AP 10th Class Maths Important Questions Chapter 1 వాస్తవ సంఖ్యలు

These AP 10th Class Maths Chapter Wise Important Questions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు will help students prepare well for the exams.

AP Board 10th Class Maths 1st Lesson Important Questions and Answers వాస్తవ సంఖ్యలు

ప్రశ్న 1.
యూక్లిడ్ భాగహార న్యాయాన్ని ఉపయోగించి 60 మరియు 100 ల గ.సా.భా. కనుగొనండి.
సాధన.
100 = 60(1) + 40
60 = 40(1) + 2
40 = 20(2) + 0
కావున 60, 100 ల గ.సా.భా = 20

ప్రశ్న 2.
log₅ √625 విలువను కనుక్కోండి.
సాధన.
log₅ √625 = log₅ 25
= log₅ 5²
= 2 log₅ 5
= 2 × 1 = 2.

ప్రశ్న 3.
\(\frac{36}{99}\)ని దశాంశ సంఖ్యగా వ్రాయుము.
సాధన.
\(\frac{36}{99}=\frac{4 \times 9}{9 \times 11}=\frac{4}{11}=0 . \overline{36}\)

ప్రశ్న 4.
log \(\frac{a^{\mathbf{m}^{\mathbf{n}}} \mathbf{b}^{\mathbf{z}}}{\mathbf{c}^{\mathbf{z}}}\) యొక్క విస్తరణ రూపాన్ని రాయండి.
సాధన.
log \(\frac{a^{\mathbf{m}^{\mathbf{n}}} \mathbf{b}^{\mathbf{z}}}{\mathbf{c}^{\mathbf{z}}}\) = log a^mbⁿ – log c^z [∵ log \(\frac{x}{y}\) = log x – log y]
= log a^m + log bⁿ – log c^z [∵ log xy = log x + log y]
= m log a + n log b – z log c.

ప్రశ్న 5.
x² + y² = 7xy అయిన log \(\left(\frac{x+y}{3}\right)\) = \(\frac{1}{2}\) (log x + log y) అని నిరూపించుము.
సాధన.
x² + y² = 7xy ఇరువైపులా 2xy కలుపగా
x² + y² + 2xy = 7xy + 2xy = 9xy
(x + y)² = 9xy ఇరువైఫులా వర్గమూలం పరిగణించగా.
\(\sqrt{(x+y)^{2}}=\sqrt{9 x y}\)
∴ \(\frac{x+y}{3}\) = 3√xy
⇒ \(\frac{x+y}{3}\) = √xy = (xy)^1/2
⇒ \(\frac{x+y}{3}\) = (xy)^1/2
ఇరువైపులా సంవర్గమానం పరిగణించగా
log \(\frac{x+y}{3}\) = log (xy)^{\(\frac{1}{2}\)}
= \(\frac{1}{2}\) log(xy)
⇒ log (\(\frac{x+y}{3}\)) = \(\frac{1}{2}\) (log x + log y) అని ఋజువైనది.

ప్రశ్న 6.
యూక్లిడ్ భాగహార శేషవిధి ఆధారంగా 4830 మరియు 759 యొక్క గ.సా.భా.ను కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్యలు 4830 మరియు 759
4830 = 759 × 6 + 276
759 = 276 × 2 + 207
276 = 207 × 1 + 69
207 = 69 × 3 + 0
∴ 4830 మరియు 759 ల గ.సా.భా. = 69

ప్రశ్న 7.
1260 మరియు 1440 ల గ.సా.కా. ను యూక్లిడ్ భాగహార న్యాయం ఉపయోగించి కనుక్కోండి. –
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్యలు 1260, 1440.
1440 = 1260 × 1 + 180
1260 = 180 × 7 + 0 .
∴ 1260, 1440 ల గ.సా.కా. = 180.

ప్రశ్న 8.
x² + y² = 10xy అయిన 2 log(x – y) = logx + log y + 3 log 2 అని నిరూపించండి.
సాధన.
x² + y² = 10xy
రెండు వైపులా ‘2xy’ ను తీసివేయగా,
x² + y² – 2xy = 10xy – 2xy = 8xy
(x – y)² = 8xy
రెండువైపులా ‘logarithm’ ను తీసుకొనిన
log (x – y)² = log 8xy = log 8 + log x + log y
⇒ 2 log (x – y) = 3 log 2 + log x + logy.

ప్రశ్న 9.
log₁₀ 5 కరణీయ సంఖ్యా ? అకరణీయ సంఖ్యా ? నీ జవాబును సమర్థించుము.
సాధన.
log₁₀ 5 = x అనుకొనిన
10^x = 5
కాని 5 ను ‘x’ యొక్క ఏ విలువకు 10^x రూపంలో వ్రాయలేము.
∴ log₁₀ 5 ఒక అకరణీయ సంఖ్య.

ప్రశ్న 10.
1.2333333……. ను \(\frac{p}{q}\) రూపంలో వ్రాయుము. (p మరియు q లు సాపేక్ష ప్రధానాంకాలు)
సాధన.
x = 1.2333333 అనుకొనుము. = 1.23
= 1.2 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + …………
= 1.2 + \(\frac{3}{10^{2}}+\frac{3}{10^{3}}+\frac{3}{10^{4}}\) + …………….
= 1.2 + \(\frac{-\frac{3}{10^{2}}}{1-\frac{1}{10}}\)
= 1.2 + \(\frac{1}{30}\) = \(\frac{37}{30}\)

ప్రశ్న 11.
√5 + √7 అనేది ఒక కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించుము.
సాధన.
√5 + √7 ను ముందుగా కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకుందాం.
దీనిని విరుత ద్వారా నిరూపిద్దాం.
∴ √5 + √7 = a అనుకుందాం. (∵ a ఒక అకరణీయ సంఖ్య)
⇒ √7 = a – √5 ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
(√7)2 = (a – √5)
⇒ 7 = a² + 5 – 2a√5
⇒ 2a√5 = a² + 5 – 7 = a² – 2
⇒ √5 = \(\frac{a^{2}-2}{2 a}\)
దీని యందు L.H.S భాగం √5 ఒక అకరణీయ సంఖ్య.
RHS భాగం నందు గల \(\frac{a^{2}-2}{2 a}\) అనునది ఒక అకరణీయ సంఖ్య ఎదుకనగా ‘a’ ఒక అకరణీయ సంఖ్య కావున.
√5 = \(\frac{a^{2}-2}{2 a}\) సత్యం కావలెనన్న ఒక కరణీయ సంఖ్య (√5) ఒక ఆకరణీయ సంఖ్య (\(\frac{a^{2}-2}{2 a}\)) కు
సమానం కావలెను. కాని ఇది అసాధ్యం.
కావున మనం తీసుకున్నట్లు √5 + √7 అనునది అకరణీయ సంఖ్య అగుట అసాధ్యం.
కావున √5 + √7 ఒక కరణీయ సంఖ్య అని ఋజువైనది.

ప్రశ్న 12.
√5 + √11 ను కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించండి.
సాధన.
√5 + √11 అనేది ఒక అకరణీయ సంఖ్య అని ఊహించండి.
√5 + √11 = 2, ఇందు a, b లు పరస్పర ప్రధానాంకాలు మరియు b ≠ 0
∴ √5 = \(\frac{a}{b}\) – 11
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
√5 = \(\frac{\mathrm{a}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}+11-2 \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}} \sqrt{11}\)

\(2 \frac{a}{b} \sqrt{11}=\frac{a^{2}}{b^{2}}+11-5=\frac{a^{2}}{b^{2}}+6\)

√11 = \(\frac{a^{2}+6 b^{2}}{b^{2}} \times \frac{b}{2 a}=\frac{a^{2}+6 b^{2}}{2 a b}\)

a, b లు పూర్ణసంఖ్యలు కావున \(\frac{a^{2}+6 b^{2}}{2 a b}\) అకరణీయ సంఖ్య.
కావున √11 ఒక అకరణీయ సంఖ్య. ఇది √11 కరణీయ సంఖ్య అనేదానికి విరుద్ధం.
∴ √5 + √11 ఒక కరణీయ సంఖ్య.

ప్రశ్న 13.
√3 ను కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించండి.
సాధన.
√3 ఒక అకరణీయ సంఖ్య అనుకొనుము.
√3 = \(\frac{a}{b}\) అయ్యే విధంగా a, b లు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు మరియు b ≠ 0
⇒ b√3 = a ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
3b² = a²
a² ను 3 భాగించును, a ను కూడా 3 భాగించును.
a = 3c అయ్యే విధంగా c ఒక పూర్ణ సంఖ్య
⇒ a² = 9c²
⇒ 3b² = 9c² (a² = 3b²)
⇒ b² = 3c²
b² ను 3 భాగించును, b ను కూడా భాగించును. ….. (2)
(1), (2) ల నుండి a మరియు b లు 3 చే భాగింపబడును. ఇది a మరియు b లు పరస్పర ప్రధానసంఖ్యలు అనేదానికి విరుద్ధము.
కావున √3 ఒక అకరణీయ సంఖ్య అనే మన భావన తప్పు. √3 ఒక కరణీయ సంఖ్య.

ప్రశ్న 14.
2 + 5√3 ఒక కరణీయ సంఖ్య అని చూపండి.
సాధన.
మనం నిరూపించవలసిన భావనకు విరుద్ధంగా 2 + 5√3 ఒక అకరణీయ సంఖ్యగా ఊహించు కుందాం.
⇒ 2 + 5√3 = \(\frac{a}{b}\) అయ్యే విధముగా a, b లు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు, b ≠ 0
⇒ 5√3 = \(\frac{a}{b}\) – 2
⇒ √3 = \(\frac{a}{5 b}-\frac{2}{5}\)
ఇందులో RHS నందు
\(\frac{a}{5 b}\), \(\frac{2}{5}\)∈ Q
⇒ \(\frac{a}{5 b}-\frac{2}{5}\) ∈ Q
అందుచే √3 కూడా అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది. ఇది అసత్యం.
ఎందుకంటే ₹ 3 ఒక కరణీయసంఖ్య అనే సత్యానికి విరుద్ధభావన. కావున 2 + 5√3 అకరణీయ సంఖ్య అనే మన భావన తప్పు.
కావున మనం 2 + 5√3 అనేది కరణీయ సంఖ్య అని చెప్పవచ్చును.

ప్రశ్న 15.
(2)^{x + 1} = (3)^{1 – x} అయిన x విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
(2)^{x + 1} = (3)^{1 – x}
(x + 1) log₁₀ 2 = (1 – x) log₁₀ 3
x log₁₀ 2 + 1 log₁₀ 2 = 1 log₁₀ 3 – x log₁₀ 3
x log₁₀ 2 + x log₁₀ 3 = log₁₀ 3 – log₁₀ 2
x (log₁₀ 2 + log₁₀ 3) = log₁₀ 3 – log₁₀ 2
∴ x = \(\frac{\log _{10} 3-\log _{10} 2}{\log _{10} 2+\log _{10} 3}\)

ప్రశ్న 16.
√5 – √3 కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించుము.
సాధన.
√5 – √3 ఒక కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకొనిన √5 – √3 ఒక అకరణీయ సంఖ్య అగును. –
దీనిని \(\frac{p}{q}\) రూపంలో వ్రాయగలం.
p, q లు పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు q ≠ 0.
√5 – √3 = \(\frac{p}{q}\)
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా,
5 + 3 – 2√15 = \(\frac{p^{2}}{q^{2}}\)
√15 = \(\frac{8 q^{2}-p^{2}}{2 q^{2}}\)
∴ p, q ∈ Z మరియు q ≠ 0
8q² – P² మరియు 2q² ∈ Z, 2q² ≠ 0.
∴ \(\frac{8 q^{2}-p^{2}}{2 q^{2}}\) అనేది అకరణీయ సంఖ్య.
2q కానీ √15 ఒక కరణీయ సంఖ్య.
కరణీయ సంఖ్య అకరణీయ సంఖ్య సమానం కాదు.
√5 – √3 ఒక కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకోవడం సరికాదు.
∴ √5 – √3 ఒక కరణీయ సంఖ్య.