AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి InText Questions and Answers.
AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 10th Lesson ప్రాయోజిక జ్యామితి InText Questions
ప్రయత్నించండి [పేజి నెం. 146]
ఒకే వ్యాసార్ధం గల రెండు వృత్తాలు నిర్మించండి.
(i) రెండు బిందువుల వద్ద ఖండించుకొనేలా నిర్మించండి.
(ii) ఒకే ఒక బిందువు వద్ద స్పర్శించుకొనేలా నిర్మించండి.
సాధన.
(i) P,Q కేంద్రంగా గల వృత్తాలు R, S అనే రెండు బిందువుల వద్ద ఖండించుకొంటున్నాయి.
(ii) U,V కేంద్రాలుగా గల వృత్తాలు X అనే ఒకే బిందువు వద్ద స్పర్శించుకొంటున్నాయి. ఈ సందర్భంలో [latex]\overline{\mathrm{UX}}[/latex] = [latex]\overline{\mathrm{XV}}[/latex] అవుతుంది.
నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 147]
పై రెండు పద్ధతులలోను [latex]\overline{\mathrm{AP}}[/latex] = [latex]\overline{\mathrm{BP}}[/latex] పొడవులు కొలవండి. ఏమి గమనించారు?
సాధన.
ఈ నిర్మాణంలో [latex]\overline{\mathrm{AP}}[/latex] = [latex]\overline{\mathrm{PB}}[/latex] అని మనం గమనించాము.
∴ AB ని ‘P’ రెండు భాగాలుగా విభజిస్తుంది.
ఆలోచించండి [పేజి నెం. 148]
రేఖాఖండానికి లంబ సమద్విఖండన రేఖ గీచే విధానంలో సోపానం-2లో [latex]\overline{\mathrm{AB}}[/latex] సగం కంటే తక్కువ పొడవును వ్యాసార్ధంగా తీసుకుంటే ఏం జరుగుతుంది?
సాధన.
రేఖాఖండానికి లంబ సమద్విఖండన రేఖ గీచే విధానంలో సోపానం-2 లో [latex]\overline{\mathrm{AB}}[/latex] సగం కంటే తక్కువ పొడవును వ్యాసార్ధంగా తీసుకొంటే చాపరేఖలు ఒకదానినొకటి ఖండించుకొనవు.
పేజి నెం. 152
180° , 240° , 300° కోణాలు నిర్మించండి.
సాధన.
(i) [latex]\angle \mathbf{A O B}[/latex] = 180°
నిర్మాణం :
- కొంత పొడవుతో [latex]\overrightarrow{\mathrm{OA}}[/latex] కిరణం గీయాలి.
- ‘O’ కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్ధంతో OA ను M వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.
- M కేంద్రంగా అదే వ్యాసార్ధంతో పై చాపాన్ని P వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.
- P కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో మొదటి చాపాన్ని Q వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
- Q కేంద్రంగా మరలా. అదే వ్యాసార్ధంతో రెండవ చాపాన్ని R వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
- OR ([latex]\overrightarrow{\mathrm{OB}}[/latex]) లు కలపాలి. [latex]\angle \mathbf{A O B}[/latex] కావలసిన కోణం .
(ii) [latex]\angle \mathbf{PQR}[/latex] = 240°
నిర్మాణం :
- కొంత పొడవుతో [latex]\overrightarrow{\mathrm{QP}}[/latex] కిరణం గీయాలి.
- ‘Q’ కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్ధంతో QP ను A వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.
- A కేంద్రంగా అదే వ్యాసార్ధంతో పై చాపాన్ని B వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.
- B కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో మొదటి చాపాన్ని C వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
- C కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో రెండవ చాపాన్ని D వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
- D కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో మూడవ చాపాన్ని E వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
- QE ([latex]\overrightarrow{\mathrm{QR}}[/latex]) లు కలపాలి. [latex]\angle \mathbf{PQR}[/latex] కావలసిన కోణం.
(iii) [latex]\angle \mathbf{XYZ}[/latex] = 300°
నిర్మాణం :
- కొంత పొడవుతో [latex]\overrightarrow{\mathrm{YZ}}[/latex] కిరణం గీయాలి.
- Y కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్ధంతో YZను P వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.
- P కేంద్రంగా అదే వ్యాసార్ధంతో పై చాపాన్ని Q వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.
- Q కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో మొదటి చాపాన్ని R వద్ద ఖండించేలా మరొక చాపం గీయాలి.
- R కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో రెండవ చాపాన్ని ఏ వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
- S కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో మూడవ ఛాపాన్ని T వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
- T కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో నాలుగవ చాపాన్ని U వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
- YU ([latex]\overrightarrow{\mathrm{YX}}[/latex]) లు కలపాలి. [latex]\angle \mathbf{XYZ}[/latex] కావలసిన కోణం .
పేజి నెం. 153
ప్రశ్న 1.
90° కోణం నిర్మించడానికి మరొక పద్ధతి ఆలోచించండి.
([latex]\frac {180}{2}[/latex] = 90°, 180° లకు కోణ సమద్విఖండనరేఖ గీయడం ద్వారా నిర్మించండి.)
సాధన.
నిర్మాణ క్రమం :
- [latex]\angle \mathbf{AOB}[/latex] = 180° కోణాన్ని నిర్మించాలి. (ఒక సరళరేఖ [latex]\overrightarrow{\mathrm{AB}}[/latex] ని గీయాలి)
- “O” కేంద్రంగా ‘O’ కు ఇరువైపులా ఒకే వ్యాసార్ధంతో [latex]\overrightarrow{\mathrm{AB}}[/latex] పై చాపరేఖలు గీచి, ఖండన బిందువులు X, Y లను గుర్తించాలి.
- [latex]\overrightarrow{\mathrm{XY}}[/latex] పొడవులో సగం కన్నా ఎక్కువ వ్యాసార్ధంతో X, Y లు కేంద్రాలుగా [latex]\overrightarrow{\mathrm{AB}}[/latex] పైన రెండు చాపరేఖలు గీయాలి. ఖండన బిందువును C గా గుర్తించాలి.
- O, C లను కలుపగా మనకు కావలసిన కోణం [latex]\angle \mathbf{AOC}[/latex] = 90° ఏర్పడినది.
ప్రశ్న 2.
వృత్తలేఖిని సాయంతో 45° కోణాన్ని నిర్మించండి.
సాధన.
1వ పద్ధతి : (60°ల నుండి 30° + 15° నిర్మించడం ద్వారా)
నిర్మాణక్రమం :
- వృత్తలేఖిని సహాయంతో 60° కోణం [latex]\angle \mathbf{AOB}[/latex] ని గీయాలి.
- [latex]\angle \mathbf{AOB}[/latex] యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం OC ని గీయాలి. ఇపుడు [latex]\angle \mathbf{AOC}[/latex] = [latex]\angle \mathbf{COB}[/latex] = 30° అవుతుంది.
- [latex]\angle \mathbf{COB}[/latex] = 30° యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం [latex]\overrightarrow{\mathrm{OD}}[/latex] ని నిర్మించాలి.
- ఇపుడు [latex]\angle \mathbf{COD}[/latex] = [latex]\angle \mathbf{DOB}[/latex] = 15° కోణాలు ఏర్పడినవి.
- మనకు కావలసిన కోణం [latex]\angle \mathbf{AOD}[/latex] = 45°, [latex]\angle \mathbf{AOD}[/latex] = [latex]\angle \mathbf{AOC}[/latex] + [latex]\angle \mathbf{COD}[/latex] = 30° + 15° = 45° ఏర్పడినది.
2వ పద్ధతి : (90° లకు కోణ సమద్విఖండన రేఖ నిర్మించడం ద్వారా)
నిర్మాణక్రమం :
- [latex]\angle \mathbf{AOB}[/latex] = 60°, [latex]\angle \mathbf{AOC}[/latex] = 120° కోణాలను నిర్మించాలి.
- [latex]\angle \mathbf{BOC}[/latex] = 60° కోణ సమద్విఖండన కిరణం [latex]\overrightarrow{\mathrm{OD}}[/latex] ని గీయాలి.
- ఇపుడు [latex]\angle \mathbf{AOD}[/latex] = [latex]\angle \mathbf{AOB}[/latex] + [latex]\angle \mathbf{BOD}[/latex] = 60° + 30° = 90° ఏర్పడినది.
- [latex]\angle \mathbf{AOD}[/latex] = 90° యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం [latex]\overrightarrow{\mathrm{OE}}[/latex] ని గీయాలి. మనకు కావలసిన కోణం [latex]\angle \mathbf{AOE}[/latex] = 45° ఏర్పడినది.
3వ. పద్దతి : (90° లను సరళకోణం నుండి నిర్మించి (మునుపటి సమస్యలో వలె) దాని కోణ సమద్విఖండనం చేయడం ద్వారా నిర్మించవచ్చును.)
4వ పద్దతి : (లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజ భావన నుండి)
నిర్మాణక్రమం :
- [latex]\angle \mathbf{XOY}[/latex] = 90° కోణాన్ని నిర్మించాలి. (పై సమస్యలోవలె)
- O కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్ధంలో [latex]\overrightarrow{\mathrm{OX}}[/latex] మరియు [latex]\overrightarrow{\mathrm{OY}}[/latex] లపై చాపరేఖలను గీచి, ఖండన బిందువులు A, B లుగా గుర్తించి, A, B లను కలపాలి.
- కావలసిన కోణం [latex]\angle \mathbf{OBA}[/latex] = 45° ఏర్పడినది.