Category: Class 8

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 6 వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 6th Lesson వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. క్రింది సంఖ్యల మధ్య నున్న వర్గసంఖ్యలు ఏవి ? (i) 100 మరియు 150 (ii) 150 మరియు 200 (పేజీ నెం. 124)
సాధన.
(i) 100 మరియు 150 మధ్య గల వర్గ సంఖ్యలు = 121, 144
(ii) 150 మరియు 200 మధ్య గల వర్గసంఖ్యలు = 169, 196

2. 56 పరిపూర్ణ వర్గమా? కారణాలు తెలపండి. (పేజీ నెం. 124)
సాధన.
56 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధం = 8 × 7 = (2 × 2) × 2 × 7
56 ను రెండు, ఒకే సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయలేము కావున 56 వర్గసంఖ్య కాదు.

3. 9² మరియు 10² మధ్య ఎన్ని పూర్ణసంఖ్యలున్నాయి ? (పేజీ నెం. 128)
సాధన.
9² మరియు 10² మధ్య గల పూర్ణసంఖ్యల సంఖ్య = 2 × మొదటి వర్గసంఖ్య (భూమి)
= 2 × 9 = 18 (82, 83, ……….. 99 = 18)

4. 15² మరియు 16² మధ్య ఎన్ని పూర్ణసంఖ్యలున్నాయి ? (పేజీ నెం. 128)
సాధన.
15² మరియు 16² మధ్య గల పూర్ణసంఖ్యల సంఖ్య
= 2 × మొదటి వర్గసంఖ్య (భూమి)
= 2 × 15 = 30 (226, 227, ………… 254, 255) = 30

5. క్రింది సంఖ్యలు పైథాగోరియన్ త్రికాలు అవుతాయేమో సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 129)
(i) 2, 3, 4 (ii) 6, 8, 10 (iii) 9, 10, 11 (iv) 8, 15, 17
సాధన.

6. ఒక పైథాగోరియన్ త్రికాన్ని తీసుకొని వాటి గుణిజాలను వ్రాయండి. గుణిజాలతో ఏర్పడిన త్రికాలు పైథాగోరియన్ త్రికాలు అవుతాయేమో సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 129)
సాధన.
3, 4, 5 లు పైథాగోరియన్ త్రికాలు.


∴ పైథాగోరియన్ త్రికాల గుణకాలు కూడా పైథాగోరియన్ త్రికాలు అగును.

7. పునరావృత వ్యవకలనం (Repeated subtraction) ద్వారా క్రింది సంఖ్యలు (పరిపూర్ణ) వర్గ సంఖ్యలు అవుతాయో, లేదో కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 131)
(i) 55
(ii) 90
(iii) 121
సాధన.
(i) \(\sqrt{55}\)
సోపానం 1 → 55 – 1 = 54 (మొదటి బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 2 → 54 – 3 = 51 (2వ బేసి సంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 3 → 51 – 5 = 46 (3వ బేసి సంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 4 → 46 – 7 = 39 (4వ బేసి సంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 5 → 39 – 9 = 30 (5వ బేసి సంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 6 → 30 – 11 = 19 (6వ బేసి సంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 7 → 19 – 13 = 6 (7వ బేసి సంఖ్యను తీసివేయటం)
∴ 1 నుండి మొదలుకొని 7 వరుస బేసిసంఖ్యలు 55 నుండి తీసివేయగా ‘0’ రాలేదు. కావునా 55 వర్గసంఖ్య కాదు.

(ii) \(\sqrt{90}\)
సోపానం 1 → 90 – 1 = 89 (మొదటి బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 2 → 89 – 3 = 86 (2వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 3 → 86 – 5 = 81 (3వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 4 → 81 – 7 = 74 (4వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 5 → 74 – 9 = 65 (5వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం )
సోపానం 6 → 65 – 11 = 54 (6వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం, 7 → 54 – 13 = 41 (7వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 8 → 41 – 15 = 26 (8వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 9 → 26 – 17 = 9 (9వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
∴ 1 నుండి మొదలుకొని 9 వరుస బేసి సంఖ్యలు 90 నుండి తీసివేసిన ‘0’ రాలేదు. కావునా ’90’ పరిపూర్ణ సంఖ్య కాదు.
Note : పై పద్ధతిలో చివరగా (సున్న) ‘0’ వచ్చినట్లయితే అది పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య అవుతుంది.

(iii) \(\sqrt{121}\)
సోపానం 1 → 121 – 1 = 120 (మొదటి బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 2 → 120 – 3 = 117 (2వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 3 → 117 – 5 = 112 (3వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 4 → 112 – 7 = 105 (4వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 5 → 105 – 9 = 96 (5వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 6 → 96 – 11 = 85 (6వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 7 → 85 – 13 = 72 (7వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 8 → 72 – 15 = 57 (8వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 9 → 57 – 17 = 40 (9వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 10 → 40 – 19 = 21 (10వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 11 → 21 – 21 = 0 (11వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
∴ 1 నుండి మొదలుకొని 11 వరుస బేసిసంఖ్యలు 121 నుండి తీసివేయడం ద్వారా ‘0’ వచ్చినది (11వ సోపానం వద్ద).
∴ కావునా 121 పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్య
∴ \(\sqrt{121}=\sqrt{11 \times 11}\) = 11 (∵ 11వ సోపానం వద్ద అంతం అయినది)

ప్రయత్నించండి

1. క్రింది వాటిలో ఏవి వర్గ సంఖ్యలు అవుతాయో ఊహించండి. పై పట్టిక ఆధారంగా సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 124)
(i) 84 (ii) 108 (iii) 271 (iv) 240 (v) 529
సాధన.
(i) 84 (ii) 108 (iii) 271 (iv) 240
ఈ సంఖ్యలను రెండు ఒకే సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయలేము కాబట్టి ఇవి వర్గసంఖ్యలు కావు.
(v) 529 = 23 × 23 ⇒ ఇది ఒక వర్గసంఖ్య.
∴ 529 మాత్రమే వర్గసంఖ్య.

2. క్రింది వర్గ సంఖ్యలలో ఒకట్ల స్థానంలో 1 వచ్చే సంఖ్యలు ఏవి ? (పేజీ నెం. 125)
(i) 126² (ii) 179² (iii) 281² (iv) 363²
సాధన.

ఇచ్చిన వర్గసంఖ్యలలో ఒకట్ల స్థానంలో 1 వచ్చే సంఖ్యలు = (ii) 1799, (iii) 2812

3. క్రింది వర్గ సంఖ్యలలో ఒకట్ల స్థానంలో 6 వచ్చే సంఖ్యలు ఏవి ? (పేజీ నెం. 125)
(i) 116² (ii) 228² (iii) 324² (iv) 363²
సాధన.
(i) 116² ⇒ (6)² = 36 ఒకట్ల స్థానంలో అంకె 6
(ii) 228² ⇒ (8)² = 64 ఒకట్ల స్థానంలో అంకె 4
(iii) 324² ⇒ (4)² = 16 ఒకట్ల స్థానంలో అంకె 6
(iv) 363² ⇒ (3)² = 9 ఒకట్ల స్థానంలో అంకె 9
∴ ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ‘6’ గల సంఖ్యలు (i) 116² (iii) 324²

4. క్రింది సంఖ్యల వర్గాలలో ఎన్ని అంకెలు ఉంటాయో ఊహించండి. (పేజీ నెం. 125)
(i) 72 (ii) 103 (iii) 1000
సాధన.

5.

27; 20 మరియు 30 కి మధ్య ఉంటుంది. 272, 202 మరియు 302 కి మధ్య ఉంటుంది.
అయిన క్రింది వాటిలో 27² యొక్క విలువ ఏది ?
(i) 329 (ii) 525 (iii) 529 (iv) 729
సాధన.
(27)2 = 27 × 27 = 729

6. 9² మరియు 11² మధ్య 37 పరిపూర్ణ వర్గంలేని సంఖ్యలు ఉన్నాయని రేహాన్ చెప్పాడు. ఇది సరియేనా ? కారణం తెలపండి. (పేజీ నెం. 128)
సాధన.
9² మరియు 11² ల మధ్య గల పూర్ణసంఖ్యలు = 82, 83 ……….. 100, ……… 120 = 39
ఇందు 100 వర్గసంఖ్య కావునా పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్యలు కాని సంఖ్యలు = 39 – 1 = 38
∴ రేహాన్ చెప్పినది సరియైనది కాదు.

7. 81 ఘనసంఖ్య అగునా ? (పేజీ నెం. 140)
సాధన.
81 = 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁴
∴ 81 ను 3 ఒకే సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయలేం కాబట్టి 81 ఘనసంఖ్య కాదు.

8. 125 ఘనసంఖ్య అగునా ? (పేజీ నెం. 140)
సాధన.
125 = 5 × 5 × 5 = 5³
∴ 125 ను 3 సమానసంఖ్యల లబ్ధంగా వ్రాసినాము కావున ఇది ఘనసంఖ్య.

9. క్రింది సంఖ్యల (విస్తరణలో) ఒకట్ల స్థానములో ఉండు సంఖ్యలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 141)
(i) 753 (ii) 123 (ii) 1573 (iv) 1983 (v) 2063
సాధన.

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి

1. “సరిసంఖ్యల వర్గం సరిసంఖ్య మరియు బేసిసంఖ్యల వర్గం బేసిసంఖ్య” అని వైష్ణవి చెప్పింది. దానిని నీవు అంగీకరిస్తావా ? కారణం చెప్పండి. (పేజీ నెం. 125)
సాధన.
సరిసంఖ్యల వర్గం సరిసంఖ్య అవుతుంది. ఎందుకనగా రెండు సరిసంఖ్యల లబ్ధం ఎల్లప్పుడూ సరిసంఖ్యయే.
ఉదా : (4)² = 4 × 4 = 16 ఒక సరిసంఖ్య.
బేసిసంఖ్యల వర్గం బేసిసంఖ్య అవుతుంది. ఎందుకనగా రెండు బేసి సంఖ్యల లబ్దం ఎల్లప్పుడూ బేసిసంఖ్యయే.
ఉదా : 11² = 11 × 11 = 121 ఒక బేసిసంఖ్య.

2. క్రింది పట్టికను పూరించండి. (పేజీ నెం. 125)

సాధన.

3. 1, 100 ల మధ్య ; 1, 500 ల మధ్య ; 1 మరియు 1000 ల మధ్య ఎన్ని (సంపూర్ణ) ఘనసంఖ్యలు కలవు ? (పేజీ నెం. 140)
సాధన.
1, 100 మధ్య గల ఘనసంఖ్యలు = 8, 27, 64
1, 500 మధ్య గల ఘనసంఖ్యలు – 8, 27, 64, 125, 216, 343
1, 1000 మధ్య గల ఘనసంఖ్యలు = 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729.

4. 500, 1000 ల మధ్య ఎన్ని (సంపూర్ణ) ఘనసంఖ్యలు కలవు ? (పేజీ నెం. 140)
సాధన.
500 మరియు 1000 మధ్య 512, 729 అను రెండు ఘనసంఖ్యలు కలవు.

దిగువ వాటిని సాధించుము. (పేజీ నెం. 143)

5. దిగువ వానిలో ఏవి (సంపూర్ణ) ఘన సంఖ్యలు ?
(i) 243 (ii) 400 (iii) 500 (iv) 512 (v) 729
సాధన.

∴ ఇచ్చిన వాటిలో 512, 729 లు ఘనసంఖ్యలు.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 బీజీయ సమాసాలు Ex 11.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 11th Lesson బీజీయ సమాసాలు Exercise 11.3

ప్రశ్న 1.
క్రింది ద్విపదులను గుణించండి.
(i) 2a – 9 మరియు 3a + 4
(ii) x – 2y మరియు 2x – y
(iii) kl + lm మరియు k – l
(iv) m² – n² మరియు m + n
సాధన.
(i) 2a – 9 మరియు 3a + 4
(2a – 9) (3a + 4) = 2a (3a + 4) – 9(3a + 4)
= 6a² + 8a – 27a – 36
= 6a² – 19a – 36

(ii) x – 2y మరియు 2x – y
(x – 2y) × (2x – y) = x(2x – y) – 2y(2x – y)
= 2x² – xy – 4xy + 2y²
= 2x² – 5xy + 2y²

(iii) kl + lm మరియు k – l
(kl + lm) (k – l) = kl(k – l) + lm (k – l).
= k²l – l²k + klm – l²m

(iv) m² – n² మరియు m + n
(m² – n²) (m + n) = m²(m + n) – n²(m + n)
= m³ + m²n – n²m – n³

2. క్రింది లబ్ధాలను కనుగొనండి.

ప్రశ్న (i)
(x + y) (2x – 5y + 3xy)
సాధన.
= x (2x – 5y + 3xy) + y(2x – 5y + 3xy)
= 2x² – 5xy + 3x²y + 2xy – 5y² + 3xy²
= 2x² – 5y² – 2xy + 3x²y + 3xy²

ప్రశ్న (ii)
(a – 2b + 3c) (ab² – a²b)
సాధన.
= a (ab² – a²b) – 2b (ab² – a²b) + 3c (ab² – a²b)
= a²b² – a³b – 2ab³ + 2a²b² + 3cab² – 3ca²b
= 3a²b² – a³b – 2ab³ + 3cab² – 3ca²b

ప్రశ్న (iii)
(mn – kl + km) (kl – lm)
సాధన.
= kl (mn – kl + km) – lm (mn – kl + km)
= klmn – k²l² + k²lm – lm²n + kl²m – klm²

ప్రశ్న (iv)
(p³ + q³)(p – 5q + 6r)
సాధన.
= p³ (p – 5q + 6r) + q³ (p – 5q + 6r)
= p⁴ – 5p³q + 6p³r + pq³ – 5q⁴ + 6rq³
= p⁴ – 5q⁴ – 5p³q + 6p³r + pq³ + 6rq³

3. సూక్ష్మీకరించండి.

ప్రశ్న (i)
(x – 2y) (y – 3x) + (x + y) (x – 3y) – (y – 3x) (4x – 5y)
సాధన.
= (y – 3x) [x – 2y – (4x – 5y)] + (x + y) (x – 3y)
= (y – 3x) [x – 2y – 4x + 5y] + (x + y) (x – 3y)
= (y – 3x) (3y – 3x) + (x + y) (x – 3y)
= y (3y – 3x) – 3x (3y – 3x) + x (x – 3y) + y (x – 3y)
= 3y² – 3xy – 9xy + 9x² + x² – 3xy + xy – 3y²
= 10x² – 14xy

ప్రశ్న (ii)
(m + n) (m² – mn + n²)
సాధన.
= m (m² – mn + n²) + n (m² – mn + n²)
= m³ – m²n + n²m + nm² – mn² + n³
= m³ + n³

ప్రశ్న (iii)
(a – 2b + 5c) (a – b) – (a – b – c) (2a + 3c) + (6a + b) (2c – 3a – 5b)
సాధన.
= a(a – 2b + 5c) – b (a – 2b + 5c) – 2a (a – b – c) – 3c (a – b – c) + 6a (2c – 3a – 5b) + b (2c – 3a – 5b)
= a² – 2ab + 5ac – ab + 2b² – 5bc – 2a² + 2ab + 2ac – 3ac
+ 3bc + 3c² + 12ac – 18a² – 30ab + 2bc – 3ab – 5b²
= – 19a² – 3b² – 34ab + 16ac + 3c²

ప్రశ్న (iv)
(pq – qr + pr) (pq + qr) – (pr + pq) (p + q – r)
సాధన.
= pq (pq – qr + pr) + qr (pq – qr + pr) – pr (p + q – r)
= p²q² – pq²r + p²qr + pq²r – q²r² + pqr² – p²r – pqr + pr² – p²q – pq² + pqr
= p²q² – q²r² + p²qr + pqr² – p²r + pr² – p²q – pq²

ప్రశ్న 4.
a, b, cలు మూదు ధన వాస్తవసంఖ్యలు మరియు \(\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}-\mathbf{c}}{\mathbf{c}}=\frac{\mathbf{a}-\mathbf{b}+\mathbf{c}}{\mathbf{b}}=\frac{-\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{\mathbf{a}}\), అయిన \(\frac{(\mathbf{a}+\mathbf{b})(\mathbf{b}+\mathbf{c})(\mathbf{c}+\mathbf{a})}{\mathbf{a b c}}\) విలువ కనుగొనుము
సాధన.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 6 వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Ex 6.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 6th Lesson వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Exercise 6.5

ప్రశ్న1.
ప్రధాన కారణాంక పద్ధతి ద్వారా దిగువ సంఖ్యల ఘనమూలాలను కనుగొనండి.
(i) 343
(ii) 729
(iii) 1331
(iv) 2744
సాధన.

ప్రశ్న2.
క్రిందివాని ఘనమూలాలను అంచనా వేసి కనుగొనుము.
(i) 512
(ii) 2197
(iii) 3375
(iv) 5832
సాధన.
(i) 512
సోపానం (1) : దత్త సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానంతో ఎడమవైపుకు పోవుచు మూడు మూడు అంకెలుండునట్లు గుంపులుగా విభజించి వ్రాయాలి.

సోపానం (2) : మొదటి గుంపులోని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 2. కావునా దత్త సంఖ్య యొక్క ఘనమూలపు ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 8 అయి ఉండవలెను.
సోపానం (3) : ఇపుడు రెండవ గుంపులో గల ‘0’ని గమనించుము. అది 0³ < 1 < 2³. కావునా కనిష్ఠ సంఖ్య 0. కావునా ఘనమూలపు పదుల స్థానంలోని అంకె 0.
∴ \(\sqrt[3]{512}\) = 8

(ii)

సోపానం (1) : ఇచ్చిన సంఖ్య నుండి ఒకటవ గుంపు 197; రెండవ గుంపు 2.
సోపానం (2) : 197లో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 7. దీని యొక్క ఘనమూలం 3 అగును.
[∵ 3 × 3 × 3= 27]
∴ ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె = 3
సోపానం (3) : పదుల స్థానంలోని అంకే రెండవ గుంపు నుండి 2 అను సంఖ్య.
1³ < 2 < 2³ కావునా కనిష్ఠ సంఖ్య 1 అగును.
∴ కావలసిన సంఖ్య = 13
∴ \(\sqrt[3]{2197}\) = 13

(iii)

ఒకటవ గుంపులోని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 5.
ఈ సంఖ్య దత్త సంఖ్య యొక్క ఘనపుమూలపు ఒకటవ స్థానపు అంకెను సూచించును. [∵ 5 × 5 × 5 = 125]
2వ గుంపులోని సంఖ్య 3.
ఇది 1³ < 3 < 2³ మధ్య ఉండును.
∴ కనిష్ఠ సంఖ్య 1 అగును.
∴ \(\sqrt[3]{3375}\) = 15

(iv)

∴ మొదటి గుంపు 832 లో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 2 ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క ఘన మూలపు ఒకట్ల స్థానాన్ని సూచించు అంకె 8 అగును.
[∵ 8 × 8 × 8 = 512]
2వ గుంపులోని సంఖ్య = 5
ఈ 5, 1³ < 5 < 2³ ల మధ్య ఉండును.
∴ కనిష్ఠ విలువ ‘1’ గా తీసుకుంటాం.
∴ \(\sqrt[3]{5832}\) = 18

ప్రశ్న3.
దిగువ వాక్యములు సత్యములా ? అసత్యములా ? వ్రాయండి.
(i) సరిసంఖ్య యొక్క ఘనము బేసిసంఖ్య.
(ii) సంపూర్ణ ఘన సంఖ్య చివర రెండు స్థానాలు సున్నాలతో అంతమవుతాయి.
(iii) ఒక సంఖ్య చివరి అంకె ‘5’ అయిన దాని ఘనము చివరి అంకె కూడ 5 అగును.
(iv) ఒక సంఖ్య సున్నా (0) తో అంతమైన దాని ఘనములో మూడు సున్నాలు ఉంటాయి.
(v) ఒక అంకెగల సంఖ్య యొక్క ఘనము కూడ ఒక అంకె సంఖ్య అవుతుంది.
(vi) ‘8’ తో అంతం అగు సంపూర్ణ ఘనసంఖ్య లేదు.
(vii) రెండంకెల సంఖ్య ఘనములో మూడంకెలు ఉండవచ్చు.
సాధన.
(i) సరిసంఖ్య యొక్క ఘనము బేసిసంఖ్య. (అసత్యము)
(ii) సంపూర్ణ ఘన సంఖ్య చివర రెండు స్థానాలు సున్నాలతో అంతమవుతాయి. (అసత్యము)
(iii) ఒక సంఖ్య చివరి అంకె ‘5’ అయిన దాని ఘనము చివరి అంకె కూడ 5 అగును. (సత్యము)
(iv) ఒక సంఖ్య సున్నా (0) తో అంతమైన దాని ఘనములో మూడు సున్నాలు ఉంటాయి. (సత్యము)
(v) ఒక అంకెగల సంఖ్య యొక్క ఘనము కూడ ఒక అంకె సంఖ్య అవుతుంది. (అసత్యము)
(vi) ‘8’ తో అంతం అగు సంపూర్ణ ఘనసంఖ్య లేదు. (అసత్యము)
(vii) రెండంకెల సంఖ్య ఘనములో మూడంకెలు ఉండవచ్చు. (అసత్యము)

ప్రశ్న4.
వర్గసంఖ్యయు మరియు ఘనసంఖ్యయు అగు రెండంకెల సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
వర్గసంఖ్య మరియు ఘనసంఖ్య అగు సంఖ్య 64
64 = 8 × 8 = 8²
64 = 4 × 4 × 4 = 4³

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 6 వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Ex 6.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 6th Lesson వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Exercise 6.4

ప్రశ్న1.
క్రింది సంఖ్యల ఘనాలు కనుగొనుము.
(i) 8
(ii) 16
(iii) 21
(iv) 30
సాధన.

ప్రశ్న2.
క్రింది సంఖ్యలు సంపూర్ణ ఘనాలా ? కాదా ? పరీక్షించండి.
(i) 243
(ii) 516
(iii) 729
(iv) 8000
(v) 2700
సాధన.

ప్రశ్న3.
8788 ను ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యచే గుణించిన సంపూర్ణ ఘనసంఖ్య అగును ?
సాధన.

8788 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దం = (2 × 2) × (13 × 13 × 13)
పై లబ్దాల త్రికములలో ‘2’ లోపించినది
కావునా 8788ను 2 అనే కనిష్ఠ సంఖ్యచే గుణించిన అది సంపూర్ణ ఘనసంఖ్య అగును.

ప్రశ్న4.
7803 ను ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యచే గుణించిన వచ్చు లబ్ధం సంపూర్ణ ఘనం అగును ?
సాధన.

7803 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దం = (3 × 3 × 3) × (17 × 17)
∴ పై లబ్దంలో ఒక ’17’ లోపించినది కావునా 7803 ను ’17’ చే గుణించిన అది సంపూర్ణ ఘనం అగును.

ప్రశ్న5.
8640ని ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యచే భాగించిన వచ్చు భాగఫలం సంపూర్ణ ఘనం అగును ?
సాధన.

8640 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధం
= (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × 5 × (3 × 3 × 3)
= 2³ × 2³ × 5 × 3³
∴ 8640 ఒక సంపూర్ణ ఘనసంఖ్య కావలెనన్న దానిని ‘5’ చే భాగింపవలెను.

ప్రశ్న6.
రవి ప్లాస్టసీన్ (మైనము) తో చేసిన ప్రమాణ ఘనాలను ఉపయోగించి 12 సెం.మీ., 8 సెం.మీ. మరియు 3 సెం.మీ. కొలతలు గల దీర్ఘ ఘనాన్ని తయారు చేసెను. అతడు తయారీకి కనీసం ఎన్ని ప్రమాణ ఘనాలను ఉపయోగించెను ?
సాధన.
12 సెం.మీ. × 8 సెం.మీ. × 3 సెం.మీ. కొలతలు గల దీర్ఘఘనం ఘనపరిమాణం = l × b × h
= 12 × 8 × 3
= 288 సెం.మీ.³
288 సెం.మీ.³ ఘనపరిమాణంతో తయారుచేయగల ప్రమాణ ఘనాల ఘనపరిమాణం దీనికంటే తక్కువ లేదా సమానంగా ఉండవలెను. అది 216 సెం.మీ.³ అవుతుంది.
∴ s³ = 216 అయిన
s = \(\sqrt[3]{216}\) = \(\sqrt[3]{6^{3}}\) = 6 సెం.మీ.

ప్రశ్న7.
3¹¹ + 5¹³ మొత్తాన్ని భాగించగలుగు కనిష్ఠ ప్రధాన సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
3¹¹ + 5¹³ నుండి

∴ 3¹¹ యొక్క విస్తరణలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె = 7
5¹³ యొక్క లబ్దంలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె = 5
∴ 7 + 5 = 12 ను భాగించగల కనిష్ఠ ప్రధాన సంఖ్య = 2

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 6 వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Ex 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 6th Lesson వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Exercise 6.3

ప్రశ్న1.
భాగహార పద్ధతిన వర్గమూలాలు కనుక్కోండి.
(i) 1089
సాధన.

∴ \(\sqrt{1089}\) = 33

(ii) 2304
సాధన.

∴ \(\sqrt{2304}\) = 48

(iii) 7744
సాధన.

∴ \(\sqrt{7744}\) = 88

(iv) 6084
సాధన.

∴ \(\sqrt{6084}\) = 78

(v) 9025
సాధన.

∴ \(\sqrt{6084}\) = 78

ప్రశ్న2.
క్రింది దశాంశాలకు వర్గమూలాలను కనుక్కోండి.
(i) 2.56
సాధన.

∴ \(\sqrt{2.56}\) = 78

(ii) 18.49
సాధన.

∴ \(\sqrt{18.49}\) = 4.3

(iii) 68.89
సాధన.

∴ \(\sqrt{68.89}\) = 8.3

(iv) 84.64
సాధన.

∴ \(\sqrt{84.64}\) = 9.2

ప్రశ్న3.
4000 నుండి ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను తీసివేసిన పరిపూర్ణ వర్గం అగును ?
సాధన.
4000 నుండి ఒక కనిష్ఠ సంఖ్యను తీసివేయవలెనన్న భాగహార పద్ధతిన వర్గమూలం కనుగొనవలె.

∴ 4000 నుండి ’31’ అను కనిష్ఠ సంఖ్యను తీసివేసిన పరిపూర్ణ వర్గం అగును.

ప్రశ్న4.
ఒక చతురస్ర వైశాల్యం 4489 సెం.మీ.² అయిన భుజం పొడవు ఎంత ?
సాధన.
చతురస్ర వైశాల్యం (A) = 4489 సెం.మీ.²
∴ A = s²
⇒ s² = \(\sqrt{4489}\) = \(\sqrt{67 \times 67}\) = 67 సెం.మీ.
చతురస్ర భుజం (s) = 67 సెం.మీ.

ప్రశ్న5.
ఒక తోటమాలి 8289 మొక్కలను చతురస్రాకారంలో కొన్ని వరుసలలో నాటాడు. నాటిన తరువాత 8 మొక్కలు మిగిలిన ప్రతి వరుసలో నాటిన మొక్కలు ఎన్ని ?
సాధన.
మొత్తం నాటిన మొక్కలు = 8289
8289 మొక్కలను చతురస్రాకారంలో నాటగా 8మొక్కలు మిగిలిపోగా నాటిన మొక్కలు = 8289 – 8
= 8281
ఒక్కొక్క వరుసలో నాటిన మొక్కల సంఖ్య కావలెనన్న 8281 కు వర్గమూలం కనుగొనవలెను.

∴ 8281 మొక్కలను చతురస్రాకారంగా నాటగా ప్రతి వరుసకు వచ్చు మొక్కల సంఖ్య = 91

ప్రశ్న6.
కనిష్ఠ నాలుగు అంకెల పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
నాలుగు అంకెల కనిష్ఠ సంఖ్య = 1000

∴ 1000 కు 24 ను కలిపిన 1000 + 24 = 1024
∴ నాలుగు అంకెల కనిష్ఠ పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య = 1024

ప్రశ్న7.
6412 కు ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను కలిపిన పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య అగును ?
సాధన.

∴ 6412 కు 149 అను కనిష్ఠ సంఖ్యను కలిపిన పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య అగును.

ప్రశ్న8.
క్రింది వాటి వర్గమూలాలను దగ్గరి పూర్ణాంకానికి అంచనా వేసి చెప్పండి.
(i) \(\sqrt{97}\)
సాధన.
97, వర్గ సంఖ్యలయిన 81 మరియు 100 ల మధ్య ఉండును.
81 < 97 < 100
⇒ 9² < 97 < 10²
⇒ 9 < \(\sqrt{97}\) < 10
∴ \(\sqrt{97}\) విలువ 10 కి. దగ్గరగా ఉండవచ్చు.
[∵ 97, 100 కు దగ్గరగా ఉన్నది.]

(ii) \(\sqrt{250}\)
సాధన.
250 వర్గ సంఖ్యలైన 225, 256 ల మధ్య ఉండును.
∴ 225 < 250 < 256
⇒ 15² < 250 < 16²
= 15 < \(\sqrt{250}\) < 16
∴ 250 విలువ 16 కు దగ్గరగా ఉండవచ్చు.
[∵ 250, 256 కు దగ్గరగా ఉన్నది.]

(iii) \(\sqrt{780}\)
సాధన.
780, వర్గ సంఖ్యలైన 729 మరియు 784 ల మధ్య కలదు.
∴ 729 < 780 < 784
⇒ 27² < 780 < 28²
⇒ 27 < \(\sqrt{780}\) < 28
∴ \(\sqrt{780}\), 28 కు దగ్గరగా ఉండును.
[∵ 780, 784 కు దగ్గరగా ఉన్నది.]

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 బీజీయ సమాసాలు Ex 11.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 11th Lesson బీజీయ సమాసాలు Exercise 11.2

ప్రశ్న 1.
పట్టికను పూర్తి చేయండి.

సాధన.

ప్రశ్న 2.
4y (3y + 4)ను సూక్ష్మీకరించంది.
సాధన.
4y (3y + 4) = 4y × 3y + 4y × 4
= 12y² + 16y

ప్రశ్న 3.
x (2x² – 7x + 3) ను సూక్ష్మీకరించి
(i) x = 1 మరియు (ii) x = 0 విలువలకు లబ్ధం విలువ కనుగొనండి.
సాధన.
x (2x² – 7x + 3)
= x × 2x² – x × 7x + x × 3
= 2x³ – 7x² + 3x

(i) x = 1 అయిన 2x³ – 7x² + 3x
= 2(1)³ – 7(1)² + 3(1)
= 2 – 7 + 3 = – 2

(ii) x = 0 అయిన 2x³ – 7x² + 3x
= 2(0)³ – 7(0)³ + 3(0) = 0

ప్రశ్న 4.
క్రింది లబాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
a(a – b), b(b – c), c(c – a)
సాధన.
a (a – b) + b (b – c) + c (c – a)
= a × a – a × b + b × b – b × c + c × c – c × a
= a² – ab + b² – bc + c² – ca
= a² + b² + c² – ab – bc – ca

ప్రశ్న 5.
ఈ క్రింది లబ్దాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
x(x + y – r), y(x – y + r), z(x – y – z)
సాధన.
x (x + y – r) + y (x – y + r) + z (x – y – z)
= x² + xy – xr + xy – y² + yr + zx – yz – z²
= x² – y² – z² + 2xy – xr + yr + zx – yz

ప్రశ్న 6.
3x(x + 2y) లబ్ధం నుండి 2x(5x – y) లబాన్ని తీసివేయండి.
సాధన.
3x (x + 2y) – 2x (5x – y)
= (3x × x + 3x × 2y) – (2x × 5x – 2x × y)
= 3x² + 6xy – (10x² – 2xy)
= 3x² + 6xy – 10x² + 2xy
= 8xy – 7x²

ప్రశ్న 7.
6k(2k + 3l – 2m) నుండి 3k(5k – l + 3m) ను తీసివేయండి.
సాధన.
6k (2k + 3l – 2m) – 3k (5k – l + 3m)
= 12k² + 18kl – 12km – 15k² + 3kl – 9km
= – 3k² + 21kl – 21km

ప్రశ్న 8.
a²(a – b + c) + b² (a + b – c) – c² (a – b – c)ని సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన.
a²(a – b + c) + b²(a + b – c) – c² (a – b – c)
= a³ – a²b + a²c + ab² + b³ – cb² – c²a + c²b + c³
= a³ + b³ + c³ – a²b + ab² – cb² – c²a + c²b + a²c

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 బీజీయ సమాసాలు Ex 11.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 11th Lesson బీజీయ సమాసాలు Exercise 11.1

ప్రశ్న 1.
దిగువ ఇచ్చిన ఏకపది జతల లబ్దాన్ని కనుగొనండి.
(i) 6, 7k
(ii) – 3l, – 2m
(iii) – 5t², – 3t²
(iv) -5p², – 2p
సాధన.
(i) 6, 7k ల లబ్దం = 6 × 7k = 42k
(ii) – 3l, – 2m ల లబ్దం = (-3l) × (-2m) = 6lm
(iii) – 5t², – 3t² ల లబ్ధం = (-5t²) × (-3t²) = + 15t⁴
(iv) 6n, 3m ల లబ్దం = 6n × 3m = 18mn
(v) – 5p², – 2p ల లబ్ధం = (-5p²) × (-2p) = + 10p³

ప్రశ్న 2.
క్రింది లబ్ధాల పట్టికను పూర్తిచేయండి.

సాధన.

ప్రశ్న 3.
క్రింది పట్టికలో కొన్ని దీర్ఘఘనాల పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తుల కొలతలు ఇవ్వబడినవి. వాటి ఘనపరిమాణాన్ని కనుగొనండి.

సాధన.

ప్రశ్న 4.
క్రింది ఏకపదుల లబ్ధాన్ని కనుగొనండి.
(i) xy, x²y, xy, x
(ii) a, b, ab, a³b, ab³
(iii) kl, lm, km, klm
(iv) pq, pqr, r
(v) – 3a, 4ab, – 6c, d
సాధన.
(i) xy, x²y, xy, xల లబ్దం = xy × x²y × xy × x
= x⁵ × y³ = x⁵y³
(ii) a, b, ab, a³b, ab²ల లబ్దం = a × b × ab × a³b × ab³
= a⁶ × b⁶ = a⁶b⁶
(iii) kl, lm, km, klm = kl × lm × km × klmల లబ్దం = k³ × l³ × m³ = k³l³m³
(iv) pq, pqr, r = pq × pqr × rల లబ్దం = p² × q² × r² = p²q²r²
(v) – 3a, 4ab, -6c, dల లబ్దం = (-3a) × 4ab (-6c) × d
= + 72a² × b × c × d
= 72a²bcd

ప్రశ్న 5.
A = xy, B = yz wodi C = zx, అయన ABC = ………………….
సాధన.
ABC = xy × yz × zx = x²y²z²

ప్రశ్న 6.
P = 4x², T = 5x మరియు R = 5y, అయన \(\frac {PTR}{100}\) = ……………….
సాధన.
\(\frac{\mathrm{PTR}}{100}=\frac{4 \mathrm{x}^{2} \times 5 \mathrm{x} \times 5 \mathrm{y}}{100}=\frac{100 \mathrm{x}^{3} \mathrm{y}}{100}\) = x³y

ప్రశ్న 7.
స్వంతంగా కొన్ని ఏకపదులను వ్రాసి, వాటి లబ్దాన్ని కనుగొనండి.
సాధన.
కొన్ని ఏకపదుల లబ్ధం
(i) abc × a²bc = a³b²c²
(ii) xy × x²z × yz² = x³y²z²
(iii) p × q² × r³ = pq²r³

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 కారణాంక విభజన InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 12th Lesson కారణాంక విభజన InText Questions

ఇవి చేయండి

1. ఈ క్రింది వాటిని ప్రధాన కారణాంకముల లబ్దముగా వ్యక్తపరుచుము. (పేజీ నెం. 267)

ప్రశ్న 1.
48
సాధన.
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3

ప్రశ్న 2.
72
సాధన.
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3

ప్రశ్న 3.
96
సాధన.
96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3

2. ఈ క్రింది బీజీయ సమాసము యొక్క కారణాంకములు కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 268)
(i) 8x²yz
(ii) 2xy (x + y)
(iii) 3x + y³z
సాధన.
(i) 8x²yz = 2 × 2 × 2 × x × x × y × 2
(ii) 2xy (x + y) = 2 × x × y × (x + y)
(iii) 3x + y³z = (3 × x) + (y × y × y × z)

3. కారణాంక విభజన చేయండి. (పేజీ నెం. 270)

ప్రశ్న (i)
9a² – 6a
సాధన.
= 3 × 3 × a × a – 2 × 3 × a
=3 × a (3a – 2)
∴ 9a – 6a = 3a (3a – 2)

ప్రశ్న (ii)
15a³b – 35ab³
సాధన.
= 3 × 5 × a × a × a × b – 7 × 5 × a × b × b × b
= 5 × a × b [3 × a × a – 7 × b × b]
= 5ab [3a² – 7b²]

ప్రశ్న (iii)
7lm – 21lmn
సాధన.
= 7 × l × m – 7 × 3 × m × n × l
= 7 m[l – 3 × l × n]
= 7m (1 – 3ln)

4. కారణాంక విభజన చేయండి. (పేజీ నెం. 271)

ప్రశ్న (i)
5xy + 5x + 4y + 4
సాధన.
(i) 5xy + 5x + 4y + 4
= (5xy + 5x) + (4y + 4)
= 5x (y + 1) + 4(y + 1)
= (y + 1) (5x + 4)

ప్రశ్న (ii)
3ab + 3a + 2b + 2
సాధన.
(3 × a × b + 3 × a] + [2 × b + 2]
= 3 × a [b + 1] + 2 [b + 1]
= (b + 1) (3a + 2)

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి

బీజీయ సమాసములలో విభిన్న ప్రక్రియలతో కల కొన్ని సమస్యలను కొందరు విద్యార్థులు క్రింది విధంగా చేసిరి. వారు చేసిన తప్పులను గమనించి, సరియగు సమాసములు వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 279)

1. శ్రీలేఖ ఒక సమీకరణమును ఈ క్రింది విధంగా చేసింది.
3x + 4x + x + 2x = 90
9x = 90 ∴ x = 10
ఈ సాధన ఇచ్చిన సమాధానము సరియైనదా ?
శ్రీలేఖ ఎచ్చట తప్పు చేసింది గుర్తించగలరా ?
సాధన.
శ్రీలేఖ చరరాశులను కూడుటలో తప్పుచేసినధి. ఆమె ఇచ్చిన సమాధానం సరియైనది కాదు.
∴ 3x + 4x + x + 2x = 90
10x = 90
x = \(\frac {90}{10}\) = 9
∴ x = 9

2. అబ్రహామ్ ఈ కింది విధముగా చేశాడు.
x = – 4 కావున 7x = 7 – 4 = – 3
సాధన.
అబ్రహాం కూడా సరియైన సమాధానం ఇవ్వలేదు.
∴ x = – 4 అయిన
⇒ 7x = 7 × (4) = – 28

3. జాన్ మరియు రేష్మా బీజీయ సమాసాల గుణకారమును ఈ కింది విధంగా చేశారు.

సాధన.
జాన్ వివరణ

(i) 3(x – 4) = 3x – 4
ఇది అసత్యం
∴ 3(x – 4) = 3 × x – 3 × 4 = 3x – 12

(ii) (2x)² = 2x² ఇది అసత్యం
∵ (2x)² = 2² × x² = 4x²

(iii)(2a – 3) (a + 2) = 2a² – 6
ఇది అసత్యం
∵ (2a – 3) (a + 2)
= 2a(a + 2) – 3(a + 2)
= 2a × a + 2a × 2 – 3 × a – 3 × 2
= 2a² + 4a – 3a – 6 = 2a² + a – 6

(iv) (x + 8)² = x² – 64
ఇది అసత్యం
∵ (x + 8)² = (x)² + 2 × x × 8 + 8²
= x² + 16x + 64
∴ రేష్మా ఇచ్చిన సమస్యలకు సరియైన సమాధానాలు) సాధనలు ఇచ్చినది.

రేష్మా వివరణ

(i) 3(x – 4) = 3x – 12

(ii) (2x)² = 4x²

(iii) (2a – 3) (a + 2) = 2a² + a – 6

4. హరమీత్ ఒక భాగహారమును ఈ కింది విధముగా చేశాడు. (a + 5) ÷ 5 = a + 1
శ్రీకర్ పై భాగహారమును ఈ కింది విధముగా చేశాడు. (a + 5) ÷ 5 =a/5 + 1
అతని స్నేహితురాలు రోసీ మరోవిధంగా చేసింది. (a + 5) ÷ 5 = a
పై అందరిలో ఎవరు సరియైన సమాధానము ఇచ్చారో తెలుపగలరా ?
సాధన.
ఇచ్చిన భాగహారం (a + 5) ÷ 5
పై భాగహారంనకు హరమీత్, రోసీలు సరియైన సమాధానం ఇవ్వలేదు.
∵ (a + 5) ÷ 5 = \(\frac{a+5}{5}=\frac{a}{5}+\frac{5}{5}\) + 1
∴ పై ముగ్గురిలో శ్రీకర్ సరియైన సమాధానం ఇచ్చాడు.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 6 వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Ex 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 6th Lesson వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Exercise 6.2

ప్రశ్న1.
ప్రధాన కారణాంకాల పద్ధతిని ఉపయోగించి క్రింది వాటి వర్గమూలాలు కనుగొనుము.
(i) 441
(ii) 784
(iii) 4096
(iv) 7056
సాధన.

ప్రశ్న2.
3645 ని ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యచే గుణించిన పరిపూర్ణ వర్గం అగును ?
సాధన.
3645 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దం = (3 × 3) × 5 × (3 × 3) × (3 × 3)

ఒక ‘5’ లోపించినది కావునా
3645 ను 5చే గుణించిన పరిపూర్ణ వర్గం అగును.

ప్రశ్న3.
2400 ని ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యచే గుణించగా పరిపూర్ణ వర్గం అగును ? వచ్చిన ఫలిత సంఖ్య వర్గమూలం కనుగొనుము.
సాధన.
2400 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దం
= (2 × 2) × (2 × 2) × 2 × (5 × 5) × 3
∴ పై లబ్దాల జతలలో 2, 3లు లోపించినవి కావునా 2 × 3 = 6 చే గుణించగా 2400 పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్య అగును.

∴ 2400 × 6 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (5 × 5) × (3 × 3)
⇒ \(\sqrt{14400}\) = 2 × 2 × 2 × 5 × 3
= 120

ప్రశ్న4.
7776 ను ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యచే భాగించగా పరిపూర్ణ వర్గం అగును ?
సాధన.
7776 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దం

= (2 × 2) × (2 × 2) × 2 × (3 × 3) × (3 × 3) × 3
∴ 7776 పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్య.
కావలెనన్న దానిని 2 × 3 = 6 చే భాగించవలెను.

ప్రశ్న5.
ఒక తోటలో ఉన్న 1521 చెట్లు కొన్ని వరుసలలో కలవు. ప్రతి వరుసలో ఉన్న చెట్ల సంఖ్య, వరుసల సంఖ్యకు సమానం. అయిన ప్రతి వరుసలోని చెట్ల సంఖ్య, తోటలోని వరుసల సంఖ్య కనుక్కోండి.
సాధన.
తోటలోని ఒక్కొక్క వరుసలో ఉన్న చెట్ల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
తోటలోని వరుసల సంఖ్య = x
తోటలో గల మొత్తం చెట్ల సంఖ్య = x × x = x²
లెక్క ప్రకారం తోటలో గల చెట్ల సంఖ్య = 1521
∴ x² = 1521
x = \(\sqrt{1521}\) = \(\sqrt{39 \times 39}\) = 39
∴ ఆ తోటలోని ఒక్కొక్క వరుసకు గల చెట్ల సంఖ్య = 39
∴ ఆ తోటలోని వరుసల సంఖ్య = 39

ప్రశ్న6.
ఒక పాఠశాలలో విద్యార్థుల నుండి ఫీజు రూపంలో ₹ 2601 వసూలు చేశారు. పాఠశాలలోని విద్యార్థుల సంఖ్య, ప్రతి విద్యార్థి చెల్లించిన ఫీజుకి సమానం అయిన విద్యార్థుల సంఖ్య ఎంత ?
సాధన.
పాఠశాలలోని విద్యార్థుల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
ప్రతి విద్యార్థి చెల్లించిన ఫీజు = ₹ x
∴ పాఠశాల మొత్తం మీద వసూలైన ఫీజు x × x = x²
లెక్క ప్రకారం
పాఠశాలకు ఫీజు రూపంలో వచ్చినది = 2601
∴ x² = 2601
∴ x = \(\sqrt{2601}\) = \(\sqrt{51 \times 51}\) = 51
∴ ఆ పాఠశాలలోని విద్యార్థుల సంఖ్య = 51

ప్రశ్న7.
రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 1296. వాటిలో మొదటి సంఖ్య, రెండవ సంఖ్యకు 16 రెట్లు అయిన ఆ రెండు సంఖ్యలు ఏవి?
సాధన.
రెండవ సంఖ్య = x అనుకొనుము.
మొదటి సంఖ్య = 16x
రెండు సంఖ్యల లబ్దం = 16 x × x = 16x²
లెక్క ప్రకారం
⇒ 16x² = 1296

x² = 81
x = \(\sqrt{81}\) = \(\sqrt{2601}\) = 9
∴ మొదటి సంఖ్య = 16x = 16 × 9 = 144
రెండవ సంఖ్య (x) = 9

ప్రశ్న8.
7921 మంది సైనికులు ఒక సమావేశమందిరం (ఆడిటోరియం) లో కొన్ని వరుసలలో కూర్చొని ఉన్నారు. ప్రతి వరుసలోని సైనికుల సంఖ్య, వారు కూర్చున్న వరుసల సంఖ్యకు సమానం. అయిన సమావేశమందిరంలో ఉన్న వరుసల సంఖ్య ఎంత?
సాధన.
ప్రదర్శనశాలలోని సైనికుల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
సైనికులు కూర్చొను వరుసల సంఖ్య = x
మొత్తం సైనికుల సంఖ్య = x × x = x²
లెక్క ప్రకారం
x² = 7921
x = \(\sqrt{7927}\) = \(\sqrt{89 \times 89}\) = 89
∴ ఆ సమావేశమందిరంలోని వరుసల సంఖ్య = 89

ప్రశ్న9.
ఒక చతురస్రాకార పొలం వైశాల్యం 5184 మీ². చతురస్రపు చుట్టుకొలతకు సమాన చుట్టుకొలత గల దీర్ఘచతురస్రం కలదు. దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క పొడవు, వెడల్పుకు రెట్టింపు అయిన దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం ఎంత ?
సాధన.
చతురస్ర వైశాల్యం = 5184
A = s² = 5184
⇒ s = \(\sqrt{5184}\) = \(\sqrt{72 \times 72}\) = 72
∴ చతురస్ర భుజం (s) = 72 మీ.
చతురస్ర చుట్టుకొలత = 4 × భుజం = 4 × 72 = 288 మీ.
దీర్ఘచతురస్ర చుట్టుకొలత = చతురస్ర చుట్టుకొలత
దీర్ఘ చతురస్ర వెడల్పు = x మీ. అనుకొనుము.
పొడవు = 2 × x = 25 మీ.
దీ॥చ॥ చుట్టుకొలత = 2(l + b)
⇒ 2(2x + x) = 288
3x = 144
x = 48
∴ దీర్ఘచతురస్ర వెడల్పు = 48 మీ.
పొడవు = 2x = 2 × 48 = 96 మీ.
∴ దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = పొడవు × వెడల్పు
= 96 × 48
= 4608 మీ².

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 6 వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Ex 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 6th Lesson వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Exercise 6.1

ప్రశ్న1.
క్రింది సంఖ్యల వర్గాలలో, ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెలేవి ?
(i) 39
(ii) 297
(iii) 5125
(iv) 7286
(v) 8742
సాధన.

ప్రశ్న2.
క్రింది సంఖ్యలలో పరిపూర్ణ వర్గాలు ఏవి ?
(i) 121
(ii) 136
(iii) 256
(iv) 321
(v) 600
సాధన.

ప్రశ్న3.
క్రింది సంఖ్యలు, పరిపూర్ణ వర్గాలు కావు. కారణాలు తెల్పండి.
(i) 257
(ii) 4592
(iii) 2433
(iv) 5050
(v) 6098
సాధన.
(i) 257 → వర్గంలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 7. కావున ఇది పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య కాదు.
(ii) 4592 → వర్గంలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 2. కావున ఇది పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్య కాదు.
(iii) 2433 → వర్గసంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 3. కావున ఇది పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య కాదు.
(iv) 5050 → వర్గంలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ‘0’ అయిన చివరి రెండంకెలు (0) సున్నాలై ఉండాలి.
∴ కాబట్టి ఇది కూడా పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య కాదు.
(v) 6098 → వర్గంలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకే 8. కావున ఇది పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య కాదు.

ప్రశ్న4.
క్రింది సంఖ్యల వర్గాలు సరిసంఖ్యలా ? లేదా బేసిసంఖ్యలా ?
(i) 431
(ii) 2826
(iii) 8204
(iv) 17779
(v) 99998
సాధన.

ప్రశ్న5.
క్రింది సంఖ్యల వర్గాల మధ్య ఎన్ని పూర్ణసంఖ్యలు ఉంటాయి ?
(i) 25, 26
(ii) 56, 57
(iii) 107, 108
సాధన.
(i) 25, 26 → 2 × 25 = 50
(ii) 56, 57 → 2 × 56 = 112
(iii) 107, 108 → 2 × 107 = 214
పూర్ణాంకాలుంటాయి.

ప్రశ్న6.
కూడకుండానే కింది వాటి మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
(i) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 =
(ii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 =
(iii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 =
సాధన.
(i) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = (5)² = 5 × 5 = 25
ఎందుకనగా మొదటి 5 వరుస బేసిసంఖ్యల మొత్తం 5² కు సమానం అగును.
అదే విధంగా మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం = n² అగును.
(ii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17
= 9² = 81 (∵ n = 9)
(iii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 = 132 = 13 × 13 = 169 (∵ n = 13)

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 కారణాంక విభజన Ex 12.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 12th Lesson కారణాంక విభజన Exercise 12.4

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది వాక్యములలో సరియైన వాక్యమును గుర్తింపుము.
సాధన.
(i) 3(x – 9) = 3x – 9
⇒ 3x – 3 × 9 = 3x – 9
⇒ 3x – 27 = 3x – 9
– 27 ≠ – 9
∴ ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(ii) x(3x + 2) = 3x² + 2
⇒ x × 3x + x × 2 = 3x² + 2
⇒ 3x² + 2x ≠ 3x² + 2
∴ ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(iii) 2x + 3x = 5x²
⇒ 5x = 5x²
⇒ x ≠ x²
∴ ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(iv) 2x + x + 3x = 5x
⇒ 6x = 5x
⇒ 6 ≠ 5
∴ ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(v) 4p+ 3p + 2p + p – 9p = 0
4p + 3p + 2p + p – 9p = 0
10p – 9p = 0
p = 0
∴ ఇది అసంభవం
∴ ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(vi) 3x + 2y = 6xy
a + b ≠ ab ప్రకారం పై గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(vii) (3x)² + 4x +7 = 3x² + 4x + 7
⇒ (3x) = 3x
⇒ 9x = 3x
⇒ 9 = 3 ఇది అసంభవం
∴ ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(viii) (2x)² + 5x = 4x + 5x = 9x
⇒ 4x² + 5x = 4x + 5x
⇒ 4x² = 4x
⇒ x² = x
⇒ x = \(\sqrt{\mathrm{x}}\) ఇది అసంభవం
∴ ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(ix) (2a + 3)² = 2a² + 6a + 9
⇒ (2a)² + 2 × 2a × 3 + 3² = 2a² + 6a + 9
⇒ 4a² + 12a + 9 = 2a² + 6a + 9
⇒ 4a² + 12a = 2a² + 6a
⇒ 2a² + 6a ≠ a² + 3a.
కావునా ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(x) x = – 3 ప్రతిక్షేపించుము.

(a) x² + 7x + 12 = (-3)² +7 (-3) + 12
= 9 + 4 + 12 = 25
x² + 7x + 12 = (-3)² + 7 (-3) + 12
= 9 – 21 + 12
= 21 – 21 = 0
= 0 ≠ 25 (అసత్యం )

(b) x² – 5x + 6 = (-3)² – 5(- 3) + 6
= 9 – 15 + 6 = 0
x² – 5x + 6 = (-3)² – 5 (-3) – 6
= 9 + 15 + 6
= 30 ≠ 0(అసత్యం)

(c) x² + 5x = (-3)² + 5 (-3) + 6
= – 9 – 15 = – 24
x² + 5x = (-3)² + 5 (-3)
= 9 – 15 = – 6 ≠ – 24 (అసత్యం)

(xi) (x – 4)² = x² – 16
(x – 4)² = (x)² – (4)²
(a – b)² ≠ a² – b² (లేదా)
⇒ x² – 2 × x × 4 + 4² = x² – 16
⇒ x² – 8x + 16 = x² – 16
⇒ – 8x = 0
⇒ x = 0
ఇది అసంభవం. కావున ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(xii) (x + 7)² = x² + 49
(x + 7)² = x² + 49 = (x)² + (7)²
(a + b)² ≠ a² + b²
∴ (x + 7)² ≠ (x)² + (7)²
∴ ఇది అసత్య గణిత ప్రవచనం.

(xiii) (3a + 4b) (a – b) = 3a² – 4a²
3a (a – b) + 4b (a – b) = 3a² – 4a²
3a² – 3ab + 4ab – 4b² = – a²
ab – 4b² + 4a² = 0
⇒ ఇది అసంభవం. కావున ఇచ్చిన గణిత వాక్యం అసత్యం.

(xiv) (x + 4) (x + 2) = x² + 8
⇒ x² + 6x + 8 = x² + 8
⇒ 6x = 0
∴ x = 0
ఇది అసంభవం. కావున ఇచ్చిన గణిత వాక్యం అసత్యం.

(xv) (x – 4) (x – 2) = x² – 8
⇒ x² – 6x + 8 = x² – 8
RHS లో (-6x) పదం లోపించినది కావున ఇచ్చిన గణిత వాక్యం అసత్యం.

(xvi) 5x³ ÷ 5x³ = 0
\(\frac {5x}{5x}\) = 0
⇒ x^3-3 = 0 ⇒ x⁰ = 1 (∵ కాని x⁰ = 1)
∴ 1 ≠ 0
ఇది అసంభవం. కావున ఇచ్చిన గణిత వాక్యం అసత్యం .

(xvii) 2x³ + 1 ÷ 2x³ = 1
⇒ \(\frac{2 x^{3}+1}{2 x^{3}}\) = 1
హారంలో (+1) పదం లోపించినది కావున ఇచ్చిన గణిత వాక్యం అసత్యం.

(xviii) 3x + 2 ÷ 3x = \(\frac{2}{3 x}\)
⇒ \(\frac{3 x+2}{3 x}=\frac{2}{3 x}\)
⇒ \(\frac{3 x}{3 x}+\frac{2}{3 x}=\frac{2}{3 x}\)
⇒ 1 + \(\frac{2}{3 x}=\frac{2}{3 x}\)
⇒ 1 = 0
ఇది అసంభవం. కావున ఇచ్చిన గణిత వాక్యం అసత్యం.

(xix) 3x + 5 ÷ 3 = 5
⇒ \(\frac{3 x+5}{3}\) = 5
⇒ \(\frac{3 x}{3}+\frac{5}{3}\) = 5
⇒ x + \(\frac{5}{3}\) = 5
∴ RHS లో (x) పదం లోపించినది కావున ఇది అసత్యం.

(xx) \(\frac{4 x+3}{3}\) = x + 1
⇒ \(\frac{4 \mathrm{x}}{3}+\frac{3}{3}\) = x + 1
⇒ \(\frac{4x}{3}\) + 1 = x + 1
ఇది అసత్యం.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 5 అనుపాతముతో రాశులను పోల్చుట InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 5th Lesson అనుపాతముతో రాశులను పోల్చుట InText Questions

ఇవి చేయండి

1. ₹ 20,000 లపై 5% వడ్డీరేటు చొప్పున 6 సంవత్సరములకు వడ్డీ సంవత్సరమున కొకసారి తిరిగి లెక్కకట్టగా వచ్చే చక్రవడ్డీ ఎంత ? (పేజీ నెం. 114)
సాధన.
P = ₹ 20,000; R = 5%; n = 6 సం॥లు.
A = \(P\left[1+\frac{R}{100}\right]^{n}\)
= \(20000\left[1+\frac{5}{100}\right]^{6}\)
= \(20000 \times\left(1+\frac{1}{20}\right)^{6}\)
= \(20000 \times\left(\frac{21}{20}\right)^{6}\)
= \(20000 \times \frac{21 \times 21 \times 21 \times 21 \times 21 \times 21}{20 \times 20 \times 20 \times 20 \times 20 \times 20}\)
= 26801.9
A = ₹ 26802
∴ చక్రవడ్డీ = మొత్తం – అసలు
= 26802 – 20,000 = ₹ 6802/-

2. ₹ 12,600 లపై 10% వడ్డీరేటు చొప్పున 2 సంవత్సరములకు వడ్డీ సంవత్సరమున కొకసారి లెక్కకట్టగా వచ్చే చక్రవడ్డీ ఎంత ? (పేజీ నెం. 114)
సాధన.
P = ₹ 12,600; R = 10%; n = 2 సం॥లు.
∴ A = \(\mathrm{P}\left[1+\frac{\mathrm{R}}{100}\right]^{\mathrm{n}}\)
= \(12600\left[1+\frac{10}{100}\right]^{2}\)
= \(12600\left[1+\frac{1}{10}\right]^{2}\)
= \(12600 \times \frac{11}{10} \times \frac{11}{10}\)
= 126 × 121 = 15246
A = ₹ 15246
∴ చక్రవడ్డీ = మొత్తం – అసలు
= 15,246 – 12,600 = ₹ 2646/-

3. ఒక సంవత్సరములో చక్రవడ్డీ లెక్కకట్టు కాలవ్యవధులను, వడ్డీరేటును లెక్కకట్టుము. మను (పేజీ నెం. 115)
1) కొంత మొత్తము 8% వడ్డీ రేటు చొప్పున ప్రతీ 6 నెలలకు చక్రవడ్డీ లెక్కకట్టుచూ 1\(\frac {1}{2}\) సంవత్సరములకు అప్పు తెచ్చెను.
2) కొంత మొత్తమును 4% వడ్డీరేటు చొప్పున ప్రతీ 6 నెలలకు చక్రవడ్డీ లెక్కకట్టుచూ 2 సంవత్సరములకు అప్పుతెచ్చెను.
సాధన.
1) చక్రవడ్డీ 6 నెలలకొకసారి, లెక్కకట్టవలెను. కావున 1\(\frac {1}{2}\) సం॥ కాలంలో 3 కాలవ్యవధులు ఉండును.
∴ n = 3.
కావునా అర్ధసంవత్సర వడ్డీ \(\frac {1}{2}\) × 8% = 4%
∴ n = 3
R = 4%

2) చక్రవడ్డీ 6 నెలలకొకసారి లెక్కకట్టవలెను.
కాబట్టి 2 సం॥లకు 4 కాలవ్యవధులు వచ్చును.
∴ n = 4 అగును.
కావున అర్ధసంవత్సర వడ్డీ \(\frac {1}{2}\) × 4% = 2%
∴ n = 4
R = 2%

ప్రయత్నించండి

1. మీ సైకిల్ గేర్ల నిష్పత్తిని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 96)
పెడల్ వద్ద నున్న పెద్ద పళ్ళచక్రం (chain wheel) పళ్ళను అలాగే వెనక చక్రం వద్ద నున్న చిన్నపళ్ళ చక్రం (sprocket wheel) పళ్ళను లెక్కపెట్టండి. {పెద్ద పళ్ళ చక్రపు పళ్ళ సంఖ్య} : {చిన్నపళ్ళ చక్రపు పళ్ళసంఖ్య}

అప్పుడు పెద్దపళ్ళ చక్రం పళ్ళ సంఖ్య : చిన్న పళ్ళ చక్రం పళ్ళ సంఖ్యను కనుగొనండి. దీనినే మనం గేర్ నిష్పత్తి అంటాం. ఒక్కసారి పెడల్ ను తిప్పడం వలన వెనక ఎన్నిసార్లు తిరిగిందో గమనించి మీ నోట్ పుస్తకంలో రాయండి.
సాధన.
నా సైకిల్ గేర్లలో పెడల్ వద్దనున్న పెద్ద పళ్ళ చక్రానికి అలాగే వెనక చక్రం వద్దనున్న చిన్న పళ్ళచక్రాల మధ్య నిష్పత్తి = 4 : 1 గా ఉన్నది.

2. ఏవైనా ఐదు వివిధ సందర్భాలకు చెందిన శాతములను వార్తాపత్రికల నుండి సేకరించి మీ నోట్ పుస్తకంలో అంటించండి.
సాధన.
‘ద్రవ్యోల్బణం’ మా లోపం :
అంగీకరించిన ప్రధాని మన్మోహన్ : జైపూర్ :
ద్రవ్యోల్బణాన్ని కట్టడి చేయలేకపోవడం యూపీఏ ప్రభుత్వ లోపమని ప్రధాని మన్మోహన్ సింగ్ అంగీకరించారు. ఆదివారం జైపూర్ లో కాంగ్రెస్ మేధోమథన సదస్సులో ఆయన మాట్లాడారు. “మా రికార్డులో ద్రవ్యోల్బణం ఒక, లోపం. యూపీఏ హయాంలో ద్రవ్యోల్బణ సగటు రేటు మేం కోరుకున్న దానికన్నా అధికంగా ఉంది. గత ఎనిమిదేళ్లలో అంతర్జాతీయ మార్కెట్లో పెట్రోలియం ఉత్పత్తుల ధరలు పెరగడం, రైతులకు ఇచ్చే కనీస మద్దతుధరను ప్రభుత్వం పెంచడం ఈ పరిస్థితికి ప్రధాన కారణాలు. ద్రవ్యోల్బణాన్ని నియంత్రించేందుకు ముఖ్యంగా 2013-14లో దీనిని అదుపు చేసేందుకు గట్టి చర్యలు తీసుకోవాల్సిన అవసరముంది” అని తెలిపారు. యూపీఏ పనితీరును ఎ డీఏతో పోల్చి మాట్లాడిన మన్మోహన్.. ఎ డీఏ పాలనలో వృద్ధి రేటు 5.8 శాతంగా ఉండేదని, యూపీఏ హయాంలో అది 8.2 శాతానికి పెరిగిందని పేర్కొన్నారు. 2030 నాటికి మధ్యస్థాయి ఆదాయ దేశాల సరసన భారత్ నిలుస్తుందన్నారు. పేదరిక నిర్మూలన, వ్యవసాయ వృద్ధి పెరుగుదలలోనూ యూపీఏ పనితీరే మెరుగ్గా ఉందని ఆయన తెలిపారు. లోపాలేమైనా ఉంటే నిజాయితీగా ఒప్పుకోవాలని సూచించారు. బలమైన లోక్పాల్ వ్యవస్థ ఏర్పాటుకు ప్రభుత్వం కట్టుబడి ఉందన్నారు.

మళ్ళీ 8 శాతం వృద్ధి రేటును అందుకుంటాం … చిదంబరం :
దేశం తిరిగి ఎనిమిది శాతం వృద్ధి రేటును అందుకుంటుందని కేంద్ర ఆర్థిక మంత్రి పి. చిదంబరం మేధోమథన సదస్సులో విశ్వాసం వ్యక్తంచేశారు. వచ్చే ఆర్థిక సంవత్సరానికి ఆయన ఏడుశాతం వృద్ధి రేటును లక్ష్యంగా పేర్కొన్నారు.

కమొడిటీస్ మార్కెట్ :
వ్యవసాయోత్పత్తులు :
ధనియా ఏప్రిల్ కాంట్రాక్టు గత వారంలో ఎంతో ఆకర్షణీయంగా 10.07 శాతం లాభాన్ని నమోదు చేసింది. గత వారం ముగింపు ధర రూ. 6,954. ఈ కాంట్రాక్టు మీద వచ్చినంత లాభం ఏ ఇతర కాంట్రాక్టు మీద లభించలేదు. ఈ వారంలో దీన్లో కొంత లాభాల స్వీకరణ చోటు చేసుకోవచ్చు. రూ. 7,315 కన్నా పైన ఈ కాంట్రాక్టును విక్రయించడం చక్కని వ్యూహం కాగలదు. రూ. 7,676 కన్నా పైన షార్ట్ పొజిషన్లు తగవు. ఐనా ఏప్రిల్ కాంట్రాక్టు గతవారంలో 12.07 శాతం నష్టపోయి రూ. 3,561 ముగింపు ధరను నమోదు చేసింది. ఈ వారంలో కూడా ఈ కాంట్రాక్టు కొనుగోలు చేయడానికి ఆకర్షణీయంగా కనిపిస్తోంది. యాలుకలు ఫిబ్రవరి కాంట్రాక్టు గతవారంలో 3.21% లాభపడింది. ఈ వారంలో రూ. 1,080 సమీపంలో ఈ కాంట్రాక్టులో లాభాలు స్వీకరించవచ్చు. పసుపు కాంట్రాక్టు గత వారంలో 1.88 శాతం పడిపోయింది. ఈ వారంలోనూ ఇది బలహీనంగా కనిపిస్తోంది. రూ. 6,480 కన్నా కింద ఉంటే ఈ కాంట్రాక్టును విక్రయించవచ్చు. – ఆర్ఎల్‌పీ కమొడిటీ అండ్ డెరివేటివ్స్

20 శాతం సిబ్బంది అంతర్గత బదిలీలు :
ప్రాయోజిత వాణిజ్య బ్యాంకులు తాము అనుసరించే మొబైల్ బ్యాంకింగ్, ఆర్టీజీఎస్, నెఫ్ట్ వంటి ఆధునిక సేవలను గ్రామీణ బ్యాంకులకు అందించాలి. ఇందుకోసం గ్రామీణ బ్యాంకు సిబ్బందిలో యువతను (20% సిబ్బందిని) మెరుగైన అనుభవం కోసం వాణిజ్య బ్యాంకులకు, అక్కడి సిబ్బందిని గ్రామీణ బ్యాంకులకు బదిలీ చేయనున్నారు. ప్రాయోజిత వాణిజ్య బ్యాంకులు తమ సిబ్బందికి నిర్వ హించే శిక్షణ కార్యక్రమాల్లో 10% ఆర్ఆర్ బీ సిబ్బందికి కేటాయించాలి.

బిఎస్ఎన్ఎల్లో లక్షమందికి వీఆర్ఎస్ ! న్యూ ఢిల్లీ :
వేతన భారాన్ని తగ్గించుకోవడానికి స్వచ్ఛంద పదవీ విరమణ పథకం (వీఆర్ఎస్) ద్వారా లక్ష మంది ఉద్యోగులను తగ్గించుకోవాలని భారత్ సంచార్ నిగమ్ (బిఎస్ఎన్ఎల్) యోచిస్తోంది. అవసరానికంటే లక్ష మంది ఉద్యోగులు ఎక్కువగా ఉన్నారని, వీఆర్ఎస్ ద్వారా వీరి భారాన్ని తగ్గించుకోవాలని కంపెనీ భావిస్తున్నట్లు బిఎస్ఎన్ఎల్ ఉన్నతాధికారి ఒకరు తెలిపారు. బిఎస్ఎన్ఎల్ ఆదాయంలో దాదాపు 48 శాతం వేతనాలకే సరిపోతోంది. అదనపు ఉద్యోగులు స్వచ్ఛంద పదవీ విరమణ ద్వారా బయటకు వెళితే … వేతన భారం 10-15 శాతం తగ్గుతుందని అధికారి చెప్పారు. వీఆర్ఎస్ ప్రతిపాదన ప్రభుత్వ పరిశీలనలో ఉందన్నారు. 2011, మార్చి 31 నాటికి బిఎస్ఎన్ఎల్ లో 2.81 లక్షల మంది ఉద్యోగులు పనిచేస్తున్నారు.

3. క్రింది నిష్పత్తుల బహుళ నిష్పత్తిని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 99)
(a) 3 : 4 మరియు 2 : 3
(b) 4 : 5 మరియు 4 : 5
(c) 5 : 7 మరియు 2 : 9
సాధన.
(a) 3 : 4 మరియు 2 : 3ల బహుళ నిష్పత్తి
a : bమరియు c : dల బహుళ నిష్పత్తి = ac : bd
∴ 3 : 4 మరియు 2 : 3ల బహుళ నిష్పత్తి
= (3 × 2) : (3 × 4) = 2 : 4 = 1 : 2
(b) 4 : 5 మరియు 4 : 5ల బహుళ నిష్పత్తి
= (4 × 4) : (5 × 5) = 16 : 25
(c) 5 : 7 మరియు 2 : 9 ల బహుళ నిష్పత్తి
= (5 × 2) : (7 × 9) = 10 : 63

4. నిత్య జీవితంలో బహుళ నిష్పత్తికి కొన్ని ఉదాహరణలు తెల్పుము. (పేజీ నెం. 99)
సాధన.
నిత్యజీవితంలో బహుళ నిష్పత్తికి ఉదాహరణలు
i) 8వ తరగతి విద్యార్థుల (బాలబాలికల) టికెట్ల నిష్పత్తి 3 : 4 మరియు 7వ తరగతి విద్యార్థుల టికెట్ల నిష్పత్తి 4 : 5 లను పోల్చుట.
ii) 4గురు ఒక పనిని 12 రోజులలో పూర్తిచేస్తే 6 గురు అదేపనిని 8 రోజులలో పూర్తిచేయు సందర్భాల మధ్య పోలిక.
iii) కాలం-దూరము – వేగం
(iv) మనుష్యులు-రోజులు-వారి సామర్థ్యాలు మొ॥ వాటిలో బహుళ నిష్పత్తిని ఉపయోగిస్తాం.

5. క్రింది పట్టికలో అమ్మకం ధరలను రాయండి. (పేజీ నెం. 104)

సాధన.

6. (i) ₹ 357.30 లో 20% అంచనావేయండి. (పేజీ నెం. 105)
సాధన.

(ii) ₹ 375.50 లకు 15% అంచనా వేయండి.
సాధన.
375.50 లో 15%

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి

1. ఒక సంఖ్యకు రెండు రెట్లు అనగా ఆ సంఖ్యలో పెరుగుదల 100%. మనం ఆ సంఖ్యలో సగము తీసుకొన్న దానిలో తగ్గుదల శాతము ఎంత ? (పేజీ నెం. 101)
సాధన.
ఒక సంఖ్య రెండు రెట్లు అనగా ఆ సంఖ్యలో పెరుగుదల = \(\frac{(2-1)}{1}\) × 100 = 1 × 100% = 100%
ఒక సంఖ్యలో సగము తీసుకున్న = 1 – \(\frac {1}{2}\) = \(\frac {1}{2}\)
దానిలో తగ్గుదల శాతం = \(\frac{\frac{1}{2}}{1}\) × 100 = 50%

2. ₹ 2400 కన్నా ₹ 2000 అనేది ఎంత శాతం తక్కువ? అలాగే ₹ 2000 కంటే ₹ 2400 ఎంత శాతము ఎక్కువ? ఈ రెండు శాతములు సమానమేనా? (పేజీ నెం. 101)
సాధన.
₹ 2400 కన్నా ₹ 2000 ఎంత తక్కువ శాతం

₹ 2400 కన్నా ₹ 2000 ఎంత తక్కువ శాతం

3. ప్రీతి బట్టలు కొనుటకు ఒక దుకాణమునకు వెళ్ళినది. ఆమె ఎంచుకున్న దుస్తుల ప్రకటన వెల ₹ 2500. దుకాణదారుడు మొదట 5% రుసుము ఇచ్చినాడు మరలా అడుగగా మరొక 3% రుసుము ఇచ్చినాడు. అయిన ఆమెకు లభించిన మొత్తము రుసుము శాతము ఎంత ? అది 8% కి సమానంగా వుంటుందా ? ఆలోచించి మీ మిత్రులతో చర్చించి నోట పుస్తకములో రాయండి. (పేజీ నెం. 105)
సాధన.
ప్రీతి ఎంచుకున్న బట్టల ప్రకటన వెల = ₹ 2500
మొదట 5% రుసుము ఇచ్చిన తరువాత అమ్మకపు వేల = ప్రకటన వెల – రుసుము
= 2500 – \(\frac {5}{100}\) × 2500
= 2500 – 125 = ₹ 2375.
మరలా మరొక 3% రుసుము ఇచ్చిన అమ్మకపు వెల

అదే, 8% రుసుము ఇచ్చిన అమ్మకపు వెల

= 2500 – 200 = 2300
∴ రెండు సందర్భాలలో వచ్చిన అమ్మకపు వెలలు సమానం కావు.
5% పై వచ్చిన రుసుము + 3% పై వచ్చిన రుసుము = 125 + 71.25 = ₹ 196.25
8% పై వచ్చిన రుసుము = ₹200
ఆమెకు లభించిన మొత్తం రుసుము శాతాలు సమానం కావు.

4. అమ్మిన వెల; కొన్నవెల సమానమైతే ఏమి జరుగుతుంది? మన నిత్య జీవితంలో అటువంటి పరిస్థితులు వస్తాయా? పై సందర్భాలలో లాభము లేదా నష్టము కనుగొనుట చాలా తేలిక, కాని వాటిని శాత రూపంలో తెలిపితే మరింత అర్ధవంతంగా ఉంటుంది. లాభము అనేది కొన్న వెలపై పెరుగుదల శాతము మరియు నష్టము అనేది కొన్న వెలపై తగ్గుదల శాతము. (పేజీ నెం. 106)
సాధన.
అమ్మినవెల కొన్నవెలకు సమానమైతే లాభం కానీ, నష్టం కానీ ఉండదు.
ఉదా : నిజజీవితంలో కొన్న వెల, అమ్మిన వెలలు సమానం కావు.
కానీ అలా సమానమైన సందర్భంలో లాభం కాని, నష్టం కాని సంభవించదు.

5. ఒక దుకాణదారుడు రెండు TV లను ఒక్కొక్కటి ₹ 9,900 లకు అమ్మెను. మొదటి దానిపై 10% లాభము, రెండవ దానిపై 10% నష్టము వచ్చిన అతనికి మొత్తము మీద లాభమా ? నష్టమా ? (పేజీ నెం. 108)
సాధన.
ఒక్కొక్క T.V. అమ్మినవెల = ₹ 9,900
రెండు T.V. ల అమ్మకపు వెల మొత్తం = 2 × 9,900
= ₹ 19,800
మొదటి దానిపై 10% లాభం వచ్చిన కొన్నవెల

రెండవ దానిపై 10% నష్టం వచ్చిన కొన్నవెల

∴ రెండు T.V. ల కొన్నవెలల మొత్తం
= 9000 + 11000 = ₹ 20,000
కొన్నవెల > అమ్మినవెల
∴ నష్టం = కొన్నవెల – అమ్మినవెల
= 20000 – 19,800 = 200

∴ నష్టశాతము = 1%

6. ప్రతీ మూడు నెలలకు వడ్డీని లెక్కకట్టిన చక్రవడ్డీ ఎలా మారును ? ఒక సంవత్సరములో ఎన్ని కాలవ్యవధులు వస్తాయి ? మూడు నెలలకు వడ్డీరేటు సంవత్సర వడ్డీ రేటులో ఎంతభాగము ? మీ మిత్రులతో చర్చించండి. (పేజీ నెం. 115)
సాధన.
చక్రవడ్డీ ప్రతి మూడు నెలలకోసారి లెక్కకట్టవలెను.
కావున సంవత్సర వ్యవధిలో 4 కాల వ్యవధులు వస్తాయి.
3 నెలలకు వడ్డీరేటు సంవత్సర వడ్డీరేటులో \(\frac {1}{4}\) వ భాగం అవుతుంది.