Category: Class 8

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 8 జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ Ex 8.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 8th Lesson జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ Exercise 8.2

ప్రశ్న1.
ఆంగ్ల అక్షరమాలలోని పెద్ద అక్షరాలను (capital) కత్తిరించి నోటు పుస్తకంలో అతికించుము. వాటికి సాధ్యమైనన్ని సౌష్ఠవ అక్షాలను గీయండి.
i) రేఖా సౌష్ఠవం లేని అక్షరాలు ఎన్ని ?
ii) ఒకే సౌష్ఠవ అక్షాన్ని కలిగి ఉన్న అక్షరాలు ఎన్ని?
iii) రెండు సౌష్ఠవ అక్షాలను కలిగి ఉన్న అక్షరాలు ఎన్ని?
iv) రెండు కన్నా ఎక్కువ సౌష్ఠవ అక్షాలను కలిగియున్న అక్షరాలు ఎన్ని ?
v) ఏ అక్షరాలు భ్రమణ సౌష్ఠవాన్ని కలిగియున్నాయి?
vi) ఏ అక్షరాలు బిందు సౌష్ఠవాన్ని కలిగియున్నాయి?
సాధన.


సాధన.
i) రేఖా సౌష్ఠవం లేని అక్షరాలు → F, G, J, L, N, P, Q, R, S, Z.
ii) ఒకే సౌష్ఠవ అక్షాన్ని కలిగి ఉన్న అక్షరాలు → A, B, C, D, E, K, M, T, U, V, W, Y.
iii) రెండు సౌష్ఠవ అక్షాలను కలిగి ఉన్న అక్షరాలు → H, I, O, X.
iv) రెండు కన్నా ఎక్కువ సౌష్ఠవాక్షాలు గల అక్షరాలు → O, X.
v) భ్రమణ సౌష్ఠవాన్ని కలిగి ఉన్న అక్షరాలు → B, D, E, H, I, M, O, S, T, W, X, Z.
vi) బిందు సౌష్ఠవాన్ని కలిగి ఉన్న అక్షరాలు → O, X, M, W, H, I, E, D.

ప్రశ్న2.
క్రింది. పటాలకు సౌష్ఠవ అక్షాలను గీయండి. వానిలో బిందు సౌష్ఠవం కలిగిన పటాలను గుర్తించండి. సౌష్ఠవ అక్షాలకు, బిందుసౌష్ఠవమునకు మధ్య ఏదేని సంబంధం కలదా ?

సాధన.

ఇచ్చిన పటాలన్నియూ బిందు సౌష్ఠవాలను కలిగి ఉన్నాయి. సౌష్ఠవాక్షం కలిగిన ఆకారాలన్నియూ బిందు సౌష్ఠవం కల్గినవే.

ప్రశ్న3.
ప్రకృతిలో కనీసం ఒక సౌష్ఠవ అక్షాన్ని కలిగి ఉండే ముఖాలు గల వస్తువులను కొన్నింటిని పేర్కొనండి.
సాధన.

1. చందమామ [Moon]
2. అందంగా ఉండే మనిషి ముఖం
3. ఆరెంజ్ పండు
4. తామర పువ్వు
5. తూనీగ

ప్రశ్న4.
ఏవేని మూడు టెస్సలేషన్లను గీచి వానిలో ఉపయోగించిన ప్రాథమిక పటాలను తెల్పండి.
సాధన.
ఈ క్రింది టెస్సలేషన్లను గమనించండి. ఈ క్రింది వాటిని ఏర్పరచుటకు ఉపయోగించిన ప్రాథమిక ఆకృతులు :

ఈ అమరికలను ఏర్పరచుటకు పంచభుజాలు, దీర్ఘచతురస్రాలు, చతురస్రాలు మరియు సమబాహు త్రిభుజాలు ఉపయోగించారు. ఏ టెస్సలేషన్ అయినా ఈ ఆకృతుల ద్వారానే రూపొందిస్తారు.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 8 జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ Ex 8.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 8th Lesson జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ Exercise 8.1

ప్రశ్న1.
నిత్యమూ ఉపయోగించే మూడు జతల సర్వసమాన వస్తువులను పేర్కొనండి.
సాధన.
నిత్యం ఉపయోగించే సర్వసమాన వస్తువులు :
i) చెవి రింగుల జత
ii) సైకిల్ చక్రాలు
iii) భుజాల పొడవులు సమానంగా గల రెండు చతురస్రాకార కేకులు

ప్రశ్న2.
a) రెండు సర్వసమాన పటాలను గీయండి. అవి సరూపాలవుతాయా ? వివరించండి.
b) రెండు సరూప పటాలను’ తీసుకోండి. వాటిని జరిపినా, భ్రమణం చెందించినా లేదా త్రిప్పిన అవి సరూపాలుగానే ఉంటాయా ?
సాధన.
a) ∴ ΔABC ≅ ΔPQR

∴ ΔAB = PQ
AC = PR
BC = QR
∠A = ∠P
∠B = ∠Q
∠C = ∠R
∴ సర్వసమాన త్రిభుజాలు సరూపాలు అగును. కాని సరూప త్రిభుజాలు సర్వసమాన త్రిభుజాలు కావు.

∴ ΔXYZ ~ ΔSTU ల నుండి ఇవి సరూప పటాలు వీటిని భ్రమణం చెందించిన అవి మరలా సరూపాలు గానే ఉంటాయి. (∵ సరూపకత స్థిరత్వం).

ప్రశ్న3.
ΔABC ≅ ΔNMO అయిన అనురూప భుజాలను, అనురూప కోణాల జతలను తెల్పండి.
సాధన.

ΔABC ≅ ΔNMO సర్వసమాన త్రిభుజాల నుండి
AB = NM
BC = MO
AC = NO
∠A = ∠N
∠B = ∠M
∠C = ∠O

ప్రశ్న4.
క్రింది ప్రవచనాలు సత్యమవుతాయో, లేదో తెల్పండి. కారణాలను వివరించండి.
i) 3 సెం.మీ. భుజాలుగా గల రెండు చతురస్రాలలో ఒకదానిని 45° మేర భ్రమణం చెందించిన, అవి సర్వసమానాలు.
ii) 5 సెం.మీ. కర్ణాలుగా గల రెండు లంబకోణ త్రిభుజాలు సర్వసమానాలు.
iii) 4 సెం.మీ. వ్యాసార్థంగా గల రెండు వృత్తాలు సర్వసమానాలు.
iv) 4 సెం.మీ. భుజంగా గల రెండు సమబాహు – త్రిభుజాలు ΔABC మరియు ΔLHN లు సర్వసమానాలు కావు.
v) ఒక బహుభుజి మరియు దాని ప్రతిబింబములు సర్వసమానాలు.
సాధన.
i) సత్యం, ఒక చతురస్రాన్ని 45° మేర భ్రమణం చెందించిన అది మొదటి చతురస్రం వలె ఉండును. అపుడు అవి సర్వసమానాలు అగును.
ii) సత్యం, రెండు లంబకోణ త్రిభుజాల కర్ణాలు సమానమైన వాని అనురూప భుజాలు, కోణాలు కూడా సమానంగా ఉండును.
∴ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానంగా ఉండును.

iii) సత్యం, రెండు వృత్త వ్యా సార్ధాలు (r1 = r2 = 4cm) సమానమైన అవి సర్వసమానాలు.
iv) అసత్యం.

ఒక త్రిభుజంలోని రెండు భుజాలు రెండవ త్రిభుజంలోని రెండు అనురూప భుజాలకు సమానమైన మూడవ భుజాలు కూడా అనుపాతంలో ఉంటాయి.
∴ ΔABC ≅ Δ LHN
కాని ΔABC ≠ ΔLHN అని ఇచ్చారు. కావునా ఇది అసత్యం .
v) సత్యం
ఒక బహుభుజి మరియు దాని ప్రతిబింబాలు ఒకదానికొకటి ఏకీభవిస్తాయి కావునా అవి సర్వసమానాలు.

ప్రశ్న5.
ఒక చతురస్ర బిందు మాపనిపై బహుభుజిని ఒకదానిని గీయండి. మరియు దాని వివిధ దిశలలో సర్వసమాన పటాలు మరియు ప్రతిబింబ పటాన్ని గీయండి.
సాధన.

∴ ABCDEF ~ A’B’C’D’E’F’

ప్రశ్న6.
ఒక గ్రాఫ్ కాగితంపై లేదా చతురస్ర బిందు మాపనిపై ఒక దీర్ఘచతురస్రాన్ని గీయండి. దానికి సరూప పటాన్ని నిర్మించండి. ఈ రెండు పటాల వైశాల్యాలు మరియు చుట్టుకొలతలు కనుగొని వాటి వాటి నిష్పత్తులను దీర్ఘచతురస్రాల భుజాల నిష్పత్తులతో పోల్చండి.
సాధన.

ప్రశ్న7.
ఒక ఇనుప కమ్మీ 7 స్థంభాలపై పటంలో చూపినట్లుగా ఉంచబడింది. ఏ రెండు స్థంభాల మధ్య దూరమైనా 1 మీ.కి సమానం మరియు చివరి స్థంభం ఎత్తు 10.5 మీ. అయిన అన్ని స్థంభాల ఎత్తులను కనుగొనండి.

సాధన.

మొదటి స్థంభం ఎత్తు h₁ = \(\frac {1}{7}\) × 10.5 = 1.5 మీ.
2వ స్థంభం ఎత్తు h₂ = \(\frac {2}{7}\) × 10.5 = 3 మీ.
3వ స్తంభం ఎత్తు h₃ = \(\frac {3}{7}\) × 10.5 = 4.5 మీ.
4వ స్తంభం ఎత్తు h₄ = \(\frac {4}{7}\) × 10.5 = 6 మీ.
5వ స్థంభం ఎత్తు h₅ = \(\frac {5}{7}\) × 10.5 = 7.5 మీ.
6వ స్థంభం ఎత్తు h₆ = \(\frac {6}{7}\) × 10.5 = 9 మీ.

ప్రశ్న8.
3 మీ. ఎత్తుగల ఒక నిలువు స్థంభం నుండి 5 మీ. దూరంలో నిలబడి, సుధ, ఒక భవనం పైభాగము మరియు స్థంభం పైభాగం ఒకే సరళరేఖలో ఉన్నట్లు గమనించినది. భవనం మరియు స్థంభాల మధ్య దూరం 10 మీ. అయిన భవనం ఎత్తు అంచనా వేయుము. (సుధ ఎత్తును లెక్కలోనికి తీసుకోకుండా)
సాధన.
ΔOAD ~ ΔOCD
రెండు సరూప త్రిభుజాల
అనురూప భుజాలు
అనుపాతంలో ఉంటాయి.

∴ \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CD}}\)
⇒ \(\frac{5}{15}=\frac{3}{h}\)
⇒ \(\frac{1}{3}=\frac{3}{h}\)
⇒ h = 3 × 3 = 9
h = భవనం ఎత్తు = 9 మీ.

ప్రశ్న9.
ఏదేని ఒక చతుర్భుజాన్ని గీయండి. సూచీ భిన్నం 3 ఉండునట్లు దాని విస్తరణ పటాన్ని గీయండి. వాటి అనురూప భుజాలను కొలిచి ఆ రెండు పటాలు సరూపాలేమో సరిచూడండి.
సాధన.

పై పటం నుండి ☐ ABCD ఒక చతుర్భుజం గ్రాఫ్ కాగితం పై గీయబడినది.
అన్ని శీర్షాలు A B C D లు 0 నుండి కలుపబడి వాటికి మూడు రెట్ల దూరాలు వరుసగా A’B’C’D’ లకు కలుపగా ☐ ABCD కు 3 రెట్లు కొలతలు గల చతుర్భుజాన్ని ఏర్పరచినవి.
ఇక్కడ ‘0’ ను విస్తరణ కేంద్రం అని
మరియు = \(\frac{\mathrm{OA}^{\prime}}{\mathrm{OA}}=\frac{3}{1}\) = 3 ను సూచీ భిన్నం అని అంటారు.
∴ □ ABCD ~ □ A’B’C’D’
(∵ వాని అనురూప భుజాలు సమానాలు)
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}}=\frac{\mathrm{DA}}{\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}}\)

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 అనులోమ మరియు విలోమ అనుపాతములు Ex 10.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 10th Lesson అనులోమ మరియు విలోమ అనుపాతములు Exercise 10.3

ప్రశ్న 1.
సిరి వద్ద, కిలో 8 రూపాయల చొప్పున 5 కిలోల బంగాళ దుంపలు కొనుటకు సరిపడ డబ్బులు కలవు. బంగాళదుంపల వెల కిలో 10 రూపాయలకు పెరిగిన ఆమె వద్ద వున్న సొమ్ముతో ఎన్నికిలోలు కొనగలదు?
సాధన.
బంగాళదుంపల ధర పెరిగిన వాటిని కొను డబ్బు విలువ తగ్గును.
∴ అవి విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
∴ x₁y₁ = x₂y₂
⇒ 8 × 5 = 10 × x
⇒ x = \(\frac{8 \times 5}{10}\) = 4 కిలోలు.
∴ ఆమె కిలో బంగాళదుంపలు ₹ 10 చొప్పున 4 కిలోలు కొనగలదు.

ప్రశ్న 2.
ఒక శిబిరంలో 500 మంది వ్యక్తులకు 70 రోజులకు సరిపడు ఆహార ధాన్యాల నిల్వ కలదు. ఆ శిబిరంలో అదనంగా 200 మంది చేరిన ఆ ఆహారధాన్యాల నిల్వ ఎన్ని రోజుల వరకు సరిపోతుంది?
సాధన.
వ్యక్తుల సంఖ్య, వారికి కావలసిన ఆహార పరిమాణం విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
∴ x₁y₁ = x₂y₂
⇒ 500 × 70 = (500 + 200) × x

∴ x = 50 రోజులు

ప్రశ్న 3.
36గురు కూలీలు ఒక పనిని 12 రోజులలో చేయగలరు. అయిన అదే పనిని 9గురు కూలీలు ఎన్ని రోజులలో చేయగలరు?
సాధన.
కూలీల సంఖ్య, వారు పనిచేయు రోజుల సంఖ్య విలోమానుపాతంలో కలవు.
∴ x₁y₁ = x₂y₂
⇒ 36 × 12 = 9 × x

∴ x = 48 రోజులు

ప్రశ్న 4.
ఒక వ్యక్తి సైకిల్ పై 28 కి.మీ. దూరమును 2 గంటలలో చేరును. అతను అదే వేగముతో ప్రయాణించిన 56 కి.మీ. దూరమును ఎంతకాలములో చేరగలడు?
సాధన.
దూరము – కాలము అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి.

∴ x = 4 గం ||లు

ప్రశ్న 5.
ఒక ఓద గంటకు 16 నాటికల్ మైళ్ళ వేగముతో కొంత దూరమును 10 గంటలలో చేరగలదు. అదే దూరము 8 గంటలలో చేరవలెనన్న ఆ ఓడ ఎంత అధిక వేగముతో ప్రయాణము చేయాలి? సముద్రములపై దూరమునకు ప్రమాణము నాటికల్మై ల్ (1 నాటికల్ మైల్ = 1852 మీటర్లు)
సాధన.
వేగము – దూరం విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
⇒ x₁y₁ = x₂y₂
⇒ 16 × 10 = x × 8

∴ ఆదనంగా పెంచాల్సిన ఓడ వేగం
= 20 – 16 = 4
= 4నాటికల్ మైళ్ళు

ప్రశ్న 6.
ఒక ట్యాంకును 5 కుళాయిలు 1\(\frac {1}{2}\) గంటల కాలములో సింపును. అదే ట్యాంకును అర్ధగంటలో నింపవలెనన్న అటువంటి కుళాయిలు ఎన్ని కావలెను?
సాధన.
కుళాయిల సంఖ్య, వాటిని నింపే కాలం విలోమాను పాతంలో ఉంటాయి.

∴ కావలసిన కుళాయిల సంఖ్య = 15

ప్రశ్న 7.
15 మంది కూలీలు ఒక గోడను 48 గంటలలో కట్టగలరు. అదే గోడను 30 గంటలలోనే కట్టవలెనన్న ఎంతమంది కూలీలు కావలెను?
సాధన.
కూలీల సంఖ్య, కాలానికి విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

∴ కావలసిన కూలీల సంఖ్య = 24

ప్రశ్న 8.
ఒక పాఠశాలలో 45 నిమిషముల కాలవ్యవధితో 8 పీరియడ్లు కలవు. ఒక రోజులో 6 పీరియడ్లు మాత్రమే వుండవలెనన్న ఒక పీరియడు కాలవ్యవధి ఎంత వుండవలెను? (పాఠశాల పనివేళలలో మార్పులేదని భావించుము)
సాధన.
కాలానికి, పీరియడ్ల సంఖ్య విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
⇒ x₁y₁ = x₂y₂
⇒ 45 × 8 = x × 6

ప్రశ్న 9.
z అనే రాశి x అనే రాశితో అనులోమానుపాతంలోను, y అనే రాశితో విలోమానుపాతంలోను వుంటుంది. x రాశిలో 12% పెరుగుదల, y రాశిలో 20% తరుగుదల వున్న z రాశిలో వచ్చే పెరుగుదల శాతమును కనుగొనుము.
సాధన.
z ∝ x —————– (1)
z ∝ \(\frac {1}{y}\) ————- (2)
(1), (2) ల నుండి z ∝ \(\frac {x}{y}\)
z = k(\(\frac {x}{y}\))
⇒ k = \(\frac {yz}{x}\)
∴ \(\frac{y_{1} z_{1}}{x_{1}}=\frac{y_{2} z_{2}}{x_{2}}\) —————- (3)
∴ x₁ = 100x
x₂ = 112x (∵ x లో 12% పెరుగుదల)
y₁ = 100y
y₂ = 80y (∵ y లో 20% పెరుగుదల)
z₁ = 100z z₂ = ?

⇒ 5z = \(\frac{\mathrm{z}_{2}}{28}\)
⇒ z₂ = 140z
∴ z లో పెరుగుదల శాతం = 40%

ప్రశ్న 10.
(x + 1) మంది పనివారు ఒక పనిని (x + 1) రోజులలో చేయగలరు. అయిన అదే పనిని (x + 2) మంది పనివారు ఎన్ని రోజులలో చేయగలరు?
సాధన.
పనివారి సంఖ్య, రోజుల సంఖ్యకు విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
⇒ x₁y₁ = x₂y₂
⇒ (x + 1) (x + 1) = (x + 2) × k
⇒ k = \(\frac{(x+1)(x+1)}{(x+2)}\)
∴ k = \(\frac{(x+1)^{2}}{(x+2)}\) రోజులు

ప్రశ్న 11.
ఒక దీర్ఘచతురస్రము చుట్టుకొలత 24 మీ. దాని చుట్టుకొలతను మార్పుచేయకుండా పొడవును 1 మీ. పెంచినపుడు, దాని వెడల్పు మరియు వైశాల్యములలో మార్పు వచ్చును. క్రింది పట్టికను నింపి ఆ విలువల ఆధారంగా వెడల్పు, వైశాల్యముల విలువలు పొడవు విలువ మార్పు మీద ఏవిధంగా ఆధారపడతాయో గమనించుము. మీరు ఏమి గమనించారు? మీ పరిశీలనను నోట్ పుస్తకములో వ్రాయండి.

సాధన.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 అనులోమ మరియు విలోమ అనుపాతములు Ex 10.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 10th Lesson అనులోమ మరియు విలోమ అనుపాతములు Exercise 10.2

ప్రశ్న 1.
క్రింది పట్టికలను పరిశీలించండి. ఏ పట్టికలోని చరరాశులు x, y లు విలోమానుపాతంలో వున్నాయో కనుగొనండి.

సాధన.
(i)

పై పట్టిక నుండి x విలువ తగ్గుతుంటే y విలువ పెరుగుతుంది.
∴ x, yలు విలోమానుపాతంలో కలవు.

(ii)

పై పట్టిక నుండి x విలువ పెరుగుతూ ఉంటే y విలువ తగ్గుతూ ఉంది.
∴ x, y లు విలోమానుపాతంలో కలవు.

(iii)

∴ x విలువ తగ్గుతూ ఉంటే, y విలువ పెరుగుతూ ఉంది. కావున x, y లు విలోమానుపాతంలో కలవు.

ప్రశ్న 2.
ఒక పాఠశాల వారు పుస్తకాలను కొనడానికి ₹ 6000 ఖర్చు పెట్టదలిచినారు. ఈ సమాచారాన్ని వుపయోగించుకొంటూ క్రింది పట్టికను నింపండి.

సాధన.

ప్రశ్న 3.
ఒక గళ్ళ కాగితాన్ని తీసుకోండి. 48 చదరపు గడులను క్రింద చూపినట్లు వివిధ వరుసలలో అమర్చండి.


మీరు ఏమి గమనిస్తారు? R విలువ పెరిగితే, C విలువ తగ్గుతుంది.
(i) R₁ : R₂ = C₂ : C₁ అవుతుందా?
(ii) R₃ : R₄ = C₄ : C₃ అవుతుందా?
(iii) R మరియు C లు ఒకదానికొకటి విలోమానుపాతంలో వున్నాయా?
(iv) ఇదే కృత్యాన్ని గళ్ళ కాగితంపై 36 చదరపు గడులను తీసుకొని చేయండి.
సాధన.
(i) R₁ : R₂ = C₂ : C₁
⇒ 2 : 3 = 16 : 24

∴ R₁ : R₂ = C₂ : C₁

(ii) R₃ : R₄ = C₄ : C₃
⇒ 4 : 6 = 8 : 12
⇒ \(\frac{4}{6}=\frac{8}{12}=\frac{4 \times 2}{6 \times 2}=\frac{4}{6} \Rightarrow \frac{4}{6}=\frac{4}{6}\)
∴ R₃ : R₄ = C₄ : C₃

(iii) ∴ R, C లు ఒకదానికొకటి విలోమానుపాతంలో కలవు.
∵ అడ్డువరుసలు పెరిగితే నిలువు వరుసలు తగ్గును.
నిలువు వరుసలు పెరిగితే అడ్డు వరుసలు తగ్గును.

(iv) గళ్ళ కాగితంపై 36 చదరపు గడులను తీసుకొనిన

పై పట్టిక నుండి R విలువ పెరిగే కొద్దీ, C విలువ తగ్గును.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 7 పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 7th Lesson పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. కొందరు భారతీయ క్రికెట్ ఆటగాళ్ళ ఎత్తులు క్రింది పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి. ఈ దత్తాంశమునకు మధ్యగతమును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 154)

5’10” అనగా 5 అడుగుల 10 అంగుళాలు

సాధన.
దత్తాంశం యొక్క ఆరోహణ క్రమం : 5’3″, 5’5″, 5’7″, 5’8″, 5’9″, 5’11”, 5’11’, 60″, 60″, 6’1″
క్రీడాకారుల సంఖ్య n = 10 ఒక సరి సంఖ్య కావున మధ్యగతం \(\frac{\mathrm{n}}{2}\) మరియు \(\left(\frac{\mathrm{n}}{2}+1\right)\)ల సరాసరి అవుతుంది.
∴ మధ్యగతం M = \(\frac {10}{2}\), \(\left(\frac{10}{2}+1\right)\) = 5, 6 వ రాశుల సరాసరి

2. ఒక అపార్ట్ మెంట్ భవన సముదాయంలోని 90 మంది వ్యక్తుల వయస్సులు ప్రక్క వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము నందు ఇవ్వబడ్డాయి. (పేజీ నెం. 158)

ఈ దత్తాంశము నుండి క్రింది ప్రశ్నలకు జవాబివ్వండి.
i) దత్తాంశము ఎన్ని తరగతులుగా విభజింపబడినది ?
ii) 21 – 30 తరగతిలో ఎంత మంది కలరు ?
iii) ఏ తరగతి వయస్సు వారు ఎక్కువ మంది కలరు ?
iv) చివరి తరగతిలోని ఇద్దరి వయస్సులు 61, 70 లేదా మరి ఏదైనా వయస్సువారిని చెప్పవచ్చా ?
సాధన.
i) 7 ii) 17 iii) 31 – 40 iv) చెప్పవచ్చు. అవి 62, 63, ……… 69.

3. ఒక తరగతిలోని 30 మంది విద్యార్థులు దుమికిన దూరాలు ఈ విధంగా ఉన్నవి. (పేజీ నెం. 160)

I. ఇచ్చిన తరగతి అంతరాలు విలీన తరగతి అంతరాలా ? మినహాయింపు తరగతి అంతరాలా ?
II. రెండవ తరగతి అంతరంలో ఎంత మంది విద్యార్థులు కలరు ?
III. 3.01 మీ. లేక అంతకన్నా ఎక్కువ దూరం దుమికిన వారెందరు ?
IV. 4.005 మీ. దూరం దుమికిన విద్యార్థి ఏ తరగతికి చెందుతాడు ?
సాధన.
I. విలీన తరగతులు
II. 7
III. 15 + 3 + 1 = 19
IV. 401 – 500

4. పై దత్తాంశములోని తరగతులకు హద్దులు వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 160)
సాధన.
హద్దులు :
100.5 – 200.5
200:5 – 300.5
300.5 – 400.5
400.5 – 500.5
500.5 – 600.5

5. పై దత్తాంశములోని ఒక్కొక్క తరగతి అంతరమెంత ? (పేజీ నెం. 160)
సాధన.
100

6. క్రింది వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనములకు పౌనఃపున్య బహుభుజులు నిర్మించండి. (పేజీ నెం. 174)
i) ఒక తరగతిలోని విద్యార్థుల మధ్య జరిగిన స్నేహపూర్వక క్రికెట్ ఆట నందు వారి పరుగుల వివరాలు

సాధన.

నిర్మాణ సోపానములు :
సోపానం – 1: తరగతి మధ్య విలువలను గణించవలెను.
సోపానం – 2 : దత్తాంశమునకు సోపాన రేఖా చిత్రమును నిర్మించి ప్రతి సోపానము యొక్క పై వెడల్పుల మధ్య బిందువులు B, C, D, E, F లను గుర్తించి కలుపవలెను.
సోపానం – 3 : తరగతుల యొక్క ముందు తరగతి, తరువాత తరగతులను ఊహించి వాని పౌనఃపున్యములు ‘0’గా తీసుకొని తరగతి మధ్య విలువలు గుర్తించవలెను.
సోపానం – 4 : మొదటి తరగతికి ముందు తరగతిని, చివరి తరగతికి తరువాత తరగతులను ఊహించుకోండి. అంటే 10 – 20 తరగతికి ‘ముందు తరగతిని X – అక్షమునకు ఋణాత్మక దిశలో 0 – 10 గా తీసుకోండి. అదే విధంగా 50 – 60 తరగతికి తరువాత తరగతిని 60 – 70 గా తీసుకోండి. వీటి మధ్య విలువలను A, G లుగా గుర్తించండి.
సోపానం – 5 : ఇప్పుడు B బిందువును Aతోనూ, F బిందువును G తోనూ కలిపితే పౌనఃపున్య బహుభుజి ఏర్పడుతుంది. పౌనఃపున్య బహుభుజి నిర్మించుటకు ప్రతిసారి సోపాన రేఖా చిత్రము నిర్మించనవసరము లేదు. దీనికి బదులుగా తరగతి మధ్య విలువలను, పౌనఃపున్యములను ఉపయోగించి పౌనఃపున్య బహుభుజిని నిర్మించవలెను.

ii). ఒక నాటక ప్రదర్శన కొరకు అమ్మిన టిక్కెట్ల వివరాలు

సాధన.

నిర్మాణ సోపానములు :
సోపానం – 1 : తరగతి మధ్యవిలువలు ఇచ్చియున్నారు. కావున తరగతి అంతరాలు గణించవలెను.
సోపానం – 2 : దత్తాంశానికి సోపాన రేఖా చిత్రం నిర్మించి ప్రతి సోపానం యొక్క వెడల్పుపై మధ్య బిందువులను B, C, D, E, F లుగా గుర్తించవలెను. తద్వారా వాటిని కలుపవలెను.
సోపానం – 3 : తరగతుల యొక్క ముందు తరగతి, తరువాత తరగతిని ఊఊహించి, వాని పౌనఃపున్యాలు ‘0’ గా తీసుకొని తరగతి మధ్య విలువలు ‘0’గా గుర్తించవలెను.
సోపానం – 4 : మొదటి తరగతికి ముందు తరగతిని 2.5 – 7.5 గాను చివరి తరగతికి తరువాత తరగతిని 32.5 – 37.5 గా ఊహించి వీటి మధ్య విలువలను A, G లుగా గుర్తించవలెను.
సోపానం – 5 : ఇప్పుడు A ను B తోను, G ను F తోను కలుపగా ABCDEFG ఒక బహుభుజి ఏర్పడినది.

ప్రయత్నించండి

1. ఏవైనా మూడు సంఖ్యాత్మక దత్తాంశములను, మూడు వివరణాత్మక దత్తాంశములను వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 148)
సాధన.
సంఖ్యాత్మక దత్తాంశం :

వివరణాత్మక దత్తాంశం : అమరరాజా ఆదాయంలో 24% వృద్ధి

అమరరాజా బ్యాటరీస్ ఈ మూడో త్రైమాసికంలో రికార్డు స్థాయి ఆర్థిక ఫలితాలను నమోదు చేసింది. క్రితం ఆర్థిక సంవత్సరం ఇదే కాలంతో పోల్చినప్పుడు ఆదాయం 24 శాతం, నికరలాభం 23 శాతం పెరిగాయి. ఈ మూడో త్రైమాసికంలో రూ. 756. 90 నికర అమ్మకాల ఆదాయాన్ని నమోదు చేసింది. దీనిపై రూ. 80 కోట్ల నికరలాభం ఉంది. క్రితం ఆర్థిక సంవత్సరం ఇదే కాలంలో ఆదాయం రూ. 613 కోట్లు, నికరలాభం రూ. 65 కోట్లు మాత్రమే కావటం గమనార్హం. ఈ ఆర్థిక సంవత్సరం మొదటి 9 నెలల కాలంలో ఆదాయం రూ. 2,162 కోట్లు, రూ. 227 కోట్ల నికరలాభం ఉన్నాయి. క్రితం ఆర్థిక సంవత్సరం ఇదే కాలంలో ఆదాయం రూ. 1697 కోట్లు కాగా, అప్పట్లో నమోదైన నికరలాభం రూ. 157 కోట్లు. 9 నెలల కాలానికి కూడా ఆదాయంలో 27 శాతం, నికరలాభంలో 44 శాతం వృద్ధి కనిపిస్తున్నాయి. ఆటోమోటివ్ బ్యాటరీల విభాగం, పారిశ్రామిక బ్యాటరీల విభాగం ….. రెండూ కూడా రెండంకెల వృద్ధిని నమోదు చేసినట్లు అమరరాజా బ్యాటరీస్ ఎం.డి. జయదేవ్ గల్లా పేర్కొన్నారు.

2. పై సందర్భాలకు ఊహించిన అంక మధ్యమము, విచలనాల పట్టికను తయారు చేయండి. విచలనాల సరాసరి ఊహించిన అంక మధ్యమము మరియు నిజమైన అంకగణిత మధ్యమము విలువలను గమనించండి. ఏమి గమనించారు ? (పేజీ నెం. 151)
(సూచన : విచలనాల సరాసరితో పోల్చి చూడండి.)
సాధన.

∴ అసలు సగటు = \(\frac{\Sigma x_{i}}{N}=\frac{80}{5}\) = 16
∴ విచలనాల సరాసరి = \(\frac {-5}{5}\) = -1
∴ అంకగణిత సగటు = ఊహించిన సగటు + విచలనాల సరాసరి
17 + (-1) = 16
∴ ఊహించిన అంకమధ్యమం, నిజమైన అంకమధ్యమం రెండూ సమానం.

3. క్రింది దత్తాంశములకు అంకగణిత మధ్యమాలను అంచనావేసి వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 153)
i) 17, 25, 28, 35, 40
ii) 5, 6, 7, 8, 8, 10 10, 10, 12, 12, 13, 19, 19, 19, 20
పై సమస్యలను సాధారణ పద్ధతిలో సాధించుట ద్వారా పై సమాధానములను సరిచూడండి.
సాధన.
i) 17, 25, 28, 35, 40
ఊహించిన అంకమధ్యమం = 35

ii) 5, 6, 7, 8, 8, 10, 10, 10, 12, 12, 13, 19, 19, 19, 20
ఊహించిన అంకమధ్యమం = 10

4. 24, 65, 85, 12, 45, 35, 15 ల యొక్క మధ్యగతము కనుగొనండి.
సాధన.
24, 65, 85, 12, 45, 35, 15 ల ఆరోహణ క్రమం = 12, 15, 24, 35, 45, 65, 85
∴ రాశుల సంఖ్య (n) = 7 ఒక బేసి సంఖ్య
∴ మధ్యగతం = \(\frac{\mathrm{n}+1}{2}=\frac{7+1}{2}\) = 4 వ రాశి
∴ మధ్యగతం = 35

5. x, 2x, 4x రాశుల మధ్యగతము 12 అయిన ఆ రాశుల సరాసరి ఎంత ? (పేజీ నెం. 155)
సాధన.
x, 25, 4x రాశుల మధ్యగతం = 2x
∴ 2x = 12 ⇒ x = 6
2x = 2 × 6 = 12
4x = 4 × 6 = 24
6, 12, 24 ల సరాసరి = \(\frac{6+12+24}{3}=\frac{42}{3}\) = 14

6. 24, 29, 34, 38, X అను దత్తాంశము యొక్క మధ్యగతము 29 అయిన x విలువ (పేజీ నెం. 155)
(i) x > 38 (ii) x < 29 (iii) 29, 34 ల మధ్య (iv) ఏదీకాదు.
సాధన.
24, 29, 34, 38, x ల మధ్యగతం = 29
n = 5 బేసి సంఖ్య
మధ్యగతం = \(\frac{\mathrm{n}+1}{2}=\frac{5+1}{2}\) = 3వ రాశి
∴ 29 కంటే x చిన్నదైనపుడు మాత్రమే 29, 3వ రాశి కాగలదు.
∴ x < 29

7. ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యము …………… సంబంధము కలిగి ఉంటుంది. (పేజీ నెం. 165)
సాధన.
ఎగువ హద్దులతో

8. అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యము …………. సంబంధము కలిగి ఉంటుంది. (పేజీ నెం. 165)
సాధన.
దిగువ హద్దులతో

9. క్రింది దత్తాంశమునకు ఆరోహణ, అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలు వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 165)

సాధన.

10. పై దత్తాంశములో పౌనఃపున్యముల మొత్తం (రాశుల సంఖ్య) ఎంత ? చివరి తరగతి యొక్క ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యము ఎంత ? నీవేమి చెప్పగలవు ? (పేజీ నెం. 165)
సాధన.
పై దత్తాంశంలో పౌనఃపున్యాల మొత్తం = 30
చివరి తరగతి యొక్క ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం = 30
∴ రాశుల మొత్తం = చివరి తరగతి ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం

11. ప్రక్క సోపాన రేఖా చిత్రమును పరిశీలించి ప్రశ్నలకు జవాబులివ్వండి. (పేజీ నెం. 169)
i) ఈ సోపాన రేఖా చిత్రము ఏ సమాచారమును సూచిస్తున్నది ?
ii) ఏ తరగతి నందు గరిష్ఠ సంఖ్యలో విద్యార్థులు కలరు ?
iii) ఎంతమంది విద్యార్థులు 5 గంటలు లేక అంతకన్నా ఎక్కువ సమయం T.V. ను వీక్షిస్తున్నారు ?
iv)ఎంత మంది విద్యార్థులపై సర్వే నిర్వహించబడినది ?
సాధన.
i) వివిధ సమయాలలో టి.వి.లు చూసే విద్యార్థుల సంఖ్య.
ii) 5వ తరగతి నందు గరిష్ఠ సంఖ్యలో విద్యార్థులు కలరు.
iii) 35 + 15 + 5 = 55 మంది
iv) సర్వే నిర్వహించబడిన విద్యార్థుల సంఖ్య = 10 + 15 + 20 + 35 + 15 + 5 = 100 మంది

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి

1. ఒక దత్తాంశము యొక్క బాహుళకమునకు సమానమైన రాశులను కొన్నింటిని చేర్చగా దత్తాంశపు బాహుళకము ఎట్లు మారును ? (పేజీ నెం. 155)
సాధన.
ఒక దత్తాంశం యొక్క బాహుళకానికి సమానమైన రాశులను కొన్నింటిని చేర్చినా ఆ దత్తాంశపు బాహుళకంలో ఎటువంటి మార్పు ఉండదు.
ఉదా : 5, 6, 7, 8, 7, 9 ల బాహుళకం = 7
7 నకు 7, 7, 7, 7 లను చేర్చినా బాహుళకంలో మార్పు రాదు.

2. క్రింది రాశుల దత్తాంశమునకు పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికను వ్రాయండి. 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7. (పేజీ నెం. 161)
సాధన.
వ్యాప్తి = గరిష్ట విలువ – కనిష్ఠ విలువ = 7 – 1 = 6
తరగతుల సంఖ్య = 7 అయిన

3. క్రింది సంఖ్యల దత్తాంశమునకు పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికను వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 161)
2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 9, 11, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 15, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 22, 24, 24, 25. (సూచన : విలీన తరగతులను తీసుకోండి.)
సాధన.
వ్యాప్తి = గరిష్ఠ విలువ – కనిష్ఠ విలువ = 25 – 2 = 23

4. పై రెండు దత్తాంశములలో భేదమేమి ? వాని పౌనఃపున్య విభాజనములను ఏమంటారు ? (పేజీ నెం. 161)
సాధన.
మొదటి పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలోని తరగతులు సంలీన తరగతులు, రెండవ పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలోని తరగతులు విలీన తరగతులు. పై రెండు దత్తాంశాలలో భేదం కేవలం తరగతులలో మాత్రమే కన్పిస్తుంది.

5. పై సమస్యల యొక్క పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలలో దేని నుండి మరలా దత్తాంశములోని రాశులను విడివిడిగా వ్రాయగలము ? (పేజీ నెం. 161)
సాధన.
తరగతులు

6. ఒక కమ్మీ రేఖా చిత్రములో అన్ని కమ్మీల (పేజీ నెం. 168)
(a) పొడవులు సమానం (b) వెడల్పులు సమానం (c) వైశాల్యములు సమానం (d) విలువలు సమానం
సాధన.
(b) వెడల్పులు సమానం

7. ఒక కమ్మీ రేఖా చిత్రంలో ప్రతి కమ్మీ యొక్క పొడవు మిగిలిన కమ్మీల పొడవుపై ఆధారపడి ఉంటుందా ? (పేజీ నెం. 168)
సాధన.
లేదు

8. ఏదైనా ఒక కమ్మీలో చేసిన మార్పు మిగిలిన కమ్మీలలో మార్పును కలుగజేస్తుందా ? (పేజీ నెం. 168)
సాధన.
లేదు

9. ఏయే సందర్భములలో నిలువు కమ్మీ లేక అడ్డు కమ్మీ రేఖా చిత్రాలను ఉపయోగిస్తాము ? (పేజీ నెం. 168)
సాధన.
సమాన దూరములు కలిగి, సమాన వెడల్పుల, పౌనఃపున్యాలకు అనుపాతంలో గల పొడవులను సూచించుటకు నిలువు లేదా అడ్డు కమ్మీ రేఖా చిత్రాలను ఉపయోగిస్తాం.

10. సోపాన చిత్రంలో X – అక్షంపై తరగతి యొక్క హద్దులు గుర్తిస్తాం. కాని అవధులు కాదు. ఎందువల్ల ? (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
ఒక తరగతి యొక్క ఎగువ, దిగువ హద్దుల భేదం ఆ తరగతి అంతరాన్ని ఇస్తుంది. అందువలన X – అక్షంపై హద్దులు గుర్తిస్తాం.

11. సోపాన చిత్రంలో దీర్ఘచతురస్రాల వెడల్పులను నిర్ణయించు అంశమేది ? (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
తరగతి అంతరం

12. అన్ని దీర్ఘచతురస్రాల పొడవుల మొత్తం దేనిని సూచిస్తుంది ? (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
పౌనఃపున్యాల మొత్తం.

13. దత్తాంశములోని మొదటి తరగతికి ముందు తరగతి లేనిచో బహుభుజిని ఎట్లు పూరించగలవు ? (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
ముందు తరగతి పౌనఃపున్యం ‘0’ గా తీసుకొని దానిచే బిందువును కలుపవలెను.

14. ఒక దత్తాంశము యొక్క సోపాన రేఖా చిత్రము, పౌనఃపున్య బహుభుజిల వైశాల్యములు సమానము. ఎట్లు ? (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
రెండు చిత్రాలు తరగతి మధ్య విలువలపై ఆధారపడి నిర్మించబడతాయి.

15. పౌనఃపున్య బహుభుజి నిర్మాణమునకు ముందుగా సోపాన చిత్రము నిర్మించవలెనా ? (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
అవసరం లేదు

16. విభాజిత శ్రేణి/అవర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనమునకు ‘పౌనఃపున్య బహుభుజి’ని గీయగలమా ? (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
గీయలేము.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 అనులోమ మరియు విలోమ అనుపాతములు Ex 10.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 10th Lesson అనులోమ మరియు విలోమ అనుపాతములు Exercise 10.1

ప్రశ్న 1.
ఒక ప్రత్యేక నాణ్యత గల బట్ట 5 మీటర్ల ఖరీదు ₹210, అయిన (i) 2 మీ. (ii) 4 మీ. (iii) 10 మీ. (iv) 13 మీ. పొడవు గల బట్ట ఖరీదు ఎంతో కనుగొనండి.
సాధన.
ఒక బట్ట 5 మీ॥ల ఖరీదు = ₹ 210
బట్ట ఖరీదు మరియు బట్ట పొడవులు అనులోమాను పాతంలో ఉంటాయి.

ప్రశ్న 2.
ఈ కింది పట్టికను నింపండి.

సాధన.

ప్రశ్న 3.
48 ధాన్యం బస్తాల ఖరీదు ₹16,800 అయిన 36 ధాన్యం బస్తాల ఖరీదు ఎంత?
సాధన.
ధాన్యం బస్తాల సంఖ్య వాటి ఖరీదు అనులోమాను పాతంలో కలవు.
\(\frac{x_{1}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{y_{2}}\) ఇక్కడ x₁ = 48, y₁ = 16,800
x₂ = 36, y₂ = ?

= 3 × 4200
y₂ = ₹ 12,600
∴ 36 ధాన్యం బస్తాల ఖరీదు = ₹ 12,600

ప్రశ్న 4.
నలుగురు సభ్యులు గల ఒక కుటుంబానికి నెలకు అయ్యే సగటు ఖర్చు ₹ 2,800. ముగ్గురు సభ్యులు గల కుటుంబానికి నెలకు అయ్యే సగటు ఖర్చు ఎంతో కనుగొనండి.
సాధన.
కుటుంబ సభ్యుల సంఖ్య, వారికి అయ్యే ఖర్చులు అనులోమానుపాతంలో కలవు.

∴ ముగ్గురు సభ్యులకు నెలకు అయ్యే సగటు ఖర్చు = ₹2100

ప్రశ్న 5.
28 మీటర్ల పొడవు గల ఒక ఓడ స్తంభము ఎత్తు 12 మీ. ఆ ఓడ నమూనా తయారీలో ఓడ స్తంభము ఎత్తు 9 సెం.మీ. అయిన ఆ నమూనా ఓడ పొదవు ఎంత?
సాధన.
ఓడ పొడవు, ఓడ స్తంభం పొడవు అనులోమానుపాతంలో కలవు.
\(\frac{x_{1}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{y_{2}}\) ఇక్కడ x₁ = 28, y₁ = 12
x₂ = ?, y₂ = 9

∴ x₂ = 7 × 3 = 21 మీ.
∴ నమూనా ఓడ పొడవు = 21 మీ.

ప్రశ్న 6.
5.6 మీ. ఎత్తు గల ఒక స్తంభము ఏర్పరచు నీడ పొడవు 3.2 మీ. అదే నియమంలో (i) 10.5 మీ. ఎత్తు గల మరొక స్తంభము యొక్క నీడ పొడవు ఎంత? (ii) 5 మీ. నీడను ఏర్పరచు స్తంభము యొక్క పొడవు ఎంత?
సాధన.
స్తంభం ఎత్తు, అది ఏర్పరచు నీడ పొడవులు అనులోమాను పాతంలో కలవు.
∴ \(\frac{x_{1}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{y_{2}}\)
(i) x₁ = 5.6 మీ., x₂ = 10.5
y₁ = 3.2 మీ., y₂ = ?

∴ 10.5 మీ|| ఎత్తుగల స్తంభం నీడ పొడవు = 6 మీ.

(ii) x₁ = 5.6 మీ., x₂ = ?
y₁ = 3.2 మీ., y₂ = 5

∴ x₂ = 8.75 మీ.

ప్రశ్న 7.
సరుకులతో నింపబడిన ఒక లారీ 14 కి.మీ. దూరము ప్రయాణించుటకు పట్టుకాలం 25 నిమిషములు. ఆ లారీ అదే వేగముతో ప్రయాణించుచున్న 5 గంటల కాలములో అది ప్రయాణించు దూరమెంత?
సాధన.
దూరము, కాలము అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
⇒ \(\frac{x_{1}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{y_{2}}\); x₁ = 14 కి.మీ., x₂ = ?
y₁ = 25 ని॥ = \(\frac {25}{60}\) గం॥ = \(\frac {5}{12}\) గం॥
y₂ = 5 గం||

= 168 కి.మీ.
∴ 5 గం||ల కాలంలో లారీ ప్రయాణించు దూరం
=168కి. మీ.

ప్రశ్న 8.
12 దళసరి కాగితముల బరువు 10 గ్రాములు అయిన అటువంటి ఎన్ని దళసరి కాగితముల బరువు 16\(\frac {2}{3}\) కిలోగ్రాములగును?
సాధన.
కాగితాల సంఖ్య, వాటి బరువు అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
⇒ \(\frac{x_{1}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{y_{2}}\); ఇక్కడ x₁ = 12, x₂ = ? y₁ = 40 గ్రా.,

కాగితముల సంఖ్య = 5000

9. ఒక రైలు గంటకు 75 కి.మీ. సమవేగంతో ప్రయాణించుచున్నది.

ప్రశ్న (i)
అయిన అది 20 నిమిషాలలో ఎంతదూరము ప్రయాణించును?
సాధన.
రైలు వేగం = 75 కి.మీ/ గం||.
20 ని||లలో అది ప్రయాణించు దూరం
దూరం = వేగము × కాలం [ ∵ s = \(\frac {d}{t}\))
= 75 × \(\frac {20}{60}\)
= 75 × \(\frac {1}{3}\) = 25 కి.మీ.

ప్రశ్న (ii)
250 కి.మీ. దూరమును ప్రయాణించుటకు ఆ రైలుకు ఎంతకాలము పట్టును?
సాధన.
250 కి.మీ. దూరం ప్రయాణించుటకు పట్టుకాలం
కాలం = \(\frac {దూరం}{వేగం}\) [∵ t = \(\frac {d}{s}\)]
= \(\frac {250}{75}\)
కాలం = \(\frac {10}{3}\) గం||లు

ప్రశ్న 10.
ఒక మైక్రోచిప్ పథకం (డిజైన్) యొక్క స్కేలు 40 : 1గా వున్నది. నమూనాలో దాని పొడవు 18 సెం.మీ. అయిన ఆ మైక్రోచిప్ యొక్క నిజమైన పొదవును కనుగొనండి.
సాధన.
మైక్రోచిప్ పథకం యొక్క స్కేలు = 40 : 1
నమూనాలో దాని పొడవు = ?
నమూనాలో పొడవు, నిజమైన పొడవు అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
⇒ \(\frac{x_{1}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{y_{2}}\) ఇక్కడ
x₁ = 40, x₂= 18,
y₁ = 1, y₂ = ?

∴ మైక్రోచిప్ నిజమైన పొడవు = \(\frac {9}{20}\) సెం.మీ.

ప్రశ్న 11.
డాక్టర్లు, లాయర్ల యొక్క సరాసరి వయస్సు ’40’. డాక్టర్ల యొక్క సరాసరి వయస్సు 35, లాయర్ల యొక్క సరాసరి వయస్సు ’50’ అయినచో డాక్టర్ల సంఖ్య, లాయర్ల సంఖ్య కనుగొమము.
సాధన.

డాక్టర్ల సరాసరి వయస్సు = 35
⇒ డాక్టర్ల మొత్తం వయస్సు = 35x
లాయర్ల సరాసరి వయస్సు = 50
⇒ లాయర్ల మొత్తం వయస్సు = 50y
∴ \(\frac{35 x+50 y}{x+y}\) = 40
⇒ 35x + 50y = 40x + 40y
⇒ 10y = 5x
⇒ \(\frac{x}{y}=\frac{10}{5}=\frac{2}{1}\) = 2 : 1
∴ డాక్టర్లు, లాయర్ల సంఖ్య 2 : 1 నిష్పత్తిలో ఉండును.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 బీజీయ సమాసాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 11th Lesson బీజీయ సమాసాలు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. క్రింది బీజీయ సమాసాలలోని పదాల సంఖ్యను తెలుపండి. (పేజీ నెం. 248)
5xy², 5xy³ – 9x, 3xy + 4y – 8, 9x² + 2x + pq + q
సాధన.
5xy² లోని పదాల సంఖ్య 1
5xy³ – 9x లోని పదాల సంఖ్య 2
3xy + 4y – 8 లోని పదాల సంఖ్య 3
9x² + 2x + pq + q లోని పదాల సంఖ్య 4

2. x యొక్క వేర్వేరు విలువలకు 3x + 5 యొక్క విలువ కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 248)
సాధన.
3x + 5
⇒ x = 1 అయిన ⇒ 3x + 5 = 3(1) + 5 = 3 + 5 = 8
⇒ x = 2 అయిన ⇒ 3(2) + 5 = 6 + 5 = 11
⇒ x = 3 అయిన ⇒ 3(3) + 5 = 9 + 5 = 14

3. కింది వాటిలో సజాతి పదాలను గుర్తించంది. (పేజీ నెం. 249)
ax²y, 2x, 5y², – 9x², – 6x, 7xy, 18y².
సాధన.
ax²y, 2x, 5y², – 9x², – 6x, 7xy, 18y².
సజాతి పదాలు : (2x, – 6x), (5y², 18y²)

4. 5pq² కు 3 సజాతి పదాలను తయారుచేయండి. (పేజీ నెం. 249)
సాధన.
5pq² కు సజాతి పదాలు : – 3pq², pq², 1/2pq². మొ||నవి.

5. A = 2y² + 3x – x² , B = 3x² – y² మరియు C = 5x² – 3xy అయితే (పేజీ నెం. 150)

ప్రశ్న (i)
A + B
సాధన.
A = 2y² + 3x – x², B = 3x² – y², C = 5x² – 3xy
A + B = (2y² + 3x – x²) + (3x² – y²)
= (2y² – y²) + 3x + (3x² – x²)
∴ A + B = y² + 3x + 2x²

ప్రశ్న (ii)
A – B
సాధన.
A – B = (2y² + 3x – x²) – (3x² – y²)
= 2y² + 3x – x² – 3x² + y²
∴ A – B = 3y² + 3x – 4x²

ప్రశ్న (iii)
B + C
సాధన.
B + C = (3x² – y²) + (5x² – 3xy)
= 3x² + 5x² – y² – 3xy
∴ B + C = 8x² – y² – 3xy.

ప్రశ్న (iv)
B – C
సాధన.
= (3x² – y²) – (5x² – 3xy)
= 3x² – y² – 5x² + 3xy
∴ B – C = – 2x² – y² + 3xy

ప్రశ్న (v)
A + B + C
సాధన.
= (2y² + 3x – x²) + (8x² – y² – 3xy)
= (2y² – y²) + (8x² – x²) + 3x – 3xy
∴ A + B + C = 7x² + y² + 3x – 3xy

ప్రశ్న (vi)
A + B – C
సాధన.
= (2y² + 3x – x²) + (- 2x² – y² + 3xy)
= (2y² – y²) + (- x² – 2x²) + 3x + 3xy
∴ A + B – C = y² – 3x² + 3x + 3xy

ప్రశ్న 6.
పట్టికను పూర్తి చేయండి. (పేజీ నెం. 253)
సాధన.

7. రెండు ఏక పదుల లబ్ధము ఎల్లప్పుడు ఏకపదియేనా? సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 253)
సాధన.
అవును.
ఉదా : 2xy × 5y = 10xy² ఒక ఏకపది.

8. (i) 3x(4ax + 8by)
(ii) 4a²b(a – 3b)
(iii) (p + 3q²)pq
(iv) (m³ + n³) 5mn² లబ్బాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 255)
సాధన.
(i) 3x (4ax + 8by) = 3x × 4ax + 3x × 8by
= 12ax² + 24bxy
(ii) 4a²b (a – 3b) = 4a²b × a – 4a²b × 3b
= 4a²b – 12a²b²
(iii) (p + 3q²) pq = p × pq + 3q² × pq
= p²q + 3pq³
(iv) (m³ + n³) 5mn² = m³ × 5mn² + n³ × 5 mn²
= 5 m⁴n² + 5mn⁵

9. ఒక ఏకపది మరియు ఒక బహుపది లబ్దంలో గరిష్టంగా ఏన్ని పదాలుంటాయి?
సాధన.
ఒక ఏకపది మరియు ఒక బహుపదుల లబ్దాలలో అనేక పదాలుంటాయి.

10. లబ్బాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 257)

ప్రశ్న (i)
(a – b) (2a + 4b)
సాధన.
= a(22 + 4b) – b(2a + 4b)
= (a × 2a + a × 4b) – (b × 2a + b × 4b)
= 2a² + 4ab – (2ab + 4b²)
= 2a² + 4ab – 2ab – 4b²
= 2a² + 2ab – 4b²

ప్రశ్న (ii)
(3x + 2y) (3y – 4x)
సాధన.
= 3x(3y – 4x) + 2y (3y – 4x)
= 9xy – 12x² + 6y² – 8xy
= xy – 12x² + 6y²

ప్రశ్న (iii)
(2m – l)(2l – m)
సాధన.
= 2m (2l – m) – l(2l – m)
= 2m × 2l – 2m × m – l × 2l + l × m
= 4lm – 2m² – 2l² + lm
= 5lm – 2m² – 2l²

ప్రశ్న (iv)
(k + 3m) (3m – k)
సాధన.
= k(3m – k) + 3m (3m – k)
= k × 3m – k × k + 3m × 3m – 3m × k
= 3m – k² + 9m² – 3km
= 9m² – k²

11. రెండు ద్విపదుల లబ్దములో ఎన్ని పదాలు ఉండును ? (పేజీ నెం. 257)
సాధన.
రెండు ద్విపదుల లబ్దంలో 4 పదాలుండును.
ఉదా : (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd

12. క్రింద ఇవ్వబడినవి సర్వసమీకరణాలు అవునో, కావో సరిచూడండి. a, b, c లు ధన పూర్ణసంఖ్యలు. (పేజీ నెం. 260)

ప్రశ్న (i)
(a – b) ≡ a² – 2ab + b²
సాధన.
a = 3, b = 1
⇒ (3 – 1)² = (3)² – 2 × 3 × 1 + 1
⇒ (2)² = 9 – 6 + 1
∴ (i) సర్వసమీకరణమే.

ప్రశ్న (ii)
(a + b) (a – b) ≡ a² – b²
సాధన.
a = 2, b = 1
⇒ (2 + 1) (2 – 1) = (2)² – (1)²
⇒ 3 × 1 = 4 – 1
3 = 3
∴ (ii) సర్వసమీకరణమే.

ప్రశ్న (iii)
(a + b + c)² ≡ a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
సాధన.
a = 1, b = 2, c = 0
⇒ (1 + 2 + 0)² = 1² + 2² + 0² + 2 × 1 × 2
+ 2 × 2 × 0 + 2 × 0 × 1
⇒ (3)² = 1 + 4 + 0 + 4 + 0 + 0
⇒ 9 = 1 + 4 + 4 = 9
∴ 9 = 9
∴ (iii) సర్వసమీకరణమే.

13. x = 2, a = 1 మరియు b = 3 విలువలకు (x + a)(x + b) ≡ x² + (a + b) x + ab ను సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 260)

ప్రశ్న (i)
LHS = RHS అగునేమో పరిశీలించండి.
సాధన.
(x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab
x = 2, a = 1, b = 3 అయిన
⇒ (2 + 1) (2 + 3) = 2² + (1 + 3) 2 + 1 × 3
⇒ 3 × 5 = 4 + 4 × 2 + 3
⇒ 15 = 4 + 8 + 3
∴ 15 = 15 ∴ LHS = RHS

ప్రశ్న (ii)
x, a మరియు b యొక్క వివిధ విలువలకు పై సర్వసమీకరణం సరిచూడండి.
సాధన.
x = 0, a = 1, b = 2 అయిన
⇒ (0 + 1) (0 + 2) = 0² + (1 + 2) 0 + 1 × 2
1 × 2= 0 + 0 + 2
∴ 2 = 2
∴ LHS = RHS
∴ x, a, b యొక్క వివిధ విలువలకు LHS = RHS అగును.

ప్రశ్న (iii)
a, b యొక్క అన్ని విలువలకు LHS = RHS అగునా?
సాధన.
a, b యొక్క అన్ని విలువలకు LHS = RHS అగును.

14. (x + p) (x + q) = x² + (p + q)x + pq (పేజీ నెం. 261)

ప్రశ్న (i)
‘p’ బదులుగా ‘q’ ప్రతిక్షేపించండి. ఏమి గమనించారు ?
సాధన.
(x + p) (x + q) = x + (p + q) x + pq లో
pబదులుగా ( ను ప్రతిక్షేపించగా
⇒ (x + q) (x + q) = x² + (q + q) x + q × q
⇒ (x + q) = x² + 24x + q² అగును.

ప్రశ్న (ii)
‘q’ బదులుగా ‘P’ ప్రతిక్షేపించండి. ఏమి గమనించారు ?
సాధన.
q బదులుగా p ను ప్రతిక్షేపించగా
⇒ (x + p) (x + p) = x² + (p + p) x + p × p
⇒ (x + p)² = x² + 2px + p²

ప్రశ్న (iii)
మీరు గమనించిన సర్వసమీకరణాలు ఏవి?
సాధన.
నేను గమనించిన సర్వసమీకరణాలు
(x + q)² = x² + 2qx + q²
(x + p)² = x² + 2px + p²

15. (పేజీ నెం. 261)

ప్రశ్న (i)
(5m + 7n)²
సాధన.
(5m + 7n)² ఇది (a + b)² రూపంలో కలదు.
(a + b)² = a² + 2ab + b² [a = 5m, b = 7n]
(5m + 7n)² = (5m)² + 2 × 5m × 7n + (7n)²
= (5m × 5m) + 70 mn + 7n × 7n
= 25m² + 70mn + 49n²

ప్రశ్న (ii)
(6kl + 7mn)²
సాధన.
(a + b)² = a² + 2ab + b² ప్రకారం
(6kl + 7mn)² = (6kl)² + 2 × 6kl × 7mn +(7mn)²
= 36 k²l² +84 klmn + 49m²n²

ప్రశ్న (iii)
(5a² + 6b²)
సాధన.
a = 5a², b = 6b²
∴ (5a² + 6b²)² = (5a²)² + 2 5a² × 6b² + (6b²)²
= 5a² × 5a² + 60a²b² + 36b⁴
= 25a⁴ + 60a²b² + 36b⁴

ప్రశ్న (iv)
302²
సాధన.
= (300 + 2)²
a = 300, b = 2
∴ (300 + 2)² = (300)² + 2 × 300 × 2 + (2)²
= 300 × 300 + 1200 + 2 × 2
= 90,000 + 1200 + 4
= 91,204

ప్రశ్న (v)
807²
సాధన.
= (800 + 7)²
a = 800, b = 7
(800 + 7)² = (800)² + 2 × 800 × 7 + (7)²
= 800 × 800 + 11,200 + 7 × 7
= 6,40,000 + 11,200 + 49
= 6,51,249

ప్రశ్న (vi)
704² లను విస్తరించండి.
సాధన.
= (700 + 4)²
a = 700, b = 4
∴ (700 + 4)² = (700)² + 2 × 700 × 4 + 4²
= 700 × 700 + 5600 + 4 × 4
= 4,90,000 + 5600 + 16
= 4,95,616

ప్రశ్న (vii)
(a – b)² = a² – 2ab + b² సర్వసమీకరణాన్ని,
a = 3m మరియు b = 5n ఆయినప్పుడు సరిచూడండి.
సాధన.
(a – b)² = a² – 2ab + b² లో a = 3m b = 5nను ప్రతిక్షేపించగా
LHS = (3m – 5n)² = (3m)² – 2 × 3m × 5n + (5n)²
= 9m² – 30mn + 25n²
RHS = (3m)² – 2 × 3m × 5n + (5n)²
= 9m² – 30mn + 25n²
∴ LHS = RHS

16. (పేజీ నెం. 262)

ప్రశ్న (i)
(9m – 2n)²
సాధన.
(9m – 2n)² ఇడి (a – b)² రూపంలో కలదు
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(9m – 2n)² = (9m)² – 2 × 9m × 2n + (2n)²
= 9m × 9m – 36mn + 2n × 2n
= 81m² – 36mn + 4n²

ప్రశ్న (ii)
(6pq – 7rs)²
సాధన.
a = 6pq, b = 7rs
∴ [6pq – 7rs]² = (6pq)² – 2 × 6pq × 7rs + (7rs)²
= 6pq × 6pq – 84pqrs + 7rs × 7rs
= 36p²q² – 84pqrs + 49r²s²

ప్రశ్న (iii)
(5x² – 6y²)² లను విస్తరించండి
సాధన.
= (5x²)² – 2 × 5x² × 6y² + (6y²)²
= 5x² × 5x² – 60x²y² + 6y² × 6y²
= 25x⁴ – 60x²y² + 36y⁴

ప్రశ్న (iv)
292²
సాధన.
= (300 – 8)²
a = 300, b= 8
∴ (300 – 8)² = (300)² – 2 × 300 × 8+ (8)²
= 300 × 300 – 4800 + 8 × 8
= 90,000 – 4800 + 64
= 90,064 – 4800 = 85,264

ప్రశ్న (v)
897²
సాధన.
= (900 – 3)²
= (900)² – 2 × 900 × 3 + (3)²
= 8,10,000 – 5400 + 9
= 8,10,009 – 5400 = 8,04,609

ప్రశ్న (vi)
794² ల విలువలు కనుగొనండి
సాధన.
= (800 – 6)²
= (800)² – 2 × 800 × 6 + (6)²
= 6,40,000 – 9600 + 36
= 6,40,036 -9600 = 6,30,436

17.

ప్రశ్న (i)
(6m + 7n) (6m – 7n)
సాధన.
(6m + 7n) (6m – 7n) ఇడి (a + b)(a – b) రూపంలో కలదు.
(a + b)(a – b) = a² – b² ఇక్కడ a = 6m, b = 7m
(6m + 7n) (6m – 7n) = (6m)² – (7n)²
= 6m × 6m – 7n × 7n
= 36m² – 49n²

ప్రశ్న (ii)
(5a + 10b) (5a – 10b)
సాధన.
= (5a)² – (10b)²
[∵ (a + b) (a – b) = a² – b²]
= 5a × 5a – 10b × 10b
= 25a² – 100b²

ప్రశ్న (iii)
(3x² + 4y²) (3x² – 4y²) ల విలువలు కనుక్కొండి.
సాధన.
= (3x²)² – (4y²)²
[∵ (a + b)(a – b) = a² – b²]
= 3x² × 3x² – 4y² × 4y²
= 9x⁴ – 16y⁴

ప్రశ్న (iv)
106 × 94
సాధన.
= (100 + 6) (100 – 6)
= 100² – 6²
[∵ (a + b)(a – b) = a² – b²)
= 100 × 100 – 6 × 6
= 10,000 – 36 = 9,964

ప్రశ్న (v)
592 × 608
సాధన.
= (600 – 8) (600 + 8)
= (600)² – (8)² [∵ (a + b) (a – b) = a² – b²) = 600 × 600 – 8 × 8
= 3,60,000 – 64
= 3,59,936

ప్రశ్న (vi)
92² – 8²
సాధన.
ఇది a² – b² = (a + b)(a – b) రూపంలో కలదు.
92² – 8² = (92 + 8) (92 – 8)
= 100 × 84
= 8400

ప్రశ్న (vii)
984² – 16² లను సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన.
= (984 +16) (984 – 16)
[∵ a² – b² = (a + b)(a – b)]
= (1000) (968)
= 9,68,000

ప్రయత్నించండి

1. వేగము, కాలము ఉపయోగించి దూరము లెక్కించు నప్పుడు, అసలు, రేటు కాలము ఇచ్చినప్పుడు సామాన్య వడ్డీ లెక్కించుటకు బీజీయ సమాసములు వ్రాయుము. బీజీయ సమాసములు ఉపయోగించి విలువలు కనుగొను మరొక రెండు సందర్భములు తెలపండి. (పేజీ నెం. 251)
సాధన.
d = s × t (లేదా) దూరం = వేగం × కాలం
I = \(\frac {PTR}{100}\) (లేదా)
సామాన్య వడ్డీ = \(\frac {అసలు × వడ్డీ రేటు × కాలం}{100}\)
బీజీయ సమాసాలనుపయోగించే రెండు సందర్భాలు :
(i) త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac {1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac {1}{2}\)bh
(ii) దీర్ఘ చతురస్ర చుట్టుకొలత = 2(పొడవు + వెడల్పు)
= 2(l+ b)

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి

1. షీలా 2pq, 4pq ల మొత్తం 8p² q² అని చెప్పింది. సమాధానం సరైందా ? మీ వివరణ ఇవ్వండి. (పేజీ నెం. 249)
సాధన.
2pq, qpq ల మొత్తము = 2pq + 4pg = 6pq.
కానీ షీలా సమాధానం ప్రకారం పై రెండింటి మొత్తం 8p²q²
∴ 8p²q² ≠ 6pq
∴ ఆమె (షీలా) సమాధానం సరియైనది కాదు.

2. రెహమాన్ 4x ను 7yలకు కలిపితే 11xy వస్తుందన్నాడు. మీరు ఏకీభవిస్తారా ? (పేజీ నెం. 249)
సాధన.
4x, 7y ల మొత్తం ≠ 4x + 7y
రెహమాన్ ప్రకారం పై రెండు పదాల మొత్తం = 11xy
∴ 11xy ≠ 4x + 7y
∴ నేను రెహమాన్ సమాధానంతో ఏకీభవించను.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 7 పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు Ex 7.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 7th Lesson పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు Exercise 7.3

ప్రశ్న1.
45 మంది విద్యార్థుల యొక్క ప్రజ్ఞా సూచిక (IQ) స్థాయిలు ఇవ్వబడినవి. క్రింది వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనమునకు సోపాన రేఖా చిత్రము నిర్మించండి.

సాధన.

నిర్మాణక్రమం :
1. రెండు వరుస తరగతుల మధ్య విలువల భేదం లెక్కించవలెను. h = 75 – 65 = 10
∴ తరగతి అంతరం = 10 గా తీసుకోవలెను.
2. సరియైన సూచికను ఎన్నుకోవలెను.
X అక్షంపై 1 సెం.మీ. = 10 యూ. (తరగతి అంతరం)
Y అక్షంపై 1 సెం.మీ. = 1 విద్యా ర్థి
3. తరగతి అంతరాలను వెడల్పులుగా, పౌనఃపున్యాలను పొడవులుగా తీసుకొని సోపానాలను నిర్మించితిని.

ప్రశ్న2.
7వ తరగతి వార్షిక పరీక్షలలో 600 మంది విద్యార్థులు సాధించిన మార్కులు క్రింది పౌనఃపున్య విభాజనములో ఇవ్వబడ్డాయి. సోపాన రేఖా చిత్రమును నిర్మించండి.

సాధన.
ఇవ్వబడిన తరగతి మార్కు (మధ్య విలువ) ల నుండి తరగతులను తయారు చేసుకొనవలెను.
సోపానం 1 : రెండు వరుస తరగతుల మధ్య విలువల మధ్య భేదం లెక్కించవలెను. h = 400 – 360 = 40
(ప్రతి రెండు వరుస తరగతుల మధ్య భేదము సమానమేనా ?)

సోపానం 2 : తరగతుల యొక్క దిగువ, ఎగువ హద్దులను తరగతి మధ్యవిలువ Xగా తీసుకొని x – \(\frac{\mathrm{h}}{2}\) నుండి x + \(\frac{\mathrm{h}}{2}\) లోపు నిర్ణయించవలెను.
x – \(\frac{\mathrm{h}}{2}\) = 360 – \(\frac {40}{2}\) = 340
x + \(\frac{\mathrm{h}}{2}\) = 360 + \(\frac {40}{2}\) = 380

సోపానం 3 : సరియైన సూచికను ఎన్నుకొనవలెను.
X – అక్షము 1 సెం.మీ. = 1 తరగతి అంతరం
Y – అక్షము 1 సెం.మీ. = 20 మంది విద్యార్థులు

సోపానం 4 : తరగతి అంతరాలను వెడల్పులుగా, పౌనఃపున్యాలను పొడవులుగా వరుస సోపానములు నిర్మించవలెను.

స్కేలు : Y – అక్షంపై విద్యార్థుల సంఖ్య = 20, X – అక్షంపై విద్యార్థుల మార్కులు

ప్రశ్న3.
క్రింది వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము నందు 250 మంది శ్రామికులు ఒక వారపు వేతనాలు ఇవ్వబడ్డాయి. ఈ దత్తాంశమునకు సోపాన రేఖాచిత్రము, పౌనఃపున్య బహుభుజిలను ఒకే గ్రాఫు నందు నిర్మించండి.

సాధన.

సోపాన నిర్మాణం :
1. రెండు వరుస మధ్య విలువల భేదం తరగతి అంతరాన్ని ఇస్తుంది. h = 575 – 525 = 50
2. X – అక్షంపై శ్రామికుల వారాంతపు వేతనం = 1 సెం.మీ. = 50 రూ.
Y – అక్షంపై శ్రామికుల సంఖ్య 1 సెం.మీ. = 10 మంది
3. X – అక్షం పై తరగతి వెడల్పులు, Y – అక్షంపై పౌనఃపున్యాలను తీసుకొని సోపాన చిత్రం గీచితిని.
4. సోపానములపై వెడల్పు యొక్క మధ్య బిందువులు A, B, C, D, E, F, G, H గా గుర్తించితిని.
5. సోపాన చిత్ర వైశాల్యం, బహుభుజి వైశాల్యానికి సమానం అని తెలుస్తుంది.

ప్రశ్న4.
ఒక మండలములోని 60 మంది ప్రాథమిక పాఠశాల ఉపాధ్యాయుల వయస్సులు ఇవ్వబడ్డాయి. ఈ దత్తాంశమునకు పౌనఃపున్య బహుభుజి, పౌనఃపున్య వక్రములను వేరువేరు గ్రాఫులపై నిర్మించండి.

సాధన.
పౌనఃపున్య బహుభుజిని నిర్మించుట :
సోపానక్రమం :
1. రెండు వరుస మధ్య విలువల మధ్య భేదం = తరగతి అంతరం = 30 – 26 = 4
2. X – అక్షంపై ఉపాధ్యాయుల వయస్సు.
Y – అక్షంపై ఉపాధ్యాయుల సంఖ్య తీసుకొని గ్రాఫ్ నిర్మించితిని.
3. స్కేల్ : X – అక్షంపై 1 సెం.మీ. = 4 యూనిట్లు
Y – అక్షంపై 1 సెం.మీ. = 2 యూనిట్లుగా తీసుకొని పౌనఃపున్య బహుభుజిని నిర్మించితిని.
4. X – అక్షంపై తరగతి వెడల్పులు, Y – అక్షంపై పౌనఃపున్యాలు తీసుకొని నిర్మించిన బిందువులను స్కేలుతో కలుపగా పౌనఃపున్య బహుభుజి, అదే విధంగా చేతితో కలుపగా పౌనఃపున్య వక్రం ఏర్పడినది.

పౌనఃపున్య బహుభుజి :

పౌనఃపున్యం వక్రం :

ప్రశ్న5.
క్రింది దత్తాంశమునకు తరగతులు, పౌనఃపున్యములు వ్రాయండి. ఆ దత్తాంశమునకు జివ్ వక్రములను రెండింటిని గీయండి.

సాధన.
1. ఇచ్చిన తరగతులు సంలీన తరగతులైతే, మినహాయింపు తరగతులుగా మార్చవలెను.
2. ఆరోహణ, అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలను గణించవలెను.
3. X – అక్షంపై ఎగువ హద్దులు, Y – అక్షంపై ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలచే ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రం నిర్మించవచ్చు.
4. X – అక్షంపై దిగువ హద్దులు, Y – అక్షంపై అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలచే అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రంను నిర్మించవచ్చు.
5. ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రం / అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రం కొరకు స్కేలును తీసుకొనవలెను.
X – అక్షంపై 1 సెం.మీ. = 1 తరగతి అంతరం
Y – అక్షంపై 1 సెం.మీ. = 10 (విద్యార్థుల సంఖ్య)
6. మొదటి తరగతి దిగువ హద్దు, పౌనఃపున్యంతో బిందువును గుర్తించవలెను.
7. అన్ని బిందువులను వరుసగా సున్నిత వక్రములచే కలుపవలెను. ఈ వక్రమును “ఓజివ్ వక్రం” అంటారు.
ఇదే విధంగా అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రాన్ని (ఓజివ్ వక్రం) గీయవచ్చును.

ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రం

అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రం

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 7 పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు Ex 7.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 7th Lesson పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు Exercise 7.2

ప్రశ్న1.
ఒక కాలనీలోని 45 మంది యొక్క వయస్సులు క్రింది విధంగా ఉన్నవి.

6 తరగతులు ఉండునట్లుగా వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము తయారు చేయండి.
సాధన.
తరగతుల సంఖ్య = 6
వ్యాప్తి = గరిష్ఠ విలువ – కనిష్ఠ విలువ = 63 – 5 = 58

ప్రశ్న2.
ఒక పాఠశాలలోని 30 తరగతులలో విద్యార్థుల సంఖ్యలు ఇవ్వబడ్డాయి. తరగతి పొడవు 4 (విద్యార్థులు) ఉండునట్లుగా ఈ దత్తాంశమునకు వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనమును తయారు చేయండి.

సాధన.
తరగతి అంతరం = 4
వ్యాప్తి = గరిష్ఠ విలువ – కనిష్ఠ విలువ = 40 – 15 = 25

ప్రశ్న3.
ఒక వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము నందు ఇవ్వబడిన తరగతులు 4 – 11, 12 – 19, 20 – 27, 28 – 35, 36 – 43 అయిన (i) తరువాత రెండు తరగతులను వ్రాయండి. (ii) తరగతి హద్దులు వ్రాయండి.
సాధన.
ఇవ్వబడిన తరగతులు : 4 – 11, 12 – 19, 20 – 27, 28 – 35, 36 – 43
i) తరువాతి తరగతులు : 44 – 51, 52 – 59
ii) తరగతి హద్దులు :

ప్రశ్న4.
క్రింది వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము నందు తరగతి మార్కులు (మధ్య విలువలు) ఇవ్వబడ్డాయి.

i) దత్తాంశమునకు మినహాయింపు తరగతులను నిర్మించండి.
ii) ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యములను వ్రాయండి.
iii) అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యములను వ్రాయండి.
సాధన.

మొదటి తరగతి దిగువ హద్దు కనుగొనుట :
వరుస తరగతి మార్కుల మధ్య భేదం = h = 22 – 10 = 12
ఒక్కొక్క తరగతి మార్కు ‘x’ అయిన ఆ తరగతి హద్దులు x – \(\frac{\mathrm{h}}{2}\), x + \(\frac{\mathrm{h}}{2}\) లు అగును.
మొదటి తరగతి దిగువ హద్దు = x – \(\frac{\mathrm{h}}{2}\) = 10 – \(\frac {12}{2}\) = 10 – 6 = 4
ఎగువ హద్దు = 10 + \(\frac {12}{2}\) = 10 + 6 = 16
ఈ విధంగా మిగిలిన తరగతులు కనుగొనవలెను.

ప్రశ్న5.
35 మంది విద్యార్థులకు సాంఖ్యక శాస్త్ర పరీక్షలో 50 మార్కులకు గాను సాధించిన మార్కులు క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి.

దత్తాంశమునకు వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనమును తయారు చేయండి. విభాజన చేయు తరగతులలో ఒకటి 10 – 20 ఉండవలెను. (20 ఆ తరగతికి చెందకూడదు)
సాధన.
వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనం

తరగతి అంతరం = 10 (10 – 20 నుండి)
వ్యాప్తి = గరిష్ఠ విలువ – కనిష్ఠ విలువ = 48 – 1 = 47

ప్రశ్న6.
క్రింది వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనమునకు తరగతి హద్దులు వ్రాయండి. ఆరోహణ మరియు అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యములు కనుగొనండి.

సాధన.

ప్రశ్న7.
క్రింది విభాజన పట్టికలో సంచిత పౌనఃపున్యములు ఇవ్వబడ్డాయి. ఎటువంటి సంచిత పౌనఃపున్యమో గుర్తించండి. పౌనఃపున్యములు వ్రాయండి.

సాధన.
ఇచ్చిన విభజన పట్టికలో పై నుండి క్రిందకు పౌనఃపున్యాలు పెరుగుతున్నాయి కావునా ఇది ఒక ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక.

∴ కావలసిన ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య పట్టిక.

ప్రశ్న8.
క్రింది వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము నందు అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యములు ఇవ్వబడ్డాయి. అయితే అన్ని తరగతులకు పౌనఃపున్యములు ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యములు వ్రాయండి.

సాధన.

∴ కావలసిన వర్గీకృత పౌనఃపున్య పట్టిక :

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 7 పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు Ex 7.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 7th Lesson పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు Exercise 7.1

ప్రశ్న1.
ఒక దుకాణంలో వారంలో జరిగిన అమ్మకాలు రోజు వారీగా ఇవ్వబడ్డాయి. వాటి అంకగణిత మధ్యమము కనుగొనండి.
₹ 10000, ₹ 10250, ₹ 10790, ₹ 9865, ₹ 15350, ₹ 10110
సాధన.

ప్రశ్న2.
10.25, 9, 4.75, 8, 2.65, 12, 2.35 రాశుల అంకగణిత మధ్యమమెంత ?
సాధన.

ప్రశ్న3.
8 రాశుల అంకగణిత మధ్యమము 25. వాని నుండి 11 అను రాశిని తొలగించగా మిగిలిన రాశుల అంకగణిత మధ్యమమును కనుగొనండి.
సాధన.
8 రాశుల అంకమధ్యమం = 25
⇒ 8 రాశుల మొత్తం = 25 × 8 = 200
11 అను రాశిని తొలగించగా వచ్చు రాశుల మొత్తం = 200 – 11 = 189
∴ మిగిలిన 7 రాశుల అంకమధ్యమం = \(\frac {189}{7}\) = 27

ప్రశ్న4.
9 రాశుల అంకగణిత మధ్యమము 38 గా లెక్కించబడినది. కానీ అట్లు లెక్కించుటలో 72ను 27గా పొరపాటుగా తీసుకున్నారు. అయిన సరియైన అంక గణిత మధ్యమమును లెక్కించండి.
సాధన.
9 రాశుల అంకమధ్యమం = 38
9 రాశుల మొత్తం = 38 × 9 = 342
72 ను 27 గా తీసుకొనిన సరియైన అంశం 72 – 27 = 45
∴ సరియైన రాశుల మొత్తం = 342 + 45 = 387
∴ సరియైన సగటు = \(\frac {387}{9}\) = 43

ప్రశ్న5.
ఐదు సంవత్సరముల క్రిందట ఒక కుటుంబ సభ్యుల సరాసరి వయస్సు 25 సం॥లు. ప్రస్తుతము ఆ కుటుంబ సభ్యుల సరాసరి వయస్సు ఎంత ? (సభ్యుల సంఖ్యలో మార్పులేదు)
సాధన.
దత్తాంశంలోని అన్ని రాశులకు ఒక సంఖ్యను కూడినా లేక అన్ని రాశుల నుండి ఒక సంఖ్యను తీసివేసినా ఆ దత్తాంశం యొక్క అంకగణిత మధ్యమం కూడా అదే విధంగా మార్పు చెందుతుంది.
5 సం॥ల క్రిందట కుటుంబ సభ్యుల సరాసరి వయస్సు = 25 సం॥లు
ప్రస్తుతం ఆ కుటుంబ సభ్యుల సరాసరి వయస్సు = 25 + 5 = 30 సం॥

ప్రశ్న6.
రెండు సం॥ల క్రిందట ఒక సమూహములోని 40 మంది వయస్సుల సగటు వయస్సు 11 సం॥లు. ప్రస్తుతము ఆ సమూహము నుండి ఒక వ్యక్తి బయటకు వెళ్ళిపోగా మిగిలిన సభ్యుల సగటు వయస్సు 12 సం॥లు. అయిన వెళ్ళిపోయిన వ్యక్తి వయస్సు ఎంత ?
సాధన.
ఒక సమూహంలోని 40 మంది వయస్సుల ప్రస్తుత సగటు వయస్సు = (11 + 2) సం॥లు
∴ 40 మంది వయస్సుల మొత్తం = 40 × (11 + 2)
= 40 × 13 = 520 సం॥లు
40 మంది నుండి 1 వ్యక్తి బయటకు వెళ్ళగా మిగిలిన సభ్యుల సంఖ్య = 40 – 1 = 39
39 మంది సగటు వయస్సు = 12 సం॥లు
39 మంది వ్యక్తుల వయస్సుల మొత్తం = 12 × 39 = 468
∴ బయటకు వెళ్ళిన వ్యక్తి వయస్సు = 520 – 468 = 52 సం॥లు

ప్రశ్న7.
ఒక దత్తాంశములోని 5, 8, 10, 15, 22 అను రాశుల యొక్క అంకగణిత మధ్యమము నుండి వాని విచలనాల మొత్తమును కనుగొనండి.
సాధన.

ప్రశ్న8.
20 రాశుల సరాసరి నుండి వాని విచలనాల మొత్తము 100 అయిన, విచలనముల సరాసరి ఎంత ?
సాధన.

ప్రశ్న9.
ఒక యూనిట్ పరీక్షలో 12 మంది విద్యార్థులు సాధించిన మార్కులు 4, 21, 13, 17, 5, 9, 10, 20, 19, 12, 20, 14 అయిన ఒక విలువను ఊహించిన అంకగణిత మధ్యమంగా తీసుకొని దత్తాంశమునకు అంకగణిత మధ్యమమును కనుగొనండి. మరియొక సంఖ్యను ఊహించిన అంకగణిత మధ్యమంగా తీసుకొని మరలా సరాసరిని కనుగొనండి. రెండుసార్లు సమాన ఫలితాలు వచ్చినవా ? మీ అభిప్రాయం ఏమిటి ?
సాధన.
ఇచ్చిన రాశులు 4, 21, 13, 17, 5, 9, 10, 20, 19, 12, 20, 14
నేను ఊహించిన అంకమధ్యమం 10 అనుకొనిన,
అంకగణిత మధ్యమం = ఊహించిన అంకగణిత మధ్యమం + విచలనాల సరాసరి

\(\overline{\mathrm{x}}\) = అంకమధ్యమం = 13.67
మరొక ఊహించిన అంకమధ్యమం 12 అయిన
\(\overline{\mathrm{x}}\) అంకమధ్యమం = ఊహించిన అంకగణిత సగటు + విచలనాల సరాసరి

\(\overline{\mathrm{x}}\) = 13.67
∴ అన్ని సందర్భాలలో \(\overline{\mathrm{x}}\) = 13.67 అగును.

ప్రశ్న10.
ఒక తరగతిలో 10 మంది విద్యార్థుల మార్కుల సరాసరి 15 (25 మార్కులకు). వారిలో కరిష్మా అనే విద్యార్థి మిగిలిన 9 మంది విద్యార్థులను అడిగి తన కన్నా ఎన్ని మార్కులు ఎక్కువ లేక తక్కువ అనే వివరాలను సేకరించింది. ఆ విచలనాలు – 8, – 6, – 3, – 1, 0, 2, 3, 4, 6. అయిన ఆమెకు వచ్చిన మార్కులెన్ని?
సాధన.
10 మంది విద్యార్థుల సరాసరి = 15 (25 మార్కులకు)
మొత్తం మార్కులు = 10 × 15 = 150,
కరిష్మా మార్కులు = x
9మంది మార్కుల విచలనాలు
= -8, -6, -3, -1, 0, 2, 3, 4, 6
∴ x – 8 + x – 6 + x – 3 + x – 1 + x + 0 + x + 2 + x + 3 + x + 4 + x + 6 + x = 150
10x – 18 + 15 = 150
∴ 10x – 3 = 150
10x = 150 + 3 = 153
x = \(\frac {153}{10}\) = 15.3 మార్కులు
(లేదా)
ఇచ్చిన విచలనాలు = -8, -6, -3, -1, 0, 2, 3, 4, 6
కరిష్మా మార్కులు = x అనుకొనిన
మొత్తం మార్కులు = 10 × 15 = 150
∴ పరిశీలనాంశాలు – -8+ x, – 6 + x, -3 + x, -1 + x, 0 + x, 2 + x, 3 + x, 4 + x, 6 + x అగును.

⇒ \(\frac{10 x-18+15}{10}\) = 15 (సగటు = 15 ఇవ్వబడినది)
⇒ 10x – 3 = 150
⇒ 10x = 150 + 3
⇒ 10x = 153
⇒ x = \(\frac {153}{10}\)
x = 15.3 మార్కులు
∴ కరిష్మా పొందిన మార్కులు = 15.3

ప్రశ్న11.
25 అను విలువ నుండి ఒక దత్తాంశములోని n రాశుల విచలనముల మొత్తము 25 మరియు 35 అను విలువ నుండి అవే రాశుల విచలనాల మొత్తం – 25 అయిన ఆ దత్తాంశము యొక్క అంకగణిత సగటు ఎంత ?
సాధన.
25 అను విలువ నుండి ఒక దత్తాంశములోని x రాశుల విచలనముల మొత్తం = Σx₁ = 25
∴ ఈ రాశుల సరాసరి = 25 + \(\frac{\Sigma x_{1}}{n}\) = 25 + \(\frac{25}{n}\)
= \(\frac{25 n+25}{n}\)
35 అను విలువ నుండి అదే రాశుల విచలనాల మొత్తం = Σx₁ = – 25
∴ ఈ రాశుల సరాసరి = 35 + \(\frac{\Sigma x_{1}}{n}\) = 35 + \(\frac{(-25)}{n}\)
= \(\frac{35 n-25}{n}\)
∴ ఆ దత్తాంశము యొక్క సగటు

(లేదా)
25 నుండి తీసుకొనబడిన విచలనాలు
= x₁, x₂, x₃, …….. x_n అనుకొనుము.
∴ కావలసిన పరిశీలనాంశాలు
= x₁ – 25, x₂ – 25, ……….. + x_n – 25 అగును.
∴ పరిశీలనాంశాల మొత్తం = Σn
⇒ x₁ – 25 + x₂ – 25 + ……….. + x_n – 25 = 25
⇒ (x₁ + x₂ + …… + x_n) – (25n) = 25
⇒ x₁ + x₂ + ……. + x_n = 25 + 25n
= 25 (1 + n) —— (1)
35 నుండి తీసుకొనబడిన విచలనాలు = x₁, x₂, x₃, ……… x_n అనుకొనుము.
∴ కావలసిన పరిశీలనాంశాలు
⇒ x₁ – 35, x₂ – 35, ……… x_n – 35 అగును.
పరిశీలనాంశాల మొత్తం = – 25
∴ (x₁ – 35) + (x₂ – 35) + ……. + (x_n – 35) = – 25
⇒ (x₁ + x₂ + x₃ + …… + x_n) – 35n = – 25
⇒ x₁ + x₂ + x₃ + …… + x_n = – 25 + 35n —— (2)
(1), (2) ల నుండి
25 + 25n = – 25 + 35n
⇒ 10n = 50 ⇒ n = 5
∴ మొత్తం పరిశీలనాంశాల సగటు

ప్రశ్న12.
3.3, 3.5, 3.1, 3.7, 3.2, 3.8 రాశుల యొక్క మధ్యగతము ఎంత ?
సాధన.
3. 3, 3. 5, 3. 1, 3.7, 3.2, 3.8 ల ఆరోహణ క్రమం
= 3.1, 3.2, 3.3, 3.5, 3.7, 3.8
n = 6 (సరిసంఖ్య)
కావున మధ్యగతం = \(\frac{n}{2},\left(\frac{n}{2}+1\right)\) ల సరాసరి
= \(\frac{6}{2},\left(\frac{6}{2}+1\right)\)
= 3, 4 రాశుల సరాసరి
= \(\frac{3.3+3.5}{2}\)
= \(\frac {6.8}{2}\)
= 3.4

ప్రశ్న13.
ఆరోహణ క్రమములోనున్న రాశులు .10, -12, 14, x – 3, x, x + 2, 25 ల మధ్యగతము 15 అయిన x విలువ ఎంత ?
సాధన.
ఇచ్చిన రాశులు 10, 12, 14, x – 3, x, x + 2, 25
⇒ n = 7 (బేసి సంఖ్య)
∴ మధ్యగతం = \(\frac{\mathrm{n}+1}{2}=\frac{7+1}{2}\) = 4వ పదం
= x – 3
⇒ x – 3 = 15
x = 15 + 3
∴ x = 18

ప్రశ్న14.
10, 12, 11, 10, 15, 20, 19, 21, 11, 9, 10 రాశుల యొక్క బాహుళకము ఎంత ?
సాధన.
ఇచ్చిన రాశులు : 10, 12, 11, 10, 15, 20, 19, 21, 11, 9, 10
పై రాశులలో అత్యధికంగా పునరావృతమయ్యే సంఖ్య 10.
∴ బాహుళకం = 10

ప్రశ్న15.
కొన్ని రాశుల బాహుళకము x, దత్తాంశములోని అన్ని రాశుల నుండి 3 తీసివేయగా, కొత్త దత్తాంశమునకు బాహుళకము ఎంత ?
సాధన.
కొన్ని రాశుల బాహుళకం = x
దత్తాంశంలోని అన్ని రాశుల నుండి 3 తీసివేసిన వచ్చు బాహుళకం = x – 3

ప్రశ్న16.
1 నుండి 100 వరకు సహజ సంఖ్యలను వ్రాయుటలో ఉపయోగించు అంకెలన్నింటి యొక్క బాహుళకము ఎంత ?
సాధన.
1 నుండి 100 వరకు గల అంకెలు
1, 2, 3, …….. 99, 100 వరకు గల సహజ సంఖ్యల బాహుళకం = 0
ఒక్కొక్క సంఖ్య యొక్క బాహుళకం = 1
(∵ ఒక్కొక్క సంఖ్య ఒకసారి మాత్రమే వస్తుంది)

ప్రశ్న17.
ఒక దత్తాంశములోని రాశులు 5, 28, 15, 10, 15, 8, 24. నాలుగు రాశులను కలుపగా దత్తాంశము యొక్క సరాసరి, మధ్యగతములో మార్పులేదు కానీ బాహుళకము 1 పెరిగినది. అయిన కలిపిన 4 సంఖ్యలేవి ?
సాధన.
ఇచ్చిన రాశులు 5, 28, 15, 10, 15, 8, 24

మధ్యగతం = 5, 8, 10, 15, 15, 24, 28 (n = 7)
= \(\frac{\mathrm{n}+1}{2}=\frac{7+1}{2}\) = 4 వ రాశి = 15
బాహుళకం = 15
దత్తాంశానికి కలుపవలసిన 4 రాశులు x₁, x₂, x₃, x₄ అనుకొనుము.
బాహుళకం ‘1’ పెరిగినది. అనగా 3 సంఖ్యలు సమానాలు అని అర్థం.
∴ x₁ = x₂ = x₃ = x అనుకొనుము.
∴ 5, 8, 10, 15, 15, 24, 28, x, x, x, x₄ యొక్క సగటు
⇒ \(\frac{x+x+x+x_{4}+105}{11}\) = 15
⇒ 3x + x₄ = 165 – 105 = 60
3x + x₄ = 60 ——— (1)
5, 8, 10, 15, 15, 24, 28, x, x, x, x₄ యొక్క బాహుళకం = x అగును.
కానీ లెక్క ప్రకారం 4 సంఖ్యలను కొత్తగా కలుపగా ఏర్పడు బాహుళకం ‘1’ పెరిగినచో
∴ x = 15 + 1 = 16 అగును.
∴ x = 16 ——- (2)
(1), (2) ల నుండి
∴ 3x + x₄ = 60 ⇒ x₄ = 60 – 48
∴ x₄ = 12
∴ కావలసిన సంఖ్యలు వరుసగా x, x, x, x₄ = 16, 16, 16, 12 అగును.

ప్రశ్న18.
x₁, x₂, ……., ……. x₁₀ రాశుల సరాసరి 20 అయిన x₁ + 4, x₂ + 8, x₃ + 12, ….., X₁₀ + 40 రాశుల సరాసరి కనుగొనుము.
సాధన.
x₁, x₂, ………… x₁₀ రాశుల సరాసరి
\(\frac{\Sigma \mathrm{x}_{10}}{\mathrm{~N}}\) = 20 ……. (1)
x₁ + 4, x₂ + 8, x₃ + 12, …… x₁₀ + 40 ల సరాసరి
= \(\frac{x_{1}+4+x_{2}+8+\ldots \ldots . x_{10}+40}{N}\)

ప్రశ్న19.
9 పూర్ణసంఖ్యల జాబితాలో 6 పూర్ణసంఖ్యలు 7, 8, 3, 5, 9 మరియు 5 లు అయిన ఆ 9 పూర్ణసంఖ్యలకు గల గరిష్ఠ మధ్యగతము కనుగొనండి.
సాధన.
9 పూర్ణసంఖ్యలలో ఇచ్చిన 6 పూర్ణసంఖ్యలు
7, 8, 3, 5, 9, 5
వీటి ఆరోహణ క్రమం
⇒ 3, 5, 5, 7, 8, 9
మిగిలిన 3 పూర్ణసంఖ్యలు x₁, x₂, x₃ లు అనుకొనుము.
∴ 3, 5, 5, 7, 8, 9, x₁, x₂, x₃ ల మధ్యగతం
= \(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\) (n = 9 ఒక బేసి సంఖ్య)
\(\frac{9+1}{2}\) = 5 వ రాశి = 8
∴ ఇచ్చిన రాశుల గరిష్ఠ మధ్యగతం = 8

ప్రశ్న20.
9 వేర్వేరు రాశుల మధ్యగతము 20. అందుగల నాలుగు మిక్కిలి పెద్ద సంఖ్యలకు ప్రతి రాశికి 2 కలపగా వచ్చు కొత్త రాశుల మధ్యగతము కనుగొనండి.
సాధన.
9 రాశులు x₁ < x₂ < x₃ < x₄ < x₅ < x₆ < x₇ < x₈ < x₉ అనుకొనుము.
వీటి మధ్యగతం = \(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\) [n = 9 ఒక బేసి సంఖ్య ]
\(\frac{9+1}{2}\) = 5 వ రాశి = x₅ = 20
∴ x₅ = 20
చివరి 4 పెద్ద రాశులకు ప్రతి సంఖ్యకు 2ను కలుపగా వచ్చు రాశులు x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆ + 2, x₇ + 2, x₈ + 2, x₉ + 2 ∴ మధ్యగతం = \(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\) (n ఒక బేసి సంఖ్య)
= \(\frac{9+1}{2}\) = 5వ రాశి
∴ x₅ = 20

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 బీజీయ సమాసాలు Ex 11.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 11th Lesson బీజీయ సమాసాలు Exercise 11.5

1. (a + b)² = a² + 2ab + b² ను జ్యామితీయంగా a, bల క్రింది విలువలకు సరిచూదండి.

ప్రశ్న (i)
a= 2 యూనిట్లు, b = 4 యూనిట్లు
సాధన.
(a + b)² ≡ a² + 2ab + b²
⇒ (2 + 4)² ≡ 2² + 2 × 2 × 4 + (4)²
⇒ (6)² ≡ 4 + 16 + 16
⇒ 36 ≡ 36
∴ LHS ≡ RHS

ప్రశ్న (ii)
a = 3 యూనిట్లు, b = 1 యూనిట్
సాధన.
(a + b)² ≡ a² + 2ab + b²
⇒ (3 + 1)² ≡ (3)² + 2 × 3 × 1 + (1)²
⇒ 4² ≡ 9 + 6 + 1
⇒ 16 ≡ 16
∴ LHS ≡ RHS

ప్రశ్న (iii)
a = 5 యూనిట్లు, b= 2 యూనిట్లు
సాధన.
(a + b)² ≡ a² + 2ab + b²
⇒ (5 + 2)² ≡ (5)² + 2 × 5 × 2 + (2)²
⇒ 7² ≡ 25 + 20 + 4
⇒ 49 ≡ 49
∴ LHS ≡ RHS

2. (a – b)² = a² – 2ab + b² ను జ్యా మితీయంగా a, bల క్రింది విలువలకు సరిచూడండి.

ప్రశ్న (i)
a = 3 యూనిట్లు, b = 1 యూనిట్
సాధన.
(a – b)² ≡ a² – 2ab + b²
⇒ (3 – 1)² ≡ (3)² – 2 × 3 × 1 + (1)²
⇒ (2)² ≡ 9 – 6 + 1 = 10 – 6
⇒ 4 ≡ 4
∴ LHS ≡ RHS

ప్రశ్న (ii)
a = 5 యూనిట్లు, b = 2 యూనిట్లు
సాధన.
(a – b)² ≡ a² – 2ab + b²
⇒ (5 – 2)² ≡ (5)² – 2 × 5 × 2 + (2)²
⇒ (3)² ≡ 25 – 20 + 4 = 29 – 20
⇒ 9 ≡ 9
∴ LHS ≡ RHS

3. (a + b) (a – b) ≡ a² – b²ను జ్యా మితీయంగా a, bల క్రింది విలువలకు సరిచూడండి.

ప్రశ్న (i)
a = 3 యూనిట్లు, b = 2 యూనిట్లు
సాధన.
⇒ (a + b) (a – b) ≡ a² – b²
⇒ (3 + 2) (3 – 2) ≡ 3² – 2²
⇒ 5 × 1 ≡ 9 – 4
⇒ 5 ≡ 5
∴ LHS = RHS

ప్రశ్న (ii)
a = 2 యూనిట్లు, b =1 యూనిట్
సాధన.
⇒ (a + b) (a – b) ≡ a² – b²
⇒ (2 + 1) (2 – 1) ≡ (2)² – (1)²
⇒ 3 × 1 ≡ 4 – 1
⇒ 3 ≡ 3
∴ LHS ≡ RHS

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 బీజీయ సమాసాలు Ex 11.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 11th Lesson బీజీయ సమాసాలు Exercise 11.4

1. కింది సమస్యలకు తగిన “సర్వసమీకరణాలను” (Identities) సూచించింది. లబ్ధము కనుగొనండి.

ప్రశ్న (i)
(3k + 4l) (3k +4l)
సాధన.
= (3k + 4l)² ఇది (a + b)² రూపంలో కలదు.
= (3k)² + 2 × 3k × 4l + (4l)² [∵ (a + b)² = a² + 2ab + b²]
= 3k × 3k + 24kl + 4l × 4l
= 9k² + 24kl + 16l²

ప్రశ్న (ii)
(ax² + by²) (ax² + by²)
సాధన.
= (ax² + by²)² ఇది (a + b)² రూపంలో కలదు.
= (ax²)² + 2 × ax² × by² + (by²)² [∵ (a + b)² = a² + b² + 2ab]
= ax² × ax² + 2abx²y² + by² × by²
= a²x⁴ + 2abx²y² + b²y⁴

ప్రశ్న (iii)
(7d – 9e) (7d – 9e)
సాధన.
= (7d – 9e)², ఇది (a – b)² రూపంలో కలదు.
= (7d)² – 2 × 7d × 9e + (9e)² [∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]
= 7d × 7d – 126de + 9e × 9e
= 49d² – 126de + 81e²

ప్రశ్న (iv)
(m² – n²) (m² + n²)
సాధన.
(m² – n²) (m² + n²) ఇది (a + b) (a – b) రూపంలో కలదు.
∴ (m² + n²) (m² – n²) = (m²)² – (n²)² = m⁴ – n⁴ [∵ (a + b)(a – b) = a² – b²

ప్రశ్న (v)
(3t + 9s) (3t – 9s)
సాధన.
(3t + 9s) (3t – 9s) = (3t)² – (9s)² [∵ (a + b)(a – b) = a² – b²

ప్రశ్న (vi)
(kl – mn) (kl + mn)
సాధన.
= kl × kl – mn × mm
= k²l² – m²n²

ప్రశ్న (vii)
(6x + 5) (6x + 6)
సాధన.
(6x + 5) (6x + 6)
ఇది (ax + b) (ax + c) రూపంలో కలదు.
(ax + b) (ax + c) = a²x² + ax (b + c) + bc
(6x + 5) (6x + 6) = (6)²x² + 6x (5 + 6) +5 × 6
= 36x² + 6x × 11 + 30
= 36x² + 66x + 30

ప్రశ్న (viii)
(2b – a) (2b + c)
సాధన.
ఇది (ax – b) (ax + c) రూపంలో కలదు.
(ax – b) (ax + c) = a²x² + ax (c – b) – cb
(2b – a) (2b + c) = (2)²b² + 2b (c – a) – ca
= 4b² + 2bc – 2ab – ca

2. కింది వాటికి తగిన సర్వసమీకరణాలను ఉపయోగించి విలువలను కనుగొనండి.

ప్రశ్న (i)
304²
సాధన.
= (300 + 4)², ఇది (a + b)² రూపంలో కలదు.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
a = 300, b = 4
(300 + 4)² = (300)² + 2 × 300 × 4 + (4)²
= 300 × 300 + 24000 + 4 × 4
= 90,000 + 2400 + 16 = 92,416

ప్రశ్న (ii)
509²
సాధన.
= (500 + 9)² a = 500, b = 9
= (500)² + 2 × 500 × 9 + (9)²
= 500 × 5000 + 9000 + 9 × 9
= 2,50,000 + 90000 + 81
= 2,59,081

ప్రశ్న (iii)
992²
సాధన.
= (1000 – 8)² a = 1000, b = 8
= (1000)² – 2 × 1000 × 8 + (8)²
= 10000 × 1000 – 16,000 + 8 × 8
= 10,00,000 – 16000 + 64
= 10,00,064 – 1600
= 9,98,464

ప్రశ్న (iv)
799²
సాధన.
= (800 – 1)² a = 800, b = 1
= (800)² – 2 × 800 × 1 + (1)²
= 800 × 800 – 1600 + 1
= 6,40,000 – 1600 + 1
= 6,40,001 – 1600
= 6,38,401

ప్రశ్న (v)
304 × 296
సాధన.
= (300 + 4) (300 – 4),
ఇది (a + b) (a – b) రూపంలో కలదు.
(a + b) (a – b) = a² – b²
(300 + 4) (300 – 4) = (300)² – (4)²
=300 × 300 – 4 × 4
= 90,000 – 16
= 89,984

ప్రశ్న (vi)
83 × 77
సాధన.
= (80 + 3) (80 – 3)
= (80)² – (3)² [∵ (a + b) (a – b) = a² – b²]
= 80 × 80 – 3 × 3
= 6400 – 9
= 6391

ప్రశ్న (vii)
109 × 108
సాధన.
= (100 + 9) (100 + 8)
= (100) + (9 + 8) 100 + 9 × 8
= 10,000 + 1700 + 72
= 11,772

ప్రశ్న (viii)
204 × 206
సాధన.
= (205 – 1) (205 + 1)
= (205)² – (1)²
= 205 × 205 – 1 x 1
= 42,025 – 1
= 42,024