SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.
AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత Optional Exercise
ప్రశ్న 1.
ఇద్దరు వినియోగదారులు శ్యామ్, ఏక్తాలు ఒక అంగడిలో ఒకే వారము (మంగళవారం నుండి శనివారం వరకు) దర్శించారు. వారిద్దరు విడివిడిగా ఏరోజు అయినా దర్శించి ఉండవచ్చును. అయిన ఆ ఇద్దరు
(i) ఒకే రోజు
(ii) ప్రక్క ప్రక్క రోజులు
(iii) వేరువేరు రోజులు అంగడిని దర్శించి ఉండడానికి సంభావ్యతలు ఎంతెంత?
సాధన.
(మంగళ, మంగళ), (మంగళ, బుధ) (మంగళ, గురు), (మంగళ, శుక్ర), (మంగళ, శని), (బుధ, మంగళ), (బుధ, బుధ), (బుధ, గరు), (బుధ, శుక్ర), (బుధ, శని), (గురు, మంగళ), (గురు, బుధ), (గురు, గురు), (గురు, శుక్ర), (గురు, శని), (శుక్ర, మంగళ) (శుక్ర, బుధ), (శుక్ర, గురు), (శుక్ర, శుక్ర), (శుక్ర, శని), (శని, మంగళ), (శని, బుధ), (శని, గురు), (శని, శుక్ర), (శని, శని).
∴ మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 5 × 5 = 52 = 25.
(i) ఇద్దరూ ఒకే రోజులో ఆ అంగడిని సందర్శించగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 5
అవి: (మంగళ, మంగళ), (బుధ, బుధ), (గురు, గురు), (శుక్ర, శుక్ర), (శని, శని) = 5
∴ ఇద్దరూ ఆ అంగడిని ఒకే రోజులో దర్శించుకోగల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{5}{25}=\frac{1}{5}[/latex]
(ii) ప్రక్క ప్రక్క రోజులలో ఆ అంగడిని సందర్శించగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 8
అవి : (మంగళ, బుధ), (బుధ, గురు), (గురు, శుక్ర) (శుక్ర, శని) (బుధ, మంగళ), (గురు, బుధ), (శుక్ర, గురు), (శని, శుక్ర) = 8
∴ ఇద్దరూ ఆ అంగడిని ప్రక్క ప్రక్క రోజులలోదర్శించుకోగల సంభావ్యత = [latex]\frac{8}{25}[/latex].
(iii) ఇద్దరూ వేర్వేరు రోజులలో ఆ అంగడిని దర్శించి ఉండటానికి గల సంభావ్యత,
P(E) = ఇద్దరూ ఒకే రోజు ఆ అంగడిని సందర్శించిన సంభావ్యత.
∴ P(E) + P([latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex]) = 1
P([latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex]) = 1 – P(E)
= 1 – [latex]\frac{1}{5}=\frac{4}{5}[/latex]
∴ వేర్వేరు రోజులలో ఆ అంగడిని సందర్శించగల సంభావ్యత = [latex]\frac{4}{5}[/latex]
ప్రశ్న 2.
ఒక సంచిలో 5 ఎరుపు బంతులు, కొన్ని నీలం – బంతులు కలవు. యాదృచ్ఛికంగా నీలం బంతి తీయు సంభావ్యత, ఎరుపు బంతి తీయు సంభావ్యతకు రెట్టింపు అయిన ఎన్ని నీలం బంతులు కలవు?
సాధన.
సంచిలోని ఎరుపు బంతుల సంఖ్య = 5
లెక్కప్రకారం యాదృచ్ఛికంగా నీలం బంతి తీయు సంభావ్యత, ఎరుపు బంతి తీయు సంభావ్యతకు రెట్టింపు.
∴ నీలం బంతుల సంఖ్య = 5 × 2 = 10
(లేదా )
నీలం బంతుల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
ఎరుపు బంతుల సంఖ్య = 5
మొత్తం బంతుల సంఖ్య = x + 5
ఎరుపు బంతులను తీయగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 5
∴ P(R) = [latex]\frac{5}{x+5}[/latex]
లెక్కప్రకారం
P(B) = 2 × [latex]\frac{5}{x+5}[/latex]
= [latex]\frac{10}{x+5}[/latex]
∴ [latex]\frac{5}{x+5}[/latex] + [latex]\frac{10}{x+5}[/latex] = 1
[∵ P(R) + P(B) = 1]
⇒ [latex]\frac{5+10}{x+5}[/latex] = 1
⇒ 15 = x + 5
⇒ x = 15 – 5
⇒ x = 10.
ప్రశ్న 3.
ఒక పెట్టెలో 12 బంతులు కలవు. అందు x బంతులు నల్లనివి. పెట్టె నుండి యాదృచ్చికంగా తీసిన బంతి నలుపుది అవడానికి సంభావ్యత ఎంత? ఇంకా 6 నలుపు బంతులు కలిపితే అప్పుడు మొత్తం నుండి నలుపు బంతి తీయు సంభావ్యత రెట్టింపు (ప్రస్తుతం కన్నా) అవుతుంది. అయిన X ఎంత?
సాధన.
నలుపు బంతుల సంఖ్య = x
పెట్టెలోని మొత్తం బంతుల సంఖ్య = 12
ఒక నలుపు బంతిని యాదృచ్ఛికంగా తీయుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{x}{12}[/latex] ……………. (1)
ఆ పెట్టెలో 6 నలుపు బంతులనుంచగా
∴ మొత్తం అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = x + 6 అనుకొనుము.
∴ ఆ పెట్టెలలోని మొత్తం బంతుల సంఖ్య = 12 + 6 = 18
∴ నల్లని బంతిని పొందు సంభావ్యత = [latex]\frac{x+6}{18}[/latex] …….. (2)
లెక్కప్రకారం,
[latex]\frac{x+6}{18}=2 \cdot \frac{x}{12}[/latex]
⇒ [latex]\frac{x+6}{18}=\frac{x}{6}[/latex]
⇒ [latex]\frac{x+6}{3}[/latex] = x
⇒ x + 6 = 3x
⇒ 3x – x = 6
⇒ 2x = 6
⇒ x = 3 .
సరిచూచుట :
(1) వ సమీకరణం నుండి [latex]\frac{x}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}[/latex]
(2) వ సమీకరణం నుండి [latex]\frac{x+6}{18}=\frac{3+6}{18}[/latex]
= [latex]\frac{9}{18}=\frac{1}{2}[/latex]
(1) వ సమీకరణం నుండి (1) × 2 = [latex]\frac{1}{4}[/latex] × 2
= [latex]\frac{1}{2}[/latex]
ఇది సత్యం. నిరూపించబడినది.
ప్రశ్న 4.
ఒక పాత్రలో 24 గోళీలు ఉన్నాయి. అందులో కొన్ని ఆకుపచ్చనివి, కొన్ని నీలం రంగువి. పాత్ర నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఆకుపచ్చరంగు గోళీ తీయు సంభావ్యత [latex]\frac{2}{3}[/latex] అయిన నీలం గోళీ తీయు సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
పాత్రలో గల మొత్తం గోళీల సంఖ్య = 24
అందు ఆకుపచ్చ గోళీల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
నీలం గోళీల సంఖ్య = 24 – x
పాత్ర నుండి ఆకుపచ్చ గోళీలను పొందు సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{x}{24}[/latex]
లెక్కప్రకారం,
[latex]\frac{x}{24}=\frac{2}{3}[/latex]
⇒ 3x = 24 × 2
⇒ x = [latex]\frac{24 \times 2}{3}[/latex] = 16
∴ ఆకుపచ్చ గోళీల సంఖ్య = 16
∴ నీలం గోళీల సంఖ్య = 24 – x = 24 – 16 = 8.
నీలం గోళీ తీయు సంభావ్యత = [latex]\frac{8}{24}=\frac{1}{3}[/latex]
(లేదా)
∴ P(G) = [latex]\frac{2}{3}[/latex]
P(B) + P(G) = 1
⇒ P(B) = 1 – P(G)
= 1 – [latex]\frac{2}{3}[/latex] = [latex]\frac{1}{3}[/latex]
పాత్రలోని నీలం గోళీల సంఖ్య = [latex]\frac{1}{3}[/latex] × 24 = 8.