AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాలకు మూలాలు వుండే వానిని వర్గంను పూర్తి చేయుట ద్వారా కనుగొనుము.

(i) 2x² + x – 4 = 0
సాధన.
[latex]\frac{2 x^{2}}{2}+\frac{x}{2}-\frac{4}{2}=\frac{0}{2}[/latex] (ఇరువైపులా (1) కలుపగా)
x² + [latex]\frac{x}{2}[/latex] – 2 = 0
x² + [latex]\frac{x}{2}[/latex] = 2
x² + 2.[latex]\frac{1}{2}[/latex].[latex]\frac{x}{2}[/latex] = 2
[∵ [latex]\frac{x}{2}[/latex] = 2.[latex]\frac{1}{2}[/latex].[latex]\frac{x}{2}[/latex]]
x² + 2.x.[latex]\frac{1}{4}[/latex] + ([latex]\frac{1}{4}[/latex])² = 2 + ([latex]\frac{1}{4}[/latex])²
(x + [latex]\frac{1}{4}[/latex])² = 2 + [latex]\frac{1}{16}[/latex] = [latex]\frac{32+1}{16}[/latex]
(x + [latex]\frac{1}{4}[/latex])² = [latex]\frac{33}{16}[/latex]
⇒ x + [latex]\frac{1}{4}[/latex] = [latex]\sqrt{\frac{33}{16}}=\pm \frac{\sqrt{33}}{4}[/latex]
మూలాలు x = – [latex]\frac{1}{4}[/latex] + [latex]\frac{\sqrt{33}}{4}[/latex]
లేదా x = – [latex]\frac{1}{4}[/latex] – [latex]\frac{\sqrt{33}}{4}[/latex]
x = [latex]\frac{-1+\sqrt{33}}{4}[/latex] లేదా x = [latex]\frac{-1-\sqrt{33}}{4}[/latex]

(ii) 4x² + 4√3x + 3 = 0
సాధన.
4x² + 4√3 x+ 3 = 0
x² + [latex]\frac{4 \sqrt{3} x}{4}[/latex] + [latex]\frac{3}{4}[/latex] = [latex]\frac{0}{4}[/latex]
(ఇరువైపులా 4 తో భాగించగా)
x² + √3x = – [latex]\frac{3}{4}[/latex]
x² + 2.[latex]\frac{1}{2}[/latex].√3x = – [latex]\frac{3}{4}[/latex]
x² + 2.x.[latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] + [latex]\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{-3}{4}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}[/latex]
ఇరువైపులా [latex]\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}[/latex] కలుపగా

[latex]\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{-3}{4}+\frac{3}{4}[/latex]

[latex]\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}[/latex] = 0

∴ x + [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] = 0
⇒ x = – [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]
ఈ సందర్భంలో మూలాలు సమానము.
∴ మూలాలు – [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex], – [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex].

2వ పద్దతి :
4x² + 4 √3x + 3 = 0
(2x)² + 2 . 2x . √3 + (√3)² = 0
a² + 2ab + b² = (a + b)²
∴ (2x + √3)² = 0
ఈ సందర్భంలో మూలాలు సమానము.
2x + √3 = 0
2x = – √3
⇒ x = – [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]
∴ మూలాలు – [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex], – [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex].

(iii) 5x² – 7x – 6 = 0
సాధన.
5x² – 7x – 6 = 0
ఇరువైపులా 5 తో భాగించగా
x² – [latex]\frac{7}{5}[/latex] x – [latex]\frac{6}{5}[/latex] = 0
x² – [latex]\frac{7}{5}[/latex] x = [latex]\frac{6}{5}[/latex]
x² – 2 . [latex]\frac{1}{2}[/latex] . [latex]\frac{7}{5}[/latex]x = [latex]\frac{6}{5}[/latex]
x² – 2.x.[latex]\frac{7}{10}[/latex] + ([latex]\frac{7}{10}[/latex])² = [latex]\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}[/latex]
ఇరువైపులా ([latex]\frac{7}{10}[/latex])² కలుపగా

∴ మూలాలు 2 లేదా – [latex]\frac{3}{5}[/latex]

(iv) x² + 5 = 6x
సాధన.
x² + 5 = – 6x
x² + 6x + 5 = 0
x² + 6x = -5
x² + 2.[latex]\frac{1}{2}[/latex].6x = – 5
∴ ఇరువైపులా (3)² ను కలుపగా
x² + 2.x.3 + 3² = – 5 + 3²
(x + 3)² = 4
x + 3 = √4 = ± 2
x + 3 = 2
x + 3 = – 2
x = 2 – 3
x = -1
x = – 2 – 3
x = – 5
మూలాలు – 1 మరియు – 5.

ప్రశ్న 2.
సూత్రమును ఉపయోగించి 1వ ప్రశ్నలోని సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనుము.
(i) 2x² + x – 4 = 0
సాధన.
2x² + x – 4 = 0,
a = 2, b = 1, c = – 4
b² – 4ac = (1)² – 4 (2) (- 4)
= 1 + 32 = 33
వర్గ సూత్రం x = – [latex]\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}[/latex]
= [latex]\frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2(2)}[/latex]
= [latex]\frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}[/latex]
∴ x = [latex]\frac{-1+\sqrt{33}}{4}[/latex] లేదా [latex]\frac{-1-\sqrt{33}}{4}[/latex]
∴ మూలాలు [latex]\frac{-1+\sqrt{33}}{4}[/latex] మరియు [latex]\frac{-1-\sqrt{33}}{4}[/latex]

(ii) 4x² + 4√3x + 3 = 0
సాధన.
4x² + 4√3 x + 3 = 0
a = a, b = 4√3, c = 3
b² – 4ac = (4√3)² – 4 (4) (3)
= 48 – 48 = 0
ఈ సందర్భంలో మూలాలు సమానాలు. వర్గ సూత్రం నుండి ,
x = – [latex]\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}[/latex]
= [latex]\frac{-4 \sqrt{3} \pm \sqrt{0}}{2(4)}[/latex]
= [latex]\frac{-\sqrt{3}}{2}[/latex]
∴ మూలాలు [latex]\frac{-\sqrt{3}}{2}[/latex], మరియు [latex]\frac{-\sqrt{3}}{2}[/latex].

(iii) 5x² – 7x – 6 = 0
సాధన.
5x² – 7x – 6 = 0
a = 5, b = – 7, c = – 6
b² – 4ac = (- 7)² – 4 (5) (- 6)
= 49 + 120 = 169
వర్గ సూత్రం

∴ మూలాలు 2 మరియు [latex]-\frac{3}{5}[/latex]

(iv) x² + 5 = – 6x
సాధన.
x² + 5 = – 6x
x² + 6x + 5 = 0
a = 1; b = 6; c = 5
b² – 4ac = (6)² – 4 (1) (5)
= 36 – 20 = 16
వర్గ సూత్రం x = – [latex]\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}[/latex]

= [latex]\frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2(1)}=\frac{-6 \pm 4}{2}[/latex]

∴ x = [latex]\frac{-6+4}{2}=\frac{-2}{2}[/latex] = – 1 లేదా
x = [latex]\frac{-6-4}{2}=\frac{-10}{2}[/latex] = – 5
∴ మూలాలు – 1 మరియు – 5.

ప్రశ్న 3.
క్రింది సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనుము.
(i) x – [latex]\frac{1}{x}[/latex] = 3, x ≠ 0
సాధన.
x – [latex]\frac{1}{x}[/latex] = 3
\frac{x^{2}-1}{x}[latex][/latex] = 3
x² – 1 = 3x
x² – 3x – 1 = 0
a = 1, b = – 3, c = –
b² – 4ac = (- 3)² – 4 (1) (- 1)
= 9 + 4 = 13
వర్గ సూత్రం
x = [latex]\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}[/latex]

= [latex]\frac{-(-3) \pm \sqrt{13}}{2(1)}=\frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}[/latex]

x = [latex]\frac{3+\sqrt{13}}{2}[/latex] లేదా x = [latex]\frac{3-\sqrt{13}}{2}[/latex]

∴ మూలాలు [latex]\frac{3+\sqrt{13}}{2}[/latex] మరియు [latex]\frac{3-\sqrt{13}}{2}[/latex]

(ii) [latex]\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}[/latex], x ≠ – 4, 7
సాధన.

అడ్డగుణకారం చేయగా
(x + 4) (x – 7) = – 30
– x² – 7x + 4x – 28 = – 30
x² – 3x – 28 + 30 = 0
x² – 3x + 2 = 0
a = 1, b = – 3, c = 2
b² – 4ac = (- 3)² – 4 (1) (2)
= 9 – 8 = 1
వర్గ సూత్రం
x = [latex]\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}[/latex]

= [latex]\frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2(1)}=\frac{3 \pm 1}{2}[/latex]

∴ x = [latex]\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}[/latex] = 2 లేదా [latex]\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}[/latex] = 1

∴ మూలాలు 2 మరియు 1.
గమనిక :
సమీకరణం (1) ని కారణాంక. విభజన పద్దతితో కూడా సాధించవచ్చును.

x² = 2
x² – 3x + 2 = 0
x² – 2x – x + 2 = 0
x(x – 2) – 1 (x – 2) = 0
(x – 2) (x – 1) = 0
x – 2 = 0
x = 2
x – 1 = 0.
x = 1
x = 2 లేదా 1.

ప్రశ్న 4.
3 సం||ల క్రితము రహమాన్ వయస్సు యొక్క వ్యుత్రమము, 5 సం||ల తరువాత అతని వయస్సు యొక్క వ్యుత్తమముల మొత్తము , అయిన అతని – – ప్రస్తుత వయస్సు ఎంత ?
సాధన.
రహమాన్ ప్రస్తుత వయస్సు = x సం||లు అనుకొందాం.

లెక్క ప్రకారం [latex]\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{3}[/latex]

[latex]\frac{(x+5)+(x-3)}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{3}[/latex]

[latex]\frac{2 x+2}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{3}[/latex]

అడ్డగుణకారం చేయగా
(x – 3) (x + 5) = 3 (2x + 2)
x² + 5x – 3x – 15 = 6x + 6
x² + 2x – 15 – 6x – 6 = 0
x² – 4x – 21 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = – 4, c = – 21
b² – 4ac = (- 4)² – 4 (1) (- 21)
= 16 + 84 = 100
వర్గ సూత్రం .. .
x = [latex]\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}[/latex]

= [latex]\frac{-(-4) \pm \sqrt{100}}{2(1)}[/latex]

= [latex]\frac{4 \pm 10}{2}[/latex]

x = [latex]\frac{4+10}{2}=\frac{14}{2}[/latex] = 7 లేదా

x = [latex]\frac{4-10}{2}=\frac{-6}{2}[/latex] = – 3.

వయస్సు రుణాత్మకం కాదు.
∴ x = 7. అనగా రహమాన్ ప్రస్తుత వయస్సు = 7 సం||.

సరిచూచుట :
3 సం|| క్రితం రహమాన్ వయస్సు = 7 – 3 = 4 ప్యమం
వ్యుత్కమం = [latex]\frac{1}{4}[/latex]
5 సం|| తర్వాత రహమాన్ వయస్సు = 7 + 5 = 12
ద్యుతమం = [latex]\frac{1}{12}[/latex]
వృత్కమాల మొత్తం = [latex]\frac{1}{4}[/latex] + [latex]\frac{1}{12}[/latex]
= [latex]\frac{3+1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}[/latex]

ప్రశ్న 5.
మౌళికకు గణితములో మరియు ఇంగ్లీషులో వచ్చిన మార్కుల మొత్తము 30. ఆమెకు ఒకవేళ గణితంలో 2 మార్కులు ఎక్కువగా, ఇంగ్లీషులో 3 మార్కులు తక్కువగా వచ్చి వుంటే ఆ’ రెండింటి యొక్క లబ్ధము 210 అయివుండేది. అయిన ఆమెకు రెండు సబ్జెక్టులలో వచ్చిన మార్కులను కనుగొనుము.
సాధన.
మౌళికకు గణితంలో వచ్చిన మార్కులు = x అనుకొనిన
ఇంగ్లీషులో వచ్చిన మార్కులు = 30 – x (∵ గణితం మరియు ఇంగ్లీషులలో వచ్చిన మార్కుల మొత్తం 30)
ఒకవేళ గణితంలో రెండు మార్కులు ఎక్కువగా వచ్చినచో వచ్చే మార్కులు = x + 2 .
ఇంగ్లీషులో మూడు మార్కులు తక్కువగా వచ్చినచో వచ్చే మార్కులు = (30 – x) – 3 = 27 – x.
లెక్క ప్రకారం పై రెండు మార్కుల లబ్దం = 210
∴ (x + 2) (27 – x) = 210
27 x – x² + 54 – 2x = 210
– x² + 25x + 54 – 210 = 0
– x² + 25x – 156 = 0
x² – 25x + 156 = 0
(∵ – 1 తో ఇరువైపులా గుణించగా)
ఇక్కడ a = 1, b = – 25, c = 156
b² – 4ac = (- 25)² – 4 (1) (156)
= 625 – 624 = 1
వర్గ సూత్రం x = [latex]\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}[/latex]

= [latex]\frac{-(-25) \pm \sqrt{1}}{2(1)}=\frac{25 \pm 1}{2}[/latex]

x = [latex]\frac{25+1}{2}=\frac{26}{2}[/latex] లేదా x = [latex]\frac{25-1}{2}=\frac{24}{2}[/latex] = 12
x = 13 అయిన గణితంలో మార్కులు = 13
ఇంగ్లీషులో మార్కులు = 30 – 13 = 17

సరిచూచుట :
(13 + 2) (17 – 3) = 15 × 14 = 210
x = 12 అయిన
గణితంలో మార్కులు = 12
ఇంగ్లీషులో మార్కులు = 30 – 12 = 18

సరిచూచుట (12 + 2) (18 – 3)
= 14 × 15 = 210

ప్రశ్న 6.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలము యొక్క కర్ణము దాని వెడల్పు కంటే 60 మీ. ఎక్కువ. మరియు పొడవు, వెడల్పు కంటే 30 మీ. ఎక్కువ. అయిన దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలము యొక్క కొలతలను కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్ర వెడల్పు = x మీ. అనుకొనుము. ‘
కర్ణము = (x + 60) మీ.
పొడవు = (x + 30) మీ. అవుతాయి.
∆ ABC లంబకోణ త్రిభుజము

∴ పైథాగరస్ సిద్ధాంతము ప్రక రం
AB² + BC² = AC²
(x + 30)² + x² = (x + 60)²
x² + 60x + 900 + x² = x² + 120x + 3600
2x² + 60x + 900 – x² – 120x – 3600 = 0
x² – 60x – 2700 = 0 ఇక్కడ a = 1, b = – 60, c = – 2700
b² – 4ac = (- 60)² – 4 (1) (- 2700)
= 3600 + 10800 = 14400
వర్గ సూత్రం x = [latex]\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}[/latex]

= [latex]\frac{-(-60) \pm \sqrt{14400}}{2(1)}=\frac{60 \pm 120}{2}[/latex]

∴ x = [latex]\frac{60+120}{2}=\frac{180}{2}[/latex] = 90 లేదా

x = [latex]\frac{60-120}{2}=\frac{-60}{2}[/latex] = – 30

దీర్ఘ చతురస్ర వెడల్పు ఋణాత్మకం కాదు.
కావున x = 90.
దీర్ఘ చతురస్ర వెడల్పు x = 90 మీ.
దీర్ఘ చతురస్ర పొడవు (x + 30) = 120 మీ.
కర్ణం (x + 60) = 150 మీ.

సరిచూచుట :
AB² + BC² = (120)² + (90)²
= 14400 + 8100
= 22500 = AC^2.

ప్రశ్న 7.
రెండు సంఖ్యల వర్గాల భేదము 180. చిన్న సంఖ్య యొక్క వర్గము, పెద్దదానికి 8 రెట్లు అయిన ఆ సంఖ్యలను కనుగొనుము.
సాధన.
పెద్ద సంఖ్య = x
చిన్న సంఖ్య = y అనుకొందాం.
రెండు సంఖ్యల వర్గాల భేదము 180.
x² – y² = 180 …………. (1)
మరియు చిన్న సంఖ్య యొక్క వర్గము పెద్ద సంఖ్యకు 8 రెట్లు
y² = 8x ……….. (2)
(2) ను (1)లో ప్రతిక్షేపించగా
x² – 8x = 180
⇒ x² – 8x – 180 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = – 8, c = – 180
b² – 4ac = (- 8)² – 4 (1) (- 180)
= 64 + 720 = 784
వర్గ సూత్రం x = [latex]\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}[/latex]

x = [latex]\frac{-(-8) \pm \sqrt{784}}{2(1)}=\frac{8 \pm 28}{2}[/latex]

x = [latex]\frac{8+28}{2}=\frac{36}{2}[/latex] =18 లేదా x = [latex]\frac{8-28}{2}=\frac{-20}{2}[/latex] = – 10
x = 18 అయిన
y² = 8 x 18 = 144
y = [latex]\sqrt(144)[/latex] = ± 12
y = 12 లేదా – 12
x = – 10 అయిన
y² = 8 (- 10) = – 80
కాని ఇది అసాధ్యము (వర్గం రుణాత్మకం కాదు)
పెద్ద సంఖ్య 18
చిన్న సంఖ్య 12 లేదా – 12

సరిచూచుట :
18, 12 అయిన వర్గాల తేడా
18² – 12² = 324 – 144 = 180
18, – 12 అయిన వర్గాల తేడా
18² – (-12)² = 324 – 144 = 180.

ప్రశ్న 8.
ఒక రైలు 360 కి.మీ. దూరమును ఏకరీతి వేగముతో ప్రయాణించును. దీని వేగము గంటకు 5 కి.మీ. పెరిగిన అదే దూరమును ప్రయాణించుటకు పట్టు కాలము 1 గంట తగ్గును. అయిన రైలు వేగమును కనుగొనుము.
సాధన.
రైలు వేగము = x కి.మీ./గం. అనుకొందాం.
రైలు ప్రయాణించే దూరం = 360 కి.మీ. –
దూరం 360 రైలు ప్రయాణానికి పట్టే కాలం =
రైలు వేగము గంటకు 5 కి.మీ. పెరిగినప్పుడు రైలు వేగం = (x + 5) కి.మీ./గం.
360 ఇప్పుడు రైలు ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = [latex]\frac{360}{x+5}[/latex] గం.
లెక్క ప్రకారం [latex]\frac{360}{x}-\frac{360}{x+5}[/latex] = 1

360 [latex]\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+5}\right)[/latex] = 1

360 [latex]\left(\frac{x+5-x}{x(x+5)}\right)[/latex] = 1

[latex]\frac{5}{x^{2}+5 x}=\frac{1}{360}[/latex]

x² + 5x = 360×5
x² + 5x = 1800
∴ x² + 5x – 1800 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = 5, c = – 1800
b² – 4ac = 5² – 4 (1) (- 1800)
= 25 + 7200 = 7225
వర్గ సూత్రం x = [latex]\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}[/latex]

x = [latex]\frac{-5 \pm \sqrt{7225}}{2(1)}=\frac{-5 \pm 85}{2}[/latex]

∴ x = [latex]\frac{-5+85}{2}=\frac{80}{2}[/latex]= 40 లేదా

x = [latex]\frac{-5-85}{2}=\frac{-90}{2}[/latex] = 45
రైలు వేగం రుణాత్మకం కాదు. కావున x = 40
∴ రైలు వేగం = 40 కి.మీ./గం.

సరిచూచుట :
40 కి.మీ/గం. వేగంతో 360 కి.మీ ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = [latex]\frac{360}{40}[/latex] = 9 గం.
(40 + 5) = 45 కి.మీ/గం.
వేగంతో 360 కి.మీ ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = [latex]\frac{360}{45}[/latex] = 8 గం.

ప్రశ్న 9.
రెండు కుళాయిలు కలిసి ఒక నీళ్ల ట్యాంకును 9[latex]\frac{3}{8}[/latex] గం||లలో నింపును. ఎక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి ఒక్కటే, తక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి నింపే సమయమునకు 10 గం|| తక్కువ సమయంలో నింపును. అయితే ఒక్కొక్క కుళాయి విడివిడిగా ట్యాంకును నింపుటకు పట్టే కాలమును కనుగొనుము.
సాధన.
తక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి నీళ్ళ ట్యాంకును నింపుటకు పట్టే కాలం = x గం|| అనుకొంటే
తక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి 1 గంటలో నింపే భాగం = [latex]\frac{1}{x}[/latex]
ఎక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి ట్యాంకు నింపేందుకు పట్టే కాలం = (x – 10) గం||
ఎక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి 1 గంటలో నింపే భాగం = [latex]\frac{1}{x-10}[/latex]
రెండు కుళాయిలు కలిసి 1 గంటలో నింపే భాగం = [latex]\frac{1}{x}[/latex] – [latex]\frac{1}{x-10}[/latex]
లెక్క ప్రకారం రెండు కుళాయిలు కలిసి నీళ్ళ ట్యాంకును నింపుటకు పట్టే కాలం = 9[latex]\frac{3}{8}[/latex] గం. = [latex]\frac{75}{8}[/latex] గం.
రెండు కుళాయిలు కలసి 1 ‘గంటలో నింపే భాగం = [latex]\frac{1}{\frac{75}{8}}=\frac{8}{75}[/latex]
కావున [latex]\frac{1}{x}+\frac{1}{x-10}=\frac{8}{75}[/latex]

[latex]\frac{x-10+x}{x(x-10)}=\frac{8}{75}[/latex]

[latex]\frac{2 x-10}{x(x-10)}=\frac{8}{75}[/latex]
అడ్డగుణకారం చేయగా
8x (x – 10) = 75 (2x – 10)
8x² – 80x = 150x – 750
8x² – 80x – 150 x + 750 = 0
8x² – 230x + 750 = 0
ఇక్కడ a = 8, b = – 230, c = 750
b² – 4ac = (- 230)² – 4 (8) (750)
= 52900 – 24000 = 28900
వర్గ సూత్రం x = [latex]\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}[/latex]

x = [latex]\frac{-(-230) \pm \sqrt{28900}}{2(8)}[/latex]

28900 = 289 × 100
= 17 × 17 × 10 × 10
= (17 × 10)²
= (170)²
= [latex]\frac{230 \pm 170}{16}[/latex]
x = [latex]\frac{230+170}{16}=\frac{400}{16}[/latex] = 25 లేదా
x = [latex]\frac{230-170}{16}=\frac{60}{16}=3 \frac{3}{4}[/latex]
x = 25 అయిన x – 10 = 25 – 10 = 15
∴ తక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి నీళ్ళట్యాంకు నింపుటకు పట్టే కాలం = 25 గం.
ఎక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి నీళ్ళట్యాంకు నింపుటకు పట్టే కాలం = 15 గం.
x = 3[latex]\frac{3}{4}[/latex]
x – 10 = 3[latex]\frac{3}{4}[/latex] – 10
ఇది రుణాత్మకం. ఇది అసాధ్యము.

సరిచూచుట :
రెండు కుళాయిలు కలిసి తొట్టిని 1 గంటలో నింపే భాగం = [latex]\frac{1}{25}+\frac{1}{15}=\frac{3+5}{75}=\frac{8}{75}[/latex]
రెండు కుళాయిలు ట్యాంకును నింపుటకు పట్టే కాలం = [latex]\frac{75}{8}[/latex] గం. = [latex]\frac{3}{8}[/latex] గం.

ప్రశ్న 10.
మైసూరు, బెంగళూరు మధ్య 132 కి.మీ. దూరమును ప్రయాణించుటకు ఒక ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు, ప్యాసింజర్ రైలు కంటే 1 గంట సమయము తక్కువ తీసుకొంటుంది. (మధ్యలో ఆగే సమయాలను లెక్కలోకి తీసుకోలేదు) ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు సగటు వేగము, ప్యాసింజర్ రైలు వేగం కంటే 11కి.మీ/గ్రంట ఎక్కువ అయిన రెండు రైళ్ల వేగాలను కనుగొనుము.
సాధన.
ప్యాసింజర్ రైలు సగటు వేగం = x కి.మీ/గం.
అనుకొంటే ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు సగటు వేగం = (x + 11) కి.మీ./గం.
మైసూర్, బెంగళూరుల మధ్య దూరం = 132 కి.మీ.
మైసూర్, బెంగళూరుల మధ్య ప్రయాణానికి ప్యాసింజర్ రైలుకు పట్టే కాలం = [latex]\frac{132}{x}[/latex] గం.
132 ఎక్స్ ప్రెస్ రైలుకు పట్టే కాలం = [latex]\frac{132}{x+11}[/latex] గం.
లెక్క ప్రకారం ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు, ప్యాసింజర్ రైలుకన్నా 1 గం. సమయం తక్కువ తీసుకుంటుంది.
[latex]\frac{132}{x+11}=\frac{132}{x}-1[/latex]

[latex]\frac{132}{x+11}-\frac{132}{x}[/latex] = – 1

[latex]\frac{132 x-132(x+11)}{x(x+11)}[/latex] = – 1

132x – 132x – 1452 = -x (x + 11)
– 1452 = – x² – 11 x
– x² + 11 x – 1452 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = 11, c = – 1452
∴ b² – 4ac = (11)² – 4 (1) (- 1452)
= 121 – 5808 = 5929
వర్గ సూత్రం x = [latex]\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}[/latex]

x = [latex]\frac{-11 \pm \sqrt{5929}}{2(1)}[/latex]

x = [latex]\frac{-11 \pm 77}{2}[/latex]

5929 = 11 × 11 × 7 × 7
= (11 × 7)² = (77)²
∴ x = [latex]\frac{-11+77}{2}=\frac{66}{2}[/latex] = 33 లేదా

x = [latex]\frac{-11-77}{2}=\frac{-88}{2}[/latex] = – 44

రైలు వేగము రుణాత్మకం కాదు. కావున x = 33.
∴ ప్యాసింజర్ రైలు వేగం x = 33 కి.మీ./గం.
ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు వేగం = (x + 11)
= 33 + 11 = 44 కి.మీ./గం.

సరిచూచుట :
ప్యాసింజర్ రైలు ప్రయాణ కాలం = [latex]\frac{132}{33}[/latex] = 4 గం.
ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు ప్రయాణ కాలం = [latex]\frac{132}{44}[/latex] = 3 గం.

ప్రశ్న 11.
రెండు చతురస్రాల వైశాల్యాల మొత్తం 468 చ.మీ వాని చుట్టుకొలతల భేదము 24 మీ. అయిన ఆ రెండు చతురస్రాల భుజాలను కనుగొనుము.
సాధన.
రెండు చతురస్రాల యొక్క భుజాలు వరుసగా x మీ., y మీ అనుకొందాం.
వైశాల్యం = y²
చుట్టుకొలత = 4y
వైశాల్యం = x²
చుట్టుకొలత = 4x
లెక్క ప్రకారం,
రెండు చతురస్రాల వైశాల్యాలు మొత్తం = 468 చ.మీ.
x² + y² = 468 ……….. (1)
మరియు వాటి చుట్టుకొలతల భేదం = 24 మీ.
4x – 4y = 24
4(x – y) = 24
x – y = [latex]\frac{24}{4}[/latex] = 6.
x – 6 = y ను (1)లో ప్రతిక్షేపించగా
x² + (x – 6)² = 468
x² + x² – 12x + 36 = 468
2x² – 12x + 36 – 468 = 0
2x² – 12x – 432 = 0
ఇక్కడ a = 2, b = – 12, c = – 432
b² – 4ac = (- 12)² – 4 (2) (-432)
= 144 + 3456 = 3600
వర్గ సూత్రం x = [latex]\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}[/latex]

x = [latex]\frac{-(-12) \pm \sqrt{3600}}{2(2)}[/latex]

x = [latex]\frac{12 \pm 60}{4}[/latex]

x = [latex]\frac{12+60}{4}=\frac{72}{4}[/latex] లేదా

x = [latex]\frac{12-60}{4}=\frac{-48}{4}[/latex]
చతురస్ర భుజం కొలత ఋణాత్మకం కాదు. కావున x = 18 ,
18 – 6 = y
y = 12
రెండు చతురస్రాల భుజాలు 18 మీ. మరియు 12మీ.

సరిచూచుట :
రెండు చతురస్రాల వైశాల్యాల భేదం = 18² – 12²
= 324 – 144 = 180.

ప్రశ్న 12.
‘n’ భుజాలు గల ఒక బహుభుజిలోని కర్ణాల సంఖ్య [latex]\frac{1}{2}[/latex] n (n – 3). అయితే 65 కర్ణాలు గల బహుభుజి యొక్క భుజాల సంఖ్య ఎంత ? 50 కర్ణాలు గల బహుభుజి వ్యవస్థితమౌతుందా ?
సాధన.
n భుజాలు గల బహుభుజిలోని కర్ణాల సంఖ్య = [latex]\frac{1}{2}[/latex] n(n – 3)
లెక్క ప్రకారం బహుభుజి యొక్క కర్ణాల సంఖ్య = 65
∴ [latex]\frac{1}{2}[/latex] n (n – 3) = 65
n² – 3n = 130
n² – 3n – 130 = 0
ఇది n లో వర్గ సమీకరణము.
a = 1, b = – 3, c = – 130
∴ b² – 4ac = (- 3)² – 4 (1) (-130)
= 9 + 520 = 529
వర్గ సూత్రం n = [latex]\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}[/latex]

n = [latex]\frac{-(-3) \pm \sqrt{529}}{2(1)}=\frac{3 \pm 23}{2}[/latex]

n = [latex]\frac{3+23}{2}=\frac{26}{2}[/latex] = 13

n = [latex]\frac{3-23}{2}=\frac{-20}{2}[/latex] = – 10
భుజాల సంఖ్య రుణాత్మకం కాదు. కావున
∴ n = 13
∴ కర్ణాల సంఖ్య 65 గల బహుభుజి యొక్క భుజాల సంఖ్య n = 13

(ii) కర్ణాల సంఖ్య 50 అయితే
[latex]\frac{1}{2}[/latex] n (n – 3) = 50
n (n – 3) = 100
n² – 31 – 100 = 0
ఇది n లో వర్గ సమీకరణము ……….. (1)
a = 1, b = – 3, c = – 100
b² – 4ac = (- 3)² – 4 (1) (- 100)
= 9 + 400 = 409
వర్గ సూత్రం n = [latex]\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}[/latex]
n = [latex]\frac{-(-3) \pm \sqrt{409}}{2(1)}=\frac{3 \pm \sqrt{409}}{2}[/latex]
409 ఖచ్చిత వర్గ సంఖ్య కాదు. అనగా దీని వర్గమూలం పూర్ణసంఖ్య కాదు. కావున n విలువ పూర్ణ సంఖ్య కాదు.
కావున కర్ణాల సంఖ్య 50 గా గల బహుభుజి వ్యవస్థితం కాదు.

2వ పద్ధతి :
[latex]\frac{1}{2}[/latex] n (n – 3) = 50
∴ n² – 3n = 100
n² – 3n – 100 = 0
a = 1, b = – 3, c = – 100
b² – 4ac = (- 3)² – 4 (1) (- 100)
= 9 + 400 = 409

b² – 4ac > 0 మరియు ఖచ్ఛిత వర్గ సంఖ్య కాదు. కావున వర్గ సమీకరణ మూలాలు వాస్తవాలై కరణీయ సంఖ్యలు అవుతాయి. అంటే n విలువ కరణీయ సంఖ్య అవుతుంది. కాని బహుభుజి భుజాల సంఖ్య ఎల్లప్పుడు 3 కన్నా పెద్దదైన సహజ సంఖ్య. కావున కర్ణాల సంఖ్య 50 గా గల బహుభుజి వ్యవస్థితం కాదు.