క శూన్య విలువలు
b² – 4ac < 0 అయినప్పుడు వాస్తవ సంఖ్యలు కావు.
i) a = 1, b = 2, c = 3 అయిన
b² – 4ac = 4 – 12 = – 8 < 0
∴ p(x) = x² + 2x + 3.

ii) a = 2, b = 0, c = 7 అయిన
b² – 4ac = 0 – 56 = – 56 < 0
∴ p(x) = 2x² + 7.

iii) a = – 3, b = 5, c = -4
b² – 4ac = 25 – 48 = – 23 < 0.
∴ p(x) = – 3x² + 5x – 4.

ప్రశ్న 6.
రేఖాచిత్రాలు గీయకుండానే దిగువ ఘన బహుపదులకు శూన్యాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 57)
(i) – x³.
(ii) x² – x³.
(iii) x³ – 5x² + 6x
సాధన.
(i) – x³
p(x) = – x³ = 0 అయిన x = 0
p(x) = – x³ యొక్క శూన్య విలువ ‘0’.

(ii) x² – x³
p(x) = x² – x³
p(x) = x² – x³ = 0 అయిన
x² (1 – x) = 0
x² = 0 లేదా 1 – x = 0
x = 0 లేదా 1 = x
p(x) = x² – x³ యొక్క శూన్య విలువలు ‘1’ మరియు ‘0’.

(iii) x³ – 5x² + 6x
p(x) = x³ – 5x² + 6x = 0 అయిన
⇒ x(x² – 5x + 6) = 0
⇒ x = 0 లేదా x² – 5x + 6 = 0 ………….. (1)
(1) ⇒ x² – 5x + 6 = x² – 3x – 2x + 6 = 0
x(x – 3) – 2(x – 3) = 0 (x – 3) (x – 2) = 0
x – 3 = 0 లేదా x – 2 = 0
x = 3 లేదా x = 2
p(x) = x³ – 5x² + 6x యొక్క శూన్య విలువలు ‘0’, ‘2’, ‘3’.
Note :
బహుపది p(x) లో స్థిరపదం లేకపోతే p(x) కు సున్న ఒక శూన్య విలువ అవుతుంది.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
దిగువ ఇవ్వబడిన వర్గ బహుపదుల యొక్క శూన్యాలను కనుగొనండి. ఇదేవిధంగా శూన్యాల మొత్తము మరియు లబ్ధమును కనుగొని, బహుపది పదాల గుణకాలకు మధ్యన గల సంబంధాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 62)
(i) p(x) = x² – x – 6
(ii) p(x) = x² – 4x + 3
(iii) p(x) = x² – 4
(iv) p(x) = x² + 2x + 1
సాధన.
i) p(x) = x² – x – 6

p(x) = 0 అయిన x² – x – 6 = 0
x² – 3x + 2x – 6 = 0
x (x – 3) + 2 (x – 3) = 0
x (x – 3) (x + 2) = 0
x – 3 = 0 లేదా x + 2 = 0
x = 3 లేదా x = – 2
∴ శూన్య విలువలు α = 3, β = – 2.
అం శూన్య విలువల మొత్తం α + β = 3 + (- 2) = 1
= \(\frac{-(-1)}{1}\) =
శూన్య విలువల లబ్దం αβ = (3) (- 2) = – 6 =

(ii) p(x) = x² – 4x + 3

p(x) = 0 అయిన x² – 4x + 3 = 0
x² – 3x – x + 3 = 0
x(x – 3) – 1 (x – 3) = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0 లేదా x – 1 = 0
x = 3 లేదా x = 1
∴ శూన్య విలువలు α = 3, β = 1.
శూన్య విలువల మొత్తం α + β = 3 + 1 = 4
= \(\frac{-(-4)}{1}\)
శూన్య విలువల లబ్దం αβ = 3 (1) = 3

(iii) p(x) = x² – 4
p(x) = 0 అయిన x² – 4 = 0.
x² = 4 = x = + 2
శూన్య విలువలు α = 2, β = – 2.
శూన్య విలువల మొత్తం α + β = 2 + (- 2) = 0
= \(\frac{0}{1}\) =
శూన్య విలువల లబ్ధం αβ = (2) (- 2) = – 4
= \(-\frac{4}{1}\) =

(iv) p(x) = x² + 2x + 10
p(x) = 0 అయితే,
x² + 2x + 1 = 0.
x² + 2.x. 1 + 1 = 0
(x + 1) ²= 0 శూన్య విలువలు సమానం
∴ x + 1 = 0
x = – 1
α = – 1 మరియు β = – 1 శూన్య విలువల మొత్తం α + β = (- 1) + (- 1)
= – 2 = \(-\frac{2}{1}\) =
శూన్య విలువల లబ్దం αβ = (- 1) (- 1) = 1
= \(\frac{1}{1}\) =

ప్రశ్న 2.
α, β మరియు γ అనేవి ఒక ఘన బహుపది యొక్క శూన్యాలైతే తగిన విలువలు కనుగొని పట్టికలో పూరించండి. (పేజీ నెం. 66)

సాధన.
α + β + γ =

αβ + βγ + γα =

αβγ =

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
– 2 మరియు \(\frac{1}{3}\) శూన్యాలు కలిగిన వర్గ బహుపదిని కలిగిన కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 64)
సాధన.
α = – 2, β = \(\frac{1}{3}\)
α + β = – 2 + \(\frac{1}{3}\)
= \(\frac{-6+1}{3}\) = – \(\frac{5}{3}\)
αβ = (- 2) (\(\frac{1}{3}\)) = – \(\frac{2{3}\)
వర్గ బహుపది p(x) = k[x² – (α + β)x + αβ]
= k [x² – (\(-\frac{5}{3}\)) x + (\(-\frac{2}{3}\))]
= k \(\left[\frac{3 x^{2}+5 x-2}{3}\right]\)
k = 3 అయిన p(x) = 3x² + 5x – 2.

ప్రశ్న 2.
శూన్యాల మొత్తం \(-\frac{3}{2}\) మరియు లబ్ధం – 1 కలిగిన వర్గ బహుపదిని తెలపండి. (పేజీ నెం. 64)
సాధన.
α + β = \(-\frac{3}{2}\), αβ = – 1
వర్గ బహుపది = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – (\(-\frac{3}{2}\))x + (- 1)]
= k \(\left[\frac{2 x^{2}+3 x-2}{2}\right]\)
k = 2 అయిన p(x) = 2x² + 3x – 2.

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
క్రింది పటములలో ఇవ్వబడిన రేఖాచిత్రాలను గమనించండి. ప్రతి రేఖాచిత్రం y = p(x) నందు p(x) అనేది ఒక బహుపది. ప్రతి సందర్భములోనూ X వ్యాప్తితో కూడిన బహుపది p(x)నకు శూన్యాల సంఖ్యను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 58)

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(vi)
సాధన.
పైన చూపిన పటాలలో x వ్యాప్తితో కూడిన రేఖాచిత్రాలు
(i) రేఖాచిత్రం x – అక్షంను ఒక బిందువు వద్ద ఖండించింది. కావున శూన్యాల సంఖ్య 1.
(ii) రేఖాచిత్రం x – అక్షంను రెండు బిందువుల వద్ద ఖండించింది. కావున శూన్యాల సంఖ్య 2.
(iii) శూన్యాల సంఖ్య 3.
(iv) శూన్యాల సంఖ్య 1.
(v) శూన్యాల సంఖ్య 1.
(vi) శూన్యాల సంఖ్య 4.

ప్రశ్న 2.
క్రింది బహుపదులకు శూన్యాల సంఖ్యను కనుగొనండి మరియు వాటి విలువలను తెలపండి.
(i) p(x) = 2x + 1
(ii) q(y) = y² -1
(iii) r(z) = 73 (పేజీ నెం. 59)
సాధన.
బహుపదుల రేఖాచిత్రాలు గీయకుండానే మనం శూన్యాలను కనుగొందాము.
(i) p(x) = 2x + 1 అనేది ఒక రేఖీయ బహుపది కావున దీనికి ఒకే ఒక శూన్యం ఉంటుంది.
p(x) = 0 తీసుకోండి. అంటే, 2x + 1 = 0
కావున x = \(-\frac{1}{2}\) అగును.
ఇచ్చిన బహుపది యొక్క శూన్యం \(-\frac{1}{2}\).

(ii) q(y) = y² – 1 అనేది ఒక వర్గబహుపది.
కావున దీనికి గరిష్ఠంగా రెండు శూన్యాలు ఉంటాయి.
q(y) = 0 అనుకోండి
⇒ y² – 1 = 0
⇒ (y + 1) (y – 1) = 0
⇒ y = – 1 లేదా y = 1
∴ ఇచ్చిన బహుపది యొక్క శూన్యాలు – 1 మరియు 1 అయినవి.

(iii) r(7) = z³ అనేది ఒక ఘన బహుపది కావున
దీనికి గరిష్ఠంగా మూడు శూన్యాలుంటాయి. r(z) = 0 అనుకొనండి.
⇒ z = 0
∴ ఇచ్చిన బహుపది యొక్క శూన్యము ‘సున్న’ అయినది.

ప్రశ్న 3.
x² + 7x + 10 అనే వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాలను కనుగొని, శూన్యాలకు, బహుపది గుణకాలకు సంబంధాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 62)
సాధన.
మనకు x² + 7x + 10 = (x + 2) (x + 5) అగును.
కావున, x² + 7x + 10 యొక్క విలువ శూన్యం కావాలంటే x + 2 = 0 లేదా x + 5 = 0 కావాలి
అంటే x = – 2 లేదా x = – 5 అగును.
కావున x² + 7x + 10 యొక్క శూన్యాలు – 2 మరియు – 5 అగును.
ఇప్పుడు, శూన్యాల మొత్తము = – 2 + (- 5) = (7) =
శూన్యాల లబ్ధము = – 2 × (- 5) = 10
=

ప్రశ్న 4.
x² – 3 అనే బహుపది యొక్క శూన్యాలు కనుగొని, శూన్యాలకు, బహుపది గుణకాలకు మధ్య గల సంబంధాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 63)
సాధన.
a² – b² = (a – b) (a + b) అనే సర్వసమీకరణం గుర్తుకు తెచ్చుకోండి.
దీనినుపయోగించి x² – 3 = (x – √3 ) (x + √3 ) అని వ్రాయవచ్చు.
కావున x² – 3 యొక్క శూన్యాలు x = √3 లేదా x = – √3.
ఈ విధంగా, x² – 3 యొక్క శూన్యాలు √3 మరియు – √3 అవుతాయి.
ఇప్పుడు, శూన్యాల మొత్తము = √3 + (- √3) = 0
=
శూన్యాల లబ్ధము = (√3) × (- √3) = – 3
=

ప్రశ్న 5.
ఒక వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాల మొత్తము మరియు లబ్దము వరుసగా – 3 మరియు 2 అయిన ఆ వర్గ బహుపదిని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 63)
సాధన.
α మరియు β లు శూన్యాలుగా కలిగిన వర్గ బహుపదిని ax² + bx + c అనుకోండి. α + β = – 3 = \(-\frac{b}{a}\) మరియు αβ = 2 = \(\frac{c}{a}\)
మనము a = 1 తీసుకుంటే b = 3 మరియు c = 2 అగును.
కావున ఇచ్చిన నియమానికి లోబడి ఏర్పడే వర్గ బహుపది x² + 3x + 2 అవుతుంది.

ప్రశ్న 6.
ఒక వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాలు వరుసగా 2 మరియు 3 అయినచో ఆ బహుపదిని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 64)
సాధన.
α, β లు శూన్యాలుగా కలిగిన వర్గబహుపది
ax² + bx + c, a ≠ 0 అనుకోండి. ఇచ్చట α = 2, β = \(-\frac{1}{3}\).
శూన్యాల మొత్తం = (α + β) = 2 + (\(-\frac{1}{3}\)) = \(\frac{5}{3}\)
శూన్యాల లబ్ధం = (αβ) = 2(\(-\frac{1}{3}\)) = \(-\frac{2}{3}\)
కావున, వర్గ బహుపది ax² + bx + c ని k[x² – (α + β) x + αβ], k ఒక స్థిరపదముగా వ్రాస్తే = k [x² – \(\frac{5}{3}\) x – \(\frac{2}{3}\)] అగును.
వాస్తవ సంఖ్య ‘k’ కు వివిధ విలువలను ఇవ్వవచ్చును. k = 3 అయినచో వర్గ బహుపది 3x² – 5x – 2 అవుతుంది.

ప్రశ్న 7.
ఘన బహుపది p(x) = 3x³ – 5x² – 11x – 3 యొక్క శూన్యాలు 3, – 1 మరియు – \(\frac{1}{3}\) అగునని చూపండి. బహుపది గుణకాలకు, శూన్యాలకు మధ్యగల సంబంధాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 66)
సాధన.
ఇచ్చిన ఘన బహుపది p(x) = 3x³ – 5x² – 11x – 3 ని – ax³ + bx² + cx + d తో సరిపోల్చిన a = 3, b = – 5, c = – 11, d = – 3 అగును. దీని నుండి
p(3) = (3 × 3³) – (5 × 3²) – (11 × 3) – 3
= 81 – 45 – 33 – 3 = 0
p(- 1) = 3 × (- 1)³ – 5 × (- 1)² – 11 × (- 1) – 3
= – 3 – 5 + 11 – 3 = 0.
p(- \(\frac{1}{3}\)) = 3 × (- \(\frac{1}{3}\))³ – 5 × (- \(\frac{1}{3}\))² – 11 × – \(\frac{1}{3}\) – 3
= – \(\frac{1}{9}\) – \(\frac{5}{9}\) + \(\frac{11}{3}\) – 3
= – \(\frac{2}{3}\) + \(\frac{2}{3}\) = 0 అగును.
కావున 3x³ – 5x² – 11x – 3 యొక్క శూన్యాలు, 3, – 1 మరియు – \(\frac{1}{3}\) అని చూపడమైనది..
ఇప్పుడు α = 3, β = – 1 మరియు γ = – \(\frac{1}{3}\) తీసుకొంటే
α + β + γ = 3 + (- 1) + (- \(\frac{1}{3}\)) = 2 – \(\frac{1}{3}\)
αβ + βγ + γα = 3 × (- 1) + (- 1) × (- \(\frac{1}{3}\)) + (- \(\frac{1}{3}\)) × 3
= – 3 + \(\frac{1}{3}\) – 1
= \(-\frac{11}{3}\) = \(\frac{c}{a}\)
αβγ = 3 × (- 1) × (- \(\frac{1}{3}\))

ప్రశ్న 8.
2x² + 3x + 1 ను x + 2 చే భాగించండి. (పేజీ నెం. 68)
సాధన.
భాగహారంలో శేషము. సున్న వచ్చిననూ లేదా శేషము యొక్క పరిమాణము, విభాజకము యొక్క పరిమాణము కన్నా తక్కువ అయినప్పుడు భాగహారము పూర్తయినట్లుగా భావిస్తామని గుర్తించండి. ఇచ్చట, భాగహారములో ఆ ‘భాగఫలము 2x – 1 మరియు శేషము 3 అయినది. ఇదే ‘విధంగా భాగహార నియమాన్ని సరిచూస్తే
(2x – 1) (x + 2) + 3 = 2x² + 3x – 2 + 3
= 2x² + 3x + 1
అంటే 2x² + 3x + 1 = (x + 2) (2x – 1) + 3
కావున, విభాజ్యము = విభాజకము × భాగఫలము + శేషము అయినది.

ప్రశ్న 9.
3x³ + x² + 2x + 5 ను 1 + 2x + x² చే భాగించండి. (పేజీ నెం. 68)
సాధన.
మొదటగా మనం విభాజ్యం మరియు విభాజకాలను పదాల పరిమాణాల కనుగుణంగా అవరోహణ క్రమంలో అమర్చుకొని బహుపదులను ప్రామాణిక రూపంలో రాసుకోవాలి. ఇచ్చిన ఉదాహరణలో విభాజ్యము ప్రామాణిక రూపంలోనే వుంది. విభాజకాన్ని కూడా ప్రామాణిక రూపం x² + 2x + 1 గా రాయవచ్చును.

సోపానం 1: భాగఫలంలో మొదటి పదాన్ని పొందడానికి, విభాజ్యంలో గరిష్ఠ పరిమాణ పదాన్ని, (అనగా 3x³) విభాజకంలో గరిష్ఠ పరిమాణ పదము (అనగా x²) తో భాగించాలి. ఇది 3x అవుతుంది. ఈ క్రమంలో భాగహారం కొనసాగిస్తే శేషం – 5x² – x + 5 వస్తుంది.

సోపానం 2:
ఇప్పుడు, భాగఫలములో రెండవ పదాన్ని పొందడానికి, కొత్త విభాజ్యంలో గరిష్ఠ పరిమాణ పదము (అనగా 5x²)ను విభాజకంలో గరిష్ఠ పరిమాణ పదము (అనగా x²) చే భాగిస్తే – 5 వస్తుంది. ఈ క్రమంలో తిరిగి భాగహారము – 5x² – x + 5 తో కొనసాగించాలి.

సోపానం 3 :
మిగిలిన శేషము 9x + 10. దీని యొక్క పరిమాణము తిరిగి విభాజకము x² + 2x + 1 యొక్క పరిమాణము కన్నా తక్కువ. అందుచే నియమము ప్రకారం భాగహారాన్ని కొనసాగించలేము. అందుచే భాగఫలము 3x – 5 మరియు శేషము 9x + 10 అయినది.
ఇలాగే (x² + 2x + 1) x (3x – 5) + (9x + 10)
= (3x³ + 6x² + 3x – 5x² – 10x – 5 + 9x + 10)
= 3x³ + x² + 2x + 5
అంటే విభాజ్యం = విభాజకం X భాగఫలం + శేషం అయినది.

ప్రశ్న 10.
3x² – x³ – 3x + 5 ను x – 1 – x² చే భాగించి, భాగహార నియమాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 69)
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపదులు ప్రామాణిక. రూపంలో లేవని గుర్తించండి. భాగహారం ప్రారంభించడానికి ముందుగా విభాజ్యం మరియు విభాజకాలను పరిమాణాల ప్రకారం అవరోహణ క్రమంలో రాయాలి.
కావున, విభాజ్యం = – x³ + 3x² + 3x + 5 మరియు విభాజకం = – x² + x – 1 అగును.
భాగహార ప్రక్రియలో శేషం యొక్క పరిమాణం విభాజకం (- x² + x – 1) యొక్క పరిమాణం కన్నా తక్కువ అయినందున భాగహారం ఆపివేస్తాం. ”
అందుచే, భాగఫలం = x – 2, శేషం = 3.
ఇప్పుడు,
విభాజ్యం = విభాజకం × భాగఫలం + శేషం
= (- x² + x – 1) (x – 2) + 3
= – x³ + x² – x + 2x² – 2x + 2 + 3
= – x³ + 3x² – 3x + 5
ఈ విధంగా, భాగహార నియమం సరిచూడడమైనది.

ప్రశ్న 11.
2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2 అను బహుపదికి √2 మరియు – √2 లు రెండు శూన్యాలైన మిగిలిన అన్ని శూన్యాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 70)
సాధన.
√2 మరియు – √2 అనేవి ఇవ్వబడిన బహుపదికి రెండు శూన్యాలు కావున, ఈ బహుపదిని (x – √2) (x + √2) = x² – 2 చే భాగించవచ్చు.

భాగఫలంలో మొదటి పదము = \(\frac{2 x^{4}}{x^{2}}\) = 2x²

భాగఫలంలో రెండవ పదము = \(\frac{-3 x^{3}}{x^{2}}\) = – 3x

భాగఫలంలో మూడవ పదము = \(\frac{x^{2}}{x^{2}}\) = 1

కావున, 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2 = (x – 2) (2x² – 3x + 1)
ఇప్పుడు 2x² – 3x + 1 లో మధ్య పదము – 3x ను విభజించి కారణాంకాలుగా రాస్తే (2x – 1) (x – 1) వచ్చును. కావున మిగిలిన రెండు శూన్యాలు x = \(\frac{1}{2}\), మరియు x = 1 అగును. ఈ విధంగా ఇచ్చిన బహుపది యొక్క శూన్యాలు √2, – √2, 1 మరియు \(\frac{1}{2}\) అవుతాయి.