AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 15 గణితములో నిరూపణలు Ex 15.3

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 గణితములో నిరూపణలు Ex 15.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 15th Lesson గణితములో నిరూపణలు Exercise 15.3

1.

ప్రశ్న (i)
ఏవేని మూడు వరుస బేసిసంఖ్యల లబ్దము కనుగొనుము.
ఉదా : 1 × 3 × 5 = 15; 3 × 5 × 7 = 105; 5 × 7 × 9 = ……
సాధన.
1 × 3 × 5 = 15
3 × 5 × 7 = 105
5 × 7 × 9 = 315
7 × 9 × 11 = 693
→ ఏవేని మూడు వరుస బేసి సంఖ్యల లబ్ధము ఒక బేసి సంఖ్య.
→ మూడు వరుస బేసి సంఖ్యల లబ్దము ‘3’ చే భాగించబడును.

ప్రశ్న (ii)
ఏవేని మూడు వరుస సరిసంఖ్యల మొత్తం కనుగొనుము.
2 + 4 + 6 = 12; 4 + 6 + 8 = 18; 6 + 8 + 10 = 24; 8 + 10 + 12 = 30 ….
పై ఉదాహరణలలో ఏదైనా క్రమ ధర్మాన్ని గుర్తించారా ? మరి మీ పరికల్పన ఏమిటి ?
సాధన.
2 + 4 + 6 = 12; 4 + 6 + 8 = 18;
6 + 8 + 10 = 24; 8 + 10 + 12 = 30
→ మూడు వరుస సరిసంఖ్యల మొత్తము ఒక సరి సంఖ్య
→ మూడు వరుస సరి సంఖ్యల మొత్తము, ‘6’ చే భాగించబడును. కావున ఇవి ‘6 యొక్క గుణిజాలు.

ప్రశ్న 2.
పాస్కల్ త్రిభుజము గమనించండి.
అడ్డు వరుస – 1 : 1 = 11⁰
అద్దు వరుస – 2 : 11 = 11¹
అడ్డు వరుస – 3 : 121 = 11²
అడ్డు వరుస – 4, 5 గురించి ఊహించి, భావన తయారు చేయండి.
అది అడ్డు వరుస – 6 కు సరిపోతుందో లేదో గమనించండి.

సాధన.
అడ్డు వరుస – 4 : 1331 = 11³
అడ్డు వరుస – 5 : 14641 = 11⁴
అడ్డు వరుస – 6 : 11⁵
∴ అద్దు వరుస – n = 11^{n – 1}
అవును, అది అడ్డు వరుస 6కు సరిపోవును.

3. కింది వరుస క్రమాన్ని గమనించండి.

ప్రశ్న (i)
28 = 2² × 7¹; 28 కారణాంకాల సంఖ్య
(2 + 1)(1 + 1) = 3 × 2 = 6
28 కు గల 6 కారణాంకాలు 1, 2, 4, 7, 14, 28
సాధన.
24 = 2³ × 3¹
24కు గల కారణాంకాల సంఖ్య = (3 + 1)(1 + 1) = 4 × 2 = 8
ఆ కారణాంకాలు [1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 మరియు24]

ప్రశ్న (ii)
30 = 2¹ × 3¹ × 5¹, కారణాంకాల సంఖ్య (1 + 1)
(1 + 1) (1 + 1) = 2 × 2 × 2 = 8
30కు కల 8కారణాంకాలు 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 పై ఉదాహరణలలోని క్రమాన్ని గుర్తించండి.
(సూచన : ప్రతి లబ్ధంలో ప్రధానకారణాంక ఘాతాంకం + 1 ఒక కారణాంకంగా గుర్తించండి)
సాధన.
36 = 2² × 3²
36 కు గల కారణాంకాల సంఖ్య
= (2 + 1)(2 + 1) = 3 × 3 = 9
ఆ కారణాంకాలు [1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 మరియు 36]
∴ N = a^p. b^q. c^r ………..
ఇక్కడ N ఒక సహజ సంఖ్య .
a, b, c ప్రధానాంకాలు మరియు p, q, r లు ధన పూర్ణ సంఖ్యలు అయిన N యొక్క కారణాంకాల సంఖ్య
N = (p + 1) (q +1)(r + 1)………………

ప్రశ్న 4.
కింది క్రమాన్ని గమనించండి.
1² = 1
11² = 121
111² = 12321
1111² = 1234321
11111² = 123454321
కింది వాటిపై మీరు పరికల్పన చేయగలరా ?
111111² =
1111111² =
మీ పరికల్పన సరిచూచుకోండి.
సాధన.
111111² = 12345654321
1111111² = 1234567654321
(111 …… n సార్లు)²
= (123 … (n – 1) n (n – 1) (n – 2) ….. 1)
ఈ పరికల్పన సత్యమే.

ప్రశ్న 5.
ఈ పుస్తకంలో కల 5 స్వీకృతాలు సేకరించండి.
సాధన.

1. ఒక బిందువు నుండి మరొక బిందువుకు ఒకే ఒక సరళరేఖను గీయగలము.
2. రేఖాఖండాన్ని రెండు వైపులా పొడిగించగా సరళరేఖ ఏర్పడును.
3. ఒక బిందువు కేంద్రంగా ఏదైనా వ్యాసార్ధంతో ఒక వృత్తంను గీయగలము.
4. ఒక రేఖకు సమాంతరంగా ఉన్న రేఖలు ఒకదాని కొకటి సమాంతరాలు.
5. అన్ని లంబకోడాలు ఒకదానికొకటి సమానము.

ప్రశ్న 6.
P(x) = x² + x + 41 బహుపదినందు x, యొక్క వివిధ సహజ సంఖ్యలకు p(x) ను కనుగొనుము. x యొక్క అన్ని సహజ సంఖ్యలకు పై బహుపది p(x) ప్రధాన సంఖ్య అనగలమా ? x = 41 తీసుకుని సరిచూడండి. ఏమి గమనించితిరి?
సాధన.
p(x) = x² + x + 41
P(0) = 0² + 0 + 41 = 41 – ప్రధాన సంఖ్య
p(1) = 1² + 1 + 41 = 43 – ప్రధాన సంఖ్య
p(2) = 2² + 2 + 41 = 47 – ప్రధాన సంఖ్య
p(3) = 3² + 3 + 41 = 53 – ప్రధాన సంఖ్య
p(41) = 41² + 41 + 41
= 41 (41 + 1 + 1) = 41 × 43 ప్రధాన సంఖ్య కాదు.
∴ p(x) = x² + x + 41 విలువ ‘x’ యొక్క అన్ని విలువలకు ప్రధానాంకము కాదు.
∴ “p(x) = x² + x + 41 ప్రధాన సంఖ్య” అను పరికల్పన అసత్యము.