Category: Class 8

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 సమతల పటముల వైశాల్యములు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 9th Lesson సమతల పటముల వైశాల్యములు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. ఈ క్రింది పటముల యొక్క వైశాల్యములను కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 200)

ప్రశ్న (i)

సాధన.
సమాంతర చతుర్భుజం భూమి, b = 7 సెం.మీ
సమాంతర భుజాల మధ్య దూరం, h = 4 సెం.మీ
సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యం, A = b × h
=7 × 4
= 28 చ.సెం.మీ

ప్రశ్న (ii)

సాధన.
త్రిభుజ భూమి, b = 7 సెం.మీ
త్రిభుజ ఎత్తు, h = 4 సెం.మీ
త్రిభుజ వైశాల్యం, A = [latex]\frac {1}{2}[/latex] × b × h
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × 7 × 4
= 14 చ.సెం.మీ

ప్రశ్న (iii)

సాధన.
త్రిభుజ భూమి, b = 5 సెం.మీ
త్రిభుజ ఎత్తు, h = 4 సెం.మీ
త్రిభుజ వైశాల్యం, A = [latex]\frac {1}{2}[/latex] × b × h
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × 5 × 4
= 10 చ.సెం.మీ

ప్రశ్న (iv)

సాధన.
రాంబస్ యొక్క మొదటి కర్ణం,
AC = d₁ = 4 + 4 – 8 సెం.మీ
రాంబస్ యొక్క రెండవ కర్ణం,
BD = d₂ = 3 + 3 = 6 సెం.మీ
రాంబస్ వైశాల్యం, A = [latex]\frac {1}{2}[/latex]d₁ d₂
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × 8 × 6
= 24 చ.సెం.మీ

ప్రశ్న (v)

సాధన.
దీర్ఘ చతురస్ర పొడవు, l = 20 సెం.మీ
దీర్ఘ చతురస్ర వెడల్పు, b = 14 సెం.మీ
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం, A = l × b
= 20 × 14
= 280 చ.సెం.మీ

ప్రశ్న (vi)

సాధన.
చతురస్ర భుజం, s = 5 సెం.మీ
చతురస్ర వైశాల్యం , A = s × s
= 5 × 5
= 25 చ.సెం.మీ

2. కొన్ని సమతల పటముల యొక్క కొలతలు ఈ క్రింది పట్టికలో ఇవ్వబడినవి. ఇచ్చిన సమాచారం అసంపూర్తిగా యున్నది. లోపించిన సమాచారమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 200)
సాధన.

3. ఈ క్రింది సమలంబ చతుర్భుజము యొక్క వైశాల్యములను కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 204)
పటము (i)

సాధన.
సమాంతర భుజాల పొడవులు, a = 9 సెం.మీ
b = 7 సెం.మీ
సమాంతర భుజాల మధ్య దూరం, h = 8 సెం.మీ
సమలంబ చతుర్భుజ వైశాల్యం,
A = [latex]\frac {1}{2}[/latex] h(a + b) = [latex]\frac {1}{2}[/latex] × 8 (9 + 7)
= 4(16) = 64 చ.సెం.మీ

పటము (ii)

సాధన.
సమాంతర భుజాల పొడవులు, a = 10 సెం.మీ
b = 5 సెం.మీ
సమాంతర భుజాల మధ్య దూరం, h = 6 సెం.మీ
సమలంబ చతుర్భుజ వైశాల్యం,
A = [latex]\frac {1}{2}[/latex]h(a + b)
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × 6(10 + 5)
= 3(15) = 45 చ.సెం.మీ

4. సమలంబ చతుర్భుజ వైశాల్యం 16 చ.సెం.మీ. సమాంతర భుజాలలో ఒక భుజం పొడవు 5 సెం.మీ. మరియు వాటి మధ్యదూరం 4 సెం.మీ. రెండవ సమాంతర భుజం యొక్క పొడవును కనుగొనుము. ఈ సమలంబ చతుర్భుజమును గ్రాఫు కాగితముపై గీసి దాని వైశాల్యంతో సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 204)
సాధన.

సమలంబ చతుర్భుజ వైశాల్యం , A = 16 చ.సెం.మీ సమాంతర భుజాలలో ఒక భుజం పొడవు a = 5 సెం.మీ సమాంతర భుజాల మధ్య దూరం, 5 = 4 సెం.మీ రెండవ సమాంతర భుజం పొడవు, b = x సెం.మీ అనుకొనుము
సమలంబ చతుర్భుజ వైశాల్యం,

8 = 5 + x
8 – 5 = x
3 = x
x = 3 సెం.మీ
∴ రెండవ సమాంతర భుజం పొడవు,
b = x = 3 సెం.మీ

పటం-1 నుండి

14 చతురస్రాల వైశాల్యం = 1 × 14 = 14 చ. సెం.మీ.
D + A = 1 చ. సెం.మీ. ; B + C = 1 చ.సెం.మీ.
∴ WXYZ సమలంబ చతుర్భుజ వైశాల్యం
= 14 + (D+ A) + (B + C)
= 14 + 1 + 1 = 16 చ.సెం.మీ.
(లేదా)
పటం-2 నుండి
12 చతురస్రాల వైశాల్యం = 1 × 12 = 12 చ.సెం.మీ.
D + A = 1 చ.సెం.మీ.; B + C = 1 చ.సెం.మీ.
S + P = 1 చ.సెం.మీ. ; Q + R = 1 చ.సెం.మీ.
∴ LMNO సమలంబ చతుర్భుజ వైశాల్యం
= 12 + 1 + 1 + 1 + 1 = 16 చ.సెం.మీ.

5. ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజం. దాని వైశాల్యం 100 చ.సెం.మీ. P అనేది పటంలో చూపినట్లు దాని అంతరంలో బిందువు అయిన ∆ APB + ∆ CPDల వైశాల్యం కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 204)

సాధన.
▢^gm ABCD వైశాల్యం = 100 చ.సెం.మీ.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజం, P అనేది దాని అంతరంలో ఏదైనా ఒక బిందువు అయిన
ar (∆APB) + ar (∆CPD) = ar (∆APD) + ar (∆BPC)
∴ ar (∆APB) + ar (∆CPD) = [latex]\frac {1}{2}[/latex]ar (▢^gm ABCD)
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × 100
= 50 చ.సెం.మీ

6. ఒక సర్వేయరు ఫీల్డుబుక్ లో నమోదు చేయబడిన ఈ దిగువ వివరాల సహాయంతో పొలం వైశాల్యం కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 213)

ప్రశ్న (i)

సాధన.

పై పటం నుంచి
(i) పొలం A, B, C, D, E శీర్షాలుగా గల పంచభుజి.
(ii) AD కర్ణంగా తీసుకోబడినది.
(iii) పొలం నాలుగు త్రిభుజాలుగా, ఒక సమలంబ చతుర్భుజంగా విభజింపబడినది.
PQ = AQ – AP
= 50 – 30 = 20
QD = AD – AQ
= 140 – 50 = 90
RD = AD – AR
= 140 – 80 = 60
∆ APB వైశాల్యం :
∆ APB వైశాల్యం = [latex]\frac {1}{2}[/latex] × b × h
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × PB × AP

∆ QCD వైశాల్యం :
∆ QCD వైశాల్యం = [latex]\frac {1}{2}[/latex] × b × h
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × QC × QD

= 2250 చ.యూ

∆ DER వైశాల్యం :
∆ DER వైశాల్యం = [latex]\frac {1}{2}[/latex] × b × h

= 25 × 60 = 1500 చ.యూ

∆ ERA వైశాల్యం :
∆ ERA వైశాల్యం = [latex]\frac {1}{2}[/latex] × b × h
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × ER × AR
= 25 × 80 = 2000 చ.యూ

∴ పొలం వైశాల్యం

= 450 + 800 + 2250 + 15000 + 2000
= 7000 చ.యూ

ప్రశ్న (ii)

సాధన.

పై పటం నుంచి
(i) పొలం A, B, C, D, E శీర్షాలుగా గల పంచభుజి.
(ii) AC కర్ణంగా తీసుకోబడినది.
(iii) పొలం నాలుగు త్రిభుజాలుగా, ఒక సమలంబ చతుర్భుజంగా విభజింపబడినది.
QC = AC – AQ
= 160 – 90
= 70
RC = AC – AR
= 160 – 130
= 30
PR = AR – AP
= 130 – 60
= 70

∆ AQB వైశాల్యం :
∆ AQB వైశాల్యం = [latex]\frac {1}{2}[/latex] × b × h
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × QB × AQ

= 2700 చ.యూ

∆ QBC వైశాల్యం :
∆ QBC వైజాల్యం = [latex]\frac {1}{2}[/latex] × b × h
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × QB × QC

= 2100 చ.యూ

∆ DRC వైశాల్యం :
∆ DRC వైశాల్యం = [latex]\frac {1}{2}[/latex] × b × h
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × DR × RC

∆ EPA వైశాల్యం :
∆ EPA వైశాల్యం = [latex]\frac {1}{2}[/latex] × b × h

= 1200 చ.యూ
∴ పొలం వైశాల్యం

= 2700 + 2100 + 450 + 2450 + 1200
= 8900 చ.యూ

ప్రయత్నించండి

1. ఈ క్రింది చతుర్భుజముల యొక్క వైశాల్యములను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 213)

ప్రశ్న (i)

సాధన.
చతుర్భుజ కర్ణం పొడవు, 4 = 6 సెం.మీ
కర్ణం పైకి గీయబడిన లంబాల పొడవులు,
h₁ = 3 సెం.మీ, h₂ = 5 సెం.మీ
చతుర్భుజ వైశాల్యం,

= 3(8) = 24 చ.సెం.మీ

ప్రశ్న (ii)

సాధన.
సమచతుర్భుజం యొక్క కర్ణాల పొడవులు,
d₁ = 7 సెం.మీ, d₂ = 6 సెం.మీ
∴ సమచతుర్భుజ (రాంబస్) వైశాల్యం

ప్రశ్న (iii)

సాధన.
∆ ACD వైశాల్యం :
త్రిభుజ భూమి, b = 8 సెం.మీ
త్రిభుజ ఎత్తు, h = 2 సెం.మీ
∴ ∆ ACD వైశాల్యం = [latex]\frac {1}{2}[/latex] × b × h
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × AC × DE
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × 8 × 2
= 8 చ.సెం.మీ
సమాంతర చతుర్భుజంను దాని కర్ణం రెండు సమాన వైశాల్యాలు గల త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది.
∴ ∆ ABC వైశాల్యం = ∆ ACD వైశాల్యం
∴ ∆ ABC వైశాల్యం = 8 చ. సెం.మీ
∴ ☐^gm ABCD వైశాల్యం
= ∆ ABC వైశాల్యం + ∆ ACD వైశాల్యం
= 8 + 8
= 16 చ.సెం.మీ

2.

ప్రశ్న (i)
ఈ క్రింద గీయబడిన బహుభుజిని భాగములుగా (త్రిభుజములు మరియు సమలంబ చతుర్భుజం)గా విభజించి వాటి యొక్క వైశాల్యములను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 214)

సాధన.
కర్ణం FI పై రెండు లంబములు GA, HBలను గీయుట ద్వారా పంచభుజి EFGHI ను నాలుగు భాగాలుగా విభజించవచ్చును.
పంచభుజి EFGHI వైశాల్యం

కర్ణం NQ గీయుట ద్వారా షడ్భుజి MNOPQR ను రెండు భాగాలుగా విభజించవచ్చును. షడ్భుజి MNOPOR వైశాల్యం

ప్రశ్న (ii)
ఈ క్రింద గీయబడిన బహుభుజి ABCDE భాగములుగా విభజింపబడింది. (పేజీ నెం. 215)

AD = 8 సెం.మీ, AH = 6 సెం.మీ, AF=3 సెం.మీ మరియు లంబము BF= 2 సెం.మీ, CH = 3 సెం.మీ, EG = 2.5 సెం.మీ అయిన వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన.
ABCDE బహుభుజి వైశాల్యం = ∆ AFB వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం FBCH వైశాల్యం + ∆ HCD వైశాల్యం + ∆ AED వైశాల్యం
∆ AFB వైశాల్యం = [latex]\frac {1}{2}[/latex] × AF × BF

కావున బహుభుజి ABCDE వైశాల్యం = ∆ AFB వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం FBCH వైశాల్యం + ∆ CHD వైశాల్యం + ∆ ADE వైశాల్యం
= 3 + 7.5 + 3 + 10
= 23.5 చ.సెం.మీ

ప్రశ్న (iii)
MNOPQR బహుభుజిలో MP = 9 సెం.మీ, MD = 7 సెం.మీ, MC = 6 సెం.మీ, MB = 4 సెం.మీ, MA = 2 సెం.మీ, అయితే వైశాల్యంను కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 215)

కర్ణం MP పై గీయబడిన లంబాలు NA, OD, QC మరియు RB.
సాధన.

సమలంబ చతుర్భుజం RBCQ వైశాల్యం
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × BC × (RB + CQ)

∴ బహుభుజి MNOPQR వైశాల్యం = ∆ MAN వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం ANOD వైశాల్యం + ∆DPO వైశాల్యం + ∆CPQ వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం RBCQ వైశాల్యం + ∆RBM వైశాల్యం
= 2.5 + 13.75 + 3 + 3 + 4.5 + 5
= 31.75 చ.సెం.మీ.

ఆలోచించి, చర్చింది వ్రాయండి

1. సమాంతర చతుర్భుజంలో, ఒక కర్ణం గీయడం ద్వారా ఆ సమాంతర చతుర్భుజంను రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా విభజించవచ్చు. ఈ విధముగానే సమలంబ చతుర్భుజమును రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా విభజించగలమా ? (పేజీ నెం. 213)
సాధన.

విభజించలేము.
∵ ప్రక్క పటం నుండి ∆ABC ≠ ∆ADC

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 9 సమతల పటముల వైశాల్యములు Ex 9.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 9th Lesson సమతల పటముల వైశాల్యములు Exercise 9.2

ప్రశ్న1.
ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార షీట్ యొక్క కొలతలు 36 సెం.మీ × 25 సెం.మీ. షీట్ నుండి 3.5 సెం.మీ వ్యాసము కలిగిన 56 వృత్తాకార గుండీలను కత్తిరించగా మిగిలిన షీట్ వైశాల్యము ఎంత ?
సాధన.
దీర్ఘచతురస్రాకార షీట్ కొలతలు = 36 సెం.మీ × 25 సెం.మీ
దీర్ఘచతురస్రాకార షీట్ పొడవు, l = 36 సెం.మీ
దీర్ఘచతురస్రాకార షీట్ వెడల్పు, b = 25 సెం.మీ
∴ దీర్ఘచతురస్రాకార షీట్ వైశాల్యం A = l × b
= 36 × 25 = 900 చ.సెం.మీ
వృత్తాకార గుండీ వ్యాసం, d = 3.5 సెం.మీ
వృత్తాకార గుండీ వ్యాసార్ధం,
r = [latex]\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{3.5}{2}[/latex] = 1.75 సెం.మీ
ఒక్కొక్క వృత్తాకార గుండీ వైశాల్యం = πr²
= 4 × (1.75)²

= 22 × 0.25 × 1.75 = 9.6250 చ.సెం.మీ
దీర్ఘచతురస్రాకార షీట్ నుంచి 56 వృత్తాకార గుండీలను కత్తిరించారు.
∴ 56 వృత్తాకార గుండీల వైశాల్యం
= 56 × ఒక్కొక్క వృత్తాకార గుండీ వైశాల్యం
= 56 × 9.6250 = 539 చ.సెం.మీ
మిగిలిన షీట్ వైశాల్యం = దీర్ఘచతురస్రాకార షీట్ వైశాల్యం – 56 వృత్తాకార గుండీల వైశాల్యం
= 900 – 539 = 361 చ.సెం.మీ

ప్రశ్న2.
28 సెం.మీ భుజంగా గల చతురస్రంలో అంతర్లిఖించ బడిన వృత్త వైశాల్యమును కనుగొనుము.

(సూచన : వృత్తము యొక్క వ్యాసము చతురస్ర భుజమునకు సమానము)
సాధన.
వృత్త వ్యాసం, d = చతురస్ర భుజం = 28 సెం.మీ.
వృత్త వ్యా సం, d = 28 సెం.మీ
వృత్త వ్యాసార్ధం, r = [latex]\frac{\mathrm{d}}{2}[/latex]

ప్రశ్న3.
క్రింది యివ్వబడిన పటములలో షేర్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యములను కనుగొనుము.
(i)

(గమనిక : d + [latex]\frac{\mathrm{d}}{2}+\frac{\mathrm{d}}{2}[/latex] = 42)
d = 21
∴ చతురస్ర భుజం = 21 సెం.మీ. 42 సెం.మీ
సాధన.
పై పటంలో షేర్ చేయబడిన నాలుగు అర్ధవృత్తాలు
ఒకే చతురస్ర భుజంను వ్యాసాలుగా కలిగియున్నాయి.
∴ నాలుగు అర్ధవృత్తాలు ఒకే వ్యాసాలను కలిగి యుంటాయి.
పై పటం ప్రకారం,

∴ చతురస్ర భుజం, d = 21 సెం.మీ.
అర్ధవృత్త వ్యాసం = చతురస్ర భుజం = 21 సెం.మీ.
అర్ధవృత్త వ్యాసం = 21 సెం.మీ.

షేడ్ చేయబడిన నాలుగు అర్ధవృత్తాల వైశాల్యం
= 4 × ఒక్కొక్క అర్ధవృత్త వైశాల్యం
= 4 × 173.25
= 693 చ.సెం.మీ.

(ii)

సాధన.
పెద్ద వృత్త వ్యా సం = 21 మీ.

అర్ధవృత్త వ్యాసం = 10.5 మీ.
అర్ధవృత్త వ్యాసార్ధం = [latex]\frac {10.5}{2}[/latex]
= 5.25 మీ.

∴ రెండు అర్ధవృత్తాల వైశాల్యం = 2 × 43.3125
= 86.6250 చ.మీ.
∴ షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = పెద్ద వృత్త వైశాల్యం – రెండు అర్ధవృత్తాల వైశాల్యం
= 346.5 – 86.6250
= 259.8750 చ.మీ.

ప్రశ్న4.
సమాన వ్యాసార్ధములు కలిగిన 4 అర్ధవృత్తములు మరియు సమాన వ్యాసార్ధాలు కలిగిన రెండు పెద్ద అర్ధవృత్తములు (ప్రతిది 42 సెం.మీ). పటములో చూపిన విధముగా జతచేయబడినవి. అయిన షేడ్ చేయబడిన ప్రాంతము వైశాల్యం కనుగొనండి.

సాధన.
పెద్ద అర్ధవృత్త వ్యాసం, d = 42 సెం.మీ.
పెద్ద అర్ధవృత్త వ్యాసార్థం, r = [latex]\frac {42}{2}[/latex]
= 21 సెం.మీ.

షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = రెండు పెద్ద అర్ధవృత్తాల వైశాల్యం – 2 చిన్న అర్ధవృత్తాల వైశాల్యం + 2 చిన్న అర్ధవృత్తాల వైశాల్యం
= రెండు పెద్ద అర్ధవృత్తాల వైశాల్యం = 2 × పెద్ద అర్ధవృత్త వైశాల్యం
= 2 × 693 = 1386 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న5.
నాలుగు అర్ధవృత్తములు, రెండు పావు వృత్తములు పటంలో చూపిన విధంగా జత చేయబడినవి. OA = OB = OC = OD = 14 సెం.మీ. అయిన షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యమును కనుగొనుము.

సాధన.

OA = OB = OC = OD = 14 సెం.మీ.
పావు వృత్తం BXD వ్యాసార్ధం, r = 14 సెం.మీ.

∴ పావు వృత్తం AYC వైశాల్యం = 154 చ.సెం.మీ.
∴ షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = పావువృత్తం BXD వైశాల్యం – అర్ధవృత్తం OPB వైశాల్యం + అర్ధవృత్తం OQD వైశాల్యం + పావువృత్తం AYC వైశాల్యం – అర్ధవృత్తం ARO వైశాల్యం + అర్ధవృత్తం OSC వైశాల్యం
= పావు వృత్తం BXD వైశాల్యం + పావువృత్తం AYC వైశాల్యం
= 154 + 154 = 308 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న6.
పటంలో చూపిన విధంగా A, B, C మరియు D కేంద్రంగా గల సమాన వ్యాసార్ధములు కలిగిన నాలుగు వృత్తాలు బాహ్యంగా స్పృశించుకొంటున్నాయి. ABCD చతురస్రం యొక్క భుజం 7 సెం.మీ. అయిన షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం కనుగొనుము.

సాధన.

చతురస్ర భుజం, AB = BC = CD = DA = 7 సెం.మీ.
చతురస్ర వైశాల్యం = భుజం × భుజం
= 7 × 7
= 49 సెం.మీ.
పై పటం నుంచి,

చతురస్రంలో నాలుగు సెక్టార్లు గలవు. నాల్గింటి వైశాల్యాలు సమానం.
APQ సెక్టారు కోణం, x = 90°
వ్యాసార్ధం, r = 3.5 సెం.మీ.
సెక్టారు APQ వైశాల్యం

∴ నాలుగు సెక్టార్ల వైశాల్యం = 4 × ఒక్కొక్క సెక్టారు వైశాల్యం
= 4 × 9.625
= 38.5 చ.సెం.మీ.
∴ షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = చతురస్రం ABCD వైశాల్యం – 4 సెక్టార్ల వైశాల్యం
= 49 – 38.5 = 10.5 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న7.
ఒక సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యము [latex]49 \sqrt{3}[/latex] చ.సెం.మీ. వృత్త కేంద్రమును శీర్షములుగా మూడు వృత్తములు బాహ్యముగా పటములో చూపిన విధముగా స్పృశించు కొంటున్నాయి. అయినచో వృత్తమును కలిగియుండని త్రిభుజ ప్రాంత వైశాల్యమును కనుగొనుము.

సాధన.
ΔABC ఒక సమబాహు త్రిభుజం,
సమబాహు త్రిభుజం ABC వైశాల్యం = [latex]49 \sqrt{3}[/latex] చ.సెం.మీ
సమాన వ్యాసార్ధాలు గల మూడు వృత్తాలు బాహ్యంగా స్పృశించుకుంటున్నాయి. ప్రతి వృత్తంలో ఒక సెక్టారు కలదు. మొత్తం మూడు సెక్టారులు గలవు. ప్రతి సెక్టారు కోణం 90° మరియు వ్యాసార్ధం 7 సెం.మీ. కావున మూడు సెక్టారుల వైశాల్యాలు సమానం.
సెక్టారు APQ కోణం, x = 60°
సెక్టారు APQ వ్యాసార్ధం, r = 7 సెం.మీ
∴ సెక్టార్ APQ వైశాల్యం

మూడు సెక్టార్ల వైశాల్యం = 3 × ఒక్కొక్క సెక్టార్ వైశాల్యం

వృత్తమును కలిగియుండని త్రిభుజ ప్రాంత వైశాల్యం = త్రిభుజం ABC వైశాల్యం – మూడు సెక్టార్ల వైశాల్యం
= [latex]49 \sqrt{3}[/latex] – 77
= 49 × 1.7321 – 77 (∵ [latex]\sqrt{3}[/latex] = 1.7321)
= 84.8729 – 77
= 7.8729 చ.సెం.మీ

ప్రశ్న8.
(i) ‘a’ వ్యాసార్ధము కలిగిన నాలుగు సమాన వృత్తములు స్పృశించుకొంటున్నాయి. అయినచో ఆ వృత్తముల మధ్య ప్రాంత వైశాల్యం కనుగొనండి.
సాధన.

చతురస్రం ABCD భుజం, AB = BC = CD = DA
= a + a = 2a యూ
చతురస్ర వైశాల్యం = భుజం × భుజం
= 2a × 2a = 4a² చ.యూ.
నాలుగు వృత్తాలలో సమాన వైశాల్యాలు గల నాలుగు సెక్టార్లు గలవు.
సెక్టార్ APQ కోణం, x = 90°
సెక్టార్ APQ వ్యాసార్ధం, r = a

నాలుగు సెక్టార్ల వైశాల్యం = 4 × ఒక్కొక్క సెక్టార్ వైశాల్యం

∴ వృత్తముల మధ్య ప్రాంత వైశాల్యం = చతురస్రం ABCD వైశాల్యం – 4 సెక్టార్ల వైశాల్యం
= 4a² – πa² = (4 – π)a² చ.యూ

(ii) నాలుగు వృత్త వ్యాసార్ధములు సమానము మరియు ప్రతి వృత్తము మరో రెండు వృత్తములను బాహ్యంగా స్పృశించుకొంటూ ఉంటే వృత్త కేంద్రములు శీర్షములుగా ఒక చతురస్రమును ఏర్పాటు చేస్తే, ఆ చతురస్ర భుజము 24 మీ॥ అయిన ఆ వృత్తముల మధ్య ప్రాంతమును షేడ్ చేస్తే, షేడ్ చేయవలసిన ప్రాంత వైశాల్యము ఎంత ?
సాధన.

సమాన వ్యాసార్ధం గల నాలుగు వృత్తాలు బాహ్యంగా స్పృశించుకుంటున్నాయి.
చతురస్ర భుజం = 24 సెం.మీ.
పై పటం నుంచి,
r + r = 24
2r = 24

షేడ్ చేయని ప్రాంతము = సమాన వైశాల్యం గల నాలుగు సెక్టార్లు
సెక్టార్ APQ కోణం, x = 90°
సెక్టార్ APQ వ్యాసార్ధం, r = 12 సెం.మీ.
సెక్టార్ APQ వైశాల్యం

షేడ్ చేయవలసిన ప్రాంతం 4 × ఒక్కొక్క సెక్టార్ వైశాల్యం
= 4 × 113.14 = 452.56 చ. సెం.మీ.

ప్రశ్న9.
క్రింది పటములో ABCD ఒక సమలంబ చతుర్భుజం AB || CD మరియు ∠BCD = 90° మరియు పావు భాగము వృత్తము తొలగించబడినది. AB = BC = 3.5 సెం.మీ॥ మరియు DE = 2 సెం.మీ. అయిన మిగిలిన ప్రాంతము యొక్క వైశాల్యమును కనుగొనుము.
(π = [latex]\frac {22}{7}[/latex]గా తీసుకోండి)

సాధన.
ABCD ఒక సమలంబ చతుర్భుజం
AB || CD
∠BCD = 90°
AB = BC = 3.5 సెం.మీ.; DE = 2 సెం.మీ.

సమలంబ చతుర్భుజం ABCD వైశాల్యం:
సమాంతర భుజాల పొడవులు, AB = 3.5 సెం.మీ.
CD = DE + EC
= 2 + 3.5 = 5.5 సెం.మీ.
సమాంతర భుజాల మధ్య దూరం, BC = 3.5 సెం.మీ.
∴ సమలంబ చతుర్భుజం వైశాల్యం

పావు వృత్తం EBC వైశాల్యం:
పావు వృత్త వ్యాసార్ధం, r = 3.5 సెం.మీ.

సమలంబ చతుర్భుజం నుంచి పావు వృత్తంను తొలగించగా మిగిలిన ప్రాంత వైశాల్యం = సమలంబ చతుర్భుజ వైశాల్యం – పావువృత్త వైశాల్యం
= 15.75 – 9.625 = 6.125 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న10.
ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార పొలములో ఒక గుర్రము కట్టబడి ఉన్నది. దీర్ఘచతురస్ర కొలతలు 70 మీ మరియు 52 మీ కలిగియున్నది. దీర్ఘచతురస్రాకార పొలములో ఒక మూలలో 21 మీ. పొడవు కలిగిన ఒక తాడుకి గుర్రము కట్టబడియున్నది. అయిన గుర్రము కదలగలిగే ప్రాంత వైశాల్యము కనుగొనుము.

సాధన.
గుర్రం కదలగలిగే ప్రాంతం ఒక సెక్టారును సూచిస్తున్నది.
సెక్టార్ OPQ కోణం, x = 90°
సెక్టార్ OPQ వ్యాసార్ధం, r = 21 మీ.
సెక్టార్ OPQ వైశాల్యం

∴ గుర్రం కదలగలిగే ప్రాంత వైశాల్యం = 346.5 చ.మీ

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 9 సమతల పటముల వైశాల్యములు Ex 9.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 9th Lesson సమతల పటముల వైశాల్యములు Exercise 9.1

ప్రశ్న1.
సూచించిన విధముగా ఇచ్చిన ఆకృతులను విభజించండి.
(i) మూడు దీర్ఘచతురస్రాలు

సాధన.

దీర్ఘ చతురస్రం ABCD
దీర్ఘ చతురస్రం CEFG
దీర్ఘ చతురస్రం FHIJ

(ii) మూడు దీర్ఘచతురస్రాలుగా

సాధన.

దీర్ఘ చతురస్రం ABCD
దీర్ఘ చతురస్రం EFGH
దీర్ఘ చతురస్రం CHUJ

(iii) రెండు సమలంబ చతుర్భుజాలుగా

సాధన.

సమలంబ చతుర్భుజం ABEF
సమలంబ చతుర్భుజం BCDE

(iv) రెండు త్రిభుజాలు మరియు దీర్ఘచతురస్రము

సాధన.

త్రిభుజం ABC
త్రిభుజం DEF
దీర్ఘచతురస్రం ACDF

(v) మూడు త్రిభుజాలుగా

సాధన.

త్రిభుజం BCD
త్రిభుజం BDE
త్రిభుజం AEB

ప్రశ్న2.
ఈ క్రింది పటములు యొక్క వైశాల్యములను కనుగొనుము.
i)

సాధన.
పంచభుజి ABCDE వైశాల్యం = చతురస్రం ACDE వైశాల్యం + త్రిభుజం ABC వైశాల్యం
చతురస్రం ACDE వైశాల్యం:
చతురస్రం ACDE వైశాల్యం = భుజం × భుజం
= ED × DC
= 4 × 4 = 16 చ.సెం.మీ

త్రిభుజం ABC వైశాల్యం:
పై పటం నుంచి BF = 6 – 4 = 2 సెం.మీ
Δ ABC వైశాల్యం = [latex]\frac {1}{2}[/latex] × భూమి × ఎత్తు
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × AC × BF

∴ పంచభుజి ABCDE వైశాల్యం, = చతురస్రం ACDE వైశాల్యం + ΔACB వైశాల్యం
= 16 + 4 = 20 చ.సెం.మీ

(ii)

సాధన.
షడ్భుజి ABCDEF వైశాల్యం = చతురస్రం ABCF వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం FCDE వైశాల్యం
చతురస్రం ABCF వైశాల్యం:
చతురస్రం ABCF వైశాల్యం = భుజం × భుజం
= AB × BC
= 18 × 18
= 324 చ.సెం.మీ
సమలంబ చతుర్భుజం FCDE వైశాల్యం
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × h(a + b)

= 4(25) = 100 చ. సెం.మీ
∴ షడ్భుజి ABCDEF వైశాల్యం = చతురస్రం ABCF వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం FCDE వైశాల్యం
= 324 + 100
= 424 చ.సెం.మీ

(iii)

సాధన.
షడ్భుజి ABCDEF వైశాల్యం = దీర్ఘచతురస్రం ABCD వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం ADEF వైశాల్యం
దీర్ఘచతురస్రం ABCD వైశాల్యం:
దీర్ఘచతురస్రం ABCD వైశాల్యం
= పొడవు × వెడల్పు
= AB × BC
= 20 × 15 = 300 చ.సెం.మీ

సమలంబ చతుర్భుజం ADEF వైశాల్యం:
పై పటం నుంచి సమాంతర భుజాలు [latex]\overline{\mathrm{AD}}, \overline{\mathrm{EF}}[/latex] ల మధ్య దూరం, h = 28 – 20 = 8 సెం.మీ AD, a = 15 సెం.మీ ; EF, b = 6 సెం.మీ.
∴ సమలంబ చతుర్భుజం ADEF వైశాల్యం
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × h(a + b)

= 4(21) = 84 చ.సెం.మీ .
షడ్భుజి ABCDEF వైశాల్యం = దీర్ఘ చతురస్రం ABCD వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం ADEF వైశాల్యం
= 300 + 84 = 384 చ. సెం.మీ

ప్రశ్న3.
ABCD చతుర్భుజములో కర్ణము AC = 10 సెం.మీ మరియు AC పై శీర్షములు B మరియు D నుండి గీచిన లంబములు 5 సెం.మీ మరియు 6 సెం.మీ. పొడవులు కలిగియుంటే ABCD చతుర్భుజము యొక్క వైశాల్యమును కనుగొనుము.
సాధన.

ABCD చతుర్భుజంలో కర్ణం AC, d = 10 సెం.మీ
B నుండి కర్ణం AC పై గీయబడిన లంబం h₁ = 5 సెం.మీ.
D నుండి కర్ణం AC పై గీయబడిన లంబం h₂ = 6 సెం.మీ

ప్రశ్న4.
క్రింది పటములో చూపబడిన ఫోటో ఫ్రేము యొక్క బయటి అంచుకొలతలు 28 సెం.మీ × 24 సెం.మీ మరియు లోపలి అంచు కొలతలు 20 సెం.మీ × 16 సెం.మీ. ఫ్రేమ్ వెడల్పు ఏకరీతిగా యున్నచో షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యమును కనుగొనుము.

సాధన.

ఫోటో ఫ్రేము బయటి అంచు కొలతలు = 28 సెం.మీ × 24 సెం.మీ
బయటి అంచు పొడవు = 28 సెం.మీ
బయటి అంచు వెడల్పు = 24 సెం.మీ
లోపలి అంచు కొలతలు = 20 సెం.మీ × 16 సెం.మీ
లోపలి అంచు పొడవు = 20 సెం.మీ
లోపలి అంచు వెడల్పు = 16 సెం.మీ
త్రిభుజం ABC వైశాల్యం = [latex]\frac {1}{2}[/latex] × భూమి × ఎత్తు
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × AC × CB

దీర్ఘచతురస్రం CDEB వైశాల్యం = పొడవు × వెడల్పు
= CD × DE
= 20 × 4
= 80 చ.సెం.మీ
త్రిభుజం DEF వైశాల్యం = [latex]\frac {1}{2}[/latex] × భూమి × ఎత్తు
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × DF × DE

= 8 చ.సెం.మీ
∴ షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = త్రిభుజం ABC వైశాల్యం + దీర్ఘచతురస్రం CDEB వైశాల్యం + త్రిభుజం DEF వైశాల్యం
= 8 + 80 + 8
= 96 చ.సెం.మీ

ప్రశ్న5.
ఈ క్రింది ఇవ్వబడిన పొలముల యొక్క వైశాల్యములను కనుగొనుము. కొలతలన్నియూ మీటర్లలో యున్నవి.
i)

సాధన.
సమలంబ చతుర్భుజం ABCH వైశాల్యం
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × h(a + b)

= 40 (70) = 2800 చ.మీ
త్రిభుజం HCD వైశాల్యం = [latex]\frac {1}{2}[/latex] × HC x HD

= 1600 చ.మీ
త్రిభుజం EID వైశాల్యం = [latex]\frac {1}{2}[/latex] × EI × ID

= 1200 చ.మీ
సమలంబ చతుర్భుజం FGIE వైశాల్యం
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × h(a + b)

= 35 (110) = 3850 చ.మీ
త్రిభుజం FGA వైశాల్యం = [latex]\frac {1}{2}[/latex] × FG × GA

= 1250 చ.మీ
∴ పొలం వైశాల్యం = సమలంబ చతుర్భుజం ABCH వైశాల్యం + త్రిభుజం HCD వైశాల్యం + త్రిభుజం EID వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం FGIE వైశాల్యం + త్రిభుజం FGA వైశాల్యం
= 2800 + 1600 + 1200 + 3850 + 1250
= 10700 చ.మీ

(ii)

సాధన.
త్రిభుజం ABK వైశాల్యం = [latex]\frac {1}{2}[/latex] × KB × KA

= 750 చ.మీ
సమలంబ చతుర్భుజం KBCI వైశాల్యం
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × h(a + b)

= 30 (70) = 2100 చ.మీ
సమలంబ చతుర్భుజం ICDE వైశాల్యం
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × h(a + b)

= 40(90)
= 3600 చ.మీ
త్రిభుజం FHE వైశాల్యం = [latex]\frac {1}{2}[/latex] × FH × HE

= 400 చ.మీ
సమలంబ చతుర్భుజం GJHF వైశాల్యం
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × h(a + b)

= 40 (60) = 2400 చ.మీ
త్రిభుజం GJA వైశాల్యం = [latex]\frac {1}{2}[/latex] × GJ × JA

= 1400 చ.మీ
∴ పొలం వైశాల్యం = ΔKBA వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం KBCI వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం ICDE వైశాల్యం + ΔFHE వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం GJHF వైశాల్యం + ΔGJA వైశాల్యం
= 750 + 2100 + 3600 + 400 + 2400 + 1400
= 10650 చ.మీ

ప్రశ్న6.
సమలంబ చతుర్భుజంలోని సమాంతర భుజాల పొడవుల నిష్పత్తి 5 : 3 వాటి మధ్య దూరం 16 సెం.మీ. సమలంబ చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యము 960 చ. సెం.మీ అయిన సమాంతర భుజముల పొడవులను కనుగొనుమ.
సాధన.
సమలంబ చతుర్భుజంలోని సమాంతర భుజాల పొడవుల నిష్పత్తి = 5 : 3
∴ సమాంతర భుజాల పొడవులు = 5x, 3x
∴ a = 5x, b = 3x
సమాంతర భుజాల మధ్య దూరం, h = 16 సెం.మీ.
సమలంబ చతుర్భుజ వైశాల్యం
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × h(a + b)

= 8 (8x) = 64 x
లెక్క ప్రకారం, సమలంబ చతుర్భుజ వైశాల్యం = 960 చ.సెం.మీ
∴ 64x = 960

x = 15
∴ సమాంతర భుజాల పొడవులు,
a = 5x = 5 × 15 = 75 సెం.మీ
b = 3x = 3 × 15 = 45 సెం.మీ

ప్రశ్న7.
ఒక భవనము యొక్క నేల 3000 టైల్స్ చే కప్పబడినది. ప్రతి టైల్ సమచతుర్భుజ ఆకృతిని కలిగియుండి కర్ణముల పొడవులు 45 సెం.మీ, 30 సెం.మీలు కలిగియున్నది. ప్రతీ టైల్ యొక్క వెల చదరపు మీటరుకు 20 రూపాయలు అయిన ఫ్లోరింగ్ నకు అయ్యే మొత్తము ఖర్చు ఎంత ?
సాధన.
ఒక భవనం యొక్క నేల 3000 టైల్స్ చే కప్పబడినది.
ప్రతి టైల్ సమచతుర్భుజం ఆకృతిని కలిగియున్నది.
టైల్ యొక్క కర్ణముల పొడవులు,
d₁ = 45 సెం.మీ, d₂ = 30 సెం.మీ
ఒక్కొక్క టైల్ వైశాల్యం = [latex]\frac {1}{2}[/latex]d₁d₂

= 675 చ.సెం.మీ
∴ భవనం యొక్క నేల వైశాల్యం = 3000 × 675 = 2025000 చ.సెం.మీ

(∵ 1 చ.మీ. = 10000 చ.సెం.మీ)
= [latex]\frac {2025}{10}[/latex] చ.మీ = 202.5 చ.మీ
టైల్ యొక్క చదరపు మీటరు ఖరీదు = ₹ 20
∴ ఫ్లోరింగ్ నకు అయ్యే మొత్తం ఖర్చు = ₹ 202.5 × 20 = ₹ 4050

ప్రశ్న8.
ఈ క్రింద పంచభుజి ఆకృతిలో యున్న పటం యివ్వబడినది. దీని వైశాల్యమును కనుగొనేందుకు జ్యోతి మరియు రషీదా దానిని రెండు వేర్వేరు విధాలుగా విభజించారు. అయిన రెండు విధాలుగా పంచభుజి వైశాల్యం కనుగొనండి. దాని నుండి ఏమి గమనించారు?

సాధన.
జ్యోతి విధానం :

సమలంబ చతుర్భుజం ABCF వైశాల్యం:
సమాంతర భుజాల పొడవులు, FC, a = 30 సెం.మీ.
AB, b = 15 సెం.మీ.
సమాంతర భుజాలు [latex]\overline{\mathrm{FC}}, \overline{\mathrm{AB}}[/latex]ల మధ్య దూరం, h = 7.5 సెం.మీ.
సమలంబ చతుర్భుజం ABCF వైశాల్యం
= [latex]\frac {1}{2}[/latex]h(a + b)
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × 7.5 (30 + 15)

= 168.75 చ.సెం.మీ
సమలంబ చతుర్భుజం FEDC వైశాల్యం:
సమాంతర భుజాల పొడవులు, FC, a = 30 సెం.మీ.
ED, b = 15 సెం.మీ.
సమాంతర భుజాలు [latex]\overline{\mathrm{FC}}, \overline{\mathrm{ED}}[/latex]ల మధ్య దూరం, h = 7.5 సెం.మీ.
సమలంబ చతుర్భుజం FEDC వైశాల్యం
= [latex]\frac {1}{2}[/latex]h(a + b)
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × 7.5 (30 + 15)

= 168.75 చ.సెం.మీ
∴ పంచభుజి ABCDE వైశాల్యం = సమలంబ చతుర్భుజం ABCF వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం FEDC వైశాల్యం
= 168.75 + 168.75
= 337.50 చ.సెం.మీ

రషీదా విధానం :

చతురస్రం ABDE వైశాల్యం = భుజం × భుజం
= AE × ED
= 15 × 15
= 225 చ.సెం.మీ.
త్రిభుజం BDC వైశాల్యం = [latex]\frac {1}{2}[/latex] × భూమి × ఎత్తు
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × BD × CF
= [latex]\frac {1}{2}[/latex] × 15 × 15
(∵ CF = 30 – 15 సెం.మీ)
= [latex]\frac {225}{2}[/latex]
= 112.50 చ.సెం.మీ
∴ పంచభుజి ABCDE వైశాల్యం = చతురస్రం ABDE వైశాల్యం + త్రిభుజం BDC వైశాల్యం
= 225 + 112.50
= 337.500 చ.సెం.మీ
పంచభుజిని ఎన్ని విధాలుగా విభజించి చేసినా దాని వైశాల్యం మారదు. కచ్చితంగా చెప్పాలంటే ఏ బహుభుజినైనా ఎన్ని విధాలుగా విభజించి చేసినా దాని వైశాల్యం మారదు.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 అనులోమ మరియు విలోమ అనుపాతములు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 10th Lesson అనులోమ మరియు విలోమ అనుపాతములు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. ఒక రాశిలోని మార్పు వలన వేరొక రాశిలో కూడా మార్పు వచ్చే ఐదు సందర్భాలను వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 231)
సాధన.
ఒక రాశిలో మార్పు వలన వేరొక రాశిలో కూడా మార్పు వచ్చే ఐదు సందర్భాలు:

1. ఒక కుటుంబంలోని సభ్యుల సంఖ్య పెరిగిన వారు ఉపయోగించు బియ్యం పరిమాణం పెరుగును.
2. వేగం పెరిగితే, సమయం తగ్గుతుంది.
3. నీటి వాడకం ఎక్కువైతే భూగర్భజలాలు తగ్గుతాయి.
4. వ్యక్తులు చేసే పనిసామర్ధ్యం పెరిగితే కాలం తగ్గుతుంది.
5. తీగ యొక్క మందం పెరిగిన దాని నిరోధం తగ్గుతుంది.

2. మీరు గమనించిన మూడు అనులోమానుపాత సందర్భాలను రాయండి. (పేజీ నెం. 233)
సాధన.
1. పాఠశాలలో విద్యార్థుల సంఖ్యకు, ఉపాధ్యాయుల సంఖ్యకు మధ్య గల సంబంధం.
2. పశువుల సంఖ్య, అవి మేసే మేత పరిమాణం
3. కూలీల సంఖ్య, కట్టే గోడ పరిమాణం
పై సందర్భాలు అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి.

3. భుజముల పొడవులు 2, 3, 4 మరియు 5 సెం||మీ|| గల చతురస్రాలను తీసుకొని వాటి వైశాల్యాలను లెక్కించి క్రింది పట్టికను నింపండి. (పేజీ నెం. 233)

మీరు ఏమి గమనిస్తారు? చతురస్ర భుజము కొలత మారితే చతురస్ర వైశాల్యంలో ఏమైనా మార్పు వచ్చినదా? ఖచ్చితంగా వస్తుంది కదా. ఇంకా దాని వైశాల్యానికి, భుజము పొడవుకి గల నిష్పత్తిని కనుగొనంది. ఈ నిష్పత్తి సమానంగా వుందా? లేదు కదా. కాబట్టి ఈ మార్పు అనులోమానుపాతం కాదు.
సాధన.

భుజం పొడవు	వైశాల్యానికి గల నిష్పత్తి
2	4 —> 2 : 4 = 1 : 2
3	9 —> 3 : 9 = 1 : 3
4	16 —> 4 : 16 = 1 : 4
5	25 —> 5 : 25 = 1 : 5

ఈ నిష్పత్తి సమానంగా లేదు. కాబట్టి ఈ మార్పు అనులోమానుపాతంలో లేదు. చతురస్ర భుజం కొలత మారితే చతురస్ర వైశాల్యం మార్పు వస్తుంది.

4. ఇక్కడ మీకు గ్రాఫ్ కాగితంపై ఒకే వెడల్పు కలిగిన కొన్ని దీర్ఘ చతురస్రాలు యివ్వబడ్డాయి. ప్రతీ దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యాన్ని కనుగొని క్రింది పట్టికను నింపండి. (పేజీ నెం. 233)


దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యము పొడవుకు అనులోమానుపాతంలో వుందా?
సాధన.

దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం, పొడవుకు అనులోమానుపాతంలో ఉంది.

5. ఒకగ్రాఫ్ కాగితంపై ఒకే పొడవు వేరువేరు వెడల్పులు గల దీర్ఘచతురస్రాలను గీయండి. ప్రతీ దీర్ఘచతురస్రము వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. వాటి వైశాల్యాలు మరియు వెడల్పుల గురించి మీరు ఏమి చెప్పగలుగుతారు? (పేజీ నెం. 233)
సాధన.

మొదటి దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం (A₁) = 3 × 1 = 3 చ.సెం.మీ.
రెండవ దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం (A₂) = 3 × 2 = 6 చ.సెం.మీ.
∴ దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యాలు, వాటి వెడల్పులు అనుపాతంలో కలవు. [∵ [latex]\frac{1}{3}=\frac{2}{6}[/latex]]

6. ఇచ్చిన మ్యాప్ లోని దూరాలను కొలిచి, దాని సహాయంతో (i) విజయవాడ మరియు విశాఖపట్నం (ii) తిరుపతి మరియు విజయవాడల మధ్యగల నిజదూరాలను కనుగొనండి. ఇచ్చిన మ్యాప్ ‘స్కేలు’. (పేజీ నెం. 235)

సాధన.
(i) విజయవాడ మరియు విశాఖపట్నం మధ్యగల దూరం = 2 సెం.మీ.
లెక్కప్రకారం 1 సెం.మీ. = 300 కి.మీ. అయినచో 2 సెం.మీ. = ?

⇒ x + 2 × 300 = 600 కి.మీ.
∴ విజయవాడ, విశాఖపట్నాల మధ్య నిజదూరం = 600 కి.మీ.

(ii) తిరుపతి, విజయవాడల మధ్య దూరం = 3 సెం.మీ.
లెక్క ప్రకారం 1 సెం.మీ. = 300 కి.మీ. అయినచో 3 సెం.మీ. = ?

⇒ x = 3 × 300 = 900 కి.మీ.
∴ తిరుపతి, విజయవాడల మధ్య నిజదూరం = 900 కి.మీ.

7. మీరు గమనించిన మూడు విలోమానుపాత సందర్భాలను రాయండి. (పేజీ నెం. 238)
సాధన.

1. కాలము – పనిసామర్థ్యం
2. దూరం – వేగము
3. కాలము – వేగం

8. గళ్ళ కాగితంపై ప్రక్క ప్రక్కన ఉండే 12 చదరాలను ఉపయోగించుకుంటూ వివిధ కొలతలు గల దీర్ఘ చతురస్రాలను గీయాలి. ఇలా ఏర్పడిన ప్రతీ దీర్ఘచతురస్రము యొక్క పొడవు, వెడల్పులను కనుగొని, ఆ వచ్చిన విలువలను క్రింది పట్టికలో రాయండి.

మీరు ఏమి గమనిస్తారు? పొడవు పెరిగిన వెడల్పు తగ్గును లేదా వెడల్పు పెరిగిన, పొడవు తగ్గును (వైశాల్యము స్థిరాంకముగా వున్నపుడు) ఒక దీర్ఘచతురస్ర పొడవు, వెడల్పులు విలోమానుపాతంలో వున్నాయా? (పేజీ నెం. 238)
సాధన.
దీర్ఘచతురస్రంలో పొడవు పెరిగిన, వెడల్పు తగ్గును, వెడల్పు పెరిగిన, పొడవు తగ్గును.
∴ దీర్ఘచతురస్రంలో పొడవు, వెడల్పులు విలోమానుపాతంలో ఉన్నాయి.

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి

1. ప్రతీ మార్పుని మనం అనుపాతంలో వుంది అని చెప్పగలమా? ఒక పుస్తకంలో 100 పేజీలు కలవు. పుస్తకంలో మనము చదివిన పేజీల సంఖ్య, మిగిలిన పేజీల సంఖ్య ఏవిధంగా మారుతాయో గమనించండి. (పేజీ నెం. 239)

మనం చదివిన పేజీల సంఖ్య క్రమంగా పెరుగుతూ ఉన్నపుడు మిగిలిన పేజీల సంఖ్యలో మార్పు రకంగా వస్తోంది? ఆ రెండు రాశులు విలోమానుపాతంలో వుంటాయా? వివరించండి.
సాధన.
ప్రతి సందర్భంలో చదివిన పేజీల సంఖ్య (x), మిగిలిన పేజీల సంఖ్య (y) కు విలోమానుపాతంలో ఉన్నాయి.
∵ చదివిన పేజీల సంఖ్య పెరిగే కొద్దీ, మిగిలిన పేజీల సంఖ్య తగ్గుతుంది.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 8 జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 8th Lesson జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ InText Questions

ఇవి చేయండి

1. క్రింది పటాలలో సర్వసమాన పటాల జతలను గుర్తించండి. (పేజీ నెం. 184)

సాధన.
పై పటాలలో సర్వసమాన పటాల జతలు (1, 10), (2, 6, 8), (3, 7), (12, 14), (9, 11).

2. క్రింది పటాల జతలను గమనించండి. అవి సర్వసమానాలేమో తెల్పండి. కారణాలు వివరించండి. పటాలను పేర్లతో చెప్పండి. (పేజీ నెం. 185)


సాధన.
i) ΔABC, ΔPQRల నుండి
∠A = ∠Q (కోణాలు సమానాలు)
భుజాలు సమానాలు అని ఇవ్వలేదు. కాని ఆ రెండు పటాలను ఒకదానిపై ఒకటి ఉంచిన అవి ఏకీభవిస్తాయి.
∴ ΔABC ≅ ΔPQR

ii) ΔPLM, ΔQNM ల నుండి
PL = QN (భుజం)
LM = MN (భుజం)
PM = QM (భుజం)
పై రెండు త్రిభుజాలలో అనురూప భుజాలు సమానం.
∴ ΔPLM ≅ ΔQNM

iii) ΔLMN, ΔPQR ల నుండి
NL ≠ PQ, LM ≠ QR, NM ≠ RP
∴ ΔLMN ≠ ΔPQR
(అనురూపకోణాలు ఇవ్వలేదు)

iv) ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజం,
LMNO ఒక దీర్ఘచతురస్రం
దీర్ఘచతురస్రం మరియు సమాంతర చతుర్భుజం ఎప్పుడూ కూడా సర్వసమానాలు కాదు.

v) రెండు వృత్తాల నుండి
r₁ = r₂ = 2 యూ॥
రెండు వృత్తాలు సర్వసమానాలు.

3. క్రింది చిత్రాలలో మొదటి రేఖా చిత్రంతో సరూపంగా ఉన్న రేఖాచిత్రాలను గుర్తించండి. (పేజీ నెం. 186)

సాధన.
a) (ii)
b) (ii)

4. ఒక గ్రాఫ్ కాగితంపై ఒక త్రిభుజాన్ని గీచి సూచీ భిన్నం 3గా గల విస్తరణ పటాన్ని గీయండి. ఆ రెండు పటాలు సరూపాలేనా ? (పేజీ నెం. 191)
సాధన.
సోపానం 1 : ΔPQR ని నిర్మించి, త్రిభుజంపై లేని ఏదేని బిందువు ‘C’ ని విస్తరణ కేంద్రంగా గుర్తించుము. ‘C’ ని త్రిభుజ – శీర్షాలతో కలిపి ముందుకు పొడిగించుము.

సోపానం 2 : వృత్తలేఖిని సహాయంతో పొడిగింపు రేఖలపై
CP’ = k (CP) = 3 CP
CQ’ = 3 CQ
CR’ = 3 CR
అగునట్లు P’, Q’ మరియు R’ బిందువులను గుర్తించుము.

సోపానం 3 : P’Q’, Q’R’ మరియు R’P’ లను కలుపుము.
ΔP’Q’R’ ~ ΔPQR అని గమనించవచ్చు.

5. ఒక చతురస్రాన్ని గీచి సూచీ భిన్నాలు 4, 5 గా గల విస్తరణ పటాలను గీయండి. నీవేమి గమనించితివి ? అలాగే ఏదేని ఒక పటాన్ని పొడిగించండి. (పేజీ నెం. 191)
సాధన.
కొన్నిసార్లు మనం పటాలను వాటి వాస్తవ పరిమాణం కన్నా పెద్దదిగా వేయవలసి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు సినిమా కటౌట్ (cut-outs) మీరు చూసి ఉంటారు. మరికొన్ని సార్లు పటాలను చిన్నవిగా గీయవలసి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు నమూనాలు గీచే సందర్భంగా అసలు పరిమాణం కన్నా చిన్నవిగా గీస్తాము. అంటే మనం పటాల ఆకారాలను పెద్దవిగా కాని చిన్నవిగా కాని చేయవలసిన అవసరం నిత్యజీవితంలో ఏర్పడుతూ ఉంటుంది. ఈ విధంగా పెద్ద లేదా చిన్న సరూప పటాలు గీసే పద్ధతిని “సరూప విస్తరణం” అంటారు.

పటంలో ☐ ABCD విస్తరణను గమనించండి. ☐ ABCD ఒక చతురస్రం గ్రాఫ్ కాగితంపై గీయబడినది.
ప్రతి శీర్షాలు A, B, C మరియు D లు ‘O’ నుండి కలుపబడి వాటి 4 రెట్లు దూరాలకు వరుసగా A’, B’, C’ మరియు D’ వరకు పొడిగింపబడినవి. ఇప్పుడు A’, B’, C’,D’ లు కలుపగా ☐ ABCDకు 4 రెట్లు కొలతలు గల చతురస్రమును ఏర్పరచినవి. ఇక్కడ ‘O’ ను విస్తరణ కేంద్రం అని మరియు
[latex]\frac{\mathrm{OA}^{\prime}}{\mathrm{OA}}=\frac{4}{1}[/latex] = 4 ను సూచీ భిన్నం (scale factor) అని అంటారు.
[latex]\frac{\mathrm{OA}^{\prime}}{\mathrm{OA}}=\frac{5}{1}[/latex] = 5 ను సూచీ భిన్నం అంటారు.

6. క్రింది ఆకారాలకు సాధ్యమైనన్ని సౌష్ఠవరేఖలు గీయండి. (పేజీ నెం. 193)

సాధన.

ప్రయత్నించండి

1. చాపిన చేతిలో ఒక స్కేలుని నిలువుగా పట్టుకొని మీ పాఠశాల భవనం ఏకీభవించునట్లు పాఠశాల నుండి దూరంగా జరుగుతూ సరిచేసుకొనుము. దీనికి సరిపడు పటాన్ని గీచి పాఠశాల భవనం ఎత్తుని అంచనా వేయండి. (పేజీ నెం. 189)
సాధన.
ఉదాహరణ ద్వారా వివరణ:
ఒక భవనం నుండి కొంత దూరములో గల బాలిక తనకెదురుగా గల పాఠశాల భవనం వైపు తన చేతిని చాపి ఒక స్కేలు పట్టుకొని నిలచి ఉన్నది. ఆమె తన చేతిలోని స్కేలు భవనముతో ఏకీభవించినట్లు పటంలో చూపినట్లు గమనించింది. ఈ వివరణను పై ఉదాహరణతో పోలిస్తే


స్కేలు పొడవు, బాలిక చేతి పొడవు మరియు బాలిక నుండి భవనమునకు గల దూరములను కొలచి భవనం ఎత్తును అంచనా వేయవచ్చు.

2. a) కింది వానిలో బిందు సౌష్ఠవం గల వాటిని గుర్తించండి. (పేజీ నెం. 196)

సాధన.
బిందు సౌష్ఠవం గల పటాలు (i), (ii), (iii), (v)

b) పై పటాలలో రేఖా సౌష్ఠవాన్ని కలిగిన పటాలు ఏవి ?
సాధన.
రేఖా సౌష్ఠవాన్ని కలిగిన పటాలు (i), (iii), (v)

c) రేఖా సౌష్ఠవమునకు మరియు బిందు సౌష్ఠవానికి మధ్యగల సంబంధమేమి ?
సాధన.
ఒక జ్యామితీయ పటానికి రేఖాసౌష్ఠవ అక్షాల సంఖ్య = బిందు సౌష్ఠవ పరిమాణం.

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయుండి

1. ఒక జ్యామితి పటం యొక్క సౌష్ఠవ అక్షాల సంఖ్యకు మరియు దాని భ్రమణ పరిమాణానికి మధ్యగల సంబంధం ఏమిటి ? (పేజీ నెం. 195)
సాధన.
ఒక పటానికి మధ్యగా ఒక రేఖను గీచిన ఆ రేఖకు ఇరువైపులా గల భాగాలు ఒకే విధంగా ఉండి ఒకదానిని ఒకటి ఏకీభవిస్తే ఆ రేఖ ఆ పటానికి సౌష్ఠవ అక్షం అంటారు. భ్రమణ పరిమాణం అనగా ఎన్నిసార్లు ఒక ఆకారాన్ని భ్రమణం చేసి తిప్పగా అది మళ్ళీ మొదటి ఆకారాన్ని పొందుతుందో ఆ సంఖ్యను భ్రమణ పరిమాణం అంటారు.

∴ పై పట్టికను అనుసరించి ఒక జ్యామితి పటం యొక్క సౌష్ఠవ రేఖల సంఖ్య = భ్రమణ పరిమాణం అగును.

2. ఒక క్రమ బహుభుజికి గల సౌష్ఠవ అక్షాల సంఖ్య ఎంత ? ఒక క్రమ బహుభుజి భుజాల సంఖ్యకు మరియు దాని భ్రమణ సౌష్ఠవ పరిమాణమునకు మధ్యగల సంబంధమేమి ? (పేజీ నెం. 195)
సాధన.
ఒక క్రమ బహుభుజి యొక్క భుజాల సంఖ్య ‘n’ అయిన దాని సౌష్ఠవాక్షాల సంఖ్య ‘n’ అవుతుంది. అదేవిధంగా దాని భ్రమణ పరిమాణం కూడా ‘n’ అవుతుంది.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 అనులోమ మరియు విలోమ అనుపాతములు Ex 10.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 10th Lesson అనులోమ మరియు విలోమ అనుపాతములు Exercise 10.4

ప్రశ్న 1.
8 మందికి 20 రోజులకు కావలసిన బియ్యము వెల ₹ 480, అయిన 12 మందికి 15 రోజులకు కావలసిన బియ్యము వెల ఎంత?
సాధన.
వ్యక్తుల సంఖ్యకు మరియు ప్రతీరోజు వారికి కావలసిన బియ్యం విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
వ్యక్తుల సంఖ్య (పనివారి సంఖ్య) ∝ [latex]\frac {1}{(రోజుల సంఖ్య)}[/latex]

వ్యక్తుల సంఖ్య	బియ్యం వెల (రూ.లలో)	రోజుల సంఖ్య
8	480	20
12	x	15
8 : 12	480 : x —-(1)	20 : 15

⇒ 8 : 12 మరియు 20 : 15 ల బహుళ నిష్పత్తి

∴ 540 రూపాయలు విలువ చేసే బియ్యం అవసరం.

II వ పద్ధతి :

[latex]\frac{\mathrm{M}_{1} \mathrm{D}_{1}}{\mathrm{~W}_{1}}=\frac{\mathrm{M}_{2} \mathrm{D}_{2}}{\mathrm{~W}_{2}}[/latex]
M₁ = మనుష్యుల సంఖ్య (Men)
D₁ = రోజుల సంఖ్య (Days) / గం||లు.
W₁ = కట్టిన గోడ పొడవు / వెల / చేసిన పని పరిమాణం
∴ M₁ = 8 , M₂ = 12
D₁ = 20 , D₂ = 15
W₁ = ₹480 , W₂ = ? (x)

⇒ x = 45 × 12 = ₹ 540
∴ కావలసిన బియ్యం వెల = ₹ 540/-

ప్రశ్న 2.
10 మంది పనివారు 75 కి.మీ. పొడవు గల రోడ్డును 5 రోజులలో వేయగలరు. అదే పనితనము గల 15 మంది పనివారు 45 కి.మీ. పొడవు గల రోడ్డును ఎన్ని రోజులలో వేయగలరు?
సాధన.
[latex]\frac{\mathrm{M}_{1} \mathrm{D}_{1}}{\mathrm{~W}_{1}}=\frac{\mathrm{M}_{2} \mathrm{D}_{2}}{\mathrm{~W}_{2}}[/latex]
⇒ M₁ = 10 , M₂ = 15
D₁ = 5 , D₂ = ?
W₁ = 75 , W₂ = 45

∴ x = 2
∴ కావలసిన రోజుల సంఖ్య = 2

ప్రశ్న 3.
రోజుకు 8 గంటల వంతున పనిచేస్తూ 24మంది ఒక పనిని 15 రోజులలో చేయగలరు. రోజుకు 9 గంటల వంతున పనిచేస్తూ 20 మంది అదేపనిని ఎన్ని రోజులలో చేస్తారు?
సాధన.
M₁D₁H₁ = M₂D₂H₂
⇒ M₁ = 24 , M₂ = 20
D₁ = 15 రో॥ , D₂ = ?
H₁ = 8గంటలు , H₂ = 9 గం॥లు
⇒ 24 × 15 × 8 = 20 × x × 9

∴ కావలసిన రోజుల సంఖ్య = 16
[మనుషుల సంఖ్య, పని గంటలు విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి.]

ప్రశ్న 4.
175 మంది పనివారు 36 రోజులలో 3150 మీటర్ల పొడవు గల కాలువను త్రవ్వగలరు అయిన 3900 మీటర్ల పొడవు గల కాలువను 24 రోజులలో తప్పుటకు ఎంత మంది పనివారు కావలెను?
సాధన.

∴ కావలసిన పనివారి సంఖ్య = 325

ప్రశ్న 5.
14మంది టైపిస్టు రోజుకు 6 గంటల వంతున పనిచేయుచూ 12 రోజులలో ఒక పుస్తకమును టైప్ చేయగలరు. అయిన అదే పుస్తకమును 4 గురు టైపిస్టు రోజుకు 7 గంటల వంతున పనిచేయుచూ ఎన్ని రోజులలో టైప్ చేయగలరు?
సాధన.
M₁D₁H₁ = M₂D₂H₂
⇒ M₁ = 14 : M₂ = 4
D₁ = 12 , D₂ = ?
H₁ = 6 , H₂ = 7
⇒ 14 × 12 × 6 = 4 × x × 7

⇒ x = 36
∴ కావలసిన రోజుల సంఖ్య = 36
[∵ మనుషుల సంఖ్యకు వారుపనిచేసే పనిగంటలు విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి..

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 8 జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ Ex 8.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 8th Lesson జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ Exercise 8.2

ప్రశ్న1.
ఆంగ్ల అక్షరమాలలోని పెద్ద అక్షరాలను (capital) కత్తిరించి నోటు పుస్తకంలో అతికించుము. వాటికి సాధ్యమైనన్ని సౌష్ఠవ అక్షాలను గీయండి.
i) రేఖా సౌష్ఠవం లేని అక్షరాలు ఎన్ని ?
ii) ఒకే సౌష్ఠవ అక్షాన్ని కలిగి ఉన్న అక్షరాలు ఎన్ని?
iii) రెండు సౌష్ఠవ అక్షాలను కలిగి ఉన్న అక్షరాలు ఎన్ని?
iv) రెండు కన్నా ఎక్కువ సౌష్ఠవ అక్షాలను కలిగియున్న అక్షరాలు ఎన్ని ?
v) ఏ అక్షరాలు భ్రమణ సౌష్ఠవాన్ని కలిగియున్నాయి?
vi) ఏ అక్షరాలు బిందు సౌష్ఠవాన్ని కలిగియున్నాయి?
సాధన.


సాధన.
i) రేఖా సౌష్ఠవం లేని అక్షరాలు → F, G, J, L, N, P, Q, R, S, Z.
ii) ఒకే సౌష్ఠవ అక్షాన్ని కలిగి ఉన్న అక్షరాలు → A, B, C, D, E, K, M, T, U, V, W, Y.
iii) రెండు సౌష్ఠవ అక్షాలను కలిగి ఉన్న అక్షరాలు → H, I, O, X.
iv) రెండు కన్నా ఎక్కువ సౌష్ఠవాక్షాలు గల అక్షరాలు → O, X.
v) భ్రమణ సౌష్ఠవాన్ని కలిగి ఉన్న అక్షరాలు → B, D, E, H, I, M, O, S, T, W, X, Z.
vi) బిందు సౌష్ఠవాన్ని కలిగి ఉన్న అక్షరాలు → O, X, M, W, H, I, E, D.

ప్రశ్న2.
క్రింది. పటాలకు సౌష్ఠవ అక్షాలను గీయండి. వానిలో బిందు సౌష్ఠవం కలిగిన పటాలను గుర్తించండి. సౌష్ఠవ అక్షాలకు, బిందుసౌష్ఠవమునకు మధ్య ఏదేని సంబంధం కలదా ?

సాధన.

ఇచ్చిన పటాలన్నియూ బిందు సౌష్ఠవాలను కలిగి ఉన్నాయి. సౌష్ఠవాక్షం కలిగిన ఆకారాలన్నియూ బిందు సౌష్ఠవం కల్గినవే.

ప్రశ్న3.
ప్రకృతిలో కనీసం ఒక సౌష్ఠవ అక్షాన్ని కలిగి ఉండే ముఖాలు గల వస్తువులను కొన్నింటిని పేర్కొనండి.
సాధన.

1. చందమామ [Moon]
2. అందంగా ఉండే మనిషి ముఖం
3. ఆరెంజ్ పండు
4. తామర పువ్వు
5. తూనీగ

ప్రశ్న4.
ఏవేని మూడు టెస్సలేషన్లను గీచి వానిలో ఉపయోగించిన ప్రాథమిక పటాలను తెల్పండి.
సాధన.
ఈ క్రింది టెస్సలేషన్లను గమనించండి. ఈ క్రింది వాటిని ఏర్పరచుటకు ఉపయోగించిన ప్రాథమిక ఆకృతులు :

ఈ అమరికలను ఏర్పరచుటకు పంచభుజాలు, దీర్ఘచతురస్రాలు, చతురస్రాలు మరియు సమబాహు త్రిభుజాలు ఉపయోగించారు. ఏ టెస్సలేషన్ అయినా ఈ ఆకృతుల ద్వారానే రూపొందిస్తారు.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 8 జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ Ex 8.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 8th Lesson జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ Exercise 8.1

ప్రశ్న1.
నిత్యమూ ఉపయోగించే మూడు జతల సర్వసమాన వస్తువులను పేర్కొనండి.
సాధన.
నిత్యం ఉపయోగించే సర్వసమాన వస్తువులు :
i) చెవి రింగుల జత
ii) సైకిల్ చక్రాలు
iii) భుజాల పొడవులు సమానంగా గల రెండు చతురస్రాకార కేకులు

ప్రశ్న2.
a) రెండు సర్వసమాన పటాలను గీయండి. అవి సరూపాలవుతాయా ? వివరించండి.
b) రెండు సరూప పటాలను’ తీసుకోండి. వాటిని జరిపినా, భ్రమణం చెందించినా లేదా త్రిప్పిన అవి సరూపాలుగానే ఉంటాయా ?
సాధన.
a) ∴ ΔABC ≅ ΔPQR

∴ ΔAB = PQ
AC = PR
BC = QR
∠A = ∠P
∠B = ∠Q
∠C = ∠R
∴ సర్వసమాన త్రిభుజాలు సరూపాలు అగును. కాని సరూప త్రిభుజాలు సర్వసమాన త్రిభుజాలు కావు.

∴ ΔXYZ ~ ΔSTU ల నుండి ఇవి సరూప పటాలు వీటిని భ్రమణం చెందించిన అవి మరలా సరూపాలు గానే ఉంటాయి. (∵ సరూపకత స్థిరత్వం).

ప్రశ్న3.
ΔABC ≅ ΔNMO అయిన అనురూప భుజాలను, అనురూప కోణాల జతలను తెల్పండి.
సాధన.

ΔABC ≅ ΔNMO సర్వసమాన త్రిభుజాల నుండి
AB = NM
BC = MO
AC = NO
∠A = ∠N
∠B = ∠M
∠C = ∠O

ప్రశ్న4.
క్రింది ప్రవచనాలు సత్యమవుతాయో, లేదో తెల్పండి. కారణాలను వివరించండి.
i) 3 సెం.మీ. భుజాలుగా గల రెండు చతురస్రాలలో ఒకదానిని 45° మేర భ్రమణం చెందించిన, అవి సర్వసమానాలు.
ii) 5 సెం.మీ. కర్ణాలుగా గల రెండు లంబకోణ త్రిభుజాలు సర్వసమానాలు.
iii) 4 సెం.మీ. వ్యాసార్థంగా గల రెండు వృత్తాలు సర్వసమానాలు.
iv) 4 సెం.మీ. భుజంగా గల రెండు సమబాహు – త్రిభుజాలు ΔABC మరియు ΔLHN లు సర్వసమానాలు కావు.
v) ఒక బహుభుజి మరియు దాని ప్రతిబింబములు సర్వసమానాలు.
సాధన.
i) సత్యం, ఒక చతురస్రాన్ని 45° మేర భ్రమణం చెందించిన అది మొదటి చతురస్రం వలె ఉండును. అపుడు అవి సర్వసమానాలు అగును.
ii) సత్యం, రెండు లంబకోణ త్రిభుజాల కర్ణాలు సమానమైన వాని అనురూప భుజాలు, కోణాలు కూడా సమానంగా ఉండును.
∴ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానంగా ఉండును.

iii) సత్యం, రెండు వృత్త వ్యా సార్ధాలు (r1 = r2 = 4cm) సమానమైన అవి సర్వసమానాలు.
iv) అసత్యం.

ఒక త్రిభుజంలోని రెండు భుజాలు రెండవ త్రిభుజంలోని రెండు అనురూప భుజాలకు సమానమైన మూడవ భుజాలు కూడా అనుపాతంలో ఉంటాయి.
∴ ΔABC ≅ Δ LHN
కాని ΔABC ≠ ΔLHN అని ఇచ్చారు. కావునా ఇది అసత్యం .
v) సత్యం
ఒక బహుభుజి మరియు దాని ప్రతిబింబాలు ఒకదానికొకటి ఏకీభవిస్తాయి కావునా అవి సర్వసమానాలు.

ప్రశ్న5.
ఒక చతురస్ర బిందు మాపనిపై బహుభుజిని ఒకదానిని గీయండి. మరియు దాని వివిధ దిశలలో సర్వసమాన పటాలు మరియు ప్రతిబింబ పటాన్ని గీయండి.
సాధన.

∴ ABCDEF ~ A’B’C’D’E’F’

ప్రశ్న6.
ఒక గ్రాఫ్ కాగితంపై లేదా చతురస్ర బిందు మాపనిపై ఒక దీర్ఘచతురస్రాన్ని గీయండి. దానికి సరూప పటాన్ని నిర్మించండి. ఈ రెండు పటాల వైశాల్యాలు మరియు చుట్టుకొలతలు కనుగొని వాటి వాటి నిష్పత్తులను దీర్ఘచతురస్రాల భుజాల నిష్పత్తులతో పోల్చండి.
సాధన.

ప్రశ్న7.
ఒక ఇనుప కమ్మీ 7 స్థంభాలపై పటంలో చూపినట్లుగా ఉంచబడింది. ఏ రెండు స్థంభాల మధ్య దూరమైనా 1 మీ.కి సమానం మరియు చివరి స్థంభం ఎత్తు 10.5 మీ. అయిన అన్ని స్థంభాల ఎత్తులను కనుగొనండి.

సాధన.

మొదటి స్థంభం ఎత్తు h₁ = [latex]\frac {1}{7}[/latex] × 10.5 = 1.5 మీ.
2వ స్థంభం ఎత్తు h₂ = [latex]\frac {2}{7}[/latex] × 10.5 = 3 మీ.
3వ స్తంభం ఎత్తు h₃ = [latex]\frac {3}{7}[/latex] × 10.5 = 4.5 మీ.
4వ స్తంభం ఎత్తు h₄ = [latex]\frac {4}{7}[/latex] × 10.5 = 6 మీ.
5వ స్థంభం ఎత్తు h₅ = [latex]\frac {5}{7}[/latex] × 10.5 = 7.5 మీ.
6వ స్థంభం ఎత్తు h₆ = [latex]\frac {6}{7}[/latex] × 10.5 = 9 మీ.

ప్రశ్న8.
3 మీ. ఎత్తుగల ఒక నిలువు స్థంభం నుండి 5 మీ. దూరంలో నిలబడి, సుధ, ఒక భవనం పైభాగము మరియు స్థంభం పైభాగం ఒకే సరళరేఖలో ఉన్నట్లు గమనించినది. భవనం మరియు స్థంభాల మధ్య దూరం 10 మీ. అయిన భవనం ఎత్తు అంచనా వేయుము. (సుధ ఎత్తును లెక్కలోనికి తీసుకోకుండా)
సాధన.
ΔOAD ~ ΔOCD
రెండు సరూప త్రిభుజాల
అనురూప భుజాలు
అనుపాతంలో ఉంటాయి.

∴ [latex]\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CD}}[/latex]
⇒ [latex]\frac{5}{15}=\frac{3}{h}[/latex]
⇒ [latex]\frac{1}{3}=\frac{3}{h}[/latex]
⇒ h = 3 × 3 = 9
h = భవనం ఎత్తు = 9 మీ.

ప్రశ్న9.
ఏదేని ఒక చతుర్భుజాన్ని గీయండి. సూచీ భిన్నం 3 ఉండునట్లు దాని విస్తరణ పటాన్ని గీయండి. వాటి అనురూప భుజాలను కొలిచి ఆ రెండు పటాలు సరూపాలేమో సరిచూడండి.
సాధన.

పై పటం నుండి ☐ ABCD ఒక చతుర్భుజం గ్రాఫ్ కాగితం పై గీయబడినది.
అన్ని శీర్షాలు A B C D లు 0 నుండి కలుపబడి వాటికి మూడు రెట్ల దూరాలు వరుసగా A’B’C’D’ లకు కలుపగా ☐ ABCD కు 3 రెట్లు కొలతలు గల చతుర్భుజాన్ని ఏర్పరచినవి.
ఇక్కడ ‘0’ ను విస్తరణ కేంద్రం అని
మరియు = [latex]\frac{\mathrm{OA}^{\prime}}{\mathrm{OA}}=\frac{3}{1}[/latex] = 3 ను సూచీ భిన్నం అని అంటారు.
∴ □ ABCD ~ □ A’B’C’D’
(∵ వాని అనురూప భుజాలు సమానాలు)
[latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}}=\frac{\mathrm{DA}}{\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}}[/latex]

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 అనులోమ మరియు విలోమ అనుపాతములు Ex 10.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 10th Lesson అనులోమ మరియు విలోమ అనుపాతములు Exercise 10.3

ప్రశ్న 1.
సిరి వద్ద, కిలో 8 రూపాయల చొప్పున 5 కిలోల బంగాళ దుంపలు కొనుటకు సరిపడ డబ్బులు కలవు. బంగాళదుంపల వెల కిలో 10 రూపాయలకు పెరిగిన ఆమె వద్ద వున్న సొమ్ముతో ఎన్నికిలోలు కొనగలదు?
సాధన.
బంగాళదుంపల ధర పెరిగిన వాటిని కొను డబ్బు విలువ తగ్గును.
∴ అవి విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
∴ x₁y₁ = x₂y₂
⇒ 8 × 5 = 10 × x
⇒ x = [latex]\frac{8 \times 5}{10}[/latex] = 4 కిలోలు.
∴ ఆమె కిలో బంగాళదుంపలు ₹ 10 చొప్పున 4 కిలోలు కొనగలదు.

ప్రశ్న 2.
ఒక శిబిరంలో 500 మంది వ్యక్తులకు 70 రోజులకు సరిపడు ఆహార ధాన్యాల నిల్వ కలదు. ఆ శిబిరంలో అదనంగా 200 మంది చేరిన ఆ ఆహారధాన్యాల నిల్వ ఎన్ని రోజుల వరకు సరిపోతుంది?
సాధన.
వ్యక్తుల సంఖ్య, వారికి కావలసిన ఆహార పరిమాణం విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
∴ x₁y₁ = x₂y₂
⇒ 500 × 70 = (500 + 200) × x

∴ x = 50 రోజులు

ప్రశ్న 3.
36గురు కూలీలు ఒక పనిని 12 రోజులలో చేయగలరు. అయిన అదే పనిని 9గురు కూలీలు ఎన్ని రోజులలో చేయగలరు?
సాధన.
కూలీల సంఖ్య, వారు పనిచేయు రోజుల సంఖ్య విలోమానుపాతంలో కలవు.
∴ x₁y₁ = x₂y₂
⇒ 36 × 12 = 9 × x

∴ x = 48 రోజులు

ప్రశ్న 4.
ఒక వ్యక్తి సైకిల్ పై 28 కి.మీ. దూరమును 2 గంటలలో చేరును. అతను అదే వేగముతో ప్రయాణించిన 56 కి.మీ. దూరమును ఎంతకాలములో చేరగలడు?
సాధన.
దూరము – కాలము అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి.

∴ x = 4 గం ||లు

ప్రశ్న 5.
ఒక ఓద గంటకు 16 నాటికల్ మైళ్ళ వేగముతో కొంత దూరమును 10 గంటలలో చేరగలదు. అదే దూరము 8 గంటలలో చేరవలెనన్న ఆ ఓడ ఎంత అధిక వేగముతో ప్రయాణము చేయాలి? సముద్రములపై దూరమునకు ప్రమాణము నాటికల్మై ల్ (1 నాటికల్ మైల్ = 1852 మీటర్లు)
సాధన.
వేగము – దూరం విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
⇒ x₁y₁ = x₂y₂
⇒ 16 × 10 = x × 8

∴ ఆదనంగా పెంచాల్సిన ఓడ వేగం
= 20 – 16 = 4
= 4నాటికల్ మైళ్ళు

ప్రశ్న 6.
ఒక ట్యాంకును 5 కుళాయిలు 1[latex]\frac {1}{2}[/latex] గంటల కాలములో సింపును. అదే ట్యాంకును అర్ధగంటలో నింపవలెనన్న అటువంటి కుళాయిలు ఎన్ని కావలెను?
సాధన.
కుళాయిల సంఖ్య, వాటిని నింపే కాలం విలోమాను పాతంలో ఉంటాయి.

∴ కావలసిన కుళాయిల సంఖ్య = 15

ప్రశ్న 7.
15 మంది కూలీలు ఒక గోడను 48 గంటలలో కట్టగలరు. అదే గోడను 30 గంటలలోనే కట్టవలెనన్న ఎంతమంది కూలీలు కావలెను?
సాధన.
కూలీల సంఖ్య, కాలానికి విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

∴ కావలసిన కూలీల సంఖ్య = 24

ప్రశ్న 8.
ఒక పాఠశాలలో 45 నిమిషముల కాలవ్యవధితో 8 పీరియడ్లు కలవు. ఒక రోజులో 6 పీరియడ్లు మాత్రమే వుండవలెనన్న ఒక పీరియడు కాలవ్యవధి ఎంత వుండవలెను? (పాఠశాల పనివేళలలో మార్పులేదని భావించుము)
సాధన.
కాలానికి, పీరియడ్ల సంఖ్య విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
⇒ x₁y₁ = x₂y₂
⇒ 45 × 8 = x × 6

ప్రశ్న 9.
z అనే రాశి x అనే రాశితో అనులోమానుపాతంలోను, y అనే రాశితో విలోమానుపాతంలోను వుంటుంది. x రాశిలో 12% పెరుగుదల, y రాశిలో 20% తరుగుదల వున్న z రాశిలో వచ్చే పెరుగుదల శాతమును కనుగొనుము.
సాధన.
z ∝ x —————– (1)
z ∝ [latex]\frac {1}{y}[/latex] ————- (2)
(1), (2) ల నుండి z ∝ [latex]\frac {x}{y}[/latex]
z = k([latex]\frac {x}{y}[/latex])
⇒ k = [latex]\frac {yz}{x}[/latex]
∴ [latex]\frac{y_{1} z_{1}}{x_{1}}=\frac{y_{2} z_{2}}{x_{2}}[/latex] —————- (3)
∴ x₁ = 100x
x₂ = 112x (∵ x లో 12% పెరుగుదల)
y₁ = 100y
y₂ = 80y (∵ y లో 20% పెరుగుదల)
z₁ = 100z z₂ = ?

⇒ 5z = [latex]\frac{\mathrm{z}_{2}}{28}[/latex]
⇒ z₂ = 140z
∴ z లో పెరుగుదల శాతం = 40%

ప్రశ్న 10.
(x + 1) మంది పనివారు ఒక పనిని (x + 1) రోజులలో చేయగలరు. అయిన అదే పనిని (x + 2) మంది పనివారు ఎన్ని రోజులలో చేయగలరు?
సాధన.
పనివారి సంఖ్య, రోజుల సంఖ్యకు విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
⇒ x₁y₁ = x₂y₂
⇒ (x + 1) (x + 1) = (x + 2) × k
⇒ k = [latex]\frac{(x+1)(x+1)}{(x+2)}[/latex]
∴ k = [latex]\frac{(x+1)^{2}}{(x+2)}[/latex] రోజులు

ప్రశ్న 11.
ఒక దీర్ఘచతురస్రము చుట్టుకొలత 24 మీ. దాని చుట్టుకొలతను మార్పుచేయకుండా పొడవును 1 మీ. పెంచినపుడు, దాని వెడల్పు మరియు వైశాల్యములలో మార్పు వచ్చును. క్రింది పట్టికను నింపి ఆ విలువల ఆధారంగా వెడల్పు, వైశాల్యముల విలువలు పొడవు విలువ మార్పు మీద ఏవిధంగా ఆధారపడతాయో గమనించుము. మీరు ఏమి గమనించారు? మీ పరిశీలనను నోట్ పుస్తకములో వ్రాయండి.

సాధన.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 అనులోమ మరియు విలోమ అనుపాతములు Ex 10.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 10th Lesson అనులోమ మరియు విలోమ అనుపాతములు Exercise 10.2

ప్రశ్న 1.
క్రింది పట్టికలను పరిశీలించండి. ఏ పట్టికలోని చరరాశులు x, y లు విలోమానుపాతంలో వున్నాయో కనుగొనండి.

సాధన.
(i)

పై పట్టిక నుండి x విలువ తగ్గుతుంటే y విలువ పెరుగుతుంది.
∴ x, yలు విలోమానుపాతంలో కలవు.

(ii)

పై పట్టిక నుండి x విలువ పెరుగుతూ ఉంటే y విలువ తగ్గుతూ ఉంది.
∴ x, y లు విలోమానుపాతంలో కలవు.

(iii)

∴ x విలువ తగ్గుతూ ఉంటే, y విలువ పెరుగుతూ ఉంది. కావున x, y లు విలోమానుపాతంలో కలవు.

ప్రశ్న 2.
ఒక పాఠశాల వారు పుస్తకాలను కొనడానికి ₹ 6000 ఖర్చు పెట్టదలిచినారు. ఈ సమాచారాన్ని వుపయోగించుకొంటూ క్రింది పట్టికను నింపండి.

సాధన.

ప్రశ్న 3.
ఒక గళ్ళ కాగితాన్ని తీసుకోండి. 48 చదరపు గడులను క్రింద చూపినట్లు వివిధ వరుసలలో అమర్చండి.


మీరు ఏమి గమనిస్తారు? R విలువ పెరిగితే, C విలువ తగ్గుతుంది.
(i) R₁ : R₂ = C₂ : C₁ అవుతుందా?
(ii) R₃ : R₄ = C₄ : C₃ అవుతుందా?
(iii) R మరియు C లు ఒకదానికొకటి విలోమానుపాతంలో వున్నాయా?
(iv) ఇదే కృత్యాన్ని గళ్ళ కాగితంపై 36 చదరపు గడులను తీసుకొని చేయండి.
సాధన.
(i) R₁ : R₂ = C₂ : C₁
⇒ 2 : 3 = 16 : 24

∴ R₁ : R₂ = C₂ : C₁

(ii) R₃ : R₄ = C₄ : C₃
⇒ 4 : 6 = 8 : 12
⇒ [latex]\frac{4}{6}=\frac{8}{12}=\frac{4 \times 2}{6 \times 2}=\frac{4}{6} \Rightarrow \frac{4}{6}=\frac{4}{6}[/latex]
∴ R₃ : R₄ = C₄ : C₃

(iii) ∴ R, C లు ఒకదానికొకటి విలోమానుపాతంలో కలవు.
∵ అడ్డువరుసలు పెరిగితే నిలువు వరుసలు తగ్గును.
నిలువు వరుసలు పెరిగితే అడ్డు వరుసలు తగ్గును.

(iv) గళ్ళ కాగితంపై 36 చదరపు గడులను తీసుకొనిన

పై పట్టిక నుండి R విలువ పెరిగే కొద్దీ, C విలువ తగ్గును.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 7 పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 7th Lesson పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. కొందరు భారతీయ క్రికెట్ ఆటగాళ్ళ ఎత్తులు క్రింది పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి. ఈ దత్తాంశమునకు మధ్యగతమును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 154)

క్రమసంఖ్య	ఆటగాని పేరు	ఎత్తు
1.	వి.వి.ఎస్. లక్ష్మ ణ్	5’11”
2.	పార్థివ్ పటేల్	5’3″
3.	హర్భజన్ సింగ్	6’0″
4.	సచిన్ టెండూల్కర్	5’5″
5.	గౌతమ్ గంభీర్	5’7″
6.	యువరాజ్ సింగ్	6’1″
7.	రాబిన్ ఊతప్ప	5’9″
8.	వీరేంద్ర సెహ్వాగ్	5’8″
9.	జహీర్ ఖాన్	6’0″
10.	ఎం.ఎస్. ధోనీ	5’11”

5’10” అనగా 5 అడుగుల 10 అంగుళాలు

సాధన.
దత్తాంశం యొక్క ఆరోహణ క్రమం : 5’3″, 5’5″, 5’7″, 5’8″, 5’9″, 5’11”, 5’11’, 60″, 60″, 6’1″
క్రీడాకారుల సంఖ్య n = 10 ఒక సరి సంఖ్య కావున మధ్యగతం [latex]\frac{\mathrm{n}}{2}[/latex] మరియు [latex]\left(\frac{\mathrm{n}}{2}+1\right)[/latex]ల సరాసరి అవుతుంది.
∴ మధ్యగతం M = [latex]\frac {10}{2}[/latex], [latex]\left(\frac{10}{2}+1\right)[/latex] = 5, 6 వ రాశుల సరాసరి

2. ఒక అపార్ట్ మెంట్ భవన సముదాయంలోని 90 మంది వ్యక్తుల వయస్సులు ప్రక్క వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము నందు ఇవ్వబడ్డాయి. (పేజీ నెం. 158)

వయస్సు	వ్యక్తుల సంఖ్య
1 – 10	15
11 – 20	14
21 – 30	17
31 – 40	20
41 – 50	18
51 – 60	4
61 – 70	2

ఈ దత్తాంశము నుండి క్రింది ప్రశ్నలకు జవాబివ్వండి.
i) దత్తాంశము ఎన్ని తరగతులుగా విభజింపబడినది ?
ii) 21 – 30 తరగతిలో ఎంత మంది కలరు ?
iii) ఏ తరగతి వయస్సు వారు ఎక్కువ మంది కలరు ?
iv) చివరి తరగతిలోని ఇద్దరి వయస్సులు 61, 70 లేదా మరి ఏదైనా వయస్సువారిని చెప్పవచ్చా ?
సాధన.
i) 7 ii) 17 iii) 31 – 40 iv) చెప్పవచ్చు. అవి 62, 63, ……… 69.

3. ఒక తరగతిలోని 30 మంది విద్యార్థులు దుమికిన దూరాలు ఈ విధంగా ఉన్నవి. (పేజీ నెం. 160)

I. ఇచ్చిన తరగతి అంతరాలు విలీన తరగతి అంతరాలా ? మినహాయింపు తరగతి అంతరాలా ?
II. రెండవ తరగతి అంతరంలో ఎంత మంది విద్యార్థులు కలరు ?
III. 3.01 మీ. లేక అంతకన్నా ఎక్కువ దూరం దుమికిన వారెందరు ?
IV. 4.005 మీ. దూరం దుమికిన విద్యార్థి ఏ తరగతికి చెందుతాడు ?
సాధన.
I. విలీన తరగతులు
II. 7
III. 15 + 3 + 1 = 19
IV. 401 – 500

4. పై దత్తాంశములోని తరగతులకు హద్దులు వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 160)
సాధన.
హద్దులు :
100.5 – 200.5
200:5 – 300.5
300.5 – 400.5
400.5 – 500.5
500.5 – 600.5

5. పై దత్తాంశములోని ఒక్కొక్క తరగతి అంతరమెంత ? (పేజీ నెం. 160)
సాధన.
100

6. క్రింది వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనములకు పౌనఃపున్య బహుభుజులు నిర్మించండి. (పేజీ నెం. 174)
i) ఒక తరగతిలోని విద్యార్థుల మధ్య జరిగిన స్నేహపూర్వక క్రికెట్ ఆట నందు వారి పరుగుల వివరాలు

సాధన.

తరగతి అంతరం	పౌనఃపున్యం	మధ్య విలువలు
10 – 20	3	15
20 – 30	5	25
30 – 40	8	35
40 – 50	4	45
50 – 60	2	55

నిర్మాణ సోపానములు :
సోపానం – 1: తరగతి మధ్య విలువలను గణించవలెను.
సోపానం – 2 : దత్తాంశమునకు సోపాన రేఖా చిత్రమును నిర్మించి ప్రతి సోపానము యొక్క పై వెడల్పుల మధ్య బిందువులు B, C, D, E, F లను గుర్తించి కలుపవలెను.
సోపానం – 3 : తరగతుల యొక్క ముందు తరగతి, తరువాత తరగతులను ఊహించి వాని పౌనఃపున్యములు ‘0’గా తీసుకొని తరగతి మధ్య విలువలు గుర్తించవలెను.
సోపానం – 4 : మొదటి తరగతికి ముందు తరగతిని, చివరి తరగతికి తరువాత తరగతులను ఊహించుకోండి. అంటే 10 – 20 తరగతికి ‘ముందు తరగతిని X – అక్షమునకు ఋణాత్మక దిశలో 0 – 10 గా తీసుకోండి. అదే విధంగా 50 – 60 తరగతికి తరువాత తరగతిని 60 – 70 గా తీసుకోండి. వీటి మధ్య విలువలను A, G లుగా గుర్తించండి.
సోపానం – 5 : ఇప్పుడు B బిందువును Aతోనూ, F బిందువును G తోనూ కలిపితే పౌనఃపున్య బహుభుజి ఏర్పడుతుంది. పౌనఃపున్య బహుభుజి నిర్మించుటకు ప్రతిసారి సోపాన రేఖా చిత్రము నిర్మించనవసరము లేదు. దీనికి బదులుగా తరగతి మధ్య విలువలను, పౌనఃపున్యములను ఉపయోగించి పౌనఃపున్య బహుభుజిని నిర్మించవలెను.

ii). ఒక నాటక ప్రదర్శన కొరకు అమ్మిన టిక్కెట్ల వివరాలు

సాధన.

తరగతి అంతరం	పౌనఃపున్యం	మధ్య విలువలు
7.5 – 12.5	50	10
12.5 – 17.5	30	15
17.5 – 22.5	60	20
22.5 – 27.5	30	25
27.5 – 32.5	20	30

నిర్మాణ సోపానములు :
సోపానం – 1 : తరగతి మధ్యవిలువలు ఇచ్చియున్నారు. కావున తరగతి అంతరాలు గణించవలెను.
సోపానం – 2 : దత్తాంశానికి సోపాన రేఖా చిత్రం నిర్మించి ప్రతి సోపానం యొక్క వెడల్పుపై మధ్య బిందువులను B, C, D, E, F లుగా గుర్తించవలెను. తద్వారా వాటిని కలుపవలెను.
సోపానం – 3 : తరగతుల యొక్క ముందు తరగతి, తరువాత తరగతిని ఊఊహించి, వాని పౌనఃపున్యాలు ‘0’ గా తీసుకొని తరగతి మధ్య విలువలు ‘0’గా గుర్తించవలెను.
సోపానం – 4 : మొదటి తరగతికి ముందు తరగతిని 2.5 – 7.5 గాను చివరి తరగతికి తరువాత తరగతిని 32.5 – 37.5 గా ఊహించి వీటి మధ్య విలువలను A, G లుగా గుర్తించవలెను.
సోపానం – 5 : ఇప్పుడు A ను B తోను, G ను F తోను కలుపగా ABCDEFG ఒక బహుభుజి ఏర్పడినది.

ప్రయత్నించండి

1. ఏవైనా మూడు సంఖ్యాత్మక దత్తాంశములను, మూడు వివరణాత్మక దత్తాంశములను వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 148)
సాధన.
సంఖ్యాత్మక దత్తాంశం :

వివరణాత్మక దత్తాంశం : అమరరాజా ఆదాయంలో 24% వృద్ధి

అమరరాజా బ్యాటరీస్ ఈ మూడో త్రైమాసికంలో రికార్డు స్థాయి ఆర్థిక ఫలితాలను నమోదు చేసింది. క్రితం ఆర్థిక సంవత్సరం ఇదే కాలంతో పోల్చినప్పుడు ఆదాయం 24 శాతం, నికరలాభం 23 శాతం పెరిగాయి. ఈ మూడో త్రైమాసికంలో రూ. 756. 90 నికర అమ్మకాల ఆదాయాన్ని నమోదు చేసింది. దీనిపై రూ. 80 కోట్ల నికరలాభం ఉంది. క్రితం ఆర్థిక సంవత్సరం ఇదే కాలంలో ఆదాయం రూ. 613 కోట్లు, నికరలాభం రూ. 65 కోట్లు మాత్రమే కావటం గమనార్హం. ఈ ఆర్థిక సంవత్సరం మొదటి 9 నెలల కాలంలో ఆదాయం రూ. 2,162 కోట్లు, రూ. 227 కోట్ల నికరలాభం ఉన్నాయి. క్రితం ఆర్థిక సంవత్సరం ఇదే కాలంలో ఆదాయం రూ. 1697 కోట్లు కాగా, అప్పట్లో నమోదైన నికరలాభం రూ. 157 కోట్లు. 9 నెలల కాలానికి కూడా ఆదాయంలో 27 శాతం, నికరలాభంలో 44 శాతం వృద్ధి కనిపిస్తున్నాయి. ఆటోమోటివ్ బ్యాటరీల విభాగం, పారిశ్రామిక బ్యాటరీల విభాగం ….. రెండూ కూడా రెండంకెల వృద్ధిని నమోదు చేసినట్లు అమరరాజా బ్యాటరీస్ ఎం.డి. జయదేవ్ గల్లా పేర్కొన్నారు.

2. పై సందర్భాలకు ఊహించిన అంక మధ్యమము, విచలనాల పట్టికను తయారు చేయండి. విచలనాల సరాసరి ఊహించిన అంక మధ్యమము మరియు నిజమైన అంకగణిత మధ్యమము విలువలను గమనించండి. ఏమి గమనించారు ? (పేజీ నెం. 151)
(సూచన : విచలనాల సరాసరితో పోల్చి చూడండి.)
సాధన.

∴ అసలు సగటు = [latex]\frac{\Sigma x_{i}}{N}=\frac{80}{5}[/latex] = 16
∴ విచలనాల సరాసరి = [latex]\frac {-5}{5}[/latex] = -1
∴ అంకగణిత సగటు = ఊహించిన సగటు + విచలనాల సరాసరి
17 + (-1) = 16
∴ ఊహించిన అంకమధ్యమం, నిజమైన అంకమధ్యమం రెండూ సమానం.

3. క్రింది దత్తాంశములకు అంకగణిత మధ్యమాలను అంచనావేసి వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 153)
i) 17, 25, 28, 35, 40
ii) 5, 6, 7, 8, 8, 10 10, 10, 12, 12, 13, 19, 19, 19, 20
పై సమస్యలను సాధారణ పద్ధతిలో సాధించుట ద్వారా పై సమాధానములను సరిచూడండి.
సాధన.
i) 17, 25, 28, 35, 40
ఊహించిన అంకమధ్యమం = 35

ii) 5, 6, 7, 8, 8, 10, 10, 10, 12, 12, 13, 19, 19, 19, 20
ఊహించిన అంకమధ్యమం = 10

4. 24, 65, 85, 12, 45, 35, 15 ల యొక్క మధ్యగతము కనుగొనండి.
సాధన.
24, 65, 85, 12, 45, 35, 15 ల ఆరోహణ క్రమం = 12, 15, 24, 35, 45, 65, 85
∴ రాశుల సంఖ్య (n) = 7 ఒక బేసి సంఖ్య
∴ మధ్యగతం = [latex]\frac{\mathrm{n}+1}{2}=\frac{7+1}{2}[/latex] = 4 వ రాశి
∴ మధ్యగతం = 35

5. x, 2x, 4x రాశుల మధ్యగతము 12 అయిన ఆ రాశుల సరాసరి ఎంత ? (పేజీ నెం. 155)
సాధన.
x, 25, 4x రాశుల మధ్యగతం = 2x
∴ 2x = 12 ⇒ x = 6
2x = 2 × 6 = 12
4x = 4 × 6 = 24
6, 12, 24 ల సరాసరి = [latex]\frac{6+12+24}{3}=\frac{42}{3}[/latex] = 14

6. 24, 29, 34, 38, X అను దత్తాంశము యొక్క మధ్యగతము 29 అయిన x విలువ (పేజీ నెం. 155)
(i) x > 38 (ii) x < 29 (iii) 29, 34 ల మధ్య (iv) ఏదీకాదు.
సాధన.
24, 29, 34, 38, x ల మధ్యగతం = 29
n = 5 బేసి సంఖ్య
మధ్యగతం = [latex]\frac{\mathrm{n}+1}{2}=\frac{5+1}{2}[/latex] = 3వ రాశి
∴ 29 కంటే x చిన్నదైనపుడు మాత్రమే 29, 3వ రాశి కాగలదు.
∴ x < 29

7. ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యము …………… సంబంధము కలిగి ఉంటుంది. (పేజీ నెం. 165)
సాధన.
ఎగువ హద్దులతో

8. అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యము …………. సంబంధము కలిగి ఉంటుంది. (పేజీ నెం. 165)
సాధన.
దిగువ హద్దులతో

9. క్రింది దత్తాంశమునకు ఆరోహణ, అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలు వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 165)

సాధన.

10. పై దత్తాంశములో పౌనఃపున్యముల మొత్తం (రాశుల సంఖ్య) ఎంత ? చివరి తరగతి యొక్క ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యము ఎంత ? నీవేమి చెప్పగలవు ? (పేజీ నెం. 165)
సాధన.
పై దత్తాంశంలో పౌనఃపున్యాల మొత్తం = 30
చివరి తరగతి యొక్క ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం = 30
∴ రాశుల మొత్తం = చివరి తరగతి ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం

11. ప్రక్క సోపాన రేఖా చిత్రమును పరిశీలించి ప్రశ్నలకు జవాబులివ్వండి. (పేజీ నెం. 169)
i) ఈ సోపాన రేఖా చిత్రము ఏ సమాచారమును సూచిస్తున్నది ?
ii) ఏ తరగతి నందు గరిష్ఠ సంఖ్యలో విద్యార్థులు కలరు ?
iii) ఎంతమంది విద్యార్థులు 5 గంటలు లేక అంతకన్నా ఎక్కువ సమయం T.V. ను వీక్షిస్తున్నారు ?
iv)ఎంత మంది విద్యార్థులపై సర్వే నిర్వహించబడినది ?
సాధన.
i) వివిధ సమయాలలో టి.వి.లు చూసే విద్యార్థుల సంఖ్య.
ii) 5వ తరగతి నందు గరిష్ఠ సంఖ్యలో విద్యార్థులు కలరు.
iii) 35 + 15 + 5 = 55 మంది
iv) సర్వే నిర్వహించబడిన విద్యార్థుల సంఖ్య = 10 + 15 + 20 + 35 + 15 + 5 = 100 మంది

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి

1. ఒక దత్తాంశము యొక్క బాహుళకమునకు సమానమైన రాశులను కొన్నింటిని చేర్చగా దత్తాంశపు బాహుళకము ఎట్లు మారును ? (పేజీ నెం. 155)
సాధన.
ఒక దత్తాంశం యొక్క బాహుళకానికి సమానమైన రాశులను కొన్నింటిని చేర్చినా ఆ దత్తాంశపు బాహుళకంలో ఎటువంటి మార్పు ఉండదు.
ఉదా : 5, 6, 7, 8, 7, 9 ల బాహుళకం = 7
7 నకు 7, 7, 7, 7 లను చేర్చినా బాహుళకంలో మార్పు రాదు.

2. క్రింది రాశుల దత్తాంశమునకు పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికను వ్రాయండి. 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7. (పేజీ నెం. 161)
సాధన.
వ్యాప్తి = గరిష్ట విలువ – కనిష్ఠ విలువ = 7 – 1 = 6
తరగతుల సంఖ్య = 7 అయిన

3. క్రింది సంఖ్యల దత్తాంశమునకు పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికను వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 161)
2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 9, 11, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 15, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 22, 24, 24, 25. (సూచన : విలీన తరగతులను తీసుకోండి.)
సాధన.
వ్యాప్తి = గరిష్ఠ విలువ – కనిష్ఠ విలువ = 25 – 2 = 23

4. పై రెండు దత్తాంశములలో భేదమేమి ? వాని పౌనఃపున్య విభాజనములను ఏమంటారు ? (పేజీ నెం. 161)
సాధన.
మొదటి పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలోని తరగతులు సంలీన తరగతులు, రెండవ పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలోని తరగతులు విలీన తరగతులు. పై రెండు దత్తాంశాలలో భేదం కేవలం తరగతులలో మాత్రమే కన్పిస్తుంది.

5. పై సమస్యల యొక్క పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలలో దేని నుండి మరలా దత్తాంశములోని రాశులను విడివిడిగా వ్రాయగలము ? (పేజీ నెం. 161)
సాధన.
తరగతులు

6. ఒక కమ్మీ రేఖా చిత్రములో అన్ని కమ్మీల (పేజీ నెం. 168)
(a) పొడవులు సమానం (b) వెడల్పులు సమానం (c) వైశాల్యములు సమానం (d) విలువలు సమానం
సాధన.
(b) వెడల్పులు సమానం

7. ఒక కమ్మీ రేఖా చిత్రంలో ప్రతి కమ్మీ యొక్క పొడవు మిగిలిన కమ్మీల పొడవుపై ఆధారపడి ఉంటుందా ? (పేజీ నెం. 168)
సాధన.
లేదు

8. ఏదైనా ఒక కమ్మీలో చేసిన మార్పు మిగిలిన కమ్మీలలో మార్పును కలుగజేస్తుందా ? (పేజీ నెం. 168)
సాధన.
లేదు

9. ఏయే సందర్భములలో నిలువు కమ్మీ లేక అడ్డు కమ్మీ రేఖా చిత్రాలను ఉపయోగిస్తాము ? (పేజీ నెం. 168)
సాధన.
సమాన దూరములు కలిగి, సమాన వెడల్పుల, పౌనఃపున్యాలకు అనుపాతంలో గల పొడవులను సూచించుటకు నిలువు లేదా అడ్డు కమ్మీ రేఖా చిత్రాలను ఉపయోగిస్తాం.

10. సోపాన చిత్రంలో X – అక్షంపై తరగతి యొక్క హద్దులు గుర్తిస్తాం. కాని అవధులు కాదు. ఎందువల్ల ? (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
ఒక తరగతి యొక్క ఎగువ, దిగువ హద్దుల భేదం ఆ తరగతి అంతరాన్ని ఇస్తుంది. అందువలన X – అక్షంపై హద్దులు గుర్తిస్తాం.

11. సోపాన చిత్రంలో దీర్ఘచతురస్రాల వెడల్పులను నిర్ణయించు అంశమేది ? (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
తరగతి అంతరం

12. అన్ని దీర్ఘచతురస్రాల పొడవుల మొత్తం దేనిని సూచిస్తుంది ? (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
పౌనఃపున్యాల మొత్తం.

13. దత్తాంశములోని మొదటి తరగతికి ముందు తరగతి లేనిచో బహుభుజిని ఎట్లు పూరించగలవు ? (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
ముందు తరగతి పౌనఃపున్యం ‘0’ గా తీసుకొని దానిచే బిందువును కలుపవలెను.

14. ఒక దత్తాంశము యొక్క సోపాన రేఖా చిత్రము, పౌనఃపున్య బహుభుజిల వైశాల్యములు సమానము. ఎట్లు ? (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
రెండు చిత్రాలు తరగతి మధ్య విలువలపై ఆధారపడి నిర్మించబడతాయి.

15. పౌనఃపున్య బహుభుజి నిర్మాణమునకు ముందుగా సోపాన చిత్రము నిర్మించవలెనా ? (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
అవసరం లేదు

16. విభాజిత శ్రేణి/అవర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనమునకు ‘పౌనఃపున్య బహుభుజి’ని గీయగలమా ? (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
గీయలేము.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 అనులోమ మరియు విలోమ అనుపాతములు Ex 10.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 10th Lesson అనులోమ మరియు విలోమ అనుపాతములు Exercise 10.1

ప్రశ్న 1.
ఒక ప్రత్యేక నాణ్యత గల బట్ట 5 మీటర్ల ఖరీదు ₹210, అయిన (i) 2 మీ. (ii) 4 మీ. (iii) 10 మీ. (iv) 13 మీ. పొడవు గల బట్ట ఖరీదు ఎంతో కనుగొనండి.
సాధన.
ఒక బట్ట 5 మీ॥ల ఖరీదు = ₹ 210
బట్ట ఖరీదు మరియు బట్ట పొడవులు అనులోమాను పాతంలో ఉంటాయి.

ప్రశ్న 2.
ఈ కింది పట్టికను నింపండి.

సాధన.

ప్రశ్న 3.
48 ధాన్యం బస్తాల ఖరీదు ₹16,800 అయిన 36 ధాన్యం బస్తాల ఖరీదు ఎంత?
సాధన.
ధాన్యం బస్తాల సంఖ్య వాటి ఖరీదు అనులోమాను పాతంలో కలవు.
[latex]\frac{x_{1}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{y_{2}}[/latex] ఇక్కడ x₁ = 48, y₁ = 16,800
x₂ = 36, y₂ = ?

= 3 × 4200
y₂ = ₹ 12,600
∴ 36 ధాన్యం బస్తాల ఖరీదు = ₹ 12,600

ప్రశ్న 4.
నలుగురు సభ్యులు గల ఒక కుటుంబానికి నెలకు అయ్యే సగటు ఖర్చు ₹ 2,800. ముగ్గురు సభ్యులు గల కుటుంబానికి నెలకు అయ్యే సగటు ఖర్చు ఎంతో కనుగొనండి.
సాధన.
కుటుంబ సభ్యుల సంఖ్య, వారికి అయ్యే ఖర్చులు అనులోమానుపాతంలో కలవు.

∴ ముగ్గురు సభ్యులకు నెలకు అయ్యే సగటు ఖర్చు = ₹2100

ప్రశ్న 5.
28 మీటర్ల పొడవు గల ఒక ఓడ స్తంభము ఎత్తు 12 మీ. ఆ ఓడ నమూనా తయారీలో ఓడ స్తంభము ఎత్తు 9 సెం.మీ. అయిన ఆ నమూనా ఓడ పొదవు ఎంత?
సాధన.
ఓడ పొడవు, ఓడ స్తంభం పొడవు అనులోమానుపాతంలో కలవు.
[latex]\frac{x_{1}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{y_{2}}[/latex] ఇక్కడ x₁ = 28, y₁ = 12
x₂ = ?, y₂ = 9

∴ x₂ = 7 × 3 = 21 మీ.
∴ నమూనా ఓడ పొడవు = 21 మీ.

ప్రశ్న 6.
5.6 మీ. ఎత్తు గల ఒక స్తంభము ఏర్పరచు నీడ పొడవు 3.2 మీ. అదే నియమంలో (i) 10.5 మీ. ఎత్తు గల మరొక స్తంభము యొక్క నీడ పొడవు ఎంత? (ii) 5 మీ. నీడను ఏర్పరచు స్తంభము యొక్క పొడవు ఎంత?
సాధన.
స్తంభం ఎత్తు, అది ఏర్పరచు నీడ పొడవులు అనులోమాను పాతంలో కలవు.
∴ [latex]\frac{x_{1}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{y_{2}}[/latex]
(i) x₁ = 5.6 మీ., x₂ = 10.5
y₁ = 3.2 మీ., y₂ = ?

∴ 10.5 మీ|| ఎత్తుగల స్తంభం నీడ పొడవు = 6 మీ.

(ii) x₁ = 5.6 మీ., x₂ = ?
y₁ = 3.2 మీ., y₂ = 5

∴ x₂ = 8.75 మీ.

ప్రశ్న 7.
సరుకులతో నింపబడిన ఒక లారీ 14 కి.మీ. దూరము ప్రయాణించుటకు పట్టుకాలం 25 నిమిషములు. ఆ లారీ అదే వేగముతో ప్రయాణించుచున్న 5 గంటల కాలములో అది ప్రయాణించు దూరమెంత?
సాధన.
దూరము, కాలము అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
⇒ [latex]\frac{x_{1}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{y_{2}}[/latex]; x₁ = 14 కి.మీ., x₂ = ?
y₁ = 25 ని॥ = [latex]\frac {25}{60}[/latex] గం॥ = [latex]\frac {5}{12}[/latex] గం॥
y₂ = 5 గం||

= 168 కి.మీ.
∴ 5 గం||ల కాలంలో లారీ ప్రయాణించు దూరం
=168కి. మీ.

ప్రశ్న 8.
12 దళసరి కాగితముల బరువు 10 గ్రాములు అయిన అటువంటి ఎన్ని దళసరి కాగితముల బరువు 16[latex]\frac {2}{3}[/latex] కిలోగ్రాములగును?
సాధన.
కాగితాల సంఖ్య, వాటి బరువు అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
⇒ [latex]\frac{x_{1}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{y_{2}}[/latex]; ఇక్కడ x₁ = 12, x₂ = ? y₁ = 40 గ్రా.,

కాగితముల సంఖ్య = 5000

9. ఒక రైలు గంటకు 75 కి.మీ. సమవేగంతో ప్రయాణించుచున్నది.

ప్రశ్న (i)
అయిన అది 20 నిమిషాలలో ఎంతదూరము ప్రయాణించును?
సాధన.
రైలు వేగం = 75 కి.మీ/ గం||.
20 ని||లలో అది ప్రయాణించు దూరం
దూరం = వేగము × కాలం [ ∵ s = [latex]\frac {d}{t}[/latex])
= 75 × [latex]\frac {20}{60}[/latex]
= 75 × [latex]\frac {1}{3}[/latex] = 25 కి.మీ.

ప్రశ్న (ii)
250 కి.మీ. దూరమును ప్రయాణించుటకు ఆ రైలుకు ఎంతకాలము పట్టును?
సాధన.
250 కి.మీ. దూరం ప్రయాణించుటకు పట్టుకాలం
కాలం = [latex]\frac {దూరం}{వేగం}[/latex] [∵ t = [latex]\frac {d}{s}[/latex]]
= [latex]\frac {250}{75}[/latex]
కాలం = [latex]\frac {10}{3}[/latex] గం||లు

ప్రశ్న 10.
ఒక మైక్రోచిప్ పథకం (డిజైన్) యొక్క స్కేలు 40 : 1గా వున్నది. నమూనాలో దాని పొడవు 18 సెం.మీ. అయిన ఆ మైక్రోచిప్ యొక్క నిజమైన పొదవును కనుగొనండి.
సాధన.
మైక్రోచిప్ పథకం యొక్క స్కేలు = 40 : 1
నమూనాలో దాని పొడవు = ?
నమూనాలో పొడవు, నిజమైన పొడవు అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
⇒ [latex]\frac{x_{1}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{y_{2}}[/latex] ఇక్కడ
x₁ = 40, x₂= 18,
y₁ = 1, y₂ = ?

∴ మైక్రోచిప్ నిజమైన పొడవు = [latex]\frac {9}{20}[/latex] సెం.మీ.

ప్రశ్న 11.
డాక్టర్లు, లాయర్ల యొక్క సరాసరి వయస్సు ’40’. డాక్టర్ల యొక్క సరాసరి వయస్సు 35, లాయర్ల యొక్క సరాసరి వయస్సు ’50’ అయినచో డాక్టర్ల సంఖ్య, లాయర్ల సంఖ్య కనుగొమము.
సాధన.

డాక్టర్ల సరాసరి వయస్సు = 35
⇒ డాక్టర్ల మొత్తం వయస్సు = 35x
లాయర్ల సరాసరి వయస్సు = 50
⇒ లాయర్ల మొత్తం వయస్సు = 50y
∴ [latex]\frac{35 x+50 y}{x+y}[/latex] = 40
⇒ 35x + 50y = 40x + 40y
⇒ 10y = 5x
⇒ [latex]\frac{x}{y}=\frac{10}{5}=\frac{2}{1}[/latex] = 2 : 1
∴ డాక్టర్లు, లాయర్ల సంఖ్య 2 : 1 నిష్పత్తిలో ఉండును.