Category: Class 8

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 బీజీయ సమాసాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 11th Lesson బీజీయ సమాసాలు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. క్రింది బీజీయ సమాసాలలోని పదాల సంఖ్యను తెలుపండి. (పేజీ నెం. 248)
5xy², 5xy³ – 9x, 3xy + 4y – 8, 9x² + 2x + pq + q
సాధన.
5xy² లోని పదాల సంఖ్య 1
5xy³ – 9x లోని పదాల సంఖ్య 2
3xy + 4y – 8 లోని పదాల సంఖ్య 3
9x² + 2x + pq + q లోని పదాల సంఖ్య 4

2. x యొక్క వేర్వేరు విలువలకు 3x + 5 యొక్క విలువ కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 248)
సాధన.
3x + 5
⇒ x = 1 అయిన ⇒ 3x + 5 = 3(1) + 5 = 3 + 5 = 8
⇒ x = 2 అయిన ⇒ 3(2) + 5 = 6 + 5 = 11
⇒ x = 3 అయిన ⇒ 3(3) + 5 = 9 + 5 = 14

3. కింది వాటిలో సజాతి పదాలను గుర్తించంది. (పేజీ నెం. 249)
ax²y, 2x, 5y², – 9x², – 6x, 7xy, 18y².
సాధన.
ax²y, 2x, 5y², – 9x², – 6x, 7xy, 18y².
సజాతి పదాలు : (2x, – 6x), (5y², 18y²)

4. 5pq² కు 3 సజాతి పదాలను తయారుచేయండి. (పేజీ నెం. 249)
సాధన.
5pq² కు సజాతి పదాలు : – 3pq², pq², 1/2pq². మొ||నవి.

5. A = 2y² + 3x – x² , B = 3x² – y² మరియు C = 5x² – 3xy అయితే (పేజీ నెం. 150)

ప్రశ్న (i)
A + B
సాధన.
A = 2y² + 3x – x², B = 3x² – y², C = 5x² – 3xy
A + B = (2y² + 3x – x²) + (3x² – y²)
= (2y² – y²) + 3x + (3x² – x²)
∴ A + B = y² + 3x + 2x²

ప్రశ్న (ii)
A – B
సాధన.
A – B = (2y² + 3x – x²) – (3x² – y²)
= 2y² + 3x – x² – 3x² + y²
∴ A – B = 3y² + 3x – 4x²

ప్రశ్న (iii)
B + C
సాధన.
B + C = (3x² – y²) + (5x² – 3xy)
= 3x² + 5x² – y² – 3xy
∴ B + C = 8x² – y² – 3xy.

ప్రశ్న (iv)
B – C
సాధన.
= (3x² – y²) – (5x² – 3xy)
= 3x² – y² – 5x² + 3xy
∴ B – C = – 2x² – y² + 3xy

ప్రశ్న (v)
A + B + C
సాధన.
= (2y² + 3x – x²) + (8x² – y² – 3xy)
= (2y² – y²) + (8x² – x²) + 3x – 3xy
∴ A + B + C = 7x² + y² + 3x – 3xy

ప్రశ్న (vi)
A + B – C
సాధన.
= (2y² + 3x – x²) + (- 2x² – y² + 3xy)
= (2y² – y²) + (- x² – 2x²) + 3x + 3xy
∴ A + B – C = y² – 3x² + 3x + 3xy

ప్రశ్న 6.
పట్టికను పూర్తి చేయండి. (పేజీ నెం. 253)
సాధన.

మొదటి ఏకపది	రెండవ ఏకపది	రెండు ఏకపదుల లబ్దము
2x – 4y2 3abc mn – 3mq	– 3y – 2y 5bcd – 4m -3nq	2x × (-3y) = – 6xy + 8y3 15abc2c2d2 – 4m2n + 9mnq2

7. రెండు ఏక పదుల లబ్ధము ఎల్లప్పుడు ఏకపదియేనా? సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 253)
సాధన.
అవును.
ఉదా : 2xy × 5y = 10xy² ఒక ఏకపది.

8. (i) 3x(4ax + 8by)
(ii) 4a²b(a – 3b)
(iii) (p + 3q²)pq
(iv) (m³ + n³) 5mn² లబ్బాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 255)
సాధన.
(i) 3x (4ax + 8by) = 3x × 4ax + 3x × 8by
= 12ax² + 24bxy
(ii) 4a²b (a – 3b) = 4a²b × a – 4a²b × 3b
= 4a²b – 12a²b²
(iii) (p + 3q²) pq = p × pq + 3q² × pq
= p²q + 3pq³
(iv) (m³ + n³) 5mn² = m³ × 5mn² + n³ × 5 mn²
= 5 m⁴n² + 5mn⁵

9. ఒక ఏకపది మరియు ఒక బహుపది లబ్దంలో గరిష్టంగా ఏన్ని పదాలుంటాయి?
సాధన.
ఒక ఏకపది మరియు ఒక బహుపదుల లబ్దాలలో అనేక పదాలుంటాయి.

10. లబ్బాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 257)

ప్రశ్న (i)
(a – b) (2a + 4b)
సాధన.
= a(22 + 4b) – b(2a + 4b)
= (a × 2a + a × 4b) – (b × 2a + b × 4b)
= 2a² + 4ab – (2ab + 4b²)
= 2a² + 4ab – 2ab – 4b²
= 2a² + 2ab – 4b²

ప్రశ్న (ii)
(3x + 2y) (3y – 4x)
సాధన.
= 3x(3y – 4x) + 2y (3y – 4x)
= 9xy – 12x² + 6y² – 8xy
= xy – 12x² + 6y²

ప్రశ్న (iii)
(2m – l)(2l – m)
సాధన.
= 2m (2l – m) – l(2l – m)
= 2m × 2l – 2m × m – l × 2l + l × m
= 4lm – 2m² – 2l² + lm
= 5lm – 2m² – 2l²

ప్రశ్న (iv)
(k + 3m) (3m – k)
సాధన.
= k(3m – k) + 3m (3m – k)
= k × 3m – k × k + 3m × 3m – 3m × k
= 3m – k² + 9m² – 3km
= 9m² – k²

11. రెండు ద్విపదుల లబ్దములో ఎన్ని పదాలు ఉండును ? (పేజీ నెం. 257)
సాధన.
రెండు ద్విపదుల లబ్దంలో 4 పదాలుండును.
ఉదా : (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd

12. క్రింద ఇవ్వబడినవి సర్వసమీకరణాలు అవునో, కావో సరిచూడండి. a, b, c లు ధన పూర్ణసంఖ్యలు. (పేజీ నెం. 260)

ప్రశ్న (i)
(a – b) ≡ a² – 2ab + b²
సాధన.
a = 3, b = 1
⇒ (3 – 1)² = (3)² – 2 × 3 × 1 + 1
⇒ (2)² = 9 – 6 + 1
∴ (i) సర్వసమీకరణమే.

ప్రశ్న (ii)
(a + b) (a – b) ≡ a² – b²
సాధన.
a = 2, b = 1
⇒ (2 + 1) (2 – 1) = (2)² – (1)²
⇒ 3 × 1 = 4 – 1
3 = 3
∴ (ii) సర్వసమీకరణమే.

ప్రశ్న (iii)
(a + b + c)² ≡ a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
సాధన.
a = 1, b = 2, c = 0
⇒ (1 + 2 + 0)² = 1² + 2² + 0² + 2 × 1 × 2
+ 2 × 2 × 0 + 2 × 0 × 1
⇒ (3)² = 1 + 4 + 0 + 4 + 0 + 0
⇒ 9 = 1 + 4 + 4 = 9
∴ 9 = 9
∴ (iii) సర్వసమీకరణమే.

13. x = 2, a = 1 మరియు b = 3 విలువలకు (x + a)(x + b) ≡ x² + (a + b) x + ab ను సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 260)

ప్రశ్న (i)
LHS = RHS అగునేమో పరిశీలించండి.
సాధన.
(x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab
x = 2, a = 1, b = 3 అయిన
⇒ (2 + 1) (2 + 3) = 2² + (1 + 3) 2 + 1 × 3
⇒ 3 × 5 = 4 + 4 × 2 + 3
⇒ 15 = 4 + 8 + 3
∴ 15 = 15 ∴ LHS = RHS

ప్రశ్న (ii)
x, a మరియు b యొక్క వివిధ విలువలకు పై సర్వసమీకరణం సరిచూడండి.
సాధన.
x = 0, a = 1, b = 2 అయిన
⇒ (0 + 1) (0 + 2) = 0² + (1 + 2) 0 + 1 × 2
1 × 2= 0 + 0 + 2
∴ 2 = 2
∴ LHS = RHS
∴ x, a, b యొక్క వివిధ విలువలకు LHS = RHS అగును.

ప్రశ్న (iii)
a, b యొక్క అన్ని విలువలకు LHS = RHS అగునా?
సాధన.
a, b యొక్క అన్ని విలువలకు LHS = RHS అగును.

14. (x + p) (x + q) = x² + (p + q)x + pq (పేజీ నెం. 261)

ప్రశ్న (i)
‘p’ బదులుగా ‘q’ ప్రతిక్షేపించండి. ఏమి గమనించారు ?
సాధన.
(x + p) (x + q) = x + (p + q) x + pq లో
pబదులుగా ( ను ప్రతిక్షేపించగా
⇒ (x + q) (x + q) = x² + (q + q) x + q × q
⇒ (x + q) = x² + 24x + q² అగును.

ప్రశ్న (ii)
‘q’ బదులుగా ‘P’ ప్రతిక్షేపించండి. ఏమి గమనించారు ?
సాధన.
q బదులుగా p ను ప్రతిక్షేపించగా
⇒ (x + p) (x + p) = x² + (p + p) x + p × p
⇒ (x + p)² = x² + 2px + p²

ప్రశ్న (iii)
మీరు గమనించిన సర్వసమీకరణాలు ఏవి?
సాధన.
నేను గమనించిన సర్వసమీకరణాలు
(x + q)² = x² + 2qx + q²
(x + p)² = x² + 2px + p²

15. (పేజీ నెం. 261)

ప్రశ్న (i)
(5m + 7n)²
సాధన.
(5m + 7n)² ఇది (a + b)² రూపంలో కలదు.
(a + b)² = a² + 2ab + b² [a = 5m, b = 7n]
(5m + 7n)² = (5m)² + 2 × 5m × 7n + (7n)²
= (5m × 5m) + 70 mn + 7n × 7n
= 25m² + 70mn + 49n²

ప్రశ్న (ii)
(6kl + 7mn)²
సాధన.
(a + b)² = a² + 2ab + b² ప్రకారం
(6kl + 7mn)² = (6kl)² + 2 × 6kl × 7mn +(7mn)²
= 36 k²l² +84 klmn + 49m²n²

ప్రశ్న (iii)
(5a² + 6b²)
సాధన.
a = 5a², b = 6b²
∴ (5a² + 6b²)² = (5a²)² + 2 5a² × 6b² + (6b²)²
= 5a² × 5a² + 60a²b² + 36b⁴
= 25a⁴ + 60a²b² + 36b⁴

ప్రశ్న (iv)
302²
సాధన.
= (300 + 2)²
a = 300, b = 2
∴ (300 + 2)² = (300)² + 2 × 300 × 2 + (2)²
= 300 × 300 + 1200 + 2 × 2
= 90,000 + 1200 + 4
= 91,204

ప్రశ్న (v)
807²
సాధన.
= (800 + 7)²
a = 800, b = 7
(800 + 7)² = (800)² + 2 × 800 × 7 + (7)²
= 800 × 800 + 11,200 + 7 × 7
= 6,40,000 + 11,200 + 49
= 6,51,249

ప్రశ్న (vi)
704² లను విస్తరించండి.
సాధన.
= (700 + 4)²
a = 700, b = 4
∴ (700 + 4)² = (700)² + 2 × 700 × 4 + 4²
= 700 × 700 + 5600 + 4 × 4
= 4,90,000 + 5600 + 16
= 4,95,616

ప్రశ్న (vii)
(a – b)² = a² – 2ab + b² సర్వసమీకరణాన్ని,
a = 3m మరియు b = 5n ఆయినప్పుడు సరిచూడండి.
సాధన.
(a – b)² = a² – 2ab + b² లో a = 3m b = 5nను ప్రతిక్షేపించగా
LHS = (3m – 5n)² = (3m)² – 2 × 3m × 5n + (5n)²
= 9m² – 30mn + 25n²
RHS = (3m)² – 2 × 3m × 5n + (5n)²
= 9m² – 30mn + 25n²
∴ LHS = RHS

16. (పేజీ నెం. 262)

ప్రశ్న (i)
(9m – 2n)²
సాధన.
(9m – 2n)² ఇడి (a – b)² రూపంలో కలదు
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(9m – 2n)² = (9m)² – 2 × 9m × 2n + (2n)²
= 9m × 9m – 36mn + 2n × 2n
= 81m² – 36mn + 4n²

ప్రశ్న (ii)
(6pq – 7rs)²
సాధన.
a = 6pq, b = 7rs
∴ [6pq – 7rs]² = (6pq)² – 2 × 6pq × 7rs + (7rs)²
= 6pq × 6pq – 84pqrs + 7rs × 7rs
= 36p²q² – 84pqrs + 49r²s²

ప్రశ్న (iii)
(5x² – 6y²)² లను విస్తరించండి
సాధన.
= (5x²)² – 2 × 5x² × 6y² + (6y²)²
= 5x² × 5x² – 60x²y² + 6y² × 6y²
= 25x⁴ – 60x²y² + 36y⁴

ప్రశ్న (iv)
292²
సాధన.
= (300 – 8)²
a = 300, b= 8
∴ (300 – 8)² = (300)² – 2 × 300 × 8+ (8)²
= 300 × 300 – 4800 + 8 × 8
= 90,000 – 4800 + 64
= 90,064 – 4800 = 85,264

ప్రశ్న (v)
897²
సాధన.
= (900 – 3)²
= (900)² – 2 × 900 × 3 + (3)²
= 8,10,000 – 5400 + 9
= 8,10,009 – 5400 = 8,04,609

ప్రశ్న (vi)
794² ల విలువలు కనుగొనండి
సాధన.
= (800 – 6)²
= (800)² – 2 × 800 × 6 + (6)²
= 6,40,000 – 9600 + 36
= 6,40,036 -9600 = 6,30,436

17.

ప్రశ్న (i)
(6m + 7n) (6m – 7n)
సాధన.
(6m + 7n) (6m – 7n) ఇడి (a + b)(a – b) రూపంలో కలదు.
(a + b)(a – b) = a² – b² ఇక్కడ a = 6m, b = 7m
(6m + 7n) (6m – 7n) = (6m)² – (7n)²
= 6m × 6m – 7n × 7n
= 36m² – 49n²

ప్రశ్న (ii)
(5a + 10b) (5a – 10b)
సాధన.
= (5a)² – (10b)²
[∵ (a + b) (a – b) = a² – b²]
= 5a × 5a – 10b × 10b
= 25a² – 100b²

ప్రశ్న (iii)
(3x² + 4y²) (3x² – 4y²) ల విలువలు కనుక్కొండి.
సాధన.
= (3x²)² – (4y²)²
[∵ (a + b)(a – b) = a² – b²]
= 3x² × 3x² – 4y² × 4y²
= 9x⁴ – 16y⁴

ప్రశ్న (iv)
106 × 94
సాధన.
= (100 + 6) (100 – 6)
= 100² – 6²
[∵ (a + b)(a – b) = a² – b²)
= 100 × 100 – 6 × 6
= 10,000 – 36 = 9,964

ప్రశ్న (v)
592 × 608
సాధన.
= (600 – 8) (600 + 8)
= (600)² – (8)² [∵ (a + b) (a – b) = a² – b²) = 600 × 600 – 8 × 8
= 3,60,000 – 64
= 3,59,936

ప్రశ్న (vi)
92² – 8²
సాధన.
ఇది a² – b² = (a + b)(a – b) రూపంలో కలదు.
92² – 8² = (92 + 8) (92 – 8)
= 100 × 84
= 8400

ప్రశ్న (vii)
984² – 16² లను సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన.
= (984 +16) (984 – 16)
[∵ a² – b² = (a + b)(a – b)]
= (1000) (968)
= 9,68,000

ప్రయత్నించండి

1. వేగము, కాలము ఉపయోగించి దూరము లెక్కించు నప్పుడు, అసలు, రేటు కాలము ఇచ్చినప్పుడు సామాన్య వడ్డీ లెక్కించుటకు బీజీయ సమాసములు వ్రాయుము. బీజీయ సమాసములు ఉపయోగించి విలువలు కనుగొను మరొక రెండు సందర్భములు తెలపండి. (పేజీ నెం. 251)
సాధన.
d = s × t (లేదా) దూరం = వేగం × కాలం
I = [latex]\frac {PTR}{100}[/latex] (లేదా)
సామాన్య వడ్డీ = [latex]\frac {అసలు × వడ్డీ రేటు × కాలం}{100}[/latex]
బీజీయ సమాసాలనుపయోగించే రెండు సందర్భాలు :
(i) త్రిభుజ వైశాల్యం = [latex]\frac {1}{2}[/latex] × భూమి × ఎత్తు
= [latex]\frac {1}{2}[/latex]bh
(ii) దీర్ఘ చతురస్ర చుట్టుకొలత = 2(పొడవు + వెడల్పు)
= 2(l+ b)

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి

1. షీలా 2pq, 4pq ల మొత్తం 8p² q² అని చెప్పింది. సమాధానం సరైందా ? మీ వివరణ ఇవ్వండి. (పేజీ నెం. 249)
సాధన.
2pq, qpq ల మొత్తము = 2pq + 4pg = 6pq.
కానీ షీలా సమాధానం ప్రకారం పై రెండింటి మొత్తం 8p²q²
∴ 8p²q² ≠ 6pq
∴ ఆమె (షీలా) సమాధానం సరియైనది కాదు.

2. రెహమాన్ 4x ను 7yలకు కలిపితే 11xy వస్తుందన్నాడు. మీరు ఏకీభవిస్తారా ? (పేజీ నెం. 249)
సాధన.
4x, 7y ల మొత్తం ≠ 4x + 7y
రెహమాన్ ప్రకారం పై రెండు పదాల మొత్తం = 11xy
∴ 11xy ≠ 4x + 7y
∴ నేను రెహమాన్ సమాధానంతో ఏకీభవించను.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 7 పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు Ex 7.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 7th Lesson పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు Exercise 7.3

ప్రశ్న1.
45 మంది విద్యార్థుల యొక్క ప్రజ్ఞా సూచిక (IQ) స్థాయిలు ఇవ్వబడినవి. క్రింది వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనమునకు సోపాన రేఖా చిత్రము నిర్మించండి.

సాధన.

నిర్మాణక్రమం :
1. రెండు వరుస తరగతుల మధ్య విలువల భేదం లెక్కించవలెను. h = 75 – 65 = 10
∴ తరగతి అంతరం = 10 గా తీసుకోవలెను.
2. సరియైన సూచికను ఎన్నుకోవలెను.
X అక్షంపై 1 సెం.మీ. = 10 యూ. (తరగతి అంతరం)
Y అక్షంపై 1 సెం.మీ. = 1 విద్యా ర్థి
3. తరగతి అంతరాలను వెడల్పులుగా, పౌనఃపున్యాలను పొడవులుగా తీసుకొని సోపానాలను నిర్మించితిని.

ప్రశ్న2.
7వ తరగతి వార్షిక పరీక్షలలో 600 మంది విద్యార్థులు సాధించిన మార్కులు క్రింది పౌనఃపున్య విభాజనములో ఇవ్వబడ్డాయి. సోపాన రేఖా చిత్రమును నిర్మించండి.

సాధన.
ఇవ్వబడిన తరగతి మార్కు (మధ్య విలువ) ల నుండి తరగతులను తయారు చేసుకొనవలెను.
సోపానం 1 : రెండు వరుస తరగతుల మధ్య విలువల మధ్య భేదం లెక్కించవలెను. h = 400 – 360 = 40
(ప్రతి రెండు వరుస తరగతుల మధ్య భేదము సమానమేనా ?)

సోపానం 2 : తరగతుల యొక్క దిగువ, ఎగువ హద్దులను తరగతి మధ్యవిలువ Xగా తీసుకొని x – [latex]\frac{\mathrm{h}}{2}[/latex] నుండి x + [latex]\frac{\mathrm{h}}{2}[/latex] లోపు నిర్ణయించవలెను.
x – [latex]\frac{\mathrm{h}}{2}[/latex] = 360 – [latex]\frac {40}{2}[/latex] = 340
x + [latex]\frac{\mathrm{h}}{2}[/latex] = 360 + [latex]\frac {40}{2}[/latex] = 380

సోపానం 3 : సరియైన సూచికను ఎన్నుకొనవలెను.
X – అక్షము 1 సెం.మీ. = 1 తరగతి అంతరం
Y – అక్షము 1 సెం.మీ. = 20 మంది విద్యార్థులు

సోపానం 4 : తరగతి అంతరాలను వెడల్పులుగా, పౌనఃపున్యాలను పొడవులుగా వరుస సోపానములు నిర్మించవలెను.

తరగతి మార్కులు	తరగతి అంతరము	పౌనఃపున్యము
360	340 – 380	100
400	380 – 420	125
440	420 – 460	140
480	460 – 500	95
520	500 – 540	80
560	540 – 580	60

స్కేలు : Y – అక్షంపై విద్యార్థుల సంఖ్య = 20, X – అక్షంపై విద్యార్థుల మార్కులు

ప్రశ్న3.
క్రింది వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము నందు 250 మంది శ్రామికులు ఒక వారపు వేతనాలు ఇవ్వబడ్డాయి. ఈ దత్తాంశమునకు సోపాన రేఖాచిత్రము, పౌనఃపున్య బహుభుజిలను ఒకే గ్రాఫు నందు నిర్మించండి.

సాధన.

సోపాన నిర్మాణం :
1. రెండు వరుస మధ్య విలువల భేదం తరగతి అంతరాన్ని ఇస్తుంది. h = 575 – 525 = 50
2. X – అక్షంపై శ్రామికుల వారాంతపు వేతనం = 1 సెం.మీ. = 50 రూ.
Y – అక్షంపై శ్రామికుల సంఖ్య 1 సెం.మీ. = 10 మంది
3. X – అక్షం పై తరగతి వెడల్పులు, Y – అక్షంపై పౌనఃపున్యాలను తీసుకొని సోపాన చిత్రం గీచితిని.
4. సోపానములపై వెడల్పు యొక్క మధ్య బిందువులు A, B, C, D, E, F, G, H గా గుర్తించితిని.
5. సోపాన చిత్ర వైశాల్యం, బహుభుజి వైశాల్యానికి సమానం అని తెలుస్తుంది.

ప్రశ్న4.
ఒక మండలములోని 60 మంది ప్రాథమిక పాఠశాల ఉపాధ్యాయుల వయస్సులు ఇవ్వబడ్డాయి. ఈ దత్తాంశమునకు పౌనఃపున్య బహుభుజి, పౌనఃపున్య వక్రములను వేరువేరు గ్రాఫులపై నిర్మించండి.

సాధన.
పౌనఃపున్య బహుభుజిని నిర్మించుట :
సోపానక్రమం :
1. రెండు వరుస మధ్య విలువల మధ్య భేదం = తరగతి అంతరం = 30 – 26 = 4
2. X – అక్షంపై ఉపాధ్యాయుల వయస్సు.
Y – అక్షంపై ఉపాధ్యాయుల సంఖ్య తీసుకొని గ్రాఫ్ నిర్మించితిని.
3. స్కేల్ : X – అక్షంపై 1 సెం.మీ. = 4 యూనిట్లు
Y – అక్షంపై 1 సెం.మీ. = 2 యూనిట్లుగా తీసుకొని పౌనఃపున్య బహుభుజిని నిర్మించితిని.
4. X – అక్షంపై తరగతి వెడల్పులు, Y – అక్షంపై పౌనఃపున్యాలు తీసుకొని నిర్మించిన బిందువులను స్కేలుతో కలుపగా పౌనఃపున్య బహుభుజి, అదే విధంగా చేతితో కలుపగా పౌనఃపున్య వక్రం ఏర్పడినది.

పౌనఃపున్య బహుభుజి :

పౌనఃపున్యం వక్రం :

ప్రశ్న5.
క్రింది దత్తాంశమునకు తరగతులు, పౌనఃపున్యములు వ్రాయండి. ఆ దత్తాంశమునకు జివ్ వక్రములను రెండింటిని గీయండి.

సాధన.
1. ఇచ్చిన తరగతులు సంలీన తరగతులైతే, మినహాయింపు తరగతులుగా మార్చవలెను.
2. ఆరోహణ, అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలను గణించవలెను.
3. X – అక్షంపై ఎగువ హద్దులు, Y – అక్షంపై ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలచే ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రం నిర్మించవచ్చు.
4. X – అక్షంపై దిగువ హద్దులు, Y – అక్షంపై అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలచే అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రంను నిర్మించవచ్చు.
5. ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రం / అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రం కొరకు స్కేలును తీసుకొనవలెను.
X – అక్షంపై 1 సెం.మీ. = 1 తరగతి అంతరం
Y – అక్షంపై 1 సెం.మీ. = 10 (విద్యార్థుల సంఖ్య)
6. మొదటి తరగతి దిగువ హద్దు, పౌనఃపున్యంతో బిందువును గుర్తించవలెను.
7. అన్ని బిందువులను వరుసగా సున్నిత వక్రములచే కలుపవలెను. ఈ వక్రమును “ఓజివ్ వక్రం” అంటారు.
ఇదే విధంగా అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రాన్ని (ఓజివ్ వక్రం) గీయవచ్చును.

ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రం

అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రం

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 7 పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు Ex 7.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 7th Lesson పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు Exercise 7.2

ప్రశ్న1.
ఒక కాలనీలోని 45 మంది యొక్క వయస్సులు క్రింది విధంగా ఉన్నవి.

6 తరగతులు ఉండునట్లుగా వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము తయారు చేయండి.
సాధన.
తరగతుల సంఖ్య = 6
వ్యాప్తి = గరిష్ఠ విలువ – కనిష్ఠ విలువ = 63 – 5 = 58

ప్రశ్న2.
ఒక పాఠశాలలోని 30 తరగతులలో విద్యార్థుల సంఖ్యలు ఇవ్వబడ్డాయి. తరగతి పొడవు 4 (విద్యార్థులు) ఉండునట్లుగా ఈ దత్తాంశమునకు వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనమును తయారు చేయండి.

సాధన.
తరగతి అంతరం = 4
వ్యాప్తి = గరిష్ఠ విలువ – కనిష్ఠ విలువ = 40 – 15 = 25

ప్రశ్న3.
ఒక వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము నందు ఇవ్వబడిన తరగతులు 4 – 11, 12 – 19, 20 – 27, 28 – 35, 36 – 43 అయిన (i) తరువాత రెండు తరగతులను వ్రాయండి. (ii) తరగతి హద్దులు వ్రాయండి.
సాధన.
ఇవ్వబడిన తరగతులు : 4 – 11, 12 – 19, 20 – 27, 28 – 35, 36 – 43
i) తరువాతి తరగతులు : 44 – 51, 52 – 59
ii) తరగతి హద్దులు :

తరగతి అంతరం	తరగతి హద్దులు
4 – 11	3.5 – 11.5
12 – 19	11.5 – 19.5
20 – 27	19.5 – 27.5
28 – 35	27.5 – 35.5
36 – 43	35.5 – 43.5
44 – 51	43.5 – 51.5
52 – 59	51.5 – 59.5

ప్రశ్న4.
క్రింది వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము నందు తరగతి మార్కులు (మధ్య విలువలు) ఇవ్వబడ్డాయి.

i) దత్తాంశమునకు మినహాయింపు తరగతులను నిర్మించండి.
ii) ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యములను వ్రాయండి.
iii) అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యములను వ్రాయండి.
సాధన.

మొదటి తరగతి దిగువ హద్దు కనుగొనుట :
వరుస తరగతి మార్కుల మధ్య భేదం = h = 22 – 10 = 12
ఒక్కొక్క తరగతి మార్కు ‘x’ అయిన ఆ తరగతి హద్దులు x – [latex]\frac{\mathrm{h}}{2}[/latex], x + [latex]\frac{\mathrm{h}}{2}[/latex] లు అగును.
మొదటి తరగతి దిగువ హద్దు = x – [latex]\frac{\mathrm{h}}{2}[/latex] = 10 – [latex]\frac {12}{2}[/latex] = 10 – 6 = 4
ఎగువ హద్దు = 10 + [latex]\frac {12}{2}[/latex] = 10 + 6 = 16
ఈ విధంగా మిగిలిన తరగతులు కనుగొనవలెను.

ప్రశ్న5.
35 మంది విద్యార్థులకు సాంఖ్యక శాస్త్ర పరీక్షలో 50 మార్కులకు గాను సాధించిన మార్కులు క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి.

దత్తాంశమునకు వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనమును తయారు చేయండి. విభాజన చేయు తరగతులలో ఒకటి 10 – 20 ఉండవలెను. (20 ఆ తరగతికి చెందకూడదు)
సాధన.
వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనం

తరగతి అంతరం	పౌనఃపున్యం
0 – 10	2
10 – 20	10
20 – 30	4
30 – 40	9
40 – 50	10

తరగతి అంతరం = 10 (10 – 20 నుండి)
వ్యాప్తి = గరిష్ఠ విలువ – కనిష్ఠ విలువ = 48 – 1 = 47

ప్రశ్న6.
క్రింది వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనమునకు తరగతి హద్దులు వ్రాయండి. ఆరోహణ మరియు అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యములు కనుగొనండి.

సాధన.

ప్రశ్న7.
క్రింది విభాజన పట్టికలో సంచిత పౌనఃపున్యములు ఇవ్వబడ్డాయి. ఎటువంటి సంచిత పౌనఃపున్యమో గుర్తించండి. పౌనఃపున్యములు వ్రాయండి.

సాధన.
ఇచ్చిన విభజన పట్టికలో పై నుండి క్రిందకు పౌనఃపున్యాలు పెరుగుతున్నాయి కావునా ఇది ఒక ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక.

ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం	పౌనఃపున్యం
3	3
8	(8 – 3) 5
19	(19 – 8) 11
25	(25 – 19) 6
30	(30 – 25) 5

∴ కావలసిన ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య పట్టిక.

ప్రశ్న8.
క్రింది వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము నందు అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యములు ఇవ్వబడ్డాయి. అయితే అన్ని తరగతులకు పౌనఃపున్యములు ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యములు వ్రాయండి.

సాధన.

అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం	పౌనఃపున్యం	ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం
42	(42 – 36) 6	6
36	(36 – 23) 13	19
23	(23 – 14) 9	28
14	(14 – 6) 8	36
6	6	42

∴ కావలసిన వర్గీకృత పౌనఃపున్య పట్టిక :

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 7 పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు Ex 7.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 7th Lesson పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు Exercise 7.1

ప్రశ్న1.
ఒక దుకాణంలో వారంలో జరిగిన అమ్మకాలు రోజు వారీగా ఇవ్వబడ్డాయి. వాటి అంకగణిత మధ్యమము కనుగొనండి.
₹ 10000, ₹ 10250, ₹ 10790, ₹ 9865, ₹ 15350, ₹ 10110
సాధన.

ప్రశ్న2.
10.25, 9, 4.75, 8, 2.65, 12, 2.35 రాశుల అంకగణిత మధ్యమమెంత ?
సాధన.

ప్రశ్న3.
8 రాశుల అంకగణిత మధ్యమము 25. వాని నుండి 11 అను రాశిని తొలగించగా మిగిలిన రాశుల అంకగణిత మధ్యమమును కనుగొనండి.
సాధన.
8 రాశుల అంకమధ్యమం = 25
⇒ 8 రాశుల మొత్తం = 25 × 8 = 200
11 అను రాశిని తొలగించగా వచ్చు రాశుల మొత్తం = 200 – 11 = 189
∴ మిగిలిన 7 రాశుల అంకమధ్యమం = [latex]\frac {189}{7}[/latex] = 27

ప్రశ్న4.
9 రాశుల అంకగణిత మధ్యమము 38 గా లెక్కించబడినది. కానీ అట్లు లెక్కించుటలో 72ను 27గా పొరపాటుగా తీసుకున్నారు. అయిన సరియైన అంక గణిత మధ్యమమును లెక్కించండి.
సాధన.
9 రాశుల అంకమధ్యమం = 38
9 రాశుల మొత్తం = 38 × 9 = 342
72 ను 27 గా తీసుకొనిన సరియైన అంశం 72 – 27 = 45
∴ సరియైన రాశుల మొత్తం = 342 + 45 = 387
∴ సరియైన సగటు = [latex]\frac {387}{9}[/latex] = 43

ప్రశ్న5.
ఐదు సంవత్సరముల క్రిందట ఒక కుటుంబ సభ్యుల సరాసరి వయస్సు 25 సం॥లు. ప్రస్తుతము ఆ కుటుంబ సభ్యుల సరాసరి వయస్సు ఎంత ? (సభ్యుల సంఖ్యలో మార్పులేదు)
సాధన.
దత్తాంశంలోని అన్ని రాశులకు ఒక సంఖ్యను కూడినా లేక అన్ని రాశుల నుండి ఒక సంఖ్యను తీసివేసినా ఆ దత్తాంశం యొక్క అంకగణిత మధ్యమం కూడా అదే విధంగా మార్పు చెందుతుంది.
5 సం॥ల క్రిందట కుటుంబ సభ్యుల సరాసరి వయస్సు = 25 సం॥లు
ప్రస్తుతం ఆ కుటుంబ సభ్యుల సరాసరి వయస్సు = 25 + 5 = 30 సం॥

ప్రశ్న6.
రెండు సం॥ల క్రిందట ఒక సమూహములోని 40 మంది వయస్సుల సగటు వయస్సు 11 సం॥లు. ప్రస్తుతము ఆ సమూహము నుండి ఒక వ్యక్తి బయటకు వెళ్ళిపోగా మిగిలిన సభ్యుల సగటు వయస్సు 12 సం॥లు. అయిన వెళ్ళిపోయిన వ్యక్తి వయస్సు ఎంత ?
సాధన.
ఒక సమూహంలోని 40 మంది వయస్సుల ప్రస్తుత సగటు వయస్సు = (11 + 2) సం॥లు
∴ 40 మంది వయస్సుల మొత్తం = 40 × (11 + 2)
= 40 × 13 = 520 సం॥లు
40 మంది నుండి 1 వ్యక్తి బయటకు వెళ్ళగా మిగిలిన సభ్యుల సంఖ్య = 40 – 1 = 39
39 మంది సగటు వయస్సు = 12 సం॥లు
39 మంది వ్యక్తుల వయస్సుల మొత్తం = 12 × 39 = 468
∴ బయటకు వెళ్ళిన వ్యక్తి వయస్సు = 520 – 468 = 52 సం॥లు

ప్రశ్న7.
ఒక దత్తాంశములోని 5, 8, 10, 15, 22 అను రాశుల యొక్క అంకగణిత మధ్యమము నుండి వాని విచలనాల మొత్తమును కనుగొనండి.
సాధన.

ప్రశ్న8.
20 రాశుల సరాసరి నుండి వాని విచలనాల మొత్తము 100 అయిన, విచలనముల సరాసరి ఎంత ?
సాధన.

ప్రశ్న9.
ఒక యూనిట్ పరీక్షలో 12 మంది విద్యార్థులు సాధించిన మార్కులు 4, 21, 13, 17, 5, 9, 10, 20, 19, 12, 20, 14 అయిన ఒక విలువను ఊహించిన అంకగణిత మధ్యమంగా తీసుకొని దత్తాంశమునకు అంకగణిత మధ్యమమును కనుగొనండి. మరియొక సంఖ్యను ఊహించిన అంకగణిత మధ్యమంగా తీసుకొని మరలా సరాసరిని కనుగొనండి. రెండుసార్లు సమాన ఫలితాలు వచ్చినవా ? మీ అభిప్రాయం ఏమిటి ?
సాధన.
ఇచ్చిన రాశులు 4, 21, 13, 17, 5, 9, 10, 20, 19, 12, 20, 14
నేను ఊహించిన అంకమధ్యమం 10 అనుకొనిన,
అంకగణిత మధ్యమం = ఊహించిన అంకగణిత మధ్యమం + విచలనాల సరాసరి

[latex]\overline{\mathrm{x}}[/latex] = అంకమధ్యమం = 13.67
మరొక ఊహించిన అంకమధ్యమం 12 అయిన
[latex]\overline{\mathrm{x}}[/latex] అంకమధ్యమం = ఊహించిన అంకగణిత సగటు + విచలనాల సరాసరి

[latex]\overline{\mathrm{x}}[/latex] = 13.67
∴ అన్ని సందర్భాలలో [latex]\overline{\mathrm{x}}[/latex] = 13.67 అగును.

ప్రశ్న10.
ఒక తరగతిలో 10 మంది విద్యార్థుల మార్కుల సరాసరి 15 (25 మార్కులకు). వారిలో కరిష్మా అనే విద్యార్థి మిగిలిన 9 మంది విద్యార్థులను అడిగి తన కన్నా ఎన్ని మార్కులు ఎక్కువ లేక తక్కువ అనే వివరాలను సేకరించింది. ఆ విచలనాలు – 8, – 6, – 3, – 1, 0, 2, 3, 4, 6. అయిన ఆమెకు వచ్చిన మార్కులెన్ని?
సాధన.
10 మంది విద్యార్థుల సరాసరి = 15 (25 మార్కులకు)
మొత్తం మార్కులు = 10 × 15 = 150,
కరిష్మా మార్కులు = x
9మంది మార్కుల విచలనాలు
= -8, -6, -3, -1, 0, 2, 3, 4, 6
∴ x – 8 + x – 6 + x – 3 + x – 1 + x + 0 + x + 2 + x + 3 + x + 4 + x + 6 + x = 150
10x – 18 + 15 = 150
∴ 10x – 3 = 150
10x = 150 + 3 = 153
x = [latex]\frac {153}{10}[/latex] = 15.3 మార్కులు
(లేదా)
ఇచ్చిన విచలనాలు = -8, -6, -3, -1, 0, 2, 3, 4, 6
కరిష్మా మార్కులు = x అనుకొనిన
మొత్తం మార్కులు = 10 × 15 = 150
∴ పరిశీలనాంశాలు – -8+ x, – 6 + x, -3 + x, -1 + x, 0 + x, 2 + x, 3 + x, 4 + x, 6 + x అగును.

⇒ [latex]\frac{10 x-18+15}{10}[/latex] = 15 (సగటు = 15 ఇవ్వబడినది)
⇒ 10x – 3 = 150
⇒ 10x = 150 + 3
⇒ 10x = 153
⇒ x = [latex]\frac {153}{10}[/latex]
x = 15.3 మార్కులు
∴ కరిష్మా పొందిన మార్కులు = 15.3

ప్రశ్న11.
25 అను విలువ నుండి ఒక దత్తాంశములోని n రాశుల విచలనముల మొత్తము 25 మరియు 35 అను విలువ నుండి అవే రాశుల విచలనాల మొత్తం – 25 అయిన ఆ దత్తాంశము యొక్క అంకగణిత సగటు ఎంత ?
సాధన.
25 అను విలువ నుండి ఒక దత్తాంశములోని x రాశుల విచలనముల మొత్తం = Σx₁ = 25
∴ ఈ రాశుల సరాసరి = 25 + [latex]\frac{\Sigma x_{1}}{n}[/latex] = 25 + [latex]\frac{25}{n}[/latex]
= [latex]\frac{25 n+25}{n}[/latex]
35 అను విలువ నుండి అదే రాశుల విచలనాల మొత్తం = Σx₁ = – 25
∴ ఈ రాశుల సరాసరి = 35 + [latex]\frac{\Sigma x_{1}}{n}[/latex] = 35 + [latex]\frac{(-25)}{n}[/latex]
= [latex]\frac{35 n-25}{n}[/latex]
∴ ఆ దత్తాంశము యొక్క సగటు

(లేదా)
25 నుండి తీసుకొనబడిన విచలనాలు
= x₁, x₂, x₃, …….. x_n అనుకొనుము.
∴ కావలసిన పరిశీలనాంశాలు
= x₁ – 25, x₂ – 25, ……….. + x_n – 25 అగును.
∴ పరిశీలనాంశాల మొత్తం = Σn
⇒ x₁ – 25 + x₂ – 25 + ……….. + x_n – 25 = 25
⇒ (x₁ + x₂ + …… + x_n) – (25n) = 25
⇒ x₁ + x₂ + ……. + x_n = 25 + 25n
= 25 (1 + n) —— (1)
35 నుండి తీసుకొనబడిన విచలనాలు = x₁, x₂, x₃, ……… x_n అనుకొనుము.
∴ కావలసిన పరిశీలనాంశాలు
⇒ x₁ – 35, x₂ – 35, ……… x_n – 35 అగును.
పరిశీలనాంశాల మొత్తం = – 25
∴ (x₁ – 35) + (x₂ – 35) + ……. + (x_n – 35) = – 25
⇒ (x₁ + x₂ + x₃ + …… + x_n) – 35n = – 25
⇒ x₁ + x₂ + x₃ + …… + x_n = – 25 + 35n —— (2)
(1), (2) ల నుండి
25 + 25n = – 25 + 35n
⇒ 10n = 50 ⇒ n = 5
∴ మొత్తం పరిశీలనాంశాల సగటు

ప్రశ్న12.
3.3, 3.5, 3.1, 3.7, 3.2, 3.8 రాశుల యొక్క మధ్యగతము ఎంత ?
సాధన.
3. 3, 3. 5, 3. 1, 3.7, 3.2, 3.8 ల ఆరోహణ క్రమం
= 3.1, 3.2, 3.3, 3.5, 3.7, 3.8
n = 6 (సరిసంఖ్య)
కావున మధ్యగతం = [latex]\frac{n}{2},\left(\frac{n}{2}+1\right)[/latex] ల సరాసరి
= [latex]\frac{6}{2},\left(\frac{6}{2}+1\right)[/latex]
= 3, 4 రాశుల సరాసరి
= [latex]\frac{3.3+3.5}{2}[/latex]
= [latex]\frac {6.8}{2}[/latex]
= 3.4

ప్రశ్న13.
ఆరోహణ క్రమములోనున్న రాశులు .10, -12, 14, x – 3, x, x + 2, 25 ల మధ్యగతము 15 అయిన x విలువ ఎంత ?
సాధన.
ఇచ్చిన రాశులు 10, 12, 14, x – 3, x, x + 2, 25
⇒ n = 7 (బేసి సంఖ్య)
∴ మధ్యగతం = [latex]\frac{\mathrm{n}+1}{2}=\frac{7+1}{2}[/latex] = 4వ పదం
= x – 3
⇒ x – 3 = 15
x = 15 + 3
∴ x = 18

ప్రశ్న14.
10, 12, 11, 10, 15, 20, 19, 21, 11, 9, 10 రాశుల యొక్క బాహుళకము ఎంత ?
సాధన.
ఇచ్చిన రాశులు : 10, 12, 11, 10, 15, 20, 19, 21, 11, 9, 10
పై రాశులలో అత్యధికంగా పునరావృతమయ్యే సంఖ్య 10.
∴ బాహుళకం = 10

ప్రశ్న15.
కొన్ని రాశుల బాహుళకము x, దత్తాంశములోని అన్ని రాశుల నుండి 3 తీసివేయగా, కొత్త దత్తాంశమునకు బాహుళకము ఎంత ?
సాధన.
కొన్ని రాశుల బాహుళకం = x
దత్తాంశంలోని అన్ని రాశుల నుండి 3 తీసివేసిన వచ్చు బాహుళకం = x – 3

ప్రశ్న16.
1 నుండి 100 వరకు సహజ సంఖ్యలను వ్రాయుటలో ఉపయోగించు అంకెలన్నింటి యొక్క బాహుళకము ఎంత ?
సాధన.
1 నుండి 100 వరకు గల అంకెలు
1, 2, 3, …….. 99, 100 వరకు గల సహజ సంఖ్యల బాహుళకం = 0
ఒక్కొక్క సంఖ్య యొక్క బాహుళకం = 1
(∵ ఒక్కొక్క సంఖ్య ఒకసారి మాత్రమే వస్తుంది)

ప్రశ్న17.
ఒక దత్తాంశములోని రాశులు 5, 28, 15, 10, 15, 8, 24. నాలుగు రాశులను కలుపగా దత్తాంశము యొక్క సరాసరి, మధ్యగతములో మార్పులేదు కానీ బాహుళకము 1 పెరిగినది. అయిన కలిపిన 4 సంఖ్యలేవి ?
సాధన.
ఇచ్చిన రాశులు 5, 28, 15, 10, 15, 8, 24

మధ్యగతం = 5, 8, 10, 15, 15, 24, 28 (n = 7)
= [latex]\frac{\mathrm{n}+1}{2}=\frac{7+1}{2}[/latex] = 4 వ రాశి = 15
బాహుళకం = 15
దత్తాంశానికి కలుపవలసిన 4 రాశులు x₁, x₂, x₃, x₄ అనుకొనుము.
బాహుళకం ‘1’ పెరిగినది. అనగా 3 సంఖ్యలు సమానాలు అని అర్థం.
∴ x₁ = x₂ = x₃ = x అనుకొనుము.
∴ 5, 8, 10, 15, 15, 24, 28, x, x, x, x₄ యొక్క సగటు
⇒ [latex]\frac{x+x+x+x_{4}+105}{11}[/latex] = 15
⇒ 3x + x₄ = 165 – 105 = 60
3x + x₄ = 60 ——— (1)
5, 8, 10, 15, 15, 24, 28, x, x, x, x₄ యొక్క బాహుళకం = x అగును.
కానీ లెక్క ప్రకారం 4 సంఖ్యలను కొత్తగా కలుపగా ఏర్పడు బాహుళకం ‘1’ పెరిగినచో
∴ x = 15 + 1 = 16 అగును.
∴ x = 16 ——- (2)
(1), (2) ల నుండి
∴ 3x + x₄ = 60 ⇒ x₄ = 60 – 48
∴ x₄ = 12
∴ కావలసిన సంఖ్యలు వరుసగా x, x, x, x₄ = 16, 16, 16, 12 అగును.

ప్రశ్న18.
x₁, x₂, ……., ……. x₁₀ రాశుల సరాసరి 20 అయిన x₁ + 4, x₂ + 8, x₃ + 12, ….., X₁₀ + 40 రాశుల సరాసరి కనుగొనుము.
సాధన.
x₁, x₂, ………… x₁₀ రాశుల సరాసరి
[latex]\frac{\Sigma \mathrm{x}_{10}}{\mathrm{~N}}[/latex] = 20 ……. (1)
x₁ + 4, x₂ + 8, x₃ + 12, …… x₁₀ + 40 ల సరాసరి
= [latex]\frac{x_{1}+4+x_{2}+8+\ldots \ldots . x_{10}+40}{N}[/latex]

ప్రశ్న19.
9 పూర్ణసంఖ్యల జాబితాలో 6 పూర్ణసంఖ్యలు 7, 8, 3, 5, 9 మరియు 5 లు అయిన ఆ 9 పూర్ణసంఖ్యలకు గల గరిష్ఠ మధ్యగతము కనుగొనండి.
సాధన.
9 పూర్ణసంఖ్యలలో ఇచ్చిన 6 పూర్ణసంఖ్యలు
7, 8, 3, 5, 9, 5
వీటి ఆరోహణ క్రమం
⇒ 3, 5, 5, 7, 8, 9
మిగిలిన 3 పూర్ణసంఖ్యలు x₁, x₂, x₃ లు అనుకొనుము.
∴ 3, 5, 5, 7, 8, 9, x₁, x₂, x₃ ల మధ్యగతం
= [latex]\frac{\mathrm{n}+1}{2}[/latex] (n = 9 ఒక బేసి సంఖ్య)
[latex]\frac{9+1}{2}[/latex] = 5 వ రాశి = 8
∴ ఇచ్చిన రాశుల గరిష్ఠ మధ్యగతం = 8

ప్రశ్న20.
9 వేర్వేరు రాశుల మధ్యగతము 20. అందుగల నాలుగు మిక్కిలి పెద్ద సంఖ్యలకు ప్రతి రాశికి 2 కలపగా వచ్చు కొత్త రాశుల మధ్యగతము కనుగొనండి.
సాధన.
9 రాశులు x₁ < x₂ < x₃ < x₄ < x₅ < x₆ < x₇ < x₈ < x₉ అనుకొనుము.
వీటి మధ్యగతం = [latex]\frac{\mathrm{n}+1}{2}[/latex] [n = 9 ఒక బేసి సంఖ్య ]
[latex]\frac{9+1}{2}[/latex] = 5 వ రాశి = x₅ = 20
∴ x₅ = 20
చివరి 4 పెద్ద రాశులకు ప్రతి సంఖ్యకు 2ను కలుపగా వచ్చు రాశులు x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆ + 2, x₇ + 2, x₈ + 2, x₉ + 2 ∴ మధ్యగతం = [latex]\frac{\mathrm{n}+1}{2}[/latex] (n ఒక బేసి సంఖ్య)
= [latex]\frac{9+1}{2}[/latex] = 5వ రాశి
∴ x₅ = 20

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 బీజీయ సమాసాలు Ex 11.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 11th Lesson బీజీయ సమాసాలు Exercise 11.5

1. (a + b)² = a² + 2ab + b² ను జ్యామితీయంగా a, bల క్రింది విలువలకు సరిచూదండి.

ప్రశ్న (i)
a= 2 యూనిట్లు, b = 4 యూనిట్లు
సాధన.
(a + b)² ≡ a² + 2ab + b²
⇒ (2 + 4)² ≡ 2² + 2 × 2 × 4 + (4)²
⇒ (6)² ≡ 4 + 16 + 16
⇒ 36 ≡ 36
∴ LHS ≡ RHS

ప్రశ్న (ii)
a = 3 యూనిట్లు, b = 1 యూనిట్
సాధన.
(a + b)² ≡ a² + 2ab + b²
⇒ (3 + 1)² ≡ (3)² + 2 × 3 × 1 + (1)²
⇒ 4² ≡ 9 + 6 + 1
⇒ 16 ≡ 16
∴ LHS ≡ RHS

ప్రశ్న (iii)
a = 5 యూనిట్లు, b= 2 యూనిట్లు
సాధన.
(a + b)² ≡ a² + 2ab + b²
⇒ (5 + 2)² ≡ (5)² + 2 × 5 × 2 + (2)²
⇒ 7² ≡ 25 + 20 + 4
⇒ 49 ≡ 49
∴ LHS ≡ RHS

2. (a – b)² = a² – 2ab + b² ను జ్యా మితీయంగా a, bల క్రింది విలువలకు సరిచూడండి.

ప్రశ్న (i)
a = 3 యూనిట్లు, b = 1 యూనిట్
సాధన.
(a – b)² ≡ a² – 2ab + b²
⇒ (3 – 1)² ≡ (3)² – 2 × 3 × 1 + (1)²
⇒ (2)² ≡ 9 – 6 + 1 = 10 – 6
⇒ 4 ≡ 4
∴ LHS ≡ RHS

ప్రశ్న (ii)
a = 5 యూనిట్లు, b = 2 యూనిట్లు
సాధన.
(a – b)² ≡ a² – 2ab + b²
⇒ (5 – 2)² ≡ (5)² – 2 × 5 × 2 + (2)²
⇒ (3)² ≡ 25 – 20 + 4 = 29 – 20
⇒ 9 ≡ 9
∴ LHS ≡ RHS

3. (a + b) (a – b) ≡ a² – b²ను జ్యా మితీయంగా a, bల క్రింది విలువలకు సరిచూడండి.

ప్రశ్న (i)
a = 3 యూనిట్లు, b = 2 యూనిట్లు
సాధన.
⇒ (a + b) (a – b) ≡ a² – b²
⇒ (3 + 2) (3 – 2) ≡ 3² – 2²
⇒ 5 × 1 ≡ 9 – 4
⇒ 5 ≡ 5
∴ LHS = RHS

ప్రశ్న (ii)
a = 2 యూనిట్లు, b =1 యూనిట్
సాధన.
⇒ (a + b) (a – b) ≡ a² – b²
⇒ (2 + 1) (2 – 1) ≡ (2)² – (1)²
⇒ 3 × 1 ≡ 4 – 1
⇒ 3 ≡ 3
∴ LHS ≡ RHS

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 బీజీయ సమాసాలు Ex 11.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 11th Lesson బీజీయ సమాసాలు Exercise 11.4

1. కింది సమస్యలకు తగిన “సర్వసమీకరణాలను” (Identities) సూచించింది. లబ్ధము కనుగొనండి.

ప్రశ్న (i)
(3k + 4l) (3k +4l)
సాధన.
= (3k + 4l)² ఇది (a + b)² రూపంలో కలదు.
= (3k)² + 2 × 3k × 4l + (4l)² [∵ (a + b)² = a² + 2ab + b²]
= 3k × 3k + 24kl + 4l × 4l
= 9k² + 24kl + 16l²

ప్రశ్న (ii)
(ax² + by²) (ax² + by²)
సాధన.
= (ax² + by²)² ఇది (a + b)² రూపంలో కలదు.
= (ax²)² + 2 × ax² × by² + (by²)² [∵ (a + b)² = a² + b² + 2ab]
= ax² × ax² + 2abx²y² + by² × by²
= a²x⁴ + 2abx²y² + b²y⁴

ప్రశ్న (iii)
(7d – 9e) (7d – 9e)
సాధన.
= (7d – 9e)², ఇది (a – b)² రూపంలో కలదు.
= (7d)² – 2 × 7d × 9e + (9e)² [∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]
= 7d × 7d – 126de + 9e × 9e
= 49d² – 126de + 81e²

ప్రశ్న (iv)
(m² – n²) (m² + n²)
సాధన.
(m² – n²) (m² + n²) ఇది (a + b) (a – b) రూపంలో కలదు.
∴ (m² + n²) (m² – n²) = (m²)² – (n²)² = m⁴ – n⁴ [∵ (a + b)(a – b) = a² – b²

ప్రశ్న (v)
(3t + 9s) (3t – 9s)
సాధన.
(3t + 9s) (3t – 9s) = (3t)² – (9s)² [∵ (a + b)(a – b) = a² – b²

ప్రశ్న (vi)
(kl – mn) (kl + mn)
సాధన.
= kl × kl – mn × mm
= k²l² – m²n²

ప్రశ్న (vii)
(6x + 5) (6x + 6)
సాధన.
(6x + 5) (6x + 6)
ఇది (ax + b) (ax + c) రూపంలో కలదు.
(ax + b) (ax + c) = a²x² + ax (b + c) + bc
(6x + 5) (6x + 6) = (6)²x² + 6x (5 + 6) +5 × 6
= 36x² + 6x × 11 + 30
= 36x² + 66x + 30

ప్రశ్న (viii)
(2b – a) (2b + c)
సాధన.
ఇది (ax – b) (ax + c) రూపంలో కలదు.
(ax – b) (ax + c) = a²x² + ax (c – b) – cb
(2b – a) (2b + c) = (2)²b² + 2b (c – a) – ca
= 4b² + 2bc – 2ab – ca

2. కింది వాటికి తగిన సర్వసమీకరణాలను ఉపయోగించి విలువలను కనుగొనండి.

ప్రశ్న (i)
304²
సాధన.
= (300 + 4)², ఇది (a + b)² రూపంలో కలదు.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
a = 300, b = 4
(300 + 4)² = (300)² + 2 × 300 × 4 + (4)²
= 300 × 300 + 24000 + 4 × 4
= 90,000 + 2400 + 16 = 92,416

ప్రశ్న (ii)
509²
సాధన.
= (500 + 9)² a = 500, b = 9
= (500)² + 2 × 500 × 9 + (9)²
= 500 × 5000 + 9000 + 9 × 9
= 2,50,000 + 90000 + 81
= 2,59,081

ప్రశ్న (iii)
992²
సాధన.
= (1000 – 8)² a = 1000, b = 8
= (1000)² – 2 × 1000 × 8 + (8)²
= 10000 × 1000 – 16,000 + 8 × 8
= 10,00,000 – 16000 + 64
= 10,00,064 – 1600
= 9,98,464

ప్రశ్న (iv)
799²
సాధన.
= (800 – 1)² a = 800, b = 1
= (800)² – 2 × 800 × 1 + (1)²
= 800 × 800 – 1600 + 1
= 6,40,000 – 1600 + 1
= 6,40,001 – 1600
= 6,38,401

ప్రశ్న (v)
304 × 296
సాధన.
= (300 + 4) (300 – 4),
ఇది (a + b) (a – b) రూపంలో కలదు.
(a + b) (a – b) = a² – b²
(300 + 4) (300 – 4) = (300)² – (4)²
=300 × 300 – 4 × 4
= 90,000 – 16
= 89,984

ప్రశ్న (vi)
83 × 77
సాధన.
= (80 + 3) (80 – 3)
= (80)² – (3)² [∵ (a + b) (a – b) = a² – b²]
= 80 × 80 – 3 × 3
= 6400 – 9
= 6391

ప్రశ్న (vii)
109 × 108
సాధన.
= (100 + 9) (100 + 8)
= (100) + (9 + 8) 100 + 9 × 8
= 10,000 + 1700 + 72
= 11,772

ప్రశ్న (viii)
204 × 206
సాధన.
= (205 – 1) (205 + 1)
= (205)² – (1)²
= 205 × 205 – 1 x 1
= 42,025 – 1
= 42,024

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 6 వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 6th Lesson వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. క్రింది సంఖ్యల మధ్య నున్న వర్గసంఖ్యలు ఏవి ? (i) 100 మరియు 150 (ii) 150 మరియు 200 (పేజీ నెం. 124)
సాధన.
(i) 100 మరియు 150 మధ్య గల వర్గ సంఖ్యలు = 121, 144
(ii) 150 మరియు 200 మధ్య గల వర్గసంఖ్యలు = 169, 196

2. 56 పరిపూర్ణ వర్గమా? కారణాలు తెలపండి. (పేజీ నెం. 124)
సాధన.
56 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధం = 8 × 7 = (2 × 2) × 2 × 7
56 ను రెండు, ఒకే సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయలేము కావున 56 వర్గసంఖ్య కాదు.

3. 9² మరియు 10² మధ్య ఎన్ని పూర్ణసంఖ్యలున్నాయి ? (పేజీ నెం. 128)
సాధన.
9² మరియు 10² మధ్య గల పూర్ణసంఖ్యల సంఖ్య = 2 × మొదటి వర్గసంఖ్య (భూమి)
= 2 × 9 = 18 (82, 83, ……….. 99 = 18)

4. 15² మరియు 16² మధ్య ఎన్ని పూర్ణసంఖ్యలున్నాయి ? (పేజీ నెం. 128)
సాధన.
15² మరియు 16² మధ్య గల పూర్ణసంఖ్యల సంఖ్య
= 2 × మొదటి వర్గసంఖ్య (భూమి)
= 2 × 15 = 30 (226, 227, ………… 254, 255) = 30

5. క్రింది సంఖ్యలు పైథాగోరియన్ త్రికాలు అవుతాయేమో సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 129)
(i) 2, 3, 4 (ii) 6, 8, 10 (iii) 9, 10, 11 (iv) 8, 15, 17
సాధన.

సంఖ్యలు	పైథాగోరియన్ త్రికాలు అగుట	అవును / కాదు
(i) 2, 3, 4	42 = 22 + 32 ⇒ 16 ≠ 13	కావు
(ii) 6, 8, 10	102 = 62 + 82 ⇒ 100 = 100	అవును
(iii) 9, 10, 11	112 = 92 + 102 ⇒ 121 ≠ 181	కావు
(iv) 8, 15, 17	172 = 82 + 152 ⇒ 289 = 289	అవును

6. ఒక పైథాగోరియన్ త్రికాన్ని తీసుకొని వాటి గుణిజాలను వ్రాయండి. గుణిజాలతో ఏర్పడిన త్రికాలు పైథాగోరియన్ త్రికాలు అవుతాయేమో సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 129)
సాధన.
3, 4, 5 లు పైథాగోరియన్ త్రికాలు.


∴ పైథాగోరియన్ త్రికాల గుణకాలు కూడా పైథాగోరియన్ త్రికాలు అగును.

7. పునరావృత వ్యవకలనం (Repeated subtraction) ద్వారా క్రింది సంఖ్యలు (పరిపూర్ణ) వర్గ సంఖ్యలు అవుతాయో, లేదో కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 131)
(i) 55
(ii) 90
(iii) 121
సాధన.
(i) [latex]\sqrt{55}[/latex]
సోపానం 1 → 55 – 1 = 54 (మొదటి బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 2 → 54 – 3 = 51 (2వ బేసి సంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 3 → 51 – 5 = 46 (3వ బేసి సంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 4 → 46 – 7 = 39 (4వ బేసి సంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 5 → 39 – 9 = 30 (5వ బేసి సంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 6 → 30 – 11 = 19 (6వ బేసి సంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 7 → 19 – 13 = 6 (7వ బేసి సంఖ్యను తీసివేయటం)
∴ 1 నుండి మొదలుకొని 7 వరుస బేసిసంఖ్యలు 55 నుండి తీసివేయగా ‘0’ రాలేదు. కావునా 55 వర్గసంఖ్య కాదు.

(ii) [latex]\sqrt{90}[/latex]
సోపానం 1 → 90 – 1 = 89 (మొదటి బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 2 → 89 – 3 = 86 (2వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 3 → 86 – 5 = 81 (3వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 4 → 81 – 7 = 74 (4వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 5 → 74 – 9 = 65 (5వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం )
సోపానం 6 → 65 – 11 = 54 (6వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం, 7 → 54 – 13 = 41 (7వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 8 → 41 – 15 = 26 (8వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 9 → 26 – 17 = 9 (9వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
∴ 1 నుండి మొదలుకొని 9 వరుస బేసి సంఖ్యలు 90 నుండి తీసివేసిన ‘0’ రాలేదు. కావునా ’90’ పరిపూర్ణ సంఖ్య కాదు.
Note : పై పద్ధతిలో చివరగా (సున్న) ‘0’ వచ్చినట్లయితే అది పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య అవుతుంది.

(iii) [latex]\sqrt{121}[/latex]
సోపానం 1 → 121 – 1 = 120 (మొదటి బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 2 → 120 – 3 = 117 (2వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 3 → 117 – 5 = 112 (3వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 4 → 112 – 7 = 105 (4వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 5 → 105 – 9 = 96 (5వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 6 → 96 – 11 = 85 (6వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 7 → 85 – 13 = 72 (7వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 8 → 72 – 15 = 57 (8వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 9 → 57 – 17 = 40 (9వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 10 → 40 – 19 = 21 (10వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 11 → 21 – 21 = 0 (11వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
∴ 1 నుండి మొదలుకొని 11 వరుస బేసిసంఖ్యలు 121 నుండి తీసివేయడం ద్వారా ‘0’ వచ్చినది (11వ సోపానం వద్ద).
∴ కావునా 121 పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్య
∴ [latex]\sqrt{121}=\sqrt{11 \times 11}[/latex] = 11 (∵ 11వ సోపానం వద్ద అంతం అయినది)

ప్రయత్నించండి

1. క్రింది వాటిలో ఏవి వర్గ సంఖ్యలు అవుతాయో ఊహించండి. పై పట్టిక ఆధారంగా సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 124)
(i) 84 (ii) 108 (iii) 271 (iv) 240 (v) 529
సాధన.
(i) 84 (ii) 108 (iii) 271 (iv) 240
ఈ సంఖ్యలను రెండు ఒకే సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయలేము కాబట్టి ఇవి వర్గసంఖ్యలు కావు.
(v) 529 = 23 × 23 ⇒ ఇది ఒక వర్గసంఖ్య.
∴ 529 మాత్రమే వర్గసంఖ్య.

2. క్రింది వర్గ సంఖ్యలలో ఒకట్ల స్థానంలో 1 వచ్చే సంఖ్యలు ఏవి ? (పేజీ నెం. 125)
(i) 126² (ii) 179² (iii) 281² (iv) 363²
సాధన.

సంఖ్య	ఆ సంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె వర్గం	ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె
(i) 1262	(6)2 = 36	6
(ii) 1792	(9)2 = 81	1
(iii) 2812	(1)2 = 1	1
(iv) 3632	(3)2 = 9	9

ఇచ్చిన వర్గసంఖ్యలలో ఒకట్ల స్థానంలో 1 వచ్చే సంఖ్యలు = (ii) 1799, (iii) 2812

3. క్రింది వర్గ సంఖ్యలలో ఒకట్ల స్థానంలో 6 వచ్చే సంఖ్యలు ఏవి ? (పేజీ నెం. 125)
(i) 116² (ii) 228² (iii) 324² (iv) 363²
సాధన.
(i) 116² ⇒ (6)² = 36 ఒకట్ల స్థానంలో అంకె 6
(ii) 228² ⇒ (8)² = 64 ఒకట్ల స్థానంలో అంకె 4
(iii) 324² ⇒ (4)² = 16 ఒకట్ల స్థానంలో అంకె 6
(iv) 363² ⇒ (3)² = 9 ఒకట్ల స్థానంలో అంకె 9
∴ ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ‘6’ గల సంఖ్యలు (i) 116² (iii) 324²

4. క్రింది సంఖ్యల వర్గాలలో ఎన్ని అంకెలు ఉంటాయో ఊహించండి. (పేజీ నెం. 125)
(i) 72 (ii) 103 (iii) 1000
సాధన.

5.

27; 20 మరియు 30 కి మధ్య ఉంటుంది. 272, 202 మరియు 302 కి మధ్య ఉంటుంది.
అయిన క్రింది వాటిలో 27² యొక్క విలువ ఏది ?
(i) 329 (ii) 525 (iii) 529 (iv) 729
సాధన.
(27)2 = 27 × 27 = 729

6. 9² మరియు 11² మధ్య 37 పరిపూర్ణ వర్గంలేని సంఖ్యలు ఉన్నాయని రేహాన్ చెప్పాడు. ఇది సరియేనా ? కారణం తెలపండి. (పేజీ నెం. 128)
సాధన.
9² మరియు 11² ల మధ్య గల పూర్ణసంఖ్యలు = 82, 83 ……….. 100, ……… 120 = 39
ఇందు 100 వర్గసంఖ్య కావునా పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్యలు కాని సంఖ్యలు = 39 – 1 = 38
∴ రేహాన్ చెప్పినది సరియైనది కాదు.

7. 81 ఘనసంఖ్య అగునా ? (పేజీ నెం. 140)
సాధన.
81 = 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁴
∴ 81 ను 3 ఒకే సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయలేం కాబట్టి 81 ఘనసంఖ్య కాదు.

8. 125 ఘనసంఖ్య అగునా ? (పేజీ నెం. 140)
సాధన.
125 = 5 × 5 × 5 = 5³
∴ 125 ను 3 సమానసంఖ్యల లబ్ధంగా వ్రాసినాము కావున ఇది ఘనసంఖ్య.

9. క్రింది సంఖ్యల (విస్తరణలో) ఒకట్ల స్థానములో ఉండు సంఖ్యలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 141)
(i) 753 (ii) 123 (ii) 1573 (iv) 1983 (v) 2063
సాధన.

సంఖ్య	ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె యొక్క ఘనం	ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె
(i) 753	53 = 125	5
(ii) 1233	33 = 27	7
(iii) 1573	73 = 343	3
(iv) 1983	83 = 512	2
(v) 2063	63 = 216	6

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి

1. “సరిసంఖ్యల వర్గం సరిసంఖ్య మరియు బేసిసంఖ్యల వర్గం బేసిసంఖ్య” అని వైష్ణవి చెప్పింది. దానిని నీవు అంగీకరిస్తావా ? కారణం చెప్పండి. (పేజీ నెం. 125)
సాధన.
సరిసంఖ్యల వర్గం సరిసంఖ్య అవుతుంది. ఎందుకనగా రెండు సరిసంఖ్యల లబ్ధం ఎల్లప్పుడూ సరిసంఖ్యయే.
ఉదా : (4)² = 4 × 4 = 16 ఒక సరిసంఖ్య.
బేసిసంఖ్యల వర్గం బేసిసంఖ్య అవుతుంది. ఎందుకనగా రెండు బేసి సంఖ్యల లబ్దం ఎల్లప్పుడూ బేసిసంఖ్యయే.
ఉదా : 11² = 11 × 11 = 121 ఒక బేసిసంఖ్య.

2. క్రింది పట్టికను పూరించండి. (పేజీ నెం. 125)

సాధన.

3. 1, 100 ల మధ్య ; 1, 500 ల మధ్య ; 1 మరియు 1000 ల మధ్య ఎన్ని (సంపూర్ణ) ఘనసంఖ్యలు కలవు ? (పేజీ నెం. 140)
సాధన.
1, 100 మధ్య గల ఘనసంఖ్యలు = 8, 27, 64
1, 500 మధ్య గల ఘనసంఖ్యలు – 8, 27, 64, 125, 216, 343
1, 1000 మధ్య గల ఘనసంఖ్యలు = 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729.

4. 500, 1000 ల మధ్య ఎన్ని (సంపూర్ణ) ఘనసంఖ్యలు కలవు ? (పేజీ నెం. 140)
సాధన.
500 మరియు 1000 మధ్య 512, 729 అను రెండు ఘనసంఖ్యలు కలవు.

దిగువ వాటిని సాధించుము. (పేజీ నెం. 143)

5. దిగువ వానిలో ఏవి (సంపూర్ణ) ఘన సంఖ్యలు ?
(i) 243 (ii) 400 (iii) 500 (iv) 512 (v) 729
సాధన.

సంఖ్య	ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధం	అవును / కాదు
(i) 243	243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35	కాదు
(ii) 400	400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 24 × 52	కాదు
(iii) 500	500 = 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 22 × 53	కాదు
(iv) 512	512 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) = 23 × 23 × 23 = 83	అవును
(v) 729	729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 32 × 32 × 32 = (32)3 = 93	అవును

∴ ఇచ్చిన వాటిలో 512, 729 లు ఘనసంఖ్యలు.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 బీజీయ సమాసాలు Ex 11.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 11th Lesson బీజీయ సమాసాలు Exercise 11.3

ప్రశ్న 1.
క్రింది ద్విపదులను గుణించండి.
(i) 2a – 9 మరియు 3a + 4
(ii) x – 2y మరియు 2x – y
(iii) kl + lm మరియు k – l
(iv) m² – n² మరియు m + n
సాధన.
(i) 2a – 9 మరియు 3a + 4
(2a – 9) (3a + 4) = 2a (3a + 4) – 9(3a + 4)
= 6a² + 8a – 27a – 36
= 6a² – 19a – 36

(ii) x – 2y మరియు 2x – y
(x – 2y) × (2x – y) = x(2x – y) – 2y(2x – y)
= 2x² – xy – 4xy + 2y²
= 2x² – 5xy + 2y²

(iii) kl + lm మరియు k – l
(kl + lm) (k – l) = kl(k – l) + lm (k – l).
= k²l – l²k + klm – l²m

(iv) m² – n² మరియు m + n
(m² – n²) (m + n) = m²(m + n) – n²(m + n)
= m³ + m²n – n²m – n³

2. క్రింది లబ్ధాలను కనుగొనండి.

ప్రశ్న (i)
(x + y) (2x – 5y + 3xy)
సాధన.
= x (2x – 5y + 3xy) + y(2x – 5y + 3xy)
= 2x² – 5xy + 3x²y + 2xy – 5y² + 3xy²
= 2x² – 5y² – 2xy + 3x²y + 3xy²

ప్రశ్న (ii)
(a – 2b + 3c) (ab² – a²b)
సాధన.
= a (ab² – a²b) – 2b (ab² – a²b) + 3c (ab² – a²b)
= a²b² – a³b – 2ab³ + 2a²b² + 3cab² – 3ca²b
= 3a²b² – a³b – 2ab³ + 3cab² – 3ca²b

ప్రశ్న (iii)
(mn – kl + km) (kl – lm)
సాధన.
= kl (mn – kl + km) – lm (mn – kl + km)
= klmn – k²l² + k²lm – lm²n + kl²m – klm²

ప్రశ్న (iv)
(p³ + q³)(p – 5q + 6r)
సాధన.
= p³ (p – 5q + 6r) + q³ (p – 5q + 6r)
= p⁴ – 5p³q + 6p³r + pq³ – 5q⁴ + 6rq³
= p⁴ – 5q⁴ – 5p³q + 6p³r + pq³ + 6rq³

3. సూక్ష్మీకరించండి.

ప్రశ్న (i)
(x – 2y) (y – 3x) + (x + y) (x – 3y) – (y – 3x) (4x – 5y)
సాధన.
= (y – 3x) [x – 2y – (4x – 5y)] + (x + y) (x – 3y)
= (y – 3x) [x – 2y – 4x + 5y] + (x + y) (x – 3y)
= (y – 3x) (3y – 3x) + (x + y) (x – 3y)
= y (3y – 3x) – 3x (3y – 3x) + x (x – 3y) + y (x – 3y)
= 3y² – 3xy – 9xy + 9x² + x² – 3xy + xy – 3y²
= 10x² – 14xy

ప్రశ్న (ii)
(m + n) (m² – mn + n²)
సాధన.
= m (m² – mn + n²) + n (m² – mn + n²)
= m³ – m²n + n²m + nm² – mn² + n³
= m³ + n³

ప్రశ్న (iii)
(a – 2b + 5c) (a – b) – (a – b – c) (2a + 3c) + (6a + b) (2c – 3a – 5b)
సాధన.
= a(a – 2b + 5c) – b (a – 2b + 5c) – 2a (a – b – c) – 3c (a – b – c) + 6a (2c – 3a – 5b) + b (2c – 3a – 5b)
= a² – 2ab + 5ac – ab + 2b² – 5bc – 2a² + 2ab + 2ac – 3ac
+ 3bc + 3c² + 12ac – 18a² – 30ab + 2bc – 3ab – 5b²
= – 19a² – 3b² – 34ab + 16ac + 3c²

ప్రశ్న (iv)
(pq – qr + pr) (pq + qr) – (pr + pq) (p + q – r)
సాధన.
= pq (pq – qr + pr) + qr (pq – qr + pr) – pr (p + q – r)
= p²q² – pq²r + p²qr + pq²r – q²r² + pqr² – p²r – pqr + pr² – p²q – pq² + pqr
= p²q² – q²r² + p²qr + pqr² – p²r + pr² – p²q – pq²

ప్రశ్న 4.
a, b, cలు మూదు ధన వాస్తవసంఖ్యలు మరియు [latex]\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}-\mathbf{c}}{\mathbf{c}}=\frac{\mathbf{a}-\mathbf{b}+\mathbf{c}}{\mathbf{b}}=\frac{-\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{\mathbf{a}}[/latex], అయిన [latex]\frac{(\mathbf{a}+\mathbf{b})(\mathbf{b}+\mathbf{c})(\mathbf{c}+\mathbf{a})}{\mathbf{a b c}}[/latex] విలువ కనుగొనుము
సాధన.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 6 వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Ex 6.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 6th Lesson వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Exercise 6.5

ప్రశ్న1.
ప్రధాన కారణాంక పద్ధతి ద్వారా దిగువ సంఖ్యల ఘనమూలాలను కనుగొనండి.
(i) 343
(ii) 729
(iii) 1331
(iv) 2744
సాధన.

ప్రశ్న2.
క్రిందివాని ఘనమూలాలను అంచనా వేసి కనుగొనుము.
(i) 512
(ii) 2197
(iii) 3375
(iv) 5832
సాధన.
(i) 512
సోపానం (1) : దత్త సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానంతో ఎడమవైపుకు పోవుచు మూడు మూడు అంకెలుండునట్లు గుంపులుగా విభజించి వ్రాయాలి.

సోపానం (2) : మొదటి గుంపులోని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 2. కావునా దత్త సంఖ్య యొక్క ఘనమూలపు ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 8 అయి ఉండవలెను.
సోపానం (3) : ఇపుడు రెండవ గుంపులో గల ‘0’ని గమనించుము. అది 0³ < 1 < 2³. కావునా కనిష్ఠ సంఖ్య 0. కావునా ఘనమూలపు పదుల స్థానంలోని అంకె 0.
∴ [latex]\sqrt[3]{512}[/latex] = 8

(ii)

సోపానం (1) : ఇచ్చిన సంఖ్య నుండి ఒకటవ గుంపు 197; రెండవ గుంపు 2.
సోపానం (2) : 197లో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 7. దీని యొక్క ఘనమూలం 3 అగును.
[∵ 3 × 3 × 3= 27]
∴ ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె = 3
సోపానం (3) : పదుల స్థానంలోని అంకే రెండవ గుంపు నుండి 2 అను సంఖ్య.
1³ < 2 < 2³ కావునా కనిష్ఠ సంఖ్య 1 అగును.
∴ కావలసిన సంఖ్య = 13
∴ [latex]\sqrt[3]{2197}[/latex] = 13

(iii)

ఒకటవ గుంపులోని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 5.
ఈ సంఖ్య దత్త సంఖ్య యొక్క ఘనపుమూలపు ఒకటవ స్థానపు అంకెను సూచించును. [∵ 5 × 5 × 5 = 125]
2వ గుంపులోని సంఖ్య 3.
ఇది 1³ < 3 < 2³ మధ్య ఉండును.
∴ కనిష్ఠ సంఖ్య 1 అగును.
∴ [latex]\sqrt[3]{3375}[/latex] = 15

(iv)

∴ మొదటి గుంపు 832 లో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 2 ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క ఘన మూలపు ఒకట్ల స్థానాన్ని సూచించు అంకె 8 అగును.
[∵ 8 × 8 × 8 = 512]
2వ గుంపులోని సంఖ్య = 5
ఈ 5, 1³ < 5 < 2³ ల మధ్య ఉండును.
∴ కనిష్ఠ విలువ ‘1’ గా తీసుకుంటాం.
∴ [latex]\sqrt[3]{5832}[/latex] = 18

ప్రశ్న3.
దిగువ వాక్యములు సత్యములా ? అసత్యములా ? వ్రాయండి.
(i) సరిసంఖ్య యొక్క ఘనము బేసిసంఖ్య.
(ii) సంపూర్ణ ఘన సంఖ్య చివర రెండు స్థానాలు సున్నాలతో అంతమవుతాయి.
(iii) ఒక సంఖ్య చివరి అంకె ‘5’ అయిన దాని ఘనము చివరి అంకె కూడ 5 అగును.
(iv) ఒక సంఖ్య సున్నా (0) తో అంతమైన దాని ఘనములో మూడు సున్నాలు ఉంటాయి.
(v) ఒక అంకెగల సంఖ్య యొక్క ఘనము కూడ ఒక అంకె సంఖ్య అవుతుంది.
(vi) ‘8’ తో అంతం అగు సంపూర్ణ ఘనసంఖ్య లేదు.
(vii) రెండంకెల సంఖ్య ఘనములో మూడంకెలు ఉండవచ్చు.
సాధన.
(i) సరిసంఖ్య యొక్క ఘనము బేసిసంఖ్య. (అసత్యము)
(ii) సంపూర్ణ ఘన సంఖ్య చివర రెండు స్థానాలు సున్నాలతో అంతమవుతాయి. (అసత్యము)
(iii) ఒక సంఖ్య చివరి అంకె ‘5’ అయిన దాని ఘనము చివరి అంకె కూడ 5 అగును. (సత్యము)
(iv) ఒక సంఖ్య సున్నా (0) తో అంతమైన దాని ఘనములో మూడు సున్నాలు ఉంటాయి. (సత్యము)
(v) ఒక అంకెగల సంఖ్య యొక్క ఘనము కూడ ఒక అంకె సంఖ్య అవుతుంది. (అసత్యము)
(vi) ‘8’ తో అంతం అగు సంపూర్ణ ఘనసంఖ్య లేదు. (అసత్యము)
(vii) రెండంకెల సంఖ్య ఘనములో మూడంకెలు ఉండవచ్చు. (అసత్యము)

ప్రశ్న4.
వర్గసంఖ్యయు మరియు ఘనసంఖ్యయు అగు రెండంకెల సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
వర్గసంఖ్య మరియు ఘనసంఖ్య అగు సంఖ్య 64
64 = 8 × 8 = 8²
64 = 4 × 4 × 4 = 4³

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 6 వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Ex 6.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 6th Lesson వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Exercise 6.4

ప్రశ్న1.
క్రింది సంఖ్యల ఘనాలు కనుగొనుము.
(i) 8
(ii) 16
(iii) 21
(iv) 30
సాధన.

ప్రశ్న2.
క్రింది సంఖ్యలు సంపూర్ణ ఘనాలా ? కాదా ? పరీక్షించండి.
(i) 243
(ii) 516
(iii) 729
(iv) 8000
(v) 2700
సాధన.

ప్రశ్న3.
8788 ను ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యచే గుణించిన సంపూర్ణ ఘనసంఖ్య అగును ?
సాధన.

8788 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దం = (2 × 2) × (13 × 13 × 13)
పై లబ్దాల త్రికములలో ‘2’ లోపించినది
కావునా 8788ను 2 అనే కనిష్ఠ సంఖ్యచే గుణించిన అది సంపూర్ణ ఘనసంఖ్య అగును.

ప్రశ్న4.
7803 ను ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యచే గుణించిన వచ్చు లబ్ధం సంపూర్ణ ఘనం అగును ?
సాధన.

7803 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దం = (3 × 3 × 3) × (17 × 17)
∴ పై లబ్దంలో ఒక ’17’ లోపించినది కావునా 7803 ను ’17’ చే గుణించిన అది సంపూర్ణ ఘనం అగును.

ప్రశ్న5.
8640ని ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యచే భాగించిన వచ్చు భాగఫలం సంపూర్ణ ఘనం అగును ?
సాధన.

8640 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధం
= (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × 5 × (3 × 3 × 3)
= 2³ × 2³ × 5 × 3³
∴ 8640 ఒక సంపూర్ణ ఘనసంఖ్య కావలెనన్న దానిని ‘5’ చే భాగింపవలెను.

ప్రశ్న6.
రవి ప్లాస్టసీన్ (మైనము) తో చేసిన ప్రమాణ ఘనాలను ఉపయోగించి 12 సెం.మీ., 8 సెం.మీ. మరియు 3 సెం.మీ. కొలతలు గల దీర్ఘ ఘనాన్ని తయారు చేసెను. అతడు తయారీకి కనీసం ఎన్ని ప్రమాణ ఘనాలను ఉపయోగించెను ?
సాధన.
12 సెం.మీ. × 8 సెం.మీ. × 3 సెం.మీ. కొలతలు గల దీర్ఘఘనం ఘనపరిమాణం = l × b × h
= 12 × 8 × 3
= 288 సెం.మీ.³
288 సెం.మీ.³ ఘనపరిమాణంతో తయారుచేయగల ప్రమాణ ఘనాల ఘనపరిమాణం దీనికంటే తక్కువ లేదా సమానంగా ఉండవలెను. అది 216 సెం.మీ.³ అవుతుంది.
∴ s³ = 216 అయిన
s = [latex]\sqrt[3]{216}[/latex] = [latex]\sqrt[3]{6^{3}}[/latex] = 6 సెం.మీ.

ప్రశ్న7.
3¹¹ + 5¹³ మొత్తాన్ని భాగించగలుగు కనిష్ఠ ప్రధాన సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
3¹¹ + 5¹³ నుండి

∴ 3¹¹ యొక్క విస్తరణలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె = 7
5¹³ యొక్క లబ్దంలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె = 5
∴ 7 + 5 = 12 ను భాగించగల కనిష్ఠ ప్రధాన సంఖ్య = 2

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 6 వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Ex 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 6th Lesson వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Exercise 6.3

ప్రశ్న1.
భాగహార పద్ధతిన వర్గమూలాలు కనుక్కోండి.
(i) 1089
సాధన.

∴ [latex]\sqrt{1089}[/latex] = 33

(ii) 2304
సాధన.

∴ [latex]\sqrt{2304}[/latex] = 48

(iii) 7744
సాధన.

∴ [latex]\sqrt{7744}[/latex] = 88

(iv) 6084
సాధన.

∴ [latex]\sqrt{6084}[/latex] = 78

(v) 9025
సాధన.

∴ [latex]\sqrt{6084}[/latex] = 78

ప్రశ్న2.
క్రింది దశాంశాలకు వర్గమూలాలను కనుక్కోండి.
(i) 2.56
సాధన.

∴ [latex]\sqrt{2.56}[/latex] = 78

(ii) 18.49
సాధన.

∴ [latex]\sqrt{18.49}[/latex] = 4.3

(iii) 68.89
సాధన.

∴ [latex]\sqrt{68.89}[/latex] = 8.3

(iv) 84.64
సాధన.

∴ [latex]\sqrt{84.64}[/latex] = 9.2

ప్రశ్న3.
4000 నుండి ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను తీసివేసిన పరిపూర్ణ వర్గం అగును ?
సాధన.
4000 నుండి ఒక కనిష్ఠ సంఖ్యను తీసివేయవలెనన్న భాగహార పద్ధతిన వర్గమూలం కనుగొనవలె.

∴ 4000 నుండి ’31’ అను కనిష్ఠ సంఖ్యను తీసివేసిన పరిపూర్ణ వర్గం అగును.

ప్రశ్న4.
ఒక చతురస్ర వైశాల్యం 4489 సెం.మీ.² అయిన భుజం పొడవు ఎంత ?
సాధన.
చతురస్ర వైశాల్యం (A) = 4489 సెం.మీ.²
∴ A = s²
⇒ s² = [latex]\sqrt{4489}[/latex] = [latex]\sqrt{67 \times 67}[/latex] = 67 సెం.మీ.
చతురస్ర భుజం (s) = 67 సెం.మీ.

ప్రశ్న5.
ఒక తోటమాలి 8289 మొక్కలను చతురస్రాకారంలో కొన్ని వరుసలలో నాటాడు. నాటిన తరువాత 8 మొక్కలు మిగిలిన ప్రతి వరుసలో నాటిన మొక్కలు ఎన్ని ?
సాధన.
మొత్తం నాటిన మొక్కలు = 8289
8289 మొక్కలను చతురస్రాకారంలో నాటగా 8మొక్కలు మిగిలిపోగా నాటిన మొక్కలు = 8289 – 8
= 8281
ఒక్కొక్క వరుసలో నాటిన మొక్కల సంఖ్య కావలెనన్న 8281 కు వర్గమూలం కనుగొనవలెను.

∴ 8281 మొక్కలను చతురస్రాకారంగా నాటగా ప్రతి వరుసకు వచ్చు మొక్కల సంఖ్య = 91

ప్రశ్న6.
కనిష్ఠ నాలుగు అంకెల పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
నాలుగు అంకెల కనిష్ఠ సంఖ్య = 1000

∴ 1000 కు 24 ను కలిపిన 1000 + 24 = 1024
∴ నాలుగు అంకెల కనిష్ఠ పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య = 1024

ప్రశ్న7.
6412 కు ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను కలిపిన పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య అగును ?
సాధన.

∴ 6412 కు 149 అను కనిష్ఠ సంఖ్యను కలిపిన పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య అగును.

ప్రశ్న8.
క్రింది వాటి వర్గమూలాలను దగ్గరి పూర్ణాంకానికి అంచనా వేసి చెప్పండి.
(i) [latex]\sqrt{97}[/latex]
సాధన.
97, వర్గ సంఖ్యలయిన 81 మరియు 100 ల మధ్య ఉండును.
81 < 97 < 100
⇒ 9² < 97 < 10²
⇒ 9 < [latex]\sqrt{97}[/latex] < 10
∴ [latex]\sqrt{97}[/latex] విలువ 10 కి. దగ్గరగా ఉండవచ్చు.
[∵ 97, 100 కు దగ్గరగా ఉన్నది.]

(ii) [latex]\sqrt{250}[/latex]
సాధన.
250 వర్గ సంఖ్యలైన 225, 256 ల మధ్య ఉండును.
∴ 225 < 250 < 256
⇒ 15² < 250 < 16²
= 15 < [latex]\sqrt{250}[/latex] < 16
∴ 250 విలువ 16 కు దగ్గరగా ఉండవచ్చు.
[∵ 250, 256 కు దగ్గరగా ఉన్నది.]

(iii) [latex]\sqrt{780}[/latex]
సాధన.
780, వర్గ సంఖ్యలైన 729 మరియు 784 ల మధ్య కలదు.
∴ 729 < 780 < 784
⇒ 27² < 780 < 28²
⇒ 27 < [latex]\sqrt{780}[/latex] < 28
∴ [latex]\sqrt{780}[/latex], 28 కు దగ్గరగా ఉండును.
[∵ 780, 784 కు దగ్గరగా ఉన్నది.]

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 బీజీయ సమాసాలు Ex 11.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 11th Lesson బీజీయ సమాసాలు Exercise 11.2

ప్రశ్న 1.
పట్టికను పూర్తి చేయండి.

సాధన.

ప్రశ్న 2.
4y (3y + 4)ను సూక్ష్మీకరించంది.
సాధన.
4y (3y + 4) = 4y × 3y + 4y × 4
= 12y² + 16y

ప్రశ్న 3.
x (2x² – 7x + 3) ను సూక్ష్మీకరించి
(i) x = 1 మరియు (ii) x = 0 విలువలకు లబ్ధం విలువ కనుగొనండి.
సాధన.
x (2x² – 7x + 3)
= x × 2x² – x × 7x + x × 3
= 2x³ – 7x² + 3x

(i) x = 1 అయిన 2x³ – 7x² + 3x
= 2(1)³ – 7(1)² + 3(1)
= 2 – 7 + 3 = – 2

(ii) x = 0 అయిన 2x³ – 7x² + 3x
= 2(0)³ – 7(0)³ + 3(0) = 0

ప్రశ్న 4.
క్రింది లబాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
a(a – b), b(b – c), c(c – a)
సాధన.
a (a – b) + b (b – c) + c (c – a)
= a × a – a × b + b × b – b × c + c × c – c × a
= a² – ab + b² – bc + c² – ca
= a² + b² + c² – ab – bc – ca

ప్రశ్న 5.
ఈ క్రింది లబ్దాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
x(x + y – r), y(x – y + r), z(x – y – z)
సాధన.
x (x + y – r) + y (x – y + r) + z (x – y – z)
= x² + xy – xr + xy – y² + yr + zx – yz – z²
= x² – y² – z² + 2xy – xr + yr + zx – yz

ప్రశ్న 6.
3x(x + 2y) లబ్ధం నుండి 2x(5x – y) లబాన్ని తీసివేయండి.
సాధన.
3x (x + 2y) – 2x (5x – y)
= (3x × x + 3x × 2y) – (2x × 5x – 2x × y)
= 3x² + 6xy – (10x² – 2xy)
= 3x² + 6xy – 10x² + 2xy
= 8xy – 7x²

ప్రశ్న 7.
6k(2k + 3l – 2m) నుండి 3k(5k – l + 3m) ను తీసివేయండి.
సాధన.
6k (2k + 3l – 2m) – 3k (5k – l + 3m)
= 12k² + 18kl – 12km – 15k² + 3kl – 9km
= – 3k² + 21kl – 21km

ప్రశ్న 8.
a²(a – b + c) + b² (a + b – c) – c² (a – b – c)ని సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన.
a²(a – b + c) + b²(a + b – c) – c² (a – b – c)
= a³ – a²b + a²c + ab² + b³ – cb² – c²a + c²b + c³
= a³ + b³ + c³ – a²b + ab² – cb² – c²a + c²b + a²c